बूलियन नेटवर्क: Difference between revisions

Revision as of 14:06, 18 February 2023

N=4 वर्टेक्स (ग्राफ़ थ्योरी) और K=1 ग्राफ़ थ्योरी # बेसिक्स प्रति नोड के साथ एक बूलियन नेटवर्क का स्टेट स्पेस। नोड्स को या तो चालू (लाल) या बंद (नीला) किया जा सकता है। पतले (काले) तीर बूलियन समारोह के इनपुट का प्रतीक हैं जो प्रत्येक नोड के लिए एक साधारण कॉपी-फ़ंक्शन है। मोटे (ग्रे) तीर दिखाते हैं कि सिंक्रोनस अपडेट क्या करता है। कुल मिलाकर 6 (नारंगी) आकर्षण हैं, उनमें से 4 निश्चित बिंदु (गणित) हैं।

एक बूलियन नेटवर्क में बूलियन चर का एक असतत सेट होता है। जिनमें से प्रत्येक में एक बूलियन फ़ंक्शन होता है। संभवतः प्रत्येक चर के लिए अलग इसे सौंपा जाता है। जो उन चर और आउटपुट के सबसेट से इनपुट लेता है। जो उस चर की स्थिति को निर्धारित करता है। जिसे इसे सौंपा गया है। कार्यों का यह सेट प्रभाव में चर के सेट पर एक टोपोलॉजी (कनेक्टिविटी) निर्धारित करता है। जो तब नेटवर्क (गणित) में नोड बन जाता है। सामान्यतः तंत्र की गतिशीलता को असतत समय श्रृंखला के रूप में लिया जाता है, जहां समय पर पूरे नेटवर्क की स्थिति t+1 समय t पर नेटवर्क की स्थिति पर प्रत्येक चर के कार्य का मूल्यांकन करके निर्धारित किया जाता है। . यह समकालिक रूप से या विकट:अतुल्यकालिक रूप से किया जा सकता है।^[1]

जीव विज्ञान में बूलियन नेटवर्क का उपयोग विनियामक नेटवर्क के मॉडल के लिए किया गया है। हालांकि बूलियन नेटवर्क आनुवंशिक वास्तविकता का एक अपरिष्कृत सरलीकरण है जहां जीन सरल बाइनरी स्विच नहीं हैं, ऐसे कई मामले हैं जहां वे व्यक्त और दबे हुए जीन के सही पैटर्न को सही ढंग से व्यक्त करते हैं।^[2]^[3] प्रतीत होने वाला गणितीय आसान (तुल्यकालिक) मॉडल केवल 2000 के दशक के मध्य में पूरी तरह से समझा गया था।^[4]

शास्त्रीय मॉडल

एक बूलियन नेटवर्क एक विशेष प्रकार की अनुक्रमिक गतिशील प्रणाली है, जहां समय और राज्य असतत होते हैं, यानी चर के सेट और समय श्रृंखला में राज्यों के सेट दोनों में पूर्णांक श्रृंखला पर एक आक्षेप होता है।

एक यादृच्छिक बूलियन नेटवर्क (RBN) वह है जिसे एक विशेष आकार, N के सभी संभावित बूलियन नेटवर्क के सेट से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। एक तो सांख्यिकीय रूप से अध्ययन कर सकता है कि कैसे ऐसे नेटवर्क के अपेक्षित गुण सभी संभावित नेटवर्कों के समूह के विभिन्न सांख्यिकीय गुणों पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, कोई यह अध्ययन कर सकता है कि औसत कनेक्टिविटी बदलने पर आरबीएन व्यवहार कैसे बदलता है।

आनुवंशिक नियामक नेटवर्क के यादृच्छिक मॉडल के रूप में 1969 में स्टुअर्ट ए कॉफ़मैन द्वारा पहले बूलियन नेटवर्क प्रस्तावित किए गए थे^[5] लेकिन उनकी गणितीय समझ 2000 के दशक में ही शुरू हुई थी।^[6]^[7]

आकर्षित करने वाले

चूँकि एक बूलियन नेटवर्क में केवल 2 होते हैं^N संभावित अवस्थाएँ, एक प्रक्षेपवक्र जल्दी या बाद में पहले देखी गई स्थिति तक पहुँच जाएगा, और इस प्रकार, चूंकि गतिकी नियतात्मक होती है, प्रक्षेपवक्र एक स्थिर अवस्था या चक्र में गिर जाएगा जिसे एक आकर्षण कहा जाता है (यद्यपि गतिशील के व्यापक क्षेत्र में) तंत्र एक चक्र केवल एक आकर्षित करने वाला होता है यदि इससे गड़बड़ी वापस आती है)। यदि आकर्षित करने वाले की केवल एक ही अवस्था होती है तो उसे बिंदु आकर्षणक कहा जाता है, और यदि आकर्षित करने वाले में एक से अधिक अवस्थाएँ होती हैं तो उसे चक्र आकर्षित करने वाला कहा जाता है। आकर्षित करने वाले राज्यों के समूह को आकर्षण का बेसिन कहा जाता है। राज्य जो केवल प्रक्षेपवक्र की शुरुआत में होते हैं (कोई प्रक्षेपवक्र उन्हें आगे नहीं ले जाते हैं), गार्डन-ऑफ-ईडन राज्य कहलाते हैं^[8] और नेटवर्क की गतिशीलता इन राज्यों से आकर्षित करने वालों की ओर बहती है। एक आकर्षित करने वाले तक पहुँचने में लगने वाले समय को क्षणिक समय कहा जाता है।^[4]

