समीकरण

समीकरण बनाना

किसी भी प्रकार के समीकरण के वास्तविक समाधान की ओर बढ़ने से पहले, इसे हल के लिए तैयार करने के लिए कुछ प्रारंभिक संक्रियाओं को करना आवश्यक है।

अभी भी अधिक प्रारंभिक कार्य प्रस्तावित समस्या की स्थितियों से समीकरण (सामी-करण, सामी-कारा या सामी-क्रिया; समा, बराबर और कु से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने का है। इस तरह के प्रारंभिक कार्य के लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या एक से अधिक मौलिक संचालन के आवेदन की आवश्यकता हो सकती है।

भास्कर द्वितीय कहते हैं: "यावत-तावत को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।

बीजीय संकेतन

• अज्ञात संख्याओं के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों में यस्वत-तस्वत् (जितना जितना हो) के प्रारंभिक शब्दांश, कासलका (काला) का कश, नलका (नीला) का नंबर, पुत (पीला) आदि का पु शामिल है।
• दो अज्ञातों के गुणनफल को उनके बाद रखे भाविता (उत्पाद) के प्रारंभिक शब्दांश भा द्वारा दर्शाया जाता है। शक्तियों को वर्गा (वर्ग), घाना के घ (घन) के प्रारंभिक अक्षरों वा द्वारा दर्शाया गया है; वावा का मतलब वर्गवर्ग, चौथी शक्ति है। कभी-कभी घट (उत्पाद) का प्रारंभिक शब्दांश घा शक्तियों के योग के लिए होता है।
• प्रतीक के बगल में एक गुणांक रखा गया है। अचर पद को rūpa (रूप) के प्रारंभिक प्रतीक rū द्वारा निरूपित किया जाता है।
• ऋणात्मक पूर्णांक के ऊपर एक बिंदु रखा गया है
• एक समीकरण के दो पक्षों को एक दूसरे के नीचे रखा जाता है। इस प्रकार समीकरण X4 - 2X2 - 400x = 9999; के रूप में लिखा गया है

यावव 1 याव 2● या 400● 0

यावव 0 याव 0 या रू 9999

जिसका अर्थ है या के लिए x लिखना

x⁴ -2x² -400x+0 = 0x⁴ +0x²+0x+9999

यदि कई अज्ञात हैं, तो एक ही तरह के लोगों को एक ही कॉलम में शून्य गुणांक के साथ लिखा जाता है, यदि आवश्यक हो। इस प्रकार समीकरण

197x - 1644y - z = 6302 द्वारा दर्शाया गया है

या 197 का 1644● नी 1● रु 0

या 0 का 0 नी 0 रु 6302

जिसका अर्थ है, k के लिए y और ni . के लिए z डालना

197x - 1644y - z + 0 = 0x + 0y + 0z + 6302।

भास्कर द्वितीय कहते हैं:

"फिर इसके एक तरफ अज्ञात (समीकरण) को दूसरी तरफ अज्ञात से घटाया जाना चाहिए, इसी तरह अज्ञात के वर्ग और अन्य शक्तियां भी;

दूसरी तरफ की ज्ञात मात्राओं को दूसरी तरफ की ज्ञात मात्राओं से घटाया जाना चाहिए।"

निम्नलिखित दृष्टांत भास्कर II के बीजगणित से है:

"इस प्रकार दोनों पक्ष हैं

हां 4 या 34● रु 72

हां वा 0 या 0 रु 90

पूर्ण समाशोधन (समाशोधन) पर, दोनों पक्षों के अवशेष हैं

या वा 4 या 34● रु 0

हां वा 0 या 0 रु 18

यानी, 4x² -34x= 18

समीकरणों का वर्गीकरण

ऐसा लगता है कि समीकरणों का सबसे पहला हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से यवत तवत कहा जाता है), द्विघात (वर्गा), घन (घाना) और द्विघात (वर्ग-वर्ग)। इसका संदर्भ लगभग 300 ईसा पूर्व के एक विहित कार्य में मिलता है। लेकिन आगे की पुष्टि के सबूत के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (एक-वर्ण-समीकरण), (2) कई अज्ञात में समीकरण (अनेक-वर्ण-समीकरण), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (भैविता) )

