व्युत्क्रम वितरण: Difference between revisions

व्युत्क्रम समान वितरण
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Revision as of 15:39, 11 February 2023

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, एक व्युत्क्रम वितरण एक यादृच्छिक चर के व्युत्क्रम का वितरण है। उलटा वितरण विशेष रूप से पूर्व वितरण के बायेसियन संदर्भ में और पैमाने के मापदंडों के लिए पश्च वितरण में उत्पन्न होता है। यादृच्छिक चर के बीजगणित में, व्युत्क्रम वितरण अनुपात वितरण के वर्ग के विशेष मामले हैं, जिसमें अंश यादृच्छिक चर का एक पतित वितरण होता है।

मूल वितरण से संबंध

सामान्य तौर पर, कड़ाई से सकारात्मक समर्थन के साथ यादृच्छिक चर एक्स की संभावना वितरण को देखते हुए, पारस्परिक, वाई = 1 / एक्स के वितरण को ढूंढना संभव है। यदि एक्स का वितरण घनत्व समारोह एफ (एक्स) और संचयी के साथ निरंतर है बंटन फलन F(x), तो व्युत्क्रम का संचयी बंटन फलन, G(y), यह देखते हुए पाया जाता है कि

G(y)=\Pr(Y\leq y)=\Pr \left(X\geq {\frac {1}{y}}\right)=1-\Pr \left(X<{\frac {1}{y}}\right)=1-F\left({\frac {1}{y}}\right).

फिर वाई का घनत्व समारोह संचयी वितरण समारोह के व्युत्पन्न के रूप में पाया जाता है:

g(y)={\frac {1}{y^{2}}}f\left({\frac {1}{y}}\right).

उदाहरण

व्युत्क्रम वितरण

व्युत्क्रम वितरण में प्रपत्र का घनत्व कार्य होता है।^[1]

f(x)\propto x^{-1}\quad {\text{ for }}0<a<x<b,

कहाँ $\propto \!\,$ मतलब आनुपातिकता (गणित) | के लिए आनुपातिक है । यह इस प्रकार है कि इस मामले में उलटा वितरण रूप का है

g(y)\propto y^{-1}\quad {\text{ for }}0\leq b^{-1}<y<a^{-1},

जो फिर से एक पारस्परिक वितरण है।

उलटा समान वितरण

यदि मूल यादृच्छिक चर X समान रूप से अंतराल (a,b) पर वितरित किया जाता है, जहां a>0, तो पारस्परिक चर Y = 1 / X में पारस्परिक वितरण होता है जो श्रेणी (b⁻¹ ,a⁻¹) में मान लेता है ), और इस श्रेणी में प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है

g(y)=y^{-2}{\frac {1}{b-a}},

और कहीं शून्य है।

व्युत्क्रम का संचयी बंटन फलन, एक ही श्रेणी के भीतर, है

G(y)={\frac {b-y^{-1}}{b-a}}.

उदाहरण के लिए, यदि X समान रूप से अंतराल (0,1) पर वितरित किया जाता है, तो Y = 1 / X में घनत्व होता है $g(y)=y^{-2}$ और संचयी वितरण समारोह $G(y)={1-y^{-1}}$ कब $y>1.$

व्युत्क्रम t वितरण

बता दें कि X स्वतंत्रता की k डिग्री के साथ t वितरित यादृच्छिक चर है। फिर इसका घनत्व कार्य है

f(x)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.

Y का घनत्व = 1/X है

g(y)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{y^{2}\left(1+{\frac {1}{y^{2}k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.

K = 1 के साथ, X और 1 / X के वितरण समान हैं (X तब कॉची वितरण (0,1) है)। यदि k > 1 तो 1 / X का बंटन द्विविध है।^{[citation needed]}

पारस्परिक सामान्य वितरण

यदि चर X एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ , तो व्युत्क्रम Y=1/X एक पारस्परिक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है:^[2]

f(y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma y^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1/y-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.