बढ़ती कंप्यूटर शक्ति और प्रतीत होने वाले सरल मॉडल की बढ़ती समझ के साथ, अलग-अलग लेखकों ने आकर्षित करने वालों की औसत संख्या और लंबाई के लिए अलग-अलग अनुमान दिए, यहां प्रमुख प्रकाशनों का संक्षिप्त सारांश दिया गया है।^[9]

Author	Year	Mean attractor length	Mean attractor number	comment
Kauffmann ^[5]	1969	$\langle A\rangle \sim {\sqrt {N}}$	$\langle \nu \rangle \sim {\sqrt {N}}$
Bastolla/ Parisi^[10]	1998	faster than a power law, $\langle A\rangle >N^{x}\forall x$	faster than a power law, $\langle \nu \rangle >N^{x}\forall x$	first numerical evidences
Bilke/ Sjunnesson^[11]	2002		linear with system size, $\langle \nu \rangle \sim N$
Socolar/Kauffman^[12]	2003		faster than linear, $\langle \nu \rangle >N^{x}$ with $x>1$
Samuelsson/Troein^[13]	2003		superpolynomial growth, $\langle \nu \rangle >N^{x}\forall x$	mathematical proof
Mihaljev/Drossel^[14]	2005	faster than a power law, $\langle A\rangle >N^{x}\forall x$	faster than a power law, $\langle \nu \rangle >N^{x}\forall x$

स्थिरता

डायनेमिक तंत्र सिद्धांत में, नेटवर्क के आकर्षित करने वालों की संरचना और लंबाई नेटवर्क के गतिशील चरण से मेल खाती है। बूलियन नेटवर्क की स्थिरता उनके नोड (ग्राफ सिद्धांत) के कनेक्शन पर निर्भर करती है। एक बूलियन नेटवर्क स्थिर, आलोचनात्मक या अराजक व्यवहार प्रदर्शित कर सकता है। यह घटना नोड्स के कनेक्शन की औसत संख्या के एक महत्वपूर्ण मूल्य द्वारा नियंत्रित होती है ( $K_{c}$ ), और हैमिंग दूरी द्वारा दूरी माप के रूप में चित्रित किया जा सकता है। अस्थिर शासन में, प्रारंभिक रूप से दो करीबी राज्यों के बीच की दूरी औसतन समय के साथ तेजी से बढ़ती है, जबकि स्थिर शासन में यह तेजी से घट जाती है। इसमें प्रारंभिक रूप से करीबी राज्यों के साथ इसका मतलब है कि हैमिंग दूरी नोड्स की संख्या की तुलना में छोटी है ( $N$ ) नेटवर्क में।

एन-के-मॉडल के लिए^[15] नेटवर्क स्थिर है अगर $K<K_{c}$ , महत्वपूर्ण अगर $K=K_{c}$ , और अस्थिर अगर $K>K_{c}$ .

किसी दिए गए नोड की स्थिति $n_{i}$ इसकी सत्य तालिका के अनुसार अद्यतन किया जाता है, जिसके आउटपुट बेतरतीब ढंग से भरे जाते हैं। $p_{i}$ इनपुट सिग्नल की दी गई श्रृंखला के लिए ऑफ आउटपुट असाइन करने की संभावना को दर्शाता है।

अगर $p_{i}=p=const.$ प्रत्येक नोड के लिए, स्थिर और अराजक सीमा के बीच संक्रमण निर्भर करता है $p$ . बर्नार्ड डेरिडा और यवेस पोमो के अनुसार^[16] , कनेक्शन की औसत संख्या का महत्वपूर्ण मान है $K_{c}=1/[2p(1-p)]$ .

अगर $K$ स्थिर नहीं है, और इन-डिग्री और आउट-डिग्री के बीच कोई संबंध नहीं है, स्थिरता की स्थिति किसके द्वारा निर्धारित की जाती है $\langle K^{in}\rangle$ ^[17]^[18]^[19] नेटवर्क स्थिर है अगर $\langle K^{in}\rangle <K_{c}$ , महत्वपूर्ण अगर $\langle K^{in}\rangle =K_{c}$ , और अस्थिर अगर $\langle K^{in}\rangle >K_{c}$ .

स्केल-फ्री नेटवर्क | स्केल-फ्री नेटवर्क टोपोलॉजी वाले नेटवर्क के मामले में स्थिरता की स्थिति समान होती है, जहां इन-एंड-आउट-डिग्री डिस्ट्रीब्यूशन एक पावर-लॉ डिस्ट्रीब्यूशन है: $P(K)\propto K^{-\gamma }$ , और $\langle K^{in}\rangle =\langle K^{out}\rangle$ , क्योंकि एक नोड से प्रत्येक आउट-लिंक दूसरे से इन-लिंक होता है।^[20] संवेदनशीलता इस संभावना को दर्शाती है कि किसी दिए गए नोड के बूलियन फ़ंक्शन का आउटपुट बदलता है यदि उसका इनपुट बदलता है। यादृच्छिक बूलियन नेटवर्क के लिए, $q_{i}=2p_{i}(1-p_{i})$ . सामान्य स्थिति में, नेटवर्क की स्थिरता सबसे बड़े eigenvalues और eigenvectors द्वारा नियंत्रित होती है $\lambda _{Q}$ मैट्रिक्स का $Q$ , कहाँ $Q_{ij}=q_{i}A_{ij}$ , और $A$ नेटवर्क का आसन्न मैट्रिक्स है।^[21] नेटवर्क स्थिर है अगर $\lambda _{Q}<1$ , महत्वपूर्ण अगर $\lambda _{Q}=1$ , अस्थिर अगर $\lambda _{Q}>1$ .

