क्रिया-कोण निर्देशांक

चिरसम्मत यांत्रिकी में, क्रिया-कोण निर्देशांक विहित निर्देशांक का संग्रह है जो अनेक एकीकृत प्रणालियों को हल करने में उपयोगी होता है। गति के समीकरणों को हल किए बिना दोलन या घूर्णी गति की आवृत्तियों को प्राप्त करने के लिए क्रिया-कोण की विधि उपयोगी है। क्रिया-कोण निर्देशांक मुख्य रूप से तब उपयोग किए जाते हैं जब हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण संपूर्णतया वियोज्य होते हैं। (इसलिए, हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) समय पर स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करता है अर्थात ऊर्जा संरक्षित है।) क्रिया-कोण चर एक अपरिवर्तनीय वृतज ठोस वलय को परिभाषित करते हैं, क्योंकि क्रिया स्थिर रखने से एक वृतज ठोस वलय की सतह को परिभाषित किया जाता है, जबकि कोण परिवर्त्य वृतज ठोस वलय पर निर्देशांक को मापते हैं।

तरंग यांत्रिकी के आगमन से पहले क्वांटम यांत्रिकी विकसित करने के लिए प्रयुक्त बोह्र-सोमरफेल्ड परिमाणीकरण की स्थिति बताती है कि क्रिया प्लैंक स्थिरांक का एक अभिन्न गुणक होना चाहिए, इसी प्रकार आइंस्टीन-ब्रिलॉइन-केलर परिमाणीकरण में अल्बर्ट आइंस्टीन की अंतर्दृष्टि और अपूर्णाक प्रणालियों को परिमाणित करने की कठिनाई को क्रिया-कोण निर्देशांकों के अपरिवर्तनीय टोरी के संदर्भ में व्यक्त किया गया था।

हैमिल्टनियन यांत्रिकी के क्षोभ सिद्धांत में क्रिया-कोण निर्देशांक विशेष रूप से अचर रुद्धोष्म का निर्धारण करने में भी उपयोगी होते हैं। स्वच्छंदता की न्यूनतम संख्या के साथ गतिशील प्रणालियों के अरैखिक क्षोभ के लिए अराजकता सिद्धांत से प्रारंभिक परिणामों में से एक केएएम प्रमेय है जिसमें कहा गया है कि अपरिवर्तनीय टोरी सामान्य क्षोभ के अंतर्गत स्थिर हैं।

क्रिया-कोण परिवर्तनशीलता का उपयोग टोडा जाली के समाधान और सामान्यतः लक्स जोड़े की परिभाषा पर अधिक केंद्रित था, यह प्रणाली के आइसोस्पेक्ट्रल विकास का विचार था।

व्युत्पत्ति

क्रिया कोण एक प्रकार -2 विहित परिवर्तन से उत्पन्न होते हैं, जहां उत्पादक क्रिया हैमिल्टन का विशिष्ट कार्य $W(\mathbf {q} )$है (हैमिल्टन का प्रमुख कार्य $S$ नहीं है )। चूंकि मूल हैमिल्टनियन स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए नया हैमिल्टनियन $K(\mathbf {w} ,\mathbf {J} )$ मात्र पुराना हैमिल्टनियन $H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ है जिसे नए विहित निर्देशांकों के संदर्भ में व्यक्त किया गया है जिसे हम $\mathbf {w}$ (क्रिया कोण जो सामान्यीकृत निर्देशांक हैं) और उनका नया सामान्यीकृत संवेग $\mathbf {J}$ के रूप में निरूपित करते हैं। हमें उत्पादक क्रिया $W$ के लिए यहाँ हल करने की आवश्यकता नहीं होगी; इसके स्थान पर हम इसे केवल आधुनिक और प्राचीन प्रामाणिक निर्देशांकों के संबंध में एक वाहन के रूप में उपयोग करेंगे।

क्रिया कोणों $\mathbf {w}$ को परिभाषित करने के अपेक्षाकृत हम प्रत्यक्ष रूप उनके सामान्यीकृत संवेग को परिभाषित करते हैं जो प्रत्येक मूल सामान्यीकृत निर्देशांक के लिए क्रिया(भौतिकी) के समान होता है

$J_{k}\equiv \oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}$

जहां निरंतर ऊर्जा कार्य $E=E(q_{k},p_{k})$ द्वारा एकीकरण पथ को निहित रूप से दिया जाता है। चूँकि वास्तविक गति इस एकीकरण में सम्मिलित नहीं है, ये सामान्यीकृत संवेग $J_{k}$ गति के स्थिरांक हैं, जिसका अर्थ है कि परिवर्तित हैमिल्टनियन $K$ संयुग्म सामान्यीकृत निर्देशांक $w_{k}$पर निर्भर नहीं करता है

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}J_{k}=0={\frac {\partial K}{\partial w_{k}}}$