मानक प्रसामान्य वितरण के व्युत्क्रम का आलेख

यदि चर X एक मानक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है ${\mathcal {N}}(0,1)$ , तो वाई = 1/एक्स एक पारस्परिक मानक सामान्य वितरण का पालन करता है,

भारी पूंछ वाला वितरण|हैवी-टेल्ड और बिमोडल वितरण,^[2] मोड के साथ $\pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ और घनत्व

$f(y)={\frac {e^{-{\frac {1}{2y^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}y^{2}}}$

और पहले और उच्च क्रम के क्षण मौजूद नहीं हैं।^[2] ऐसे व्युत्क्रम वितरणों और अनुपात वितरणों के लिए, अभी भी अंतरालों के लिए परिभाषित संभावनाएँ हो सकती हैं, जिनकी गणना या तो मोंटे कार्लो सिमुलेशन द्वारा की जा सकती है या, कुछ मामलों में, गीरी-हिंकले परिवर्तन का उपयोग करके की जा सकती है।^[3]

हालांकि, स्थानांतरित पारस्परिक कार्य के अधिक सामान्य मामले में $1/(p-B)$ , के लिए $B=N(\mu ,\sigma )$ एक सामान्य सामान्य वितरण के बाद, माध्य और विचरण आँकड़े एक प्रमुख मूल्य अर्थ में मौजूद होते हैं, यदि ध्रुव के बीच का अंतर $p$ और माध्य $\mu$ वास्तविक मूल्यवान है। इस परिवर्तित यादृच्छिक चर (पारस्परिक स्थानांतरित सामान्य वितरण) का मतलब वास्तव में डॉसन का कार्य है:^[4]

${\frac {\sqrt {2}}{\sigma }}F\left({\frac {p-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)$ .

इसके विपरीत, यदि शिफ्ट $p-\mu$ विशुद्ध रूप से जटिल है, मतलब मौजूद है और एक स्केल्ड फदीवा समारोह है, जिसका सटीक अभिव्यक्ति काल्पनिक भाग के संकेत पर निर्भर करता है, $\operatorname {Im} (p-\mu )$ . दोनों ही मामलों में, विचरण माध्य का एक साधारण कार्य है।^[5] इसलिए, भिन्नता को एक प्रमुख मूल्य अर्थ में माना जाना चाहिए $p-\mu$ वास्तविक है, जबकि यह काल्पनिक भाग मौजूद है $p-\mu$ शून्य नहीं है। ध्यान दें कि ये साधन और प्रसरण सटीक हैं, क्योंकि वे अनुपात के रेखीयकरण की पुनरावृत्ति नहीं करते हैं। विभिन्न ध्रुवों की एक जोड़ी के साथ दो अनुपातों का सटीक सहप्रसरण $p_{1}$ और $p_{2}$ समान रूप से उपलब्ध है।^[6] एक जटिल सामान्य चर के व्युत्क्रम का मामला $B$ , स्थानांतरित या नहीं, विभिन्न विशेषताओं को प्रदर्शित करता है।^[4]

उलटा घातीय वितरण

अगर $X$ दर पैरामीटर के साथ एक घातीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर है $\lambda$ , तब $Y=1/X$ निम्नलिखित संचयी वितरण समारोह है: $F_{Y}(y)=e^{-\lambda /y}$ के लिए $y>0$ . ध्यान दें कि इस यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान मौजूद नहीं है। पारस्परिक घातीय वितरण लुप्त होती वायरलेस संचार प्रणालियों के विश्लेषण में उपयोग पाता है।

उलटा कॉची वितरण

यदि X एक कॉची वितरित (μ, σ) यादृच्छिक चर है, तो 1 / X एक कॉची (μ / C, σ / C ) यादृच्छिक चर है जहाँ C = μ² + σ² है।

उलटा एफ वितरण

यदि X एक F(ν₁, ν₂ ) वितरित यादृच्छिक चर है तो 1 / X एक F(ν₂, ν₁ ) यादृच्छिक चर है।

द्विपद बंटन का व्युत्क्रम

इस वितरण के लिए कोई बंद रूप ज्ञात नहीं है। माध्य के लिए एक स्पर्शोन्मुख सन्निकटन ज्ञात है।^[7]

$E[(1+X)^{a}]=O((np)^{-a})+o(n^{-a})$

जहां ई [] उम्मीद ऑपरेटर है, एक्स एक यादृच्छिक चर है, ओ () और ओ () बड़े और छोटे बिग ओ नोटेशन हैं, एन नमूना आकार है, पी सफलता की संभावना है और एक चर है जो हो सकता है धनात्मक या ऋणात्मक, पूर्णांक या भिन्नात्मक हो।