मॉडल के रूपांतर

अन्य टोपोलॉजी

एक विषय विभिन्न अंतर्निहित ग्राफ टोपोलॉजी का अध्ययन करना है।

सजातीय मामला केवल एक ग्रिड को संदर्भित करता है जो कि प्रसिद्ध ईज़िंग मॉडल की कमी है।
स्केल-फ्री नेटवर्क | बूलियन नेटवर्क के लिए स्केल-फ्री टोपोलॉजी का चयन किया जा सकता है।^[22] कोई उस मामले को अलग कर सकता है जहां सत्ता-कानून में केवल इन-डिग्री वितरण वितरित किया गया हो,^[23] या केवल आउट-डिग्री-डिस्ट्रीब्यूशन या दोनों।

अन्य अद्यतन योजनाएं

क्लासिकल बूलियन नेटवर्क (कभी-कभी सीआरबीएन, यानी क्लासिक रैंडम बूलियन नेटवर्क कहा जाता है) सिंक्रोनस रूप से अपडेट किए जाते हैं। इस तथ्य से प्रेरित है कि जीन सामान्यतः एक साथ अपनी स्थिति नहीं बदलते हैं,^[24] अलग-अलग विकल्प पेश किए गए हैं। एक सामान्य वर्गीकरण^[25] निम्नलखित में से कोई:

नियतात्मक अतुल्यकालिक अद्यतन बूलियन नेटवर्क (DRBNs) समकालिक रूप से अद्यतन नहीं हैं लेकिन एक नियतात्मक समाधान अभी भी मौजूद है। एक नोड i को तब अपडेट किया जाएगा जब t ≡ Q_i (पी के खिलाफ_i) जहां टी समय कदम है।^[26]
सबसे सामान्य मामला फुल स्टोकेस्टिक अपडेटिंग (GARBN, जनरल एसिंक्रोनस रैंडम बूलियन नेटवर्क) है। यहां, अद्यतन किए जाने वाले प्रत्येक कम्प्यूटेशनल चरण में एक (या अधिक) नोड का चयन किया जाता है।
आंशिक रूप से देखे गए बूलियन डायनेमिकल तंत्र (पीओबीडीएस)^[27]^[28]^[29]^[30] सिग्नल मॉडल सभी पिछले नियतात्मक और स्टोचैस्टिक बूलियन नेटवर्क मॉडल से अलग है, बूलियन राज्य वेक्टर की प्रत्यक्ष अवलोकन क्षमता की धारणा को हटाकर और अवलोकन प्रक्रिया में अनिश्चितता की अनुमति देकर, व्यवहार में आने वाले परिदृश्य को संबोधित करते हुए।
स्वायत्त बूलियन नेटवर्क (एबीएन) निरंतर समय में अपडेट किए जाते हैं (टी एक वास्तविक संख्या है, एक पूर्णांक नहीं है), जो दौड़ की स्थिति और जटिल गतिशील व्यवहार जैसे नियतात्मक अराजकता की ओर जाता है।^[31]^[32]

बूलियन नेटवर्क का अनुप्रयोग

वर्गीकरण

स्केलेबल इष्टतम बायेसियन वर्गीकरण^[33] संभावित मॉडल अनिश्चितता के लिए प्रक्षेपवक्र लेखांकन का एक इष्टतम वर्गीकरण विकसित किया और एक कण-आधारित प्रक्षेपवक्र वर्गीकरण भी प्रस्तावित किया जो कि इष्टतम समाधान की तुलना में बहुत कम जटिलता वाले बड़े नेटवर्क के लिए अत्यधिक मापनीय है।

यह भी देखें

एनके मॉडल

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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bioasp/bonesis: Synthesis of Most Permissive Boolean Networks from network architecture and dynamical properties
CoLoMoTo (Consortium for Logical Models and Tools)
DDLab
NetBuilder Boolean Networks Simulator
Open Source Boolean Network Simulator
JavaScript Kauffman Network
Probabilistic Boolean Networks (PBN)
RBNLab
A SAT-based tool for computing attractors in Boolean Networks