जहां $w_{k}$ टाइप-2 विहित परिवर्तन के लिए विशिष्ट समीकरण द्वारा दिए गए हैं

$w_{k}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{k}}}$

इसलिए, नया हैमिल्टनियन $K=K(\mathbf {J} )$ केवल नए सामान्यीकृत संवेग $\mathbf {J}$ पर निर्भर करता है

क्रिया कोणों की गतिशीलता हैमिल्टन के समीकरणों द्वारा दी गई है

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}w_{k}={\frac {\partial K}{\partial J_{k}}}\equiv \nu _{k}(\mathbf {J} )$

दाहिना हाथ गति का एक स्थिरांक है (चूंकि सभी $J$ हैं)। इसलिए समाधान द्वारा दिया गया है

$w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )t+\beta _{k}$

जहां $\beta _{k}$ एकीकरण का एक स्थिरांक है। विशेष रूप से, यदि मूल सामान्यीकृत निर्देशांक अवधि $T$ के दोलन या घूर्णन से गुजरता है, तो संबंधित क्रिया कोण $w_{k}$, $\Delta w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )T$ द्वारा परिवर्तित कर दिया जाता है।

यह $\nu _{k}(\mathbf {J} )$ मूल सामान्यीकृत निर्देशांक $q_{k}$ के लिए दोलन/घूर्णन की आवृत्तियाँ हैं। इसे दर्शाने के लिए, हम इसके सामान्यीकृत निर्देशांक $q_{k}$ के ठीक एक पूर्ण भिन्नता (यानी दोलन या रोटेशन) पर क्रिया कोण $w_{k}$ में शुद्ध परिवर्तन को एकीकृत करते हैं।

$\Delta w_{k}\equiv \oint {\frac {\partial w_{k}}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}=\oint {\frac {\partial ^{2}W}{\partial J_{k}\,\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint {\frac {\partial W}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} J_{k}}{\mathrm {d} J_{k}}}=1$

$\Delta w_{k}$ के लिए दो व्यंजकों को बराबर रखने पर, हमें वांछित समीकरण प्राप्त होता है

$\nu _{k}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}$

क्रिया कोण $\mathbf {w}$ सामान्यीकृत निर्देशांक का एक स्वतंत्र समूह हैं। इस प्रकार सामान्य स्थिति में, प्रत्येक मूल सामान्यीकृत निर्देशांक $q_{k}$ को सभी क्रिया कोणों में फूरियर श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\cdots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}$

जहां $A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}$ फूरियर श्रृंखला गुणांक है। हालांकि अधिकांश क्रियात्मक स्थितियों में, एक मूल सामान्यीकृत समन्वय $q_{k}$ केवल अपने क्रिया कोणों में फूरियर श्रृंखला के रूप में अभिव्यक्त होगा।

$q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }A_{s_{k}}^{k}e^{i2\pi s_{k}w_{k}}$

मूलभूत आदिलेख का सारांश

सामान्य प्रक्रिया में तीन चरण होते हैं:

1. नए सामान्यीकृत संवेग $J_{k}$ की गणना करें।
2. इन चरों के संदर्भ में मूल हैमिल्टनियन को पूरी तरह से व्यक्त करें।
3. आवृत्तियों $\nu _{k}$ को प्राप्त करने के लिए इन संवेगों के संबंध में हैमिल्टनियन को व्युत्पादित करें।

पतनशीलता

कुछ स्थितियों में, दो अलग-अलग सामान्यीकृत निर्देशांकों की आवृत्तियाँ समान होती हैं, अर्थात, $\nu _{k}=\nu _{l}$ के लिए $k\neq l$. ऐसे मामलों में, गति को पतित कहा जाता है।

पतित गति संकेत है कि अतिरिक्त सामान्य संरक्षित मात्राएं हैं; उदाहरण के लिए, केपलर समस्या की आवृत्तियाँ पतित हैं, जो लाप्लास-रेंज-लेन्ज़ वेक्टर के संरक्षण के अनुरूप है।

पतित गति यह भी संकेत देती है कि हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण एक से अधिक समन्वय प्रणाली में पूरी तरह से भिन्न हैं, उदाहरण के लिए, केपलर समस्या गोलीय निर्देशांक और परवलयिक निर्देशांक दोनों में पूरी तरह से भिन्न है।

यह भी देखें

• एकीकृत प्रणाली
• पुनरुक्तात्मक एक-रूप (वन-फॉर्म)
• अधिक समाकलनीय हैमिल्टोनियन प्रणाली
• आइंस्टीन-ब्रिलॉइन-केलर विधि

संदर्भ

• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
• H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
• G. Sardanashvily, (2015) Handbook of Integrable Hamiltonian Systems, URSS. ISBN 978-5-396-00687-4
• Previato, Emma (2003), Dictionary of Applied Math for Engineers and Scientists, CRC Press, Bibcode:2003dame.book.....P, ISBN 978-1-58488-053-0