त्रिकोणीय बंटन का व्युत्क्रम

निचले सीमा a, ऊपरी सीमा b और मोड c के साथ त्रिकोणीय वितरण के लिए, जहां a < b और a ≤ c ≤ b, व्युत्क्रम का मतलब द्वारा दिया जाता है

$\mu ={\frac {2\left({\frac {a\,\mathrm {ln} \left({\frac {a}{c}}\right)}{a-c}}+{\frac {b\,\mathrm {ln} \left({\frac {c}{b}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}$ और द्वारा भिन्नता

$\sigma ^{2}={\frac {2\left({\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {c}{a}}\right)}{a-c}}+{\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {b}{c}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}-\mu ^{2}$ .

व्युत्क्रम के दोनों क्षणों को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब त्रिभुज शून्य को पार नहीं करता है, अर्थात जब a, b, और c या तो सभी धनात्मक या सभी ऋणात्मक होते हैं।

अन्य उलटा वितरण

अन्य उलटा वितरण में शामिल हैं

उलटा-चाई-वर्ग वितरण

उलटा-गामा वितरण

उलटा-विशार्ट वितरण

उलटा मैट्रिक्स गामा वितरण

अनुप्रयोग

पैमाने के मापदंडों के लिए बायेसियन अनुमान में पूर्व वितरण के रूप में व्युत्क्रम वितरण का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

हरात्मक माध्य
अनुपात वितरण
स्व-व्युत्क्रम वितरण

संदर्भ

↑ Hamming R. W. (1970) "On the distribution of numbers", The Bell System Technical Journal 49(8) 1609–1625
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. Wiley. p. 171. ISBN 0-471-58495-9.
↑ Hayya, Jack; Armstrong, Donald; Gressis, Nicolas (July 1975). "A Note on the Ratio of Two Normally Distributed Variables". Management Science. 21 (11): 1338–1341. doi:10.1287/mnsc.21.11.1338. JSTOR 2629897.
↑ ^4.0 ^4.1 Lecomte, Christophe (May 2013). "Exact statistics of systems with uncertainties: an analytical theory of rank-one stochastic dynamic systems". Journal of Sound and Vibration. 332 (11): 2750–2776. doi:10.1016/j.jsv.2012.12.009.
↑ Lecomte, Christophe (May 2013). "Exact statistics of systems with uncertainties: an analytical theory of rank-one stochastic dynamic systems". Journal of Sound and Vibration. 332 (11). Section (4.1.1). doi:10.1016/j.jsv.2012.12.009.
↑ Lecomte, Christophe (May 2013). "Exact statistics of systems with uncertainties: an analytical theory of rank-one stochastic dynamic systems". Journal of Sound and Vibration. 332 (11). Eq.(39)-(40). doi:10.1016/j.jsv.2012.12.009.
↑ Cribari-Neto F, Lopes Garcia N, Vasconcellos KLP (2000) A note on inverse moments of binomial variates. Brazilian Review of Econometrics 20 (2)

[Hamming1970-1] Hamming R. W. (1970) "On the distribution of numbers", The Bell System Technical Journal 49(8) 1609–1625

[Johnson-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. Wiley. p. 171. ISBN 0-471-58495-9.

[HayyaJ1975On-3] Hayya, Jack; Armstrong, Donald; Gressis, Nicolas (July 1975). "A Note on the Ratio of Two Normally Distributed Variables". Management Science. 21 (11): 1338–1341. doi:10.1287/mnsc.21.11.1338. JSTOR 2629897.

[lecomte2013exact-4] 4.0 ^4.1 Lecomte, Christophe (May 2013). "Exact statistics of systems with uncertainties: an analytical theory of rank-one stochastic dynamic systems". Journal of Sound and Vibration. 332 (11): 2750–2776. doi:10.1016/j.jsv.2012.12.009.

[5] Lecomte, Christophe (May 2013). "Exact statistics of systems with uncertainties: an analytical theory of rank-one stochastic dynamic systems". Journal of Sound and Vibration. 332 (11). Section (4.1.1). doi:10.1016/j.jsv.2012.12.009.