प्रथम वर्ग को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया गया है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (अव्यक्त-वर्ग-समिकरण)। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। पृथुदकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण पद्धति थोड़ी भिन्न है। उनके चार वर्ग हैं: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण . चूँकि तृतीय वर्ग के समीकरण को हल करने की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को मध्यमाहारन (मध्यम से, "मध्य", अहारण "उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन" कहा जाता है। मध्य अवधि का")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।

भास्कर II तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करता है, viz" (i) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) दूसरी और उच्च शक्तियों में दो या दो से अधिक अज्ञात वाले समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (जेड) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। वर्ग (1) में फिर से दो उपवर्ग होते हैं: (i) सरल समीकरण और ( ii) द्विघात और उच्च समीकरण। वर्ग (2) में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च शक्तियों वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखता है कि इन पांच वर्गों को कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को मध्यमहाहारन के रूप में एक वर्ग में शामिल करके चार तक कम किया जा सकता है।

एक अज्ञात में रैखिक समीकरण

प्रारंभिक समाधान:

जैसा कि पहले ही कहा गया है, एक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय समाधान सुलबा में पाया जाता है, जिसमें से सबसे पहला 800 ईसा पूर्व के बाद का नहीं है। स्थानांग-सूत्र (सी। 300 ईसा पूर्व) में इसके नाम (यवत-तवत) से एक रैखिक समीकरण का संदर्भ है जो समाधान की विधि का सूचक है! उस समय पीछा किया। हालांकि, हमारे पास इसके बारे में और कोई सबूत नहीं है। सरल बीजगणितीय समीकरणों और उनके समाधान के लिए एक विधि से संबंधित समस्याओं के निस्संदेह मूल्य का सबसे पहला हिंदू रिकॉर्ड बख्शाली ग्रंथ में मिलता है, जो शायद ईसाई युग की शुरुआत के बारे में लिखा गया था।

एक समस्या यह है कि "पहले को दी गई राशि ज्ञात नहीं है। दूसरी को पहले की तुलना में दोगुना दिया जाता है, तीसरे को दूसरे से तीन गुना और चौथे को तीसरे से चार गुना अधिक दिया जाता है। वितरित की गई कुल राशि है 132. पहले की राशि क्या है?"

यदि x पहले को दी गई राशि हो, तो समस्या के अनुसार,

x + 2X + 6x + 24X = 132।

असत्य स्थिति का नियम:

इस समीकरण का हल इस प्रकार दिया गया है:

"'किसी भी वांछित मात्रा को रिक्त स्थान पर रखना'; कोई भी वांछित मात्रा 1 है; 'फिर श्रृंखला का निर्माण करें।

1	2	2 3	6 4
1	1	1 1	1 1

'गुणा किया हुआ'

1

2

6

24

जोड़ा गया' 33. "दृश्यमान मात्रा को विभाजित करें'

132 33

(जो) कमी करने पर बन जाता है

4 1

(यह है) दी गई राशि (पहले को)।"

बख्शाली ग्रंथ में समस्याओं के एक और सेट का समाधान अंततः ax+ b=p प्रकार के समीकरण की ओर ले जाता है। इसके समाधान के लिए दी गई विधि यह है कि x के लिए कोई मनमाना मान g रखा जाए, ताकि

ag+ b =p' कहते हैं।

तब सही मान होगा

x = (p - p')/a +g

रैखिक समीकरणों का हल

आर्यभट्ट प्रथम (499) कहते हैं:

"दो व्यक्तियों से संबंधित ज्ञात "राशि" के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित किया जाना चाहिए। यदि उनकी संपत्ति समान है, तो भागफल अज्ञात का मान होगा।"

यह नियम इस प्रकार की समस्या पर विचार करता है: दो व्यक्ति, जो समान रूप से समृद्ध हैं, के पास क्रमशः a, b एक निश्चित अज्ञात राशि का c, d के साथ एक साथ है।

नकद में पैसे की इकाइयों। वह राशि क्या है?

