पैरेटो फ्रंट: Difference between revisions

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[[File:Pareto_Efficient_Frontier_1024x1024.png|thumb|256x256px|उत्पादन-संभावना की सीमा। लाल रेखा पारेटो-कुशल फ्रंटियर का एक उदाहरण है, जहां सीमांत और उसके नीचे का क्षेत्र विकल्पों का एक सतत  समुच्चय है। सीमांत पर लाल बिंदु उत्पादन के पारेटो-इष्टतम विकल्पों के उदाहरण हैं। सीमा से दूर के बिंदु, जैसे कि N और K, पारेतो-प्रभावी नहीं हैं, क्योंकि सीमांत पर ऐसे बिंदु मौजूद हैं जो उन पर पारेटो-प्रभुत्व रखते हैं।]]
[[File:Pareto_Efficient_Frontier_1024x1024.png|thumb|256x256px|उत्पादन-संभावना की सीमा। लाल रेखा पारेटो-कुशल फ्रंटियर का एक उदाहरण है, जहां सीमांत और उसके नीचे का क्षेत्र विकल्पों का एक सतत  समुच्चय है। सीमांत पर लाल बिंदु उत्पादन के पारेटो-इष्टतम विकल्पों के उदाहरण हैं। सीमा से दूर के बिंदु, जैसे कि N और K, पारेतो-प्रभावी नहीं हैं, क्योंकि सीमांत पर ऐसे बिंदु मौजूद हैं जो उन पर पारेटो-प्रभुत्व रखते हैं।]]


== परिभाषा ==
=== परिभाषा ===
पेरेटो फ्रंटियर, पी (वाई), को अधिक औपचारिक रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। कार्य के साथ एक प्रणाली पर विचार करें <math>f: X \rightarrow \mathbb{R}^m</math>, जहाँ X [[मीट्रिक स्थान]] में व्यवहार्य निर्णयों का एक [[कॉम्पैक्ट जगह]] है <math>\mathbb{R}^n</math>, और Y में कसौटी वैक्टर का व्यवहार्य  समुच्चय है <math>\mathbb{R}^m</math>, ऐसा है कि <math>Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}</math>.
पेरेटो फ्रंटियर, पी (वाई), को अधिक औपचारिक रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। कार्य के साथ एक प्रणाली पर विचार करें <math>f: X \rightarrow \mathbb{R}^m</math>, जहाँ X [[मीट्रिक स्थान]] में व्यवहार्य निर्णयों का एक [[कॉम्पैक्ट जगह]] है <math>\mathbb{R}^n</math>, और Y में कसौटी सदिश  का व्यवहार्य  समुच्चय है <math>\mathbb{R}^m</math>, ऐसा है कि <math>Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}</math>.