[6] Lecomte, Christophe (May 2013). "Exact statistics of systems with uncertainties: an analytical theory of rank-one stochastic dynamic systems". Journal of Sound and Vibration. 332 (11). Eq.(39)-(40). doi:10.1016/j.jsv.2012.12.009.

[Cribari-Neto2000-7] Cribari-Neto F, Lopes Garcia N, Vasconcellos KLP (2000) A note on inverse moments of binomial variates. Brazilian Review of Econometrics 20 (2)

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-{{Distinguish|Inverse distribution function}}
+{{Distinguish|व्युत्क्रम वितरण फलन}}
-{{more footnotes|date=April 2013}}
-संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, एक व्युत्क्रम वितरण एक यादृच्छिक चर के गुणात्मक व्युत्क्रम का वितरण है। व्युत्क्रम वितरण विशेष रूप से [[पूर्व वितरण]]ों के बायेसियन अनुमान संदर्भ और पैमाने के मापदंडों के लिए [[पश्च वितरण]] के संदर्भ में उत्पन्न होते हैं। यादृच्छिक चर के बीजगणित में, व्युत्क्रम वितरण [[अनुपात वितरण]] के वर्ग के विशेष मामले हैं, जिसमें अंश यादृच्छिक चर का एक पतित वितरण होता है।
+संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, एक '''व्युत्क्रम वितरण''' एक यादृच्छिक चर के व्युत्क्रम का वितरण है। उलटा वितरण विशेष रूप से [[पूर्व वितरण]] के बायेसियन संदर्भ में और पैमाने के मापदंडों के लिए [[पश्च वितरण]] में उत्पन्न होता है। यादृच्छिक चर के बीजगणित में, व्युत्क्रम वितरण [[अनुपात वितरण]] के वर्ग के विशेष मामले हैं, जिसमें अंश यादृच्छिक चर का एक पतित वितरण होता है।
 == मूल वितरण से संबंध ==
-सामान्य तौर पर, कड़ाई से सकारात्मक समर्थन के साथ एक यादृच्छिक चर एक्स के संभाव्यता वितरण को देखते हुए, पारस्परिक, वाई = 1 / एक्स के वितरण को ढूंढना संभव है। यदि एक्स का वितरण संभाव्यता घनत्व समारोह एफ (एक्स) के साथ निरंतर संभावना वितरण है ) और संचयी बंटन फलन F(x), तो व्युत्क्रम का संचयी बंटन फलन, G(y), यह नोट करके पाया जाता है कि
+सामान्य तौर पर, कड़ाई से सकारात्मक समर्थन के साथ यादृच्छिक चर एक्स की संभावना वितरण को देखते हुए, पारस्परिक, वाई = 1 / एक्स के वितरण को ढूंढना संभव है। यदि एक्स का वितरण घनत्व समारोह एफ (एक्स) और संचयी के साथ निरंतर है बंटन फलन F(x), तो व्युत्क्रम का संचयी बंटन फलन, G(y), यह देखते हुए पाया जाता है कि
 :<math> G(y) = \Pr(Y \leq y) = \Pr\left(X  \geq \frac{1}{y}\right) = 1-\Pr\left(X<\frac{1}{y}\right) = 1 - F\left( \frac{ 1 }{ y } \right).</math>
@@ Line 11: / Line 11: @@
 : <math> g(y) = \frac{ 1 }{ y^2 } f\left( \frac{ 1 }{ y } \right)  . </math>
 == उदाहरण ==
-=== [[पारस्परिक वितरण]] ===
+=== व्युत्क्रम वितरण ===
-पारस्परिक वितरण में प्रपत्र का घनत्व कार्य होता है।<ref name=Hamming1970>[[Richard Hamming|Hamming R. W.]] (1970) [http://lucent.com/bstj/vol49-1970/articles/bstj49-8-1609.pdf "On the distribution of numbers"], ''The Bell System Technical Journal'' 49(8) 1609–1625</ref>
+[[पारस्परिक वितरण|व्युत्क्रम वितरण]] में प्रपत्र का घनत्व कार्य होता है।<ref name=Hamming1970>[[Richard Hamming|Hamming R. W.]] (1970) [http://lucent.com/bstj/vol49-1970/articles/bstj49-8-1609.pdf "On the distribution of numbers"], ''The Bell System Technical Journal'' 49(8) 1609–1625</ref>