यदि x अज्ञात राशि हो, तो समस्या से

ax + c = bx+ d।

इसलिए x = (d-c) / (a-b)

इसलिए नियम।

ब्रह्मगुप्त कहते हैं:

"एक (रैखिक) समीकरण में एक अज्ञात में, ज्ञात शब्दों का अंतर रिवर्स ऑर्डर में लिया जाता है, अज्ञात के गुणांक के अंतर से विभाजित होता है

(अज्ञात का मूल्य है)।

श्रीपति लिखते हैं:

"पहले ज्ञात पद को छोड़कर किसी भी पक्ष (समीकरण के) से अज्ञात को हटा दें; दूसरी तरफ उल्टा (किया जाना चाहिए)। गुणांक के अंतर से विभाजित रिवर्स ऑर्डर में लिए गए निरपेक्ष शब्दों का अंतर अज्ञात का मान अज्ञात का होगा।

भास्कर द्वितीय कहता है:

"अज्ञात को एक तरफ से दूसरी तरफ से और दूसरी तरफ निरपेक्ष पद को पहली तरफ से घटाएं। अवशिष्ट निरपेक्ष संख्या को अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक से विभाजित किया जाना चाहिए; इस प्रकार अज्ञात का मूल्य ज्ञात हो जाता है।

नारायण लिखते हैं:

"एक तरफ से 'अज्ञात' और दूसरी तरफ से ज्ञात मात्रा को साफ़ करें, फिर अज्ञात के अवशिष्ट गुणांक द्वारा ज्ञात अवशिष्ट को विभाजित करें। इस प्रकार निश्चित रूप से अज्ञात का मूल्य ज्ञात हो जाएगा।"

उदाहरण के लिए हम ब्रह्मगुप्त द्वारा प्रस्तावित एक समस्या लेते हैं:

"उस समय के लिए बीते हुए दिनों की संख्या बताएं जब अवशिष्ट डिग्री के बारहवें भाग में एक से चार गुना वृद्धि हुई हो, जमा आठ शेष के बराबर होगा

डिग्री प्लस वन।"

इसे पृथुदकास्वामी ने इस प्रकार हल किया है:

"यहाँ अवशिष्ट अंश यावत-तावत हैं,

हां एक की वृद्धि हुई, हां 1 रु 1; इसका बारहवाँ भाग, (या 1 रु 1) / 12

इसका चार गुना, (या 1 रु 1) / 3 ; प्लस निरपेक्ष मात्रा आठ, (या 1 रु 25) / 3। यह अवशिष्ट डिग्री प्लस एकता के बराबर है। दोनों पक्षों का बयान

तिगुना है

ya 1 रु 25

ya 3 रु 3

अज्ञात के गुणांकों के बीच का अंतर 2 है। इससे निरपेक्ष पदों का अंतर, अर्थात् 22, विभाजित किया जा रहा है, सूर्य की डिग्री के अवशिष्ट का उत्पादन किया जाता है। 11. इन अवशिष्ट डिग्री को इरेड्यूसेबल के रूप में जाना जाना चाहिए। बीते हुए दिनों को पहले की तरह (आगे बढ़ते हुए) घटाया जा सकता है।"

दूसरे शब्दों में, हमें समीकरण को हल करना होगा

(x + 1)4/12 + 8 = x + 1

जो देता है x + 25 = 3x + 3

2x = 22

इसलिए x= 11

निम्नलिखित समस्या और उसका समाधान भास्कर II के बीजगणित से हैं:

"एक व्यक्ति के पास तीन सौ सिक्के और छह घोड़े हैं। दूसरे के पास समान मूल्य के दस घोड़े (प्रत्येक) हैं और उस पर सौ सिक्कों का और कर्ज है। लेकिन वे

समान मूल्य के हैं। घोड़े की कीमत क्या है?

