सदिश अनुकूलन: Difference between revisions

Revision as of 12:28, 16 February 2023

सदिश अनुकूलन, गणितीय अनुकूलन का एक ऐसा उपक्षेत्र है जहाँ सदिश-मान उद्देश्य फलनों वाली अनुकूलन समस्याओं को दिए गए आंशिक क्रमण के सापेक्ष और कुछ बाधाओं के अधीन अनुकूलित किया जाता है। एक बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या, सदिश अनुकूलन समस्या की एक विशेष स्थिति है: उद्देश्यीय अंतरिक्ष, एक परिमित विमाओं वाला यूक्लिडीय अंतरिक्ष है जो आंशिक रूप से घटक-वार "से कम या के बराबर" क्रमण से क्रमित है।

समस्या निर्माण

गणितीय शब्दों में, एक सदिश अनुकूलन समस्या को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

C\operatorname {-} \min _{x\in S}f(x)

जहाँ $f:X\to Z$ आंशिक रूप से क्रमित सदिश अंतरिक्ष $Z$ के लिए। आंशिक क्रमण एक शंकु $C\subseteq Z$ द्वारा प्रेरित है। $X$ एक स्वेच्छ समुच्चय है और $S\subseteq X$ सुसंगत समुच्चय कहलाता है।

हल की अवधारणाएँ

विभिन्न न्यूनता धारणाएँ अस्तित्व में हैं, जिनमें से कुछ निम्न हैं:

${\bar {x}}\in S$ एक दुर्बलतः दक्ष बिंदु (दुर्बल न्यूनक) है यदि प्रत्येक $x\in S$ के लिए, $f(x)-f({\bar {x}})\not \in -\operatorname {int} C$ है।
${\bar {x}}\in S$ एक दक्ष बिंदु (न्यूनीकारक) है यदि प्रत्येक $x\in S$ के लिए, $f(x)-f({\bar {x}})\not \in -C\backslash \{0\}$ है।
${\bar {x}}\in S$ एक यथार्थतः दक्ष बिंदु (यथार्थ न्यूनक) है यदि ${\bar {x}}$ संवृत उत्तल शंकु ${\tilde {C}}$ के सापेक्ष एक दुर्बल दक्ष बिंदु है, जहाँ $C\backslash \{0\}\subseteq \operatorname {int} {\tilde {C}}$ ।

प्रत्येक यथार्थ न्यूनक एक न्यूनक होता है। और प्रत्येक न्यूनक एक दुर्बल न्यूनक होता है।^[1]

आधुनिक हल अवधारणाओं में न केवल न्यूनता की धारणाएँ सम्मिलित हैं बल्कि न्यूनतम दक्षता को भी ध्यान में रखा जाता है।^[2]

हल करने की विधियाँ

रैखिक सदिश अनुकूलन समस्याओं के लिए बेन्सन का एल्गोरिदम।^[2]

बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन से संबंध

किसी भी बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या को निम्न रूप में लिखा जा सकता है

\mathbb {R} _{+}^{d}\operatorname {-} \min _{x\in M}f(x)

जहाँ $f:X\to \mathbb {R} ^{d}$ और $\mathbb {R} _{+}^{d}$ , $\mathbb {R} ^{d}$ का गैर-ऋणात्मक ऑर्थेंट (अधिअष्टांश) है। इस प्रकार पैरेटो दक्ष बिंदु, इस सदिश अनुकूलन समस्या के न्यूनक हैं।

संदर्भ

↑ Ginchev, I.; Guerraggio, A.; Rocca, M. (2006). "From Scalar to Vector Optimization" (PDF). Applications of Mathematics. 51: 5. doi:10.1007/s10492-006-0002-1. hdl:10338.dmlcz/134627.
↑ ^2.0 ^2.1 Andreas Löhne (2011). Vector Optimization with Infimum and Supremum. Springer. ISBN 9783642183508.

[scalar2vector-1] Ginchev, I.; Guerraggio, A.; Rocca, M. (2006). "From Scalar to Vector Optimization" (PDF). Applications of Mathematics. 51: 5. doi:10.1007/s10492-006-0002-1. hdl:10338.dmlcz/134627.

[Lohne-2] 2.0 ^2.1 Andreas Löhne (2011). Vector Optimization with Infimum and Supremum. Springer. ISBN 9783642183508.