 :<math>f(x) \propto x^{-1} \quad \text{ for } 0<a<x<b,   </math>
 कहाँ <math>\propto \!\,</math> मतलब आनुपातिकता (गणित) | के लिए आनुपातिक है ।
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 === उलटा समान वितरण ===
 {{Probability distribution|
-   name       =Inverse uniform distribution|
+   name       =व्युत्क्रम समान वितरण|
    type       =density|
    pdf_image  =|
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   | fisher     =
 }}
-यदि मूल यादृच्छिक चर एक्स अंतराल (ए, बी) पर [[समान वितरण (निरंतर)]] है, जहां ए> 0 है, तो पारस्परिक चर वाई = 1 / एक्स में पारस्परिक वितरण होता है जो सीमा (बी) में मान लेता है<sup>-1</सुप> ,ए<sup>-1</sup>), और इस श्रेणी में प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है
+यदि मूल यादृच्छिक चर X [[समान वितरण (निरंतर)|समान]] रूप से अंतराल (a,b) पर वितरित किया जाता है, जहां a>0, तो पारस्परिक चर Y = 1 / X में पारस्परिक वितरण होता है जो श्रेणी (''b<sup>−1</sup>'' ,''a<sup>−1</sup>'') में मान लेता है ), और इस श्रेणी में प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है
 : <math> g( y ) = y^{-2} \frac{ 1 }{ b-a } ,</math>
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 : <math> G( y ) = \frac{ b - y^{-1} }{  b -  a } .</math>
 उदाहरण के लिए, यदि X समान रूप से अंतराल (0,1) पर वितरित किया जाता है, तो Y = 1 / X में घनत्व होता है <math> g( y ) = y^{-2} </math> और संचयी वितरण समारोह <math> G( y ) = { 1 - y^{-1} }</math> कब <math>y > 1 .</math>
+=== व्युत्क्रम ''t'' वितरण ===
+बता दें कि X स्वतंत्रता की k डिग्री के साथ ''t'' वितरित यादृच्छिक चर है। फिर इसका घनत्व कार्य है
-=== उलटा टी वितरण ===
-बता दें कि एक्स एक छात्र का टी-वितरण यादृच्छिक चर है जिसमें स्वतंत्रता की डिग्री है। फिर इसका घनत्व कार्य है
 : <math> f( x ) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ k \pi } } \frac{ \Gamma\left( \frac{ k + 1 }{ 2 } \right) }{ \Gamma\left( \frac{ k }{ 2 } \right) } \frac{ 1 }{ \left( 1 + \frac{ x^2 }{ k } \right)^{ \frac{ 1 + k }{ 2 } } } .</math>
@@ Line 63: / Line 60: @@
 : <math> g( y ) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ k \pi } } \frac{ \Gamma\left( \frac{ k + 1 }{ 2 } \right) }{ \Gamma\left( \frac{ k }{ 2 } \right) } \frac{ 1 }{ y^2 \left( 1 + \frac{ 1 }{ y^2 k } \right)^{ \frac{ 1 + k }{ 2 } } } .</math>
-K = 1 के साथ, X और 1 / X के वितरण समान हैं (X तब [[कॉची वितरण]] (0,1) है)। यदि k > 1 है तो 1 / X का बंटन द्विआयामी है।{{citation needed|date=April 2013}}
+K = 1 के साथ, X और 1 / X के वितरण समान हैं (X तब [[कॉची वितरण]] (0,1) है)। यदि k > 1 तो 1 / X का बंटन द्विविध है।{{citation needed|date=April 2013}}
 === पारस्परिक सामान्य वितरण ===
-{{see also|Propagation of uncertainty#Reciprocal and shifted reciprocal}}
+{{see also|अनिश्चितता का प्रचार#व्युत्क्रम और स्थानांतरित व्युत्क्रम}}