हम मानते हैं कि मापदंड मानों की पसंदीदा दिशाएँ ज्ञात हैं। एक बिंदु <math>y^{\prime\prime} \in \mathbb{R}^m</math> एक और बिंदु के लिए (सख्ती से हावी) पसंद किया जाता है <math>y^{\prime} \in \mathbb{R}^m</math>, के रूप में लिखा गया है <math>y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}</math>. पेरेटो सीमांत इस प्रकार लिखा गया है:
हम मानते हैं कि मापदंड मानों की पसंदीदा दिशाएँ ज्ञात हैं। एक बिंदु <math>y^{\prime\prime} \in \mathbb{R}^m</math> एक और बिंदु के लिए (सख्ती से हावी) पसंद किया जाता है <math>y^{\prime} \in \mathbb{R}^m</math>, के रूप में लिखा गया है <math>y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}</math>. पेरेटो सीमांत इस प्रकार लिखा गया है:
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== प्रतिस्थापन की सीमांत दर ==
== प्रतिस्थापन की सीमांत दर ==
अर्थशास्त्र में पैरेटो फ्रंटियर का एक महत्वपूर्ण पहलू यह है कि पारेतो-कुशल आवंटन पर, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होती है।<ref>{{Cite book|last=Just, Richard E.|url=https://www.worldcat.org/oclc/58538348|title=The welfare economics of public policy : a practical approach to project and policy evaluation|publisher=E. Elgar|others=Hueth, Darrell L., Schmitz, Andrew.|year=2004|isbn=1-84542-157-4|location=Cheltenham, UK|pages=18–21|oclc=58538348}}</ref> एम उपभोक्ताओं और एन वस्तुओं के साथ एक प्रणाली और प्रत्येक उपभोक्ता के उपयोगिता समारोह के रूप में विचार करके एक औपचारिक बयान प्राप्त किया जा सकता है <math>z_i=f^i(x^i)</math> कहाँ <math>x^i=(x_1^i, x_2^i, \ldots, x_n^i)</math> माल का सदिश है, सभी के लिए i. व्यवहार्यता बाधा है <math>\sum_{i=1}^m x_j^i = b_j</math> के लिए <math>j=1,\ldots,n</math>. पेरेटो इष्टतम आवंटन खोजने के लिए, हम लैग्रैंगियन यांत्रिकी को अधिकतम करते हैं:
अर्थशास्त्र में पैरेटो फ्रंटियर का एक महत्वपूर्ण दृष्टीकोण यह है कि पारेतो-कुशल आवंटन पर, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होती है।<ref>{{Cite book|last=Just, Richard E.|url=https://www.worldcat.org/oclc/58538348|title=The welfare economics of public policy : a practical approach to project and policy evaluation|publisher=E. Elgar|others=Hueth, Darrell L., Schmitz, Andrew.|year=2004|isbn=1-84542-157-4|location=Cheltenham, UK|pages=18–21|oclc=58538348}}</ref> एम उपभोक्ताओं और एन वस्तुओं के साथ एक प्रणाली और प्रत्येक उपभोक्ता के उपयोगिता समारोह के रूप में विचार करके एक औपचारिक बयान प्राप्त किया जा सकता है <math>z_i=f^i(x^i)</math> जहां <math>x^i=(x_1^i, x_2^i, \ldots, x_n^i)</math>, सभी के लिए मान सदिश है,जो सभी के लिए व्यवहार्यता बाधा है <math>\sum_{i=1}^m x_j^i = b_j</math> के लिए <math>j=1,\ldots,n</math>. पेरेटो इष्टतम आवंटन खोजने के लिए, हम लैग्रैंगियन यांत्रिकी को अधिकतम प्रयोग करते हैं:


: <math>L_i((x_j^k)_{k,j}, (\lambda_k)_k, (\mu_j)_j)=f^i(x^i)+\sum_{k=2}^m \lambda_k(z_k- f^k(x^k))+\sum_{j=1}^n \mu_j \left( b_j-\sum_{k=1}^m x_j^k \right)</math>
: <math>L_i((x_j^k)_{k,j}, (\lambda_k)_k, (\mu_j)_j)=f^i(x^i)+\sum_{k=2}^m \lambda_k(z_k- f^k(x^k))+\sum_{j=1}^n \mu_j \left( b_j-\sum_{k=1}^m x_j^k \right)</math>
कहाँ <math>(\lambda_k)_k</math> और <math>(\mu_j)_j</math> गुणक के वैक्टर हैं। प्रत्येक अच्छे के संबंध में Lagrangian का आंशिक व्युत्पन्न लेना <math>x_j^k</math> के लिए <math>j=1,\ldots,n</math> और <math>k=1,\ldots, m</math> और प्रथम-क्रम स्थितियों की निम्नलिखित प्रणाली देता है:
जहाँ  <math>(\lambda_k)_k</math> और <math>(\mu_j)_j</math> गुणक के सदिश हैं। प्रत्येक अच्छे संबंध में लैग्रैंगियन का आंशिक व्युत्पन्न लेना <math>x_j^k</math> के लिए <math>j=1,\ldots,n</math> और <math>k=1,\ldots, m</math> और प्रथम-क्रम स्थितियों की निम्नलिखित प्रणाली देता है:


: <math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^i} = f_{x^i_j}^1-\mu_j=0\text{ for }j=1,\ldots,n,</math>
: <math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^i} = f_{x^i_j}^1-\mu_j=0\text{ for }j=1,\ldots,n,</math>
: <math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^k} = -\lambda_k f_{x^k_j}^i-\mu_j=0 \text{ for }k= 2,\ldots,m \text{ and }j=1,\ldots,n,</math>
: <math>\frac{\partial L_i}{\partial x_j^k} = -\lambda_k f_{x^k_j}^i-\mu_j=0 \text{ for }k= 2,\ldots,m \text{ and }j=1,\ldots,n,</math>
कहाँ <math>f_{x^i_j}</math> के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है <math>f</math> इसके संबंध में <math>x_j^i</math>. अब, कोई भी ठीक करें <math>k\neq i</math> और <math>j,s\in \{1,\ldots,n\}</math>. उपरोक्त प्रथम-क्रम की स्थिति का अर्थ है
जहाँ  <math>f_{x^i_j}</math> के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है <math>f</math> इसके संबंध में <math>x_j^i</math>. अब, कोई भी ठीक करें <math>k\neq i</math> और <math>j,s\in \{1,\ldots,n\}</math>. उपरोक्त प्रथम-क्रम की स्थिति का अर्थ है