[1]

[2]

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-वेक्टर अनुकूलन [[गणितीय अनुकूलन]] का एक उपक्षेत्र है जहां वेक्टर-मूल्यवान उद्देश्य कार्यों के साथ [[अनुकूलन समस्या]] को दिए गए आंशिक क्रम के संबंध में अनुकूलित किया जाता है और कुछ बाधाओं के अधीन होता है। एक बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन समस्या एक वेक्टर अनुकूलन समस्या का एक विशेष मामला है: वस्तुनिष्ठ स्थान परिमित आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] है जो आंशिक रूप से घटक-वार कम या उसके बराबर होता है।
+'''सदिश अनुकूलन,''' [[गणितीय अनुकूलन]] का एक ऐसा उपक्षेत्र है जहाँ सदिश-मान उद्देश्य फलनों वाली [[अनुकूलन समस्या|अनुकूलन समस्याओं]] को दिए गए आंशिक क्रमण के सापेक्ष और कुछ बाधाओं के अधीन अनुकूलित किया जाता है। एक बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या, सदिश अनुकूलन समस्या की एक विशेष स्थिति है: उद्देश्यीय अंतरिक्ष, एक परिमित विमाओं वाला [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडीय अंतरिक्ष]] है जो आंशिक रूप से घटक-वार "से कम या के बराबर" क्रमण से क्रमित है।
 == समस्या निर्माण ==
-गणितीय शब्दों में, एक सदिश अनुकूलन समस्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
+गणितीय शब्दों में, एक सदिश अनुकूलन समस्या को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:
 :<math>C\operatorname{-}\min_{x \in S} f(x)</math>
-कहाँ <math>f: X \to Z</math> आंशिक रूप से आदेशित [[सदिश स्थल]] के लिए <math>Z</math>. आंशिक क्रम एक शंकु द्वारा प्रेरित होता है <math>C \subseteq Z</math>. <math>X</math> एक मनमाना सेट है और <math>S \subseteq X</math> व्यवहार्य समुच्चय कहलाता है।
+जहाँ <math>f: X \to Z</math> आंशिक रूप से क्रमित [[सदिश स्थल|सदिश अंतरिक्ष]] <math>Z</math> के लिए। आंशिक क्रमण एक शंकु <math>C \subseteq Z</math> द्वारा प्रेरित है। <math>X</math> एक स्वेच्छ समुच्चय है और <math>S \subseteq X</math> सुसंगत समुच्चय कहलाता है।
-== समाधान अवधारणाएँ ==
+== हल की अवधारणाएँ ==
-उनमें से विभिन्न न्यूनतम धारणाएँ हैं:
+विभिन्न न्यूनता धारणाएँ अस्तित्व में हैं, जिनमें से कुछ निम्न हैं:
-* <math>\bar{x} \in S</math> यदि प्रत्येक के लिए एक कमजोर कुशल बिंदु (कमजोर मिनिमाइज़र) है <math>x \in S</math> किसी के पास <math>f(x) - f(\bar{x}) \not\in -\operatorname{int} C</math>.
+* <math>\bar{x} \in S</math> एक ''दुर्बलतः दक्ष बिंदु'' (दुर्बल न्यूनक) है यदि प्रत्येक <math>x \in S</math> के लिए, <math>f(x) - f(\bar{x}) \not\in -\operatorname{int} C</math> है।
-* <math>\bar{x} \in S</math> यदि प्रत्येक के लिए एक कुशल बिंदु (न्यूनतम) है <math>x \in S</math> किसी के पास <math>f(x) - f(\bar{x}) \not\in -C \backslash \{0\}</math>.
+* <math>\bar{x} \in S</math> एक ''दक्ष बिंदु'' (न्यूनीकारक) है यदि प्रत्येक <math>x \in S</math> के लिए, <math>f(x) - f(\bar{x}) \not\in -C \backslash \{0\}</math> है।
-* <math>\bar{x} \in S</math> एक उचित रूप से कुशल बिंदु (उचित मिनिमाइज़र) है यदि <math>\bar{x}</math> क्लोजर (गणित) [[उत्तल शंकु]] के संबंध में एक कमजोर कुशल बिंदु है <math>\tilde{C}</math> कहाँ <math>C \backslash \{0\} \subseteq \operatorname{int} \tilde{C}</math>.
+* <math>\bar{x} \in S</math> एक ''यथार्थतः दक्ष बिंदु'' (यथार्थ न्यूनक) है यदि <math>\bar{x}</math> संवृत [[उत्तल शंकु]] <math>\tilde{C}</math> के सापेक्ष एक दुर्बल दक्ष बिंदु है, जहाँ <math>C \backslash \{0\} \subseteq \operatorname{int} \tilde{C}</math>।