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 {{short description|Discrete set of boolean variables}}
-[[File:Hou710 BooleanNetwork.svg|thumb|N=4 वर्टेक्स (ग्राफ़ थ्योरी) और K=1 ग्राफ़ थ्योरी # बेसिक्स प्रति नोड के साथ एक बूलियन नेटवर्क का स्टेट स्पेस। नोड्स को या तो चालू (लाल) या बंद (नीला) किया जा सकता है। पतले (काले) तीर [[बूलियन समारोह]] के इनपुट का प्रतीक हैं जो प्रत्येक नोड के लिए एक साधारण कॉपी-फ़ंक्शन है। मोटे (ग्रे) तीर दिखाते हैं कि सिंक्रोनस अपडेट क्या करता है। कुल मिलाकर 6 (नारंगी) आकर्षण हैं, उनमें से 4 [[निश्चित बिंदु (गणित)]] हैं।]]एक '''बूलियन नेटवर्क''' में [[बूलियन चर]] का एक असतत सेट होता है। जिनमें से प्रत्येक में एक बूलियन फ़ंक्शन होता है। संभवतः प्रत्येक चर के लिए अलग इसे सौंपा जाता है। जो उन चर और आउटपुट के सबसेट से इनपुट लेता है। जो उस चर की स्थिति को निर्धारित करता है। जिसे इसे सौंपा गया है। कार्यों का यह सेट प्रभाव में चर के सेट पर एक टोपोलॉजी (कनेक्टिविटी) निर्धारित करता है। जो तब [[नेटवर्क (गणित)]] में नोड बन जाता है। आमतौर पर, सिस्टम की गतिशीलता को असतत [[समय श्रृंखला]] के रूप में लिया जाता है, जहां समय पर पूरे नेटवर्क की स्थिति ''t''+1 समय ''t'' पर नेटवर्क की स्थिति पर प्रत्येक चर के कार्य का मूल्यांकन करके निर्धारित किया जाता है। . यह समकालिक रूप से या विकट:अतुल्यकालिक रूप से किया जा सकता है।<ref>{{cite journal|last1=Naldi|first1=A.|last2=Monteiro|first2=P. T.|last3=Mussel|first3=C.|last4=Kestler|first4=H. A.|last5=Thieffry|first5=D.|last6=Xenarios|first6=I.|last7=Saez-Rodriguez|first7=J.|last8=Helikar|first8=T.|last9=Chaouiya|first9=C.|title=Cooperative development of logical modelling standards and tools with CoLoMoTo|journal=Bioinformatics|date=25 January 2015|volume=31|issue=7|pages=1154–1159|doi=10.1093/bioinformatics/btv013|pmid=25619997|doi-access=free}}</ref>
+[[File:Hou710 BooleanNetwork.svg|thumb|N=4 वर्टेक्स (ग्राफ़ थ्योरी) और K=1 ग्राफ़ थ्योरी # बेसिक्स प्रति नोड के साथ एक बूलियन नेटवर्क का स्टेट स्पेस। नोड्स को या तो चालू (लाल) या बंद (नीला) किया जा सकता है। पतले (काले) तीर [[बूलियन समारोह]] के इनपुट का प्रतीक हैं जो प्रत्येक नोड के लिए एक साधारण कॉपी-फ़ंक्शन है। मोटे (ग्रे) तीर दिखाते हैं कि सिंक्रोनस अपडेट क्या करता है। कुल मिलाकर 6 (नारंगी) आकर्षण हैं, उनमें से 4 [[निश्चित बिंदु (गणित)]] हैं।]]एक '''बूलियन नेटवर्क''' में [[बूलियन चर]] का एक असतत सेट होता है। जिनमें से प्रत्येक में एक बूलियन फ़ंक्शन होता है। संभवतः प्रत्येक चर के लिए अलग इसे सौंपा जाता है। जो उन चर और आउटपुट के सबसेट से इनपुट लेता है। जो उस चर की स्थिति को निर्धारित करता है। जिसे इसे सौंपा गया है। कार्यों का यह सेट प्रभाव में चर के सेट पर एक टोपोलॉजी (कनेक्टिविटी) निर्धारित करता है। जो तब [[नेटवर्क (गणित)]] में नोड बन जाता है। सामान्यतः तंत्र की गतिशीलता को असतत [[समय श्रृंखला]] के रूप में लिया जाता है, जहां समय पर पूरे नेटवर्क की स्थिति ''t''+1 समय ''t'' पर नेटवर्क की स्थिति पर प्रत्येक चर के कार्य का मूल्यांकन करके निर्धारित किया जाता है। . यह समकालिक रूप से या विकट:अतुल्यकालिक रूप से किया जा सकता है।<ref>{{cite journal|last1=Naldi|first1=A.|last2=Monteiro|first2=P. T.|last3=Mussel|first3=C.|last4=Kestler|first4=H. A.|last5=Thieffry|first5=D.|last6=Xenarios|first6=I.|last7=Saez-Rodriguez|first7=J.|last8=Helikar|first8=T.|last9=Chaouiya|first9=C.|title=Cooperative development of logical modelling standards and tools with CoLoMoTo|journal=Bioinformatics|date=25 January 2015|volume=31|issue=7|pages=1154–1159|doi=10.1093/bioinformatics/btv013|pmid=25619997|doi-access=free}}</ref>