: <math>\frac{f_{x_j^i}^i}{f_{x_s^i}^i}=\frac{\mu_j}{\mu_s}=\frac{f_{x_j^k}^k}{f_{x_s^k}^k}.</math>
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== गणना ==
== गणना ==
[[कंप्यूटर विज्ञान]] और पावर इंजीनियरिंग में विकल्पों के एक सीमित  समुच्चय के पैरेटो फ्रंटियर की गणना के लिए [[कलन विधि]] का अध्ययन किया गया है।<ref>{{cite journal|last1=Tomoiagă|first1=Bogdan|last2=Chindriş|first2=Mircea|last3=Sumper|first3=Andreas|last4=Sudria-Andreu|first4=Antoni|last5=Villafafila-Robles|first5=Roberto|year=2013|title=Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II|journal=Energies|volume=6|issue=3|pages=1439–55|doi=10.3390/en6031439|doi-access=free}}</ref> वे सम्मिलित करते हैं:
[[कंप्यूटर विज्ञान]] और पावर अभियांत्रिकी में विकल्पों के एक सीमित  समुच्चय के पैरेटो फ्रंटियर की गणना के लिए [[कलन विधि]] का अध्ययन किया गया है।<ref>{{cite journal|last1=Tomoiagă|first1=Bogdan|last2=Chindriş|first2=Mircea|last3=Sumper|first3=Andreas|last4=Sudria-Andreu|first4=Antoni|last5=Villafafila-Robles|first5=Roberto|year=2013|title=Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II|journal=Energies|volume=6|issue=3|pages=1439–55|doi=10.3390/en6031439|doi-access=free}}</ref>  


* अधिकतम वेक्टर समस्या या [[स्काईलाइन ऑपरेटर]]।<ref>{{cite journal|last1=Nielsen|first1=Frank|year=1996|title=Output-sensitive peeling of convex and maximal layers|journal=Information Processing Letters|volume=59|issue=5|pages=255–9|citeseerx=10.1.1.259.1042|doi=10.1016/0020-0190(96)00116-0}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Kung|first1=H. T.|last2=Luccio|first2=F.|last3=Preparata|first3=F.P.|year=1975|title=On finding the maxima of a set of vectors|journal=Journal of the ACM|volume=22|issue=4|pages=469–76|doi=10.1145/321906.321910|s2cid=2698043}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Godfrey|first1=P.|last2=Shipley|first2=R.|last3=Gryz|first3=J.|year=2006|title=Algorithms and Analyses for Maximal Vector Computation|journal=VLDB Journal|volume=16|pages=5–28|citeseerx=10.1.1.73.6344|doi=10.1007/s00778-006-0029-7|s2cid=7374749}}</ref>
* अधिकतम वेक्टर समस्या या [[स्काईलाइन ऑपरेटर]]।<ref>{{cite journal|last1=Nielsen|first1=Frank|year=1996|title=Output-sensitive peeling of convex and maximal layers|journal=Information Processing Letters|volume=59|issue=5|pages=255–9|citeseerx=10.1.1.259.1042|doi=10.1016/0020-0190(96)00116-0}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Kung|first1=H. T.|last2=Luccio|first2=F.|last3=Preparata|first3=F.P.|year=1975|title=On finding the maxima of a set of vectors|journal=Journal of the ACM|volume=22|issue=4|pages=469–76|doi=10.1145/321906.321910|s2cid=2698043}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Godfrey|first1=P.|last2=Shipley|first2=R.|last3=Gryz|first3=J.|year=2006|title=Algorithms and Analyses for Maximal Vector Computation|journal=VLDB Journal|volume=16|pages=5–28|citeseerx=10.1.1.73.6344|doi=10.1007/s00778-006-0029-7|s2cid=7374749}}</ref>

Revision as of 01:12, 16 February 2023

बहुउद्देश्यीय अनुकूलन में, पैरेटो फ्रंट सभी पारेटो कुशल समाधानों का समुच्चय है।[1] इसे व्यापक रूप से अभियांत्रिकी में उपयोग किया जाता है।[2]: 111–148  यह प्रारूपो को प्रत्येक पैरामीटर की पूरी श्रृंखला पर विचार करने के अतिरक्त कुशल विकल्पों के समुच्चय पर ध्यान केंद्रित करने और इस समुच्चय के अंदर व्यापार-बंद करने की अनुमति देता है।[3]: 63–65 [4]: 399–412 