 यदि चर X एक [[सामान्य वितरण]] का अनुसरण करता है <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>,
 तो व्युत्क्रम Y=1/X एक पारस्परिक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है:<ref name=Johnson/>
@@ Line 73: / Line 68: @@
 : <math> f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma y^2} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{1/y-\mu}{\sigma}\right)^2} .</math>
-[[File:Graph of inverse of the normal distribution.png|thumb|मानक सामान्य वितरण के व्युत्क्रम का ग्राफ]]यदि चर X एक [[मानक सामान्य वितरण]] का अनुसरण करता है <math>\mathcal{N}(0, 1)</math>,
+[[File:Graph of inverse of the normal distribution.png|thumb|मानक प्रसामान्य वितरण के व्युत्क्रम का आलेख|217x217px]]यदि चर X एक [[मानक सामान्य वितरण]] का अनुसरण करता है <math>\mathcal{N}(0, 1)</math>, तो वाई = 1/एक्स एक पारस्परिक मानक सामान्य वितरण का पालन करता है,
-तो वाई = 1/एक्स एक पारस्परिक मानक सामान्य वितरण का पालन करता है,
+[[भारी पूंछ वाला वितरण]]|हैवी-टेल्ड और [[बिमोडल वितरण]],<ref name="Johnson">{{cite book
-[[भारी पूंछ वाला वितरण]]|हैवी-टेल्ड और [[बिमोडल वितरण]],<ref name=Johnson>{{cite book
    | last1 = Johnson | first1 = Norman L.
    | last2 = Kotz    | first2 = Samuel
@@ Line 88: / Line 82: @@
 <math>f(y)=\frac{e^{-\frac{1}{2y^2}}}{\sqrt{2\pi}y^2}</math>
-और पहले और उच्च क्रम के क्षण मौजूद नहीं हैं।<ref name=Johnson/>इस तरह के व्युत्क्रम वितरण के लिए और अनुपात वितरण के लिए, अभी भी अंतराल के लिए परिभाषित संभावनाएँ हो सकती हैं, जो या तो [[मोंटे कार्लो सिमुलेशन]] द्वारा या कुछ मामलों में, गीरी-हिंकले परिवर्तन का उपयोग करके गणना की जा सकती हैं।<ref name="HayyaJ1975On">{{Cite journal
+और पहले और उच्च क्रम के क्षण मौजूद नहीं हैं।<ref name=Johnson/> ऐसे व्युत्क्रम वितरणों और अनुपात वितरणों के लिए, अभी भी अंतरालों के लिए परिभाषित संभावनाएँ हो सकती हैं, जिनकी गणना या तो [[मोंटे कार्लो सिमुलेशन]] द्वारा की जा सकती है या, कुछ मामलों में, गीरी-हिंकले परिवर्तन का उपयोग करके की जा सकती है।<ref name="HayyaJ1975On">{{Cite journal
   | last1 = Hayya
   | first1 = Jack
@@ Line 106: / Line 101: @@
 | doi-access = free
   }}</ref>
-हालांकि, स्थानांतरित पारस्परिक कार्य के अधिक सामान्य मामले में <math>1/(p-B)</math>, के लिए <math>B=N(\mu,\sigma)</math> एक सामान्य सामान्य वितरण के बाद, यदि ध्रुव के बीच का अंतर है, तो माध्य और विचरण आँकड़े एक [[प्रमुख मूल्य]] अर्थ में मौजूद हैं <math>p</math> और मतलब <math>\mu</math> वास्तविक मूल्यवान है। इस परिवर्तित यादृच्छिक चर (पारस्परिक स्थानांतरित सामान्य वितरण) का मतलब वास्तव में डॉसन का कार्य है:<ref name=lecomte2013exact>{{Cite journal
+हालांकि, स्थानांतरित पारस्परिक कार्य के अधिक सामान्य मामले में <math>1/(p-B)</math>, के लिए <math>B=N(\mu,\sigma)</math> एक सामान्य सामान्य वितरण के बाद, माध्य और विचरण आँकड़े एक [[प्रमुख मूल्य]] अर्थ में मौजूद होते हैं, यदि ध्रुव के बीच का अंतर <math>p</math> और माध्य <math>\mu</math> वास्तविक मूल्यवान है। इस परिवर्तित यादृच्छिक चर (पारस्परिक स्थानांतरित सामान्य वितरण) का मतलब वास्तव में डॉसन का कार्य है:<ref name="lecomte2013exact">{{Cite journal