 जीव विज्ञान में बूलियन नेटवर्क का उपयोग विनियामक नेटवर्क के मॉडल के लिए किया गया है। हालांकि बूलियन नेटवर्क आनुवंशिक वास्तविकता का एक अपरिष्कृत सरलीकरण है जहां जीन सरल बाइनरी स्विच नहीं हैं, ऐसे कई मामले हैं जहां वे व्यक्त और दबे हुए जीन के सही पैटर्न को सही ढंग से व्यक्त करते हैं।<ref>{{cite journal|last1=Albert|first1=Réka|last2=Othmer|first2=Hans G|title=The topology of the regulatory interactions predicts the expression pattern of the segment polarity genes in Drosophila melanogaster|journal=Journal of Theoretical Biology|date=July 2003|volume=223|issue=1|pages=1–18|doi=10.1016/S0022-5193(03)00035-3|pmid=12782112|pmc=6388622|arxiv=q-bio/0311019|bibcode=2003JThBi.223....1A|citeseerx=10.1.1.13.3370}}<!--|access-date=25 November 2014--></ref><ref>{{cite journal|last1=Li|first1=J.|last2=Bench|first2=A. J.|last3=Vassiliou|first3=G. S.|last4=Fourouclas|first4=N.|last5=Ferguson-Smith|first5=A. C.|last6=Green|first6=A. R.|title=Imprinting of the human L3MBTL gene, a polycomb family member located in a region of chromosome 20 deleted in human myeloid malignancies |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|date=30 April 2004 |volume=101|issue=19 |pages=7341–7346 |doi=10.1073/pnas.0308195101|pmid=15123827 |pmc=409920|bibcode = 2004PNAS..101.7341L |doi-access=free}}</ref> प्रतीत होने वाला गणितीय आसान (तुल्यकालिक) मॉडल केवल 2000 के दशक के मध्य में पूरी तरह से समझा गया था।<ref name=DrosselRbn>{{cite book|last1=Drossel|first1=Barbara|editor1-last=Schuster|editor1-first=Heinz Georg|title=Chapter 3. Random Boolean Networks|date=December 2009|doi=10.1002/9783527626359.ch3|arxiv=0706.3351|series=Reviews of Nonlinear Dynamics and Complexity|publisher=Wiley|pages=69–110|isbn=9783527626359|chapter=Random Boolean Networks|s2cid=119300231}}</ref>
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 === आकर्षित करने वाले ===
-चूँकि एक बूलियन नेटवर्क में केवल 2 होते हैं<sup>N</sup> संभावित अवस्थाएँ, एक प्रक्षेपवक्र जल्दी या बाद में पहले देखी गई स्थिति तक पहुँच जाएगा, और इस प्रकार, चूंकि गतिकी नियतात्मक होती है, प्रक्षेपवक्र एक स्थिर अवस्था या चक्र में गिर जाएगा जिसे एक आकर्षण कहा जाता है (यद्यपि गतिशील के व्यापक क्षेत्र में) सिस्टम एक चक्र केवल एक आकर्षित करने वाला होता है यदि इससे गड़बड़ी वापस आती है)। यदि आकर्षित करने वाले की केवल एक ही अवस्था होती है तो उसे बिंदु आकर्षणक कहा जाता है, और यदि आकर्षित करने वाले में एक से अधिक अवस्थाएँ होती हैं तो उसे चक्र आकर्षित करने वाला कहा जाता है। आकर्षित करने वाले राज्यों के समूह को आकर्षण का बेसिन कहा जाता है। राज्य जो केवल प्रक्षेपवक्र की शुरुआत में होते हैं (कोई प्रक्षेपवक्र उन्हें आगे नहीं ले जाते हैं), गार्डन-ऑफ-ईडन राज्य कहलाते हैं<ref name=WuenscheBook>{{cite book|last1=Wuensche|first1=Andrew|title=Exploring discrete dynamics : [the DDLab manual : tools for researching cellular automata, random Boolean and multivalue neworks [sic] and beyond]|date=2011|publisher=Luniver Press|location=Frome, England|isbn=9781905986316|page=16|url=https://books.google.com/books?id=qsktzY_Vg8QC&pg=PA16|access-date=12 January 2016|archive-date=4 February 2023|archive-url=https://web.archive.org/web/20230204160659/https://books.google.com/books?id=qsktzY_Vg8QC&pg=PA16|url-status=live}}</ref> और नेटवर्क की गतिशीलता इन राज्यों से आकर्षित करने वालों की ओर बहती है। एक आकर्षित करने वाले तक पहुँचने में लगने वाले समय को क्षणिक समय कहा जाता है।<ref name=DrosselRbn />
+चूँकि एक बूलियन नेटवर्क में केवल 2 होते हैं<sup>N</sup> संभावित अवस्थाएँ, एक प्रक्षेपवक्र जल्दी या बाद में पहले देखी गई स्थिति तक पहुँच जाएगा, और इस प्रकार, चूंकि गतिकी नियतात्मक होती है, प्रक्षेपवक्र एक स्थिर अवस्था या चक्र में गिर जाएगा जिसे एक आकर्षण कहा जाता है (यद्यपि गतिशील के व्यापक क्षेत्र में) तंत्र एक चक्र केवल एक आकर्षित करने वाला होता है यदि इससे गड़बड़ी वापस आती है)। यदि आकर्षित करने वाले की केवल एक ही अवस्था होती है तो उसे बिंदु आकर्षणक कहा जाता है, और यदि आकर्षित करने वाले में एक से अधिक अवस्थाएँ होती हैं तो उसे चक्र आकर्षित करने वाला कहा जाता है। आकर्षित करने वाले राज्यों के समूह को आकर्षण का बेसिन कहा जाता है। राज्य जो केवल प्रक्षेपवक्र की शुरुआत में होते हैं (कोई प्रक्षेपवक्र उन्हें आगे नहीं ले जाते हैं), गार्डन-ऑफ-ईडन राज्य कहलाते हैं<ref name=WuenscheBook>{{cite book|last1=Wuensche|first1=Andrew|title=Exploring discrete dynamics : [the DDLab manual : tools for researching cellular automata, random Boolean and multivalue neworks [sic] and beyond]|date=2011|publisher=Luniver Press|location=Frome, England|isbn=9781905986316|page=16|url=https://books.google.com/books?id=qsktzY_Vg8QC&pg=PA16|access-date=12 January 2016|archive-date=4 February 2023|archive-url=https://web.archive.org/web/20230204160659/https://books.google.com/books?id=qsktzY_Vg8QC&pg=PA16|url-status=live}}</ref> और नेटवर्क की गतिशीलता इन राज्यों से आकर्षित करने वालों की ओर बहती है। एक आकर्षित करने वाले तक पहुँचने में लगने वाले समय को क्षणिक समय कहा जाता है।<ref name=DrosselRbn />