पैरेटो फ्रंटियर का उदाहरण। बॉक्सिंग बिंदु व्यवहार्य विकल्पों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और छोटे मूल्यों को बड़े लोगों के लिए पसंद किया जाता है। बिंदु C पेरेटो सीमा पर नहीं है क्योंकि यह बिंदु A और बिंदु B दोनों का प्रभुत्व है। बिंदु A और B पर किसी अन्य का सख्ती से प्रभुत्व नहीं है, और इसलिए यह सीमा पर स्थित है।
उत्पादन-संभावना की सीमा। लाल रेखा पारेटो-कुशल फ्रंटियर का एक उदाहरण है, जहां सीमांत और उसके नीचे का क्षेत्र विकल्पों का एक सतत समुच्चय है। सीमांत पर लाल बिंदु उत्पादन के पारेटो-इष्टतम विकल्पों के उदाहरण हैं। सीमा से दूर के बिंदु, जैसे कि N और K, पारेतो-प्रभावी नहीं हैं, क्योंकि सीमांत पर ऐसे बिंदु मौजूद हैं जो उन पर पारेटो-प्रभुत्व रखते हैं।

परिभाषा

पेरेटो फ्रंटियर, पी (वाई), को अधिक औपचारिक रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। कार्य के साथ एक प्रणाली पर विचार करें , जहाँ X मीट्रिक स्थान में व्यवहार्य निर्णयों का एक कॉम्पैक्ट जगह है , और Y में कसौटी सदिश का व्यवहार्य समुच्चय है , ऐसा है कि .

हम मानते हैं कि मापदंड मानों की पसंदीदा दिशाएँ ज्ञात हैं। एक बिंदु एक और बिंदु के लिए (सख्ती से हावी) पसंद किया जाता है , के रूप में लिखा गया है . पेरेटो सीमांत इस प्रकार लिखा गया है:


प्रतिस्थापन की सीमांत दर

अर्थशास्त्र में पैरेटो फ्रंटियर का एक महत्वपूर्ण दृष्टीकोण यह है कि पारेतो-कुशल आवंटन पर, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होती है।[5] एम उपभोक्ताओं और एन वस्तुओं के साथ एक प्रणाली और प्रत्येक उपभोक्ता के उपयोगिता समारोह के रूप में विचार करके एक औपचारिक बयान प्राप्त किया जा सकता है जहां , सभी के लिए मान सदिश है,जो सभी के लिए व्यवहार्यता बाधा है के लिए . पेरेटो इष्टतम आवंटन खोजने के लिए, हम लैग्रैंगियन यांत्रिकी को अधिकतम प्रयोग करते हैं:

जहाँ और गुणक के सदिश हैं। प्रत्येक अच्छे संबंध में लैग्रैंगियन का आंशिक व्युत्पन्न लेना के लिए और और प्रथम-क्रम स्थितियों की निम्नलिखित प्रणाली देता है:

जहाँ के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है इसके संबंध में . अब, कोई भी ठीक करें और . उपरोक्त प्रथम-क्रम की स्थिति का अर्थ है

इस प्रकार, पारेतो-इष्टतम आवंटन में, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होनी चाहिए।[citation needed]


गणना

कंप्यूटर विज्ञान और पावर अभियांत्रिकी में विकल्पों के एक सीमित समुच्चय के पैरेटो फ्रंटियर की गणना के लिए कलन विधि का अध्ययन किया गया है।[6]


अनुमान

चूंकि पूरे पारेटो फ्रंट को उत्पन्न करना अक्सर कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन होता है, एक अनुमानित पारेटो-फ्रंट की गणना के लिए एल्गोरिदम होते हैं। उदाहरण के लिए, लेग्रियल एट अल।[14] एक समुच्चय S को परेटो-फ्रंट P का 'ε-सन्निकटन' कहते हैं, यदि S और P के बीच हॉसडॉर्फ की निर्देशित दूरी अधिक से अधिक ε है। वे देखते हैं कि d आयामों में किसी भी पेरेटो फ्रंट P का ε-अनुमानन (1/ε) का उपयोग करके पाया जा सकता है।d प्रश्न।

Zitzler, नोल्स और थिएले[15] विभिन्न मानदंडों पर पारेटो- समुच्चय सन्निकटन के लिए कई एल्गोरिदम की तुलना करें, जैसे स्केलिंग, मोनोटोनिसिटी और कम्प्यूटेशनल जटिलता के लिए व्युत्क्रम।