 | last1= Lecomte
 | first1 = Christophe
@@ Line 116: / Line 112: @@
 | pages = 2750–2776
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-}}</ref> :<math>\frac{\sqrt{2}}{\sigma} F \left(\frac{p-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right)</math>.
+}}</ref>
+<math>\frac{\sqrt{2}}{\sigma} F \left(\frac{p-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right)</math>.
-इसके विपरीत, यदि शिफ्ट <math>p-\mu</math> विशुद्ध रूप से जटिल है, माध्य मौजूद है और एक स्केल्ड [[फदीवा समारोह]] है, जिसकी सटीक अभिव्यक्ति काल्पनिक भाग के संकेत पर निर्भर करती है, <math>\operatorname{Im}(p-\mu)</math>.
+इसके विपरीत, यदि शिफ्ट <math>p-\mu</math> विशुद्ध रूप से जटिल है, मतलब मौजूद है और एक स्केल्ड [[फदीवा समारोह]] है, जिसका सटीक अभिव्यक्ति काल्पनिक भाग के संकेत पर निर्भर करता है,<math>\operatorname{Im}(p-\mu)</math>. दोनों ही मामलों में, विचरण माध्य का एक साधारण कार्य है।<ref>{{Cite journal
-दोनों ही मामलों में, विचरण माध्य का एक सरल कार्य है।<ref>{{Cite journal
 | last1= Lecomte
 | first1 = Christophe
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 | at = Section (4.1.1)
 | doi = 10.1016/j.jsv.2012.12.009
-}}</ref> इसलिए, भिन्नता को एक प्रमुख मूल्य अर्थ में माना जाना चाहिए <math>p-\mu</math> वास्तविक है, जबकि इसका अस्तित्व काल्पनिक भाग है <math>p-\mu</math> गैर-शून्य है। ध्यान दें कि ये साधन और प्रसरण सटीक हैं, क्योंकि वे अनुपात के रेखीयकरण की पुनरावृत्ति नहीं करते हैं। विभिन्न ध्रुवों की एक जोड़ी के साथ दो अनुपातों का सटीक सहप्रसरण <math>p_1</math> और <math>p_2</math> इसी प्रकार उपलब्ध है।<ref>{{Cite journal
+}}</ref> इसलिए, भिन्नता को एक प्रमुख मूल्य अर्थ में माना जाना चाहिए <math>p-\mu</math> वास्तविक है, जबकि यह काल्पनिक भाग मौजूद है <math>p-\mu</math> शून्य नहीं है। ध्यान दें कि ये साधन और प्रसरण सटीक हैं, क्योंकि वे अनुपात के रेखीयकरण की पुनरावृत्ति नहीं करते हैं। विभिन्न ध्रुवों की एक जोड़ी के साथ दो अनुपातों का सटीक सहप्रसरण <math>p_1</math> और <math>p_2</math> समान रूप से उपलब्ध है।<ref>{{Cite journal
 | last1= Lecomte
 | first1 = Christophe
@@ Line 139: / Line 136: @@
 | at = Eq.(39)-(40)
 | doi = 10.1016/j.jsv.2012.12.009
-}}</ref>
+}}</ref> एक [[जटिल सामान्य चर]] के व्युत्क्रम का मामला <math>B</math>, स्थानांतरित या नहीं, विभिन्न विशेषताओं को प्रदर्शित करता है।<ref name="lecomte2013exact" />
-एक [[जटिल सामान्य चर]] के व्युत्क्रम का मामला <math>B</math>, स्थानांतरित या नहीं, विभिन्न विशेषताओं को प्रदर्शित करता है।<ref name=lecomte2013exact />
 === उलटा घातीय वितरण ===
 अगर <math>X</math> दर पैरामीटर के साथ एक घातीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर है <math>\lambda</math>, तब <math>Y=1/X</math> निम्नलिखित संचयी वितरण समारोह है: <math>F_Y(y) = e^{-\lambda/y}</math>के लिए <math>y> 0</math>. ध्यान दें कि इस यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान मौजूद नहीं है। पारस्परिक घातीय वितरण लुप्त होती वायरलेस संचार प्रणालियों के विश्लेषण में उपयोग पाता है।