"यहाँ सम-निकासी के लिए कथन है:

6x + 300 = 10x - 100

अब, नियम के अनुसार, 'एक तरफ से अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाएं', पहली तरफ अज्ञात को दूसरी तरफ से घटाया जा रहा है,

शेष 4x है। दूसरी तरफ का निरपेक्ष पद पहली तरफ के निरपेक्ष पद से घटाया जाता है, तो शेष 400 होता है। शेष ज्ञात

संख्या 400 को अवशिष्ट अज्ञात 4x के गुणांक से विभाजित किया जा रहा है, भागफल को x, (अर्थात् 100) के मान के रूप में पहचाना जाता है।"

दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण

सहमति का नियम

आमतौर पर लगभग सभी हिंदू लेखकों द्वारा चर्चा का एक विषय संक्रामण (सहमति) के विशेष नाम से जाता है। नारायण (1350) के अनुसार इसे संक्राम और संक्राम भी कहा जाता है। ब्रह्मगुप्त (628) ने इसे बीजगणित में शामिल किया है जबकि अन्य इसे अंकगणित के दायरे में आने के रूप में मानते हैं। जैसा कि टीकाकार गंगा-धारा (1420) द्वारा समझाया गया है, यहां चर्चा का विषय "दो राशियों की जांच समवर्ती या उनके योग और अंतर के रूप में एक साथ उगाई गई है।"

दूसरे शब्दों में संक्रामण समकालिक समीकरणों का समाधान है

x+ y= a, x-y= b

समाधान के लिए ब्रह्मगुप्त का नियम है: "योग को अंतर से बढ़ाया और घटाया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है; (परिणाम दो अज्ञात मात्रा होगी): (यह है) सहमति। उसी नियम को उनके द्वारा एक अलग अवसर पर पुन: स्थापित किया गया है समस्या का रूप और उसका समाधान।

"दो (स्वर्गीय पिंडों) के अवशेषों का योग और अंतर डिग्री और मिनटों में जाना जाता है। अवशेष क्या हैं? अंतर को योग से जोड़ा और घटाया जाता है, और आधा किया जाता है; (परिणाम हैं) अवशेष।

रेखीय समीकरण

महावीर निम्नलिखित उदाहरण देते हैं जो प्रत्येक के समाधान के नियमों के साथ-साथ एक साथ रैखिक समीकरण बनाते हैं।

उदाहरण। "9 सिट्रन और 7 सुगंधित लकड़ी-सेब की एक साथ कीमत 107 है, फिर से 7 साइट्रॉन और 9 सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमत एक साथ ली गई है

101 है। हे गणितज्ञ, मुझे जल्दी से एक साइट्रोन और एक सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमत अलग-अलग बताओ।"

यदि x, y क्रमशः एक साइट्रोन और एक सुगंधित लकड़ी-सेब की कीमतें हों, तो

9x+7y= 107,

7x+9y = 101.

या, सामान्य तौर पर,

ax+ by = m

bx + ay = n

समाधान। "बड़ी मात्रा में (संबंधित) चीजों की बड़ी संख्या से गुणा की गई बड़ी संख्या में चीजों की संख्या के वर्गों के अंतर से विभाजित (संबंधित) छोटी संख्या से गुणा की गई कीमत की छोटी राशि घटाएं। (शेष) चीजों की संख्या के वर्गों के अंतर से विभाजित बड़ी संख्या में प्रत्येक वस्तु की कीमत होगी दूसरे की कीमत गुणक को उलटने से प्राप्त होगी।

इस प्रकार x = (am - bn)/(a²-b²) ; y = (an - bm)/(a²-b²)

इसके समाधान के साथ निम्नलिखित उदाहरण भास्कर II के BfjagatJita से लिया गया है:

उदाहरण। "एक कहता है, 'मुझे सौ दो, मित्र, तब मैं तुमसे दुगना धनवान बन जाऊँगा।' दूसरा जवाब देता है, 'यदि आप मुझे दस देते हैं, तो मैं छह गुना अमीर हो जाऊंगा

जैसे आप।' मुझे बताओ कि उनकी (संबंधित) राजधानियों की राशि क्या है?"