-हर उचित मिनिमाइज़र एक मिनिमाइज़र है। और हर मिनिमाइज़र एक कमजोर मिनिमाइज़र है।<ref name="scalar2vector">{{Cite journal | last1 = Ginchev | first1 = I. | last2 = Guerraggio | first2 = A. | last3 = Rocca | first3 = M. | title = From Scalar to Vector Optimization | doi = 10.1007/s10492-006-0002-1 | journal = Applications of Mathematics | volume = 51 | pages = 5 | year = 2006 | url = https://irinsubria.uninsubria.it/bitstream/11383/1500550/1/am51-5-GinI-GueA-RocM-06.pdf | hdl = 10338.dmlcz/134627 | hdl-access = free }}</ref>
+प्रत्येक यथार्थ न्यूनक एक न्यूनक होता है। और प्रत्येक न्यूनक एक दुर्बल न्यूनक होता है।<ref name="scalar2vector">{{Cite journal | last1 = Ginchev | first1 = I. | last2 = Guerraggio | first2 = A. | last3 = Rocca | first3 = M. | title = From Scalar to Vector Optimization | doi = 10.1007/s10492-006-0002-1 | journal = Applications of Mathematics | volume = 51 | pages = 5 | year = 2006 | url = https://irinsubria.uninsubria.it/bitstream/11383/1500550/1/am51-5-GinI-GueA-RocM-06.pdf | hdl = 10338.dmlcz/134627 | hdl-access = free }}</ref>
-आधुनिक समाधान अवधारणाओं में न केवल न्यूनतमता की धारणाएं शामिल हैं बल्कि न्यूनतम उपलब्धि को भी ध्यान में रखा जाता है।<ref name="Lohne">{{cite book|title=Vector Optimization with Infimum and Supremum|author=Andreas Löhne|publisher=Springer|year=2011|isbn=9783642183508}}</ref>
+आधुनिक हल अवधारणाओं में न केवल न्यूनता की धारणाएँ सम्मिलित हैं बल्कि न्यूनतम दक्षता को भी ध्यान में रखा जाता है।<ref name="Lohne">{{cite book|title=Vector Optimization with Infimum and Supremum|author=Andreas Löhne|publisher=Springer|year=2011|isbn=9783642183508}}</ref>
-== समाधान के तरीके ==
+== हल करने की विधियाँ ==
-* रैखिक वेक्टर अनुकूलन समस्याओं के लिए बेन्सन का एल्गोरिदम।<ref name="Lohne">{{cite book|title=Vector Optimization with Infimum and Supremum|author=Andreas Löhne|publisher=Springer|year=2011|isbn=9783642183508}}</ref>
+* ''रैखिक'' सदिश अनुकूलन समस्याओं के लिए बेन्सन का एल्गोरिदम।<ref name="Lohne">{{cite book|title=Vector Optimization with Infimum and Supremum|author=Andreas Löhne|publisher=Springer|year=2011|isbn=9783642183508}}</ref>
+== बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन से संबंध ==
+किसी भी बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या को निम्न रूप में लिखा जा सकता है
-== बहुउद्देश्यीय अनुकूलन से संबंध ==
-किसी भी बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या को इस रूप में लिखा जा सकता है
 :<math>\mathbb{R}^d_+\operatorname{-}\min_{x \in M} f(x)</math>
-कहाँ <math>f: X \to \mathbb{R}^d</math> और <math>\mathbb{R}^d_+</math> का गैर-नकारात्मक [[orthant]] है <math>\mathbb{R}^d</math>. इस प्रकार इस सदिश अनुकूलन समस्या का न्यूनीकरण पारेटो दक्ष बिंदु हैं।
+जहाँ <math>f: X \to \mathbb{R}^d</math> और <math>\mathbb{R}^d_+</math>, <math>\mathbb{R}^d</math> का गैर-ऋणात्मक [[orthant|ऑर्थेंट (अधिअष्टांश)]] है। इस प्रकार पैरेटो दक्ष बिंदु, इस सदिश अनुकूलन समस्या के न्यूनक हैं।
 == संदर्भ ==

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