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 === उलटा कॉची वितरण ===
-यदि X एक कॉची वितरण (μ, σ) यादृच्छिक चर है, तो 1 / X एक कॉची (μ / C, σ / C ) यादृच्छिक चर है जहाँ C = μ<sup>2</sup> + पृ<sup>2</उप>।
+यदि ''X'' एक कॉची वितरित (''μ'', ''σ'') यादृच्छिक चर है, तो 1 / ''X'' एक कॉची (''μ'' / ''C'', ''σ'' / ''C'' ) यादृच्छिक चर है जहाँ ''C'' = ''μ<sup>2</sup>'' + ''σ<sup>2</sup>'' है।
 === उलटा एफ वितरण ===
-यदि X एक F बंटन है|F(ν<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub> ) वितरित यादृच्छिक चर तब 1 / X एक F(ν<sub>2</sub>, एन<sub>1</sub> ) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु।
+यदि X एक F(ν''<sub>1</sub>'', ν<sub>2</sub> ) वितरित यादृच्छिक चर है तो 1 / X एक F(ν<sub>2</sub>, ν<sub>1</sub> ) यादृच्छिक चर है।
 === द्विपद बंटन का व्युत्क्रम ===
-इस वितरण के लिए कोई बंद रूप ज्ञात नहीं है। माध्य के लिए एक स्पर्शोन्मुख सन्निकटन ज्ञात है।<ref name=Cribari-Neto2000>Cribari-Neto F, Lopes Garcia N, Vasconcellos KLP (2000) A note on inverse moments of binomial variates. Brazilian Review of Econometrics 20 (2)
+इस वितरण के लिए कोई बंद रूप ज्ञात नहीं है। माध्य के लिए एक स्पर्शोन्मुख सन्निकटन ज्ञात है।<ref name="Cribari-Neto2000">Cribari-Neto F, Lopes Garcia N, Vasconcellos KLP (2000) A note on inverse moments of binomial variates. Brazilian Review of Econometrics 20 (2)
 </ref>
 <math> E[ ( 1 + X )^a ] = O( ( np )^{ -a } ) + o( n^{ -a } ) </math>
 जहां ई [] उम्मीद ऑपरेटर है, एक्स एक यादृच्छिक चर है, ओ () और ओ () बड़े और छोटे [[बिग ओ नोटेशन]] हैं, एन नमूना आकार है, पी सफलता की संभावना है और एक चर है जो हो सकता है धनात्मक या ऋणात्मक, पूर्णांक या भिन्नात्मक हो।
 ===त्रिकोणीय बंटन का व्युत्क्रम===
-निम्न सीमा a, ऊपरी सीमा b और मोड c वाले [[त्रिकोणीय वितरण]] के लिए, जहां a < b और a ≤ c ≤ b, व्युत्क्रम का माध्य निम्न द्वारा दिया जाता है
+निचले सीमा a, ऊपरी सीमा b और मोड c के साथ [[त्रिकोणीय वितरण]] के लिए, जहां a < b और a ≤ c ≤ b, व्युत्क्रम का मतलब द्वारा दिया जाता है
 <math> \mu = \frac{2 \left( \frac{ a\, \mathrm{ln} \left(\frac{a}{c}\right) }{a-c} + \frac{ b\, \mathrm{ln}\left(\frac{c}{b}\right) }{b-c} \right)}{a-b}</math>
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 === अन्य उलटा वितरण ===
-अन्य उलटा वितरण में शामिल हैं<br>
+अन्य उलटा वितरण में शामिल हैं
-: उलटा-ची-वर्ग वितरण
+: उलटा-चाई-वर्ग वितरण
 : [[उलटा-गामा वितरण]]
 : [[उलटा-विशार्ट वितरण]]
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 == यह भी देखें ==
-*[[अनुकूल माध्य]]
+*[[अनुकूल माध्य|हरात्मक माध्य]]
 * अनुपात वितरण
-*संभाव्यता बंटन के बीच संबंध#एक यादृच्छिक चर का व्युत्क्रम|स्व-पारस्परिक बंटन
+*स्व-व्युत्क्रम वितरण
 ==संदर्भ==

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