 बढ़ती कंप्यूटर शक्ति और प्रतीत होने वाले सरल मॉडल की बढ़ती समझ के साथ, अलग-अलग लेखकों ने आकर्षित करने वालों की औसत संख्या और लंबाई के लिए अलग-अलग अनुमान दिए, यहां प्रमुख प्रकाशनों का संक्षिप्त सारांश दिया गया है।<ref name=GreilReview>{{cite journal|last1=Greil|first1=Florian|title=Boolean Networks as Modeling Framework|journal=Frontiers in Plant Science|date=2012|volume=3|pages=178|doi=10.3389/fpls.2012.00178|pmid=22912642|pmc=3419389|doi-access=free}}<!--|access-date=26 November 2014--></ref>
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 == स्थिरता ==
-डायनेमिक सिस्टम सिद्धांत में, नेटवर्क के आकर्षित करने वालों की संरचना और लंबाई नेटवर्क के गतिशील चरण से मेल खाती है। बूलियन नेटवर्क की स्थिरता उनके [[नोड (ग्राफ सिद्धांत)]] के कनेक्शन पर निर्भर करती है। एक बूलियन नेटवर्क स्थिर, आलोचनात्मक या [[अराजक व्यवहार]] प्रदर्शित कर सकता है। यह घटना नोड्स के कनेक्शन की औसत संख्या के एक महत्वपूर्ण मूल्य द्वारा नियंत्रित होती है (<math>K_{c}</math>), और [[हैमिंग दूरी]] द्वारा दूरी माप के रूप में चित्रित किया जा सकता है। अस्थिर शासन में, प्रारंभिक रूप से दो करीबी राज्यों के बीच की दूरी औसतन समय के साथ तेजी से बढ़ती है, जबकि स्थिर शासन में यह तेजी से घट जाती है। इसमें प्रारंभिक रूप से करीबी राज्यों के साथ इसका मतलब है कि हैमिंग दूरी नोड्स की संख्या की तुलना में छोटी है (<math>N</math>) नेटवर्क में।
+डायनेमिक तंत्र सिद्धांत में, नेटवर्क के आकर्षित करने वालों की संरचना और लंबाई नेटवर्क के गतिशील चरण से मेल खाती है। बूलियन नेटवर्क की स्थिरता उनके [[नोड (ग्राफ सिद्धांत)]] के कनेक्शन पर निर्भर करती है। एक बूलियन नेटवर्क स्थिर, आलोचनात्मक या [[अराजक व्यवहार]] प्रदर्शित कर सकता है। यह घटना नोड्स के कनेक्शन की औसत संख्या के एक महत्वपूर्ण मूल्य द्वारा नियंत्रित होती है (<math>K_{c}</math>), और [[हैमिंग दूरी]] द्वारा दूरी माप के रूप में चित्रित किया जा सकता है। अस्थिर शासन में, प्रारंभिक रूप से दो करीबी राज्यों के बीच की दूरी औसतन समय के साथ तेजी से बढ़ती है, जबकि स्थिर शासन में यह तेजी से घट जाती है। इसमें प्रारंभिक रूप से करीबी राज्यों के साथ इसका मतलब है कि हैमिंग दूरी नोड्स की संख्या की तुलना में छोटी है (<math>N</math>) नेटवर्क में।
 एन-के-मॉडल के लिए<ref>{{cite journal |last=Kauffman |first=S. A. |date=1969 |title=Metabolic stability and epigenesis in randomly constructed genetic nets |journal=Journal of Theoretical Biology |volume=22 |issue=3 |pages=437–467 |doi=10.1016/0022-5193(69)90015-0|pmid=5803332 |bibcode=1969JThBi..22..437K }}</ref> नेटवर्क स्थिर है अगर <math>K<K_{c}</math>, महत्वपूर्ण अगर <math>K=K_{c}</math>, और अस्थिर अगर <math>K>K_{c}</math>.
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 === अन्य अद्यतन योजनाएं ===
-क्लासिकल बूलियन नेटवर्क (कभी-कभी सीआरबीएन, यानी क्लासिक रैंडम बूलियन नेटवर्क कहा जाता है) सिंक्रोनस रूप से अपडेट किए जाते हैं। इस तथ्य से प्रेरित है कि जीन आमतौर पर एक साथ अपनी स्थिति नहीं बदलते हैं,<ref name=HarveyBossomaier1997>{{cite book|last1=Harvey|first1=Imman|last2=Bossomaier|first2=Terry|editor1-last=Husbands|editor1-first=Phil|editor2-last=Harvey|editor2-first=Imman|title=Time out of joint: Attractors in asynchronous random Boolean networks|journal=Proceedings of the Fourth European Conference on Artificial Life (ECAL97)|date=1997|pages=67–75|url=https://books.google.com/books?id=ccp8fzlyorAC&pg=PA67|publisher=MIT Press|isbn=9780262581578|access-date=2020-09-16|archive-date=2023-02-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20230204160659/https://books.google.com/books?id=ccp8fzlyorAC&pg=PA67|url-status=live}}</ref> अलग-अलग विकल्प पेश किए गए हैं। एक सामान्य वर्गीकरण<ref