समीकरण हैं

x + 100 = 2(y - 100), (I)

y + 10 = 6(x - 10). (2)

भास्कर II इन समीकरणों को हल करने के दो तरीकों को इंगित करता है। वे काफी हद तक इस प्रकार हैं:

पहली विधि:

मान लीजिए x = 2z.- 100, y = z + 100,

ताकि समीकरण (I) समान रूप से संतुष्ट हो। स्थानापन्न

दूसरे समीकरण में ये मान, हम प्राप्त करते हैं

z + 110 = 12z- 660;

इसलिये z =.70 इसलिए, x = 40 , y = 170

दूसरी विधि:

समीकरण (I) से, हम प्राप्त करते हैं

x =2y - 300,

और समीकरण (2) से

x = (y+ 70)/6

x के इन दो मानों की बराबरी करने पर हमें प्राप्त होता है

2y - 300 = (y+ 70)/6

12y -1800 = y+70

अत: y= 170. y के इस मान को x के दो व्यंजकों में से किसी में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x = 40 प्राप्त होता है।

कई अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण

रैखिक समीकरणों का एक प्रकार

कई अज्ञातों को शामिल करने वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का सबसे पहला हिंदू उपचार बख्शाली ग्रंथ में पाया जाता है। इसमें एक समस्या इस प्रकार है:

"[तीन व्यक्तियों में प्रत्येक के पास एक निश्चित मात्रा में धन होता है।] पहले और दूसरे के धन को मिलाकर 13 की राशि; दूसरे की संपत्ति और

एक साथ लिया गया तीसरा 14 है; और पहिले और तीसरे मिले जुले लोगों की दौलत 15 मानी गई है।

यदि x1, x2, x3 क्रमशः तीन व्यापारियों की संपत्ति हो, तो x1 + x2 = 13, x2 + x3 = 14, x3 + x1 = 15.

एक और समस्या यह है कि "पांच व्यक्तियों के पास एक निश्चित मात्रा में धन होता है। पहले और दूसरे के धन को मिलाकर 16 की राशि मिलती है; दूसरे और तीसरे के धन को मिलाकर 17 माना जाता है; तीसरे का धन और चौथे को मिलाकर 18 माना जाता है; चौथे और पांचवें को मिलाकर धन 19 है; और पहले और पांचवें का धन मिलाकर 20 है। मुझे बताओ कि प्रत्येक की राशि क्या है। x₁ x₂ x₃ x₄ x₅

x₁ + x₂ = 16, x₂ + x₃ = 17, x₃+ x₄ = 18, x₄ + x₅ = 19, x₅ + x₁ = 20।

काम में इसी तरह की कुछ और समस्याएं हैं। उनमें से हर एक प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली से संबंधित है

x₁ + x₂ = a1, x₂ + x₃ = a2 ..., xn + x₁ = an n विषम होना।

असत्य स्थिति से समाधान

इस प्रकार के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बख्शाली ग्रंथ में निम्नानुसार हल की गई है:

x₁ के लिए एक मनमाना मान p मान लें और फिर उसके संगत x₂, x₃, ... के मानों की गणना करें। अंत में xn + x₁ का परिकलित मान b . के बराबर होने दें

(कहो)। तब x₁ का सही मान सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है

एक्स₁ = पी + ½ (ए - बी)।

विशेष मामले में (1) लेखक x के लिए मनमाना मान 5 मानता है; फिर क्रमशः x₂ = 8, x₃ = 6 और x₃ + x₁ = 11 के मानों की गणना की जाती है

इसलिए सही मान हैं,

x₁= 5 + (15 - 11)/2 = 7, x₂ = 6, x₃= 8

तर्क। उन्मूलन की प्रक्रिया से हम प्राप्त करते हैं

समीकरण (मैं)

(a2-a1)+(a4-a3)+· ... +(an-1 - an-2) + 2x1 = an

मान लें x1 = p; ताकि

(a2-a1)+(a4-a3)+· ... +(an-1 - an-2) + 2p = b कहें।

घटाना 2(x1 - p) = a - b।

इसलिए x1 = p +½(an - b)