संदर्भ

  1. ↑ proximedia. "Pareto Front". www.cenaero.be. Retrieved 2018-10-08.
  2. ↑ Goodarzi, E., Ziaei, M., & Hosseinipour, E. Z., Introduction to Optimization Analysis in Hydrosystem Engineering (Berlin/Heidelberg: Springer, 2014), pp. 111–148.
  3. ↑ Jahan, A., Edwards, K. L., & Bahraminasab, M., Multi-criteria Decision Analysis, 2nd ed. (Amsterdam: Elsevier, 2013), pp. 63–65.
  4. ↑ Costa, N. R., & Lourenço, J. A., "Exploring Pareto Frontiers in the Response Surface Methodology", in G.-C. Yang, S.-I. Ao, & L. Gelman, eds., Transactions on Engineering Technologies: World Congress on Engineering 2014 (Berlin/Heidelberg: Springer, 2015), pp. 399–412.
  5. ↑ Just, Richard E. (2004). The welfare economics of public policy : a practical approach to project and policy evaluation. Hueth, Darrell L., Schmitz, Andrew. Cheltenham, UK: E. Elgar. pp. 18–21. ISBN 1-84542-157-4. OCLC 58538348.
  6. ↑ Tomoiagă, Bogdan; Chindriş, Mircea; Sumper, Andreas; Sudria-Andreu, Antoni; Villafafila-Robles, Roberto (2013). "Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II". Energies. 6 (3): 1439–55. doi:10.3390/en6031439.
  7. ↑ Nielsen, Frank (1996). "Output-sensitive peeling of convex and maximal layers". Information Processing Letters. 59 (5): 255–9. CiteSeerX 10.1.1.259.1042. doi:10.1016/0020-0190(96)00116-0.
  8. ↑ Kung, H. T.; Luccio, F.; Preparata, F.P. (1975). "On finding the maxima of a set of vectors". Journal of the ACM. 22 (4): 469–76. doi:10.1145/321906.321910. S2CID 2698043.
  9. ↑ Godfrey, P.; Shipley, R.; Gryz, J. (2006). "Algorithms and Analyses for Maximal Vector Computation". VLDB Journal. 16: 5–28. CiteSeerX 10.1.1.73.6344. doi:10.1007/s00778-006-0029-7. S2CID 7374749.
  10. ↑ Kim, I. Y.; de Weck, O. L. (2005). "Adaptive weighted sum method for multiobjective optimization: a new method for Pareto front generation". Structural and Multidisciplinary Optimization. 31 (2): 105–116. doi:10.1007/s00158-005-0557-6. ISSN 1615-147X. S2CID 18237050.
  11. ↑ Marler, R. Timothy; Arora, Jasbir S. (2009). "The weighted sum method for multi-objective optimization: new insights". Structural and Multidisciplinary Optimization. 41 (6): 853–862. doi:10.1007/s00158-009-0460-7. ISSN 1615-147X. S2CID 122325484.
  12. ↑ "On a Bicriterion Formulation of the Problems of Integrated System Identification and System Optimization". IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. SMC-1 (3): 296–297. 1971. doi:10.1109/TSMC.1971.4308298. ISSN 0018-9472.
  13. ↑ Mavrotas, George (2009). "Effective implementation of the ε-constraint method in Multi-Objective Mathematical Programming problems". Applied Mathematics and Computation. 213 (2): 455–465. doi:10.1016/j.amc.2009.03.037. ISSN 0096-3003.
  14. ↑ Legriel, Julien; Le Guernic, Colas; Cotton, Scott; Maler, Oded (2010). Esparza, Javier; Majumdar, Rupak (eds.). "Approximating the Pareto Front of Multi-criteria Optimization Problems". Tools and Algorithms for the Construction and Analysis of Systems. Lecture Notes in Computer Science (in English). Berlin, Heidelberg: Springer. 6015: 69–83. doi:10.1007/978-3-642-12002-2_6. ISBN 978-3-642-12002-2.
  15. ↑ Zitzler, Eckart; Knowles, Joshua; Thiele, Lothar (2008), Branke, Jürgen; Deb, Kalyanmoy; Miettinen, Kaisa; Słowiński, Roman (eds.), "Quality Assessment of Pareto Set Approximations", Multiobjective Optimization: Interactive and Evolutionary Approaches, Lecture Notes in Computer Science (in English), Berlin, Heidelberg: Springer, pp. 373–404, doi:10.1007/978-3-540-88908-3_14, ISBN 978-3-540-88908-3, retrieved 2021-10-08


बाहरी संबंध

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