name=Gershenson2004>{{cite book|last1=Gershenson|first1=Carlos|editor1-last=Standish|editor1-first=Russell K|editor2-last=Bedau|editor2-first=Mark A|title=Classification of Random Boolean Networks|journal=Proceedings of the Eighth International Conference on Artificial Life|date=2002|volume=8|pages=1–8|url=https://books.google.com/books?id=si_KlRbL1XoC&pg=PA1|access-date=12 January 2016|arxiv=cs/0208001|series=Artificial Life|location=Cambridge, Massachusetts, USA|isbn=9780262692816|bibcode=2002cs........8001G|archive-date=4 February 2023|archive-url=https://web.archive.org/web/20230204160659/https://books.google.com/books?id=si_KlRbL1XoC&pg=PA1|url-status=live}}</ref> निम्नलखित में से कोई:
+क्लासिकल बूलियन नेटवर्क (कभी-कभी सीआरबीएन, यानी क्लासिक रैंडम बूलियन नेटवर्क कहा जाता है) सिंक्रोनस रूप से अपडेट किए जाते हैं। इस तथ्य से प्रेरित है कि जीन सामान्यतः एक साथ अपनी स्थिति नहीं बदलते हैं,<ref name=HarveyBossomaier1997>{{cite book|last1=Harvey|first1=Imman|last2=Bossomaier|first2=Terry|editor1-last=Husbands|editor1-first=Phil|editor2-last=Harvey|editor2-first=Imman|title=Time out of joint: Attractors in asynchronous random Boolean networks|journal=Proceedings of the Fourth European Conference on Artificial Life (ECAL97)|date=1997|pages=67–75|url=https://books.google.com/books?id=ccp8fzlyorAC&pg=PA67|publisher=MIT Press|isbn=9780262581578|access-date=2020-09-16|archive-date=2023-02-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20230204160659/https://books.google.com/books?id=ccp8fzlyorAC&pg=PA67|url-status=live}}</ref> अलग-अलग विकल्प पेश किए गए हैं। एक सामान्य वर्गीकरण<ref name=Gershenson2004>{{cite book|last1=Gershenson|first1=Carlos|editor1-last=Standish|editor1-first=Russell K|editor2-last=Bedau|editor2-first=Mark A|title=Classification of Random Boolean Networks|journal=Proceedings of the Eighth International Conference on Artificial Life|date=2002|volume=8|pages=1–8|url=https://books.google.com/books?id=si_KlRbL1XoC&pg=PA1|access-date=12 January 2016|arxiv=cs/0208001|series=Artificial Life|location=Cambridge, Massachusetts, USA|isbn=9780262692816|bibcode=2002cs........8001G|archive-date=4 February 2023|archive-url=https://web.archive.org/web/20230204160659/https://books.google.com/books?id=si_KlRbL1XoC&pg=PA1|url-status=live}}</ref> निम्नलखित में से कोई:
 * नियतात्मक अतुल्यकालिक अद्यतन बूलियन नेटवर्क (DRBNs) समकालिक रूप से अद्यतन नहीं हैं लेकिन एक नियतात्मक समाधान अभी भी मौजूद है। एक नोड ''i'' को तब अपडेट किया जाएगा जब ''t ≡ Q<sub>i</sub> (पी के खिलाफ<sub>i</sub>) जहां टी समय कदम है।<ref name=GershensonDrbn>{{cite book|last1=Gershenson|first1=Carlos|last2=Broekaert|first2=Jan|last3=Aerts|first3=Diederik|title=Contextual Random Boolean Networks|journal=Advances in Artificial Life|date=14 September 2003|volume=2801|pages=615–624|doi=10.1007/978-3-540-39432-7_66|arxiv=nlin/0303021|series=Lecture Notes in Computer Science|trans-title=7th European Conference, ECAL 2003|location=Dortmund, Germany|isbn=978-3-540-39432-7|s2cid=4309400}}</ref>
 * सबसे सामान्य मामला फुल स्टोकेस्टिक अपडेटिंग (GARBN, जनरल एसिंक्रोनस रैंडम बूलियन नेटवर्क) है। यहां, अद्यतन किए जाने वाले प्रत्येक कम्प्यूटेशनल चरण में एक (या अधिक) नोड का चयन किया जाता है।
-* आंशिक रूप से देखे गए बूलियन डायनेमिकल सिस्टम (पीओबीडीएस)<ref>{{Cite journal|last1=Imani|first1=M.|last2=Braga-Neto|first2=U. M.|date=2017-01-01|title=Maximum-Likelihood Adaptive Filter for Partially Observed Boolean Dynamical Systems|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|volume=65|issue=2|pages=359–371|doi=10.1109/TSP.2016.2614798|issn=1053-587X|arxiv=1702.07269|bibcode=2017ITSP...65..359I|s2cid=178376}}</ref><ref>{{Cite book|pages=972–976|last1=Imani|first1=M.|last2=Braga-Neto|first2=U. M.|language=en-US|doi=10.1109/GlobalSIP.2015.7418342|chapter=Optimal state estimation for boolean dynamical systems using a boolean Kalman smoother|year=2015|isbn=978-1-4799-7591-4|title=2015 IEEE Global Conference on Signal and Information Processing (GlobalSIP)|s2cid=8672734}}</ref><ref>{{Cite book|last1=Imani|first1=M.