पूर्ण कोणीय गति: Difference between revisions

Revision as of 14:22, 19 February 2023

मौसम विज्ञान में, पूर्ण कोणीय गति 'पूर्ण' समन्वय प्रणाली (पूर्ण समय और स्थान) में कोणीय गति को संदर्भित करती है।

परिचय

कोणीय गति $L$ कण (या द्रव खंड) की स्थिति (वेक्टर) $r$ के क्रॉस उत्पाद और इसकी पूर्ण रैखिक गति $p$ के बराबर है, $m v$ के बराबर, द्रव्यमान और वेग का गुणनफल गणितीय रूप से,

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v}

परिभाषा

निरपेक्ष कोणीय संवेग सापेक्ष समन्वय प्रणाली में कण या द्रव खंड के कोणीय गति और उस सापेक्ष समन्वय प्रणाली के कोणीय गति का योग करता है।

मौसम विज्ञानी सामान्यतः वेग $v = (u, v, w)$ (पूर्व की ओर, उत्तर की ओर और ऊपर की ओर) के तीन सदिश घटकों को व्यक्त करते हैं। पूर्ण कोणीय गति $L$ प्रति इकाई द्रव्यमान $m$ का परिमाण

\left|{\frac {\mathbf {L} }{m}}\right|=M=ur\cos(\phi )+\Omega r^{2}\cos ^{2}(\phi )

जहां

$M$ द्रव खंड के प्रति इकाई द्रव्यमान के पूर्ण कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करता है ( $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}m2/s$ में),
$r$ पृथ्वी के केंद्र से द्रव खंड ( $m$ में) तक की दूरी का प्रतिनिधित्व करता है,
$u$ द्रव खंड के वेग के पृथ्वी-सापेक्ष पूर्वमुखी घटक का प्रतिनिधित्व करता है ( $m / s$ में),
$φ$ अक्षांश का प्रतिनिधित्व करता है (में $rad$ ), और
$Ω$ पृथ्वी के घूर्णन की कोणीय दर का प्रतिनिधित्व करता है ( $rad / s$ में, सामान्यतः $2 π rad / 1 sidereal day \approx 72.921150 \times 10 -6 rad / s$ ).

प्रथम शब्द पृथ्वी की सतह के संबंध में खंड की कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि मौसम पर दृढ़ता से निर्भर करता है। द्वितीय शब्द पृथ्वी के कोणीय गति को विशेष अक्षांश पर दर्शाता है (अनिवार्य रूप से अल्प से अल्प अन्य भूगर्भीय काल पर स्थिर)।

अनुप्रयोग

पृथ्वी के उथले क्षोभमंडल में, लगभग $r \approx a$ , द्रव खंड और पृथ्वी के केंद्र के मध्य की दूरी औसत पृथ्वी त्रिज्या के लगभग बराबर हो सकती है:

M\approx ua\cos(\varphi )+\Omega a^{2}\cos ^{2}(\varphi )

जहाँ

$a$ पृथ्वी त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है ( $m$ में, सामान्यतः $6.371009 Mm$ )
$M$ द्रव खंड के प्रति इकाई द्रव्यमान में पूर्ण कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करता है ( $m 2 / s$ में),
$u$ द्रव खंड के वेग के पृथ्वी-सापेक्ष पूर्वमुखी घटक का प्रतिनिधित्व करता है ( $m / s$ में),
$φ$ अक्षांश का प्रतिनिधित्व करता है ( $rad$ में), और
$Ω$ पृथ्वी के घूर्णन की कोणीय दर का प्रतिनिधित्व करता है ( $rad / s$ में, सामान्यतः $2 π rad / 1 sidereal day \approx 72.921150 \times 10 -6 rad / s$ ).

उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव पर (अक्षांश $φ = \pm90° = π / 2 rad$ ), कोई पूर्ण कोणीय संवेग उपस्थित नहीं हो सकती ( $M = 0 m 2 / s$ क्योंकि $cos(\pm90°) = 0$ ). यदि कोई द्रव खंड बिना पूर्व की वायु की गति के ( $u 0 = 0 m / s$ ) भूमध्य रेखा पर उत्पन्न ( $φ = 0 rad$ इसलिए $cos(φ) = cos(0 rad) = 1$ ) इसके कोणीय गति ( $M 0 = M$ ) को संरक्षित करता है क्योंकि यह ध्रुव की ओर बढ़ता है, तो इसकी पूर्व की वायु की गति नाटकीय रूप से बढ़ जाती है: $u 0 a cos(φ 0) + Ω a 2 cos 2 (φ 0) = u a cos(φ) + Ω a 2 cos 2 (φ)$ . उन प्रतिस्थापनों के पश्चात, $Ω a 2 = u a cos(φ) + Ω a 2 cos 2 (φ)$ , या आगे सरलीकरण के पश्चात, $Ω a (1-cos 2 (φ)) = u cos(φ)$ $u$ के लिए समाधान $Ω a (1 / cos(φ) - cos(φ)) = u$ . यदि $φ = 15°$ ( $cos(φ) = 1+ \sqrt 3 / 2 \sqrt 2$ ), तब 72.921150 × 10⁻⁶ rad/s × 6.371009 Mm ×(2√2/1+√3 − 1+√3/2√2) ≈ 32.2m/s ≈ u देता है।

आंचलिक और मध्याह्न दबाव का माप और एड़ी (द्रव गतिकी) तनाव (यांत्रिकी), टॉर्कः का कारण बनते हैं जो द्रव खंड के पूर्ण कोणीय गति को परिवर्तित कर देता है।

संदर्भ

Holton, James R.; Hakim, Gregory J. (2012), An introduction to dynamic meteorology, 5, Waltham, Massachusetts: Academic Press, pp. 342–343, ISBN 978-0-12-384866-6