|last2=Braga-Neto|first2=U. M.|language=en-US|doi=10.1109/ACC.2016.7524920|title=2016 American Control Conference (ACC)|pages=227–232|year=2016|isbn=978-1-4673-8682-1|s2cid=7210088}}</ref><ref>{{Cite book|last1=Imani|first1=M.|last2=Braga-Neto|first2=U.|date=2016-12-01|title=Point-based value iteration for partially-observed Boolean dynamical systems with finite observation space|journal=2016 IEEE 55th Conference on Decision and Control (CDC)|pages=4208–4213|doi=10.1109/CDC.2016.7798908|isbn=978-1-5090-1837-6|s2cid=11341805}}</ref> सिग्नल मॉडल सभी पिछले नियतात्मक और स्टोचैस्टिक बूलियन नेटवर्क मॉडल से अलग है, बूलियन राज्य वेक्टर की प्रत्यक्ष अवलोकन क्षमता की धारणा को हटाकर और अवलोकन प्रक्रिया में अनिश्चितता की अनुमति देकर, व्यवहार में आने वाले परिदृश्य को संबोधित करते हुए।
+* आंशिक रूप से देखे गए बूलियन डायनेमिकल तंत्र (पीओबीडीएस)<ref>{{Cite journal|last1=Imani|first1=M.|last2=Braga-Neto|first2=U. M.|date=2017-01-01|title=Maximum-Likelihood Adaptive Filter for Partially Observed Boolean Dynamical Systems|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|volume=65|issue=2|pages=359–371|doi=10.1109/TSP.2016.2614798|issn=1053-587X|arxiv=1702.07269|bibcode=2017ITSP...65..359I|s2cid=178376}}</ref><ref>{{Cite book|pages=972–976|last1=Imani|first1=M.|last2=Braga-Neto|first2=U. M.|language=en-US|doi=10.1109/GlobalSIP.2015.7418342|chapter=Optimal state estimation for boolean dynamical systems using a boolean Kalman smoother|year=2015|isbn=978-1-4799-7591-4|title=2015 IEEE Global Conference on Signal and Information Processing (GlobalSIP)|s2cid=8672734}}</ref><ref>{{Cite book|last1=Imani|first1=M.|last2=Braga-Neto|first2=U. M.|language=en-US|doi=10.1109/ACC.2016.7524920|title=2016 American Control Conference (ACC)|pages=227–232|year=2016|isbn=978-1-4673-8682-1|s2cid=7210088}}</ref><ref>{{Cite book|last1=Imani|first1=M.|last2=Braga-Neto|first2=U.|date=2016-12-01|title=Point-based value iteration for partially-observed Boolean dynamical systems with finite observation space|journal=2016 IEEE 55th Conference on Decision and Control (CDC)|pages=4208–4213|doi=10.1109/CDC.2016.7798908|isbn=978-1-5090-1837-6|s2cid=11341805}}</ref> सिग्नल मॉडल सभी पिछले नियतात्मक और स्टोचैस्टिक बूलियन नेटवर्क मॉडल से अलग है, बूलियन राज्य वेक्टर की प्रत्यक्ष अवलोकन क्षमता की धारणा को हटाकर और अवलोकन प्रक्रिया में अनिश्चितता की अनुमति देकर, व्यवहार में आने वाले परिदृश्य को संबोधित करते हुए।
 * स्वायत्त बूलियन नेटवर्क (एबीएन) निरंतर समय में अपडेट किए जाते हैं (''टी'' एक वास्तविक संख्या है, एक पूर्णांक नहीं है), जो दौड़ की स्थिति और जटिल गतिशील व्यवहार जैसे नियतात्मक अराजकता की ओर जाता है।<ref name="Zhangde S.Cavalcante2009">{{cite journal|last1=Zhang|first1=Rui|last2=Cavalcante|first2=Hugo L. D. de S.|last3=Gao|first3=Zheng|last4=Gauthier|first4=Daniel J.|last5=Socolar|first5=Joshua E. S.|last6=Adams|first6=Matthew M.|last7=Lathrop|first7=Daniel P.|title=Boolean chaos|journal=Physical Review E|volume=80|issue=4|year=2009|page=045202|issn=1539-3755|doi=10.1103/PhysRevE.80.045202|pmid=19905381|arxiv=0906.4124|bibcode=2009PhRvE..80d5202Z|s2cid=43022955}}</ref><ref name="CavalcanteGauthier2010">{{cite journal|last1=Cavalcante|first1=Hugo L. D. de S.|last2=Gauthier|first2=Daniel J.|last3=Socolar|first3=Joshua E. S.|last4=Zhang|first4=Rui|title=On the origin of chaos in autonomous Boolean networks|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|volume=368|issue=1911|year=2010|pages=495–513|issn=1364-503X|doi=10.1098/rsta.2009.0235|pmid=20008414|arxiv=0909.2269|bibcode=2010RSPTA.368..495C|s2cid=426841}}</ref>

v t e Stochastic processes
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Galves–Löcherbach model Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
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