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 == परिचय ==
-कोणीय गति {{math|'''L'''}} कण (या [[द्रव पार्सल|द्रव खंड]]) की स्थिति (वेक्टर) {{math|'''r'''}} के क्रॉस उत्पाद और इसकी पूर्ण रैखिक [[गति]] {{math|'''p'''}} के बराबर है, {{math|<var>m</var>'''v'''}} के बराबर, द्रव्यमान और वेग का गुणनफल। गणितीय रूप से,
+कोणीय गति {{math|'''L'''}} कण (या [[द्रव पार्सल|द्रव खंड]]) की स्थिति (वेक्टर) {{math|'''r'''}} के क्रॉस उत्पाद और इसकी पूर्ण रैखिक [[गति]] {{math|'''p'''}} के बराबर है, {{math|<var>m</var>'''v'''}} के बराबर, द्रव्यमान और वेग का गुणनफल गणितीय रूप से,
 :<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m \mathbf{v} </math>
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 :<math>\left|\frac{\mathbf{L}}{m}\right| = M = u r \cos (\phi) + \Omega r^2 \cos^2(\phi) </math>
 जहां
-* {{math|<var>M</var>}} द्रव खंड के प्रति इकाई द्रव्यमान के पूर्ण कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करता है ( {{math|{{sfrac|m<sup>2</sup>|s}}}} में),
+* {{math|<var>M</var>}}  द्रव खंड के प्रति इकाई द्रव्यमान के पूर्ण कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करता है ( {{math|{{sfrac|m<sup>2</sup>|s}}}} में),
 * {{math|<var>r</var>}} पृथ्वी के केंद्र से द्रव खंड ({{math|m}} में) तक की दूरी का प्रतिनिधित्व करता है,
 * {{math|<var>u</var>}} द्रव खंड के वेग के पृथ्वी-सापेक्ष पूर्वमुखी घटक का प्रतिनिधित्व करता है ({{math|{{sfrac|m|s}}}} में),
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 * {{math|Ω}} पृथ्वी के घूर्णन की कोणीय दर का प्रतिनिधित्व करता है ({{math|{{sfrac|rad|s}}}}में, सामान्यतः {{math|{{sfrac|2 π [[radian|rad]]|1 [[sidereal day]]}} ≈ 72.921150 × 10<sup>−6</sup> {{sfrac|rad|s}}}}).
-पहला शब्द पृथ्वी की सतह के संबंध में खंड की कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि मौसम पर दृढ़ता से निर्भर करता है। दूसरा शब्द पृथ्वी के कोणीय गति को विशेष अक्षांश पर दर्शाता है (अनिवार्य रूप से कम से कम अन्य -भूगर्भीय काल पर स्थिर)।
+प्रथम शब्द पृथ्वी की सतह के संबंध में खंड की कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि मौसम पर दृढ़ता से निर्भर करता है। द्वितीय शब्द पृथ्वी के कोणीय गति को विशेष अक्षांश पर दर्शाता है (अनिवार्य रूप से अल्प से अल्प अन्य भूगर्भीय काल पर स्थिर)।
 == अनुप्रयोग ==
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 जहाँ
 * {{math|<var>a</var>}} पृथ्वी त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है ({{math|m}} में, सामान्यतः {{math|6.371009 Mm}})
-* {{math|<var>M</var>}} द्रव खंड के प्रति इकाई द्रव्यमान में पूर्ण कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करता है ({{math|{{sfrac|m<sup>2</sup>|s}}}} में),
+* {{math|<var>M</var>}}  द्रव खंड के प्रति इकाई द्रव्यमान में पूर्ण कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करता है ({{math|{{sfrac|m<sup>2</sup>|s}}}} में),
 * {{math|<var>u</var>}} द्रव खंड के वेग के पृथ्वी-सापेक्ष पूर्वमुखी घटक का प्रतिनिधित्व करता है ({{math|{{sfrac|m|s}}}} में),
 * {{math|<var>φ</var>}} अक्षांश का प्रतिनिधित्व करता है ({{math|rad}} में), और
 * {{math|Ω}} पृथ्वी के घूर्णन की कोणीय दर का प्रतिनिधित्व करता है ({{math|{{sfrac|rad|s}}}} में, सामान्यतः {{math|{{sfrac|2 π [[radian|rad]]|1 [[sidereal day]]}} ≈ 72.921150 × 10<sup>−6</sup> {{sfrac|rad|s}}}}).
-उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव पर (अक्षांश {{math|1=<var>φ</var> = ±90° = {{sfrac|''π''|2}}rad}}), कोई पूर्ण कोणीय संवेग उपस्थित नहीं हो सकता ({{math|1=<var>M</var> = 0 {{sfrac|m<sup>2</sup>|s}}}} क्योंकि {{math|1=cos(±90°) = 0}}). यदि कोई द्रव खंड बिना पूर्व की हवा की गति के ({{math|1=<var>u<sub>0</sub></var> = 0{{sfrac|m|s}}}}) भूमध्य रेखा पर उत्पन्न ({{math|1=<var>φ</var> = 0 rad}} इसलिए {{math|1=cos(<var>φ</var>) = cos(0 rad) = 1}}) अपने कोणीय संवेग को संरक्षित रखता है ({{math|1=<var>M</var><sub>0</sub> = <var>M</var>}}) जैसे-जैसे यह ध्रुव की ओर बढ़ता है, तब इसकी पूर्व की ओर हवा की गति नाटकीय रूप से बढ़ जाती है: {{math|1=<var>u<sub>0</sub></var> <var>a</var> cos(<var>φ<sub>0</sub></var>) + Ω <var>a</var><sup>2</sup> cos<sup>2</sup>(<var>φ<sub>0</sub></var>) = <var>u</var> <var>a</var> cos(<var>φ</var>) + Ω <var>a</var><sup>2</sup> cos<sup>2</sup>(<var>φ</var>)}}. उन प्रतिस्थापनों के बाद, {{math|1=Ω <var>a</var><sup>2</sup> = <var>u</var> <var>a</var> cos(<var>φ</var>) + Ω <var>a</var><sup>2</sup> cos<sup>2</sup>(<var>φ</var>)}}, या आगे सरलीकरण के बाद, {{math|1=Ω <var>a</var>(1-cos<sup>2</sup>(<var>φ</var>)) = <var>u</var> cos(<var>φ</var>)}}. {{math|<var>u</var>}} के लिए समाधान देता है {{math|1=Ω <var>a</var>({{sfrac|1|cos(<var>φ</var>)}} − cos(<var>φ</var>)) = <var>u</var>}}. यदि {{math|1=<var>φ</var> = 15°}} ({{math|1=cos(<var>φ</var>) = {{sfrac|1+{{sqrt|3}}|2{{sqrt|2}}}}}}), तब 72.921150 × 10<sup>−6</sup> rad/s × 6.371009 Mm ×(2√2/1+√3 − 1+√3/2√2) ≈ 32.2m/s ≈ <var>u</var>.
+उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव पर (अक्षांश {{math|1=<var>φ</var> = ±90° = {{sfrac|''π''|2}}rad}}), कोई पूर्ण कोणीय संवेग उपस्थित नहीं हो सकती ({{math|1=<var>M</var> = 0 {{sfrac|m<sup>2</sup>|s}}}} क्योंकि {{math|1=cos(±90°) = 0}}). यदि कोई द्रव खंड बिना पूर्व की वायु की गति के ({{math|1=<var>u<sub>0</sub></var> = 0{{sfrac|m|s}}}}) भूमध्य रेखा पर उत्पन्न ({{math|1=<var>φ</var> = 0 rad}} इसलिए {{math|1=cos(<var>φ</var>) = cos(0 rad) = 1}}) इसके कोणीय गति ({{math|1=<var>M</var><sub>0</sub> = <var>M</var>}}) को संरक्षित करता है क्योंकि यह ध्रुव की ओर बढ़ता है, तो इसकी पूर्व की वायु की गति नाटकीय रूप से बढ़ जाती है: {{math|1=<var>u<sub>0</sub></var> <var>a</var> cos(<var>φ<sub>0</sub></var>) + Ω <var>a</var><sup>2</sup> cos<sup>2</sup>(<var>φ<sub>0</sub></var>) = <var>u</var> <var>a</var> cos(<var>φ</var>) + Ω <var>a</var><sup>2</sup> cos<sup>2</sup>(<var>φ</var>)}}. उन प्रतिस्थापनों के पश्चात, {{math|1=Ω <var>a</var><sup>2</sup> = <var>u</var> <var>a</var> cos(<var>φ</var>) + Ω <var>a</var><sup>2</sup> cos<sup>2</sup>(<var>φ</var>)}}, या आगे सरलीकरण के पश्चात, {{math|1=Ω <var>a</var>(1-cos<sup>2</sup>(<var>φ</var>)) = <var>u</var> cos(<var>φ</var>)}} {{math|<var>u</var>}} के लिए समाधान  {{math|1=Ω <var>a</var>({{sfrac|1|cos(<var>φ</var>)}} − cos(<var>φ</var>)) = <var>u</var>}}. यदि {{math|1=<var>φ</var> = 15°}} ({{math|1=cos(<var>φ</var>) = {{sfrac|1+{{sqrt|3}}|2{{sqrt|2}}}}}}), तब 72.921150 × 10<sup>−6</sup> rad/s × 6.371009 Mm ×(2√2/1+√3 − 1+√3/2√2) ≈ 32.2m/s ≈ <var>u ''देता है।''</var>
 [[आंचलिक और मध्याह्न]] [[दबाव का एक माप|दबाव का माप]] और [[एड़ी (द्रव गतिकी)]] [[तनाव (यांत्रिकी)]], [[टॉर्कः]] का कारण बनते हैं जो द्रव खंड के पूर्ण कोणीय गति को परिवर्तित कर देता है।

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