ऑपरेशन (गणित): Difference between revisions

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{{distinguish|ऑपरेटर (गणित)}}
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{{Short description|Addition, multiplication, division, ...}}
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[[File:Basic arithmetic operators.svg|thumb|right|[[प्राथमिक अंकगणित]]ीय संचालन:{{unbulleted list
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| style=margin-left:1.6em;
| style=मार्जिन-लेफ्ट:1.6em;
| +, plus (addition)
| +, प्लस (अतिरिक्त)
| −, minus (subtraction)
| −, ऋण (घटाव)
| ÷, obelus (division)
| ÷, ओबेलस (विभाजन)
| ×, times (multiplication)
| ×, गुणा (गुणन)
}}]]गणित में, '''ऑपरेशन''' एक ऐसा फलन है जो शून्य या अधिक इनपुट मान (जिन्हें "''[[ओपेरंड|संचालन]]''" या "तर्क" भी कहा जाता है) को एक अच्छी तरह से परिभाषित आउटपुट मान पर ले जाता है। ऑपरेंड की संख्या ऑपरेशन की [[arity|एरिटी]] है।
}}]]गणित में, '''ऑपरेशन''' एक ऐसा फलन है जो शून्य या अधिक इनपुट मान (जिन्हें "''[[ओपेरंड|संचालन]]''" या "तर्क" भी कहा जाता है) को एक अच्छी तरह से परिभाषित आउटपुट मान पर ले जाता है। ऑपरेंड की संख्या ऑपरेशन की [[arity|एरिटी]] है।


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== ऑपरेशन के प्रकार ==
== ऑपरेशन के प्रकार ==
[[File:Binary operations as black box.svg|thumb|एक बाइनरी ऑपरेशन में दो तर्क होते हैं <math>x</math> और <math>y</math>, और परिणाम देता है <math>x\circ y</math>.]]ऑपरेशन के दो सामान्य प्रकार हैं: यूनरी ऑपरेशन और बाइनरी ऑपरेशन। एकात्मक संक्रियाओं में केवल एक मान शामिल होता है, जैसे कि निषेध और त्रिकोणमितीय कार्य।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Unary Operation|url=https://mathworld.wolfram.com/UnaryOperation.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> दूसरी ओर, द्विआधारी संक्रियाएं दो मान लेती हैं, और इसमें जोड़, [[घटाव]], गुणा, भाग और [[घातांक]] शामिल होते हैं।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Binary Operation|url=https://mathworld.wolfram.com/BinaryOperation.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
[[File:Binary operations as black box.svg|thumb|एक बाइनरी ऑपरेशन में दो तर्क होते हैं <math>x</math> और <math>y</math>, और परिणाम देता है <math>x\circ y</math>.]]ऑपरेशन के दो सामान्य प्रकार हैं: यूनरी ऑपरेशन और बाइनरी ऑपरेशन। एकात्मक संक्रियाओं में केवल एक मान शामिल होता है, जैसे कि निषेध और त्रिकोणमितीय कार्य।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Unary Operation|url=https://mathworld.wolfram.com/UnaryOperation.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> दूसरी ओर, द्विआधारी संक्रियाएं दो मान लेती हैं, और इसमें जोड़, [[घटाव]], गुणा, भाग और [[घातांक]] शामिल होते हैं।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Binary Operation|url=https://mathworld.wolfram.com/BinaryOperation.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
संक्रियाओं में संख्याओं के अलावा अन्य गणितीय वस्तुएँ शामिल हो सकती हैं। True Value True और False को [[तर्क संचालन]] का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है, जैसे कि और, या, और नहीं। [[वेक्टर (ज्यामितीय)]] को जोड़ा और घटाया जा सकता है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=वेक्टर|url=https://mathworld.wolfram.com/वेक्टर.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en|quote=वेक्टरs can be added together (vector addition), subtracted (vector subtraction) ...}}</ref> फ़ंक्शन रचना ऑपरेशन का उपयोग करके घुमावों को जोड़ा जा सकता है, पहला घुमाव और फिर दूसरा। ऑपरेशंस ऑन [[सेट (गणित)]] में बाइनरी ऑपरेशंस यूनियन (गणित) और चौराहे (गणित) और [[पूरकता (गणित)]] के एकरी ऑपरेशन शामिल हैं।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=मिलन|url=https://mathworld.wolfram.com/मिलन.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=चौराहा|url=https://mathworld.wolfram.com/चौराहा.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=पूरक|url=https://mathworld.wolfram.com/पूरक.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> फंक्शन पर ऑपरेशंस (गणित) में फंक्शन कंपोज़िशन और [[कनवल्शन]] शामिल हैं।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=संघटन|url=https://mathworld.wolfram.com/संघटन.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=कनवल्शन|url=https://mathworld.wolfram.com/कनवल्शन.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
संक्रियाओं में संख्याओं के अलावा अन्य गणितीय वस्तुएँ शामिल हो सकती हैं। तार्किक मान सही और गलत [[तर्क संचालन]] का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है, जैसे कि और, या, और नहीं। [[वेक्टर (ज्यामितीय)|सदिशों]] को जोड़ा और घटाया जा सकता है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=वेक्टर|url=https://mathworld.wolfram.com/वेक्टर.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en|quote=वेक्टरs can be added together (vector addition), subtracted (vector subtraction) ...}}</ref> फ़ंक्शन रचना ऑपरेशन का उपयोग करके घुमावों को जोड़ा जा सकता है, पहला घुमाव और फिर दूसरा। [[सेट (गणित)|सेट]] पर संचालन में बाइनरी ऑपरेशंस यूनियन और चौराहे और [[पूरकता (गणित)|पूरकता]] के यूनरी ऑपरेशन शामिल हैं।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=मिलन|url=https://mathworld.wolfram.com/मिलन.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=चौराहा|url=https://mathworld.wolfram.com/चौराहा.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=पूरक|url=https://mathworld.wolfram.com/पूरक.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> कार्यों की संक्रियाओं में रचना और [[कनवल्शन]] शामिल हैं।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=संघटन|url=https://mathworld.wolfram.com/संघटन.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=कनवल्शन|url=https://mathworld.wolfram.com/कनवल्शन.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
किसी फ़ंक्शन के डोमेन के प्रत्येक संभावित मान के लिए संचालन को परिभाषित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या में शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Division by Zero|url=https://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> या ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल लें। वे मान जिनके लिए किसी संक्रिया को परिभाषित किया जाता है, एक समुच्चय होता है जिसे उसकी परिभाषा का डोमेन या सक्रिय डोमेन कहा जाता है। जिस सेट में उत्पादित मान होते हैं उसे [[कोडोमेन]] कहा जाता है, लेकिन ऑपरेशन द्वारा प्राप्त वास्तविक मूल्यों का सेट इसकी परिभाषा, सक्रिय कोडोमेन, [[छवि (गणित)]] या फ़ंक्शन की श्रेणी का कोडोमेन है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=कार्यक्षेत्र|url=https://mathworld.wolfram.com/कार्यक्षेत्र.html|access-date=2020-08-08|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>{{Not in source|date=July 2022|reason=Source has no information about codomains, and certainly does not distinguish between &quot;the set which contains the values produced&quot; and &quot;the set of actual values attained by the operation&quot;}} उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं में, वर्गाकार संक्रिया केवल गैर-ऋणात्मक संख्याएँ उत्पन्न करती है; कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, लेकिन श्रेणी गैर-ऋणात्मक संख्या है।


संक्रियाओं में असमान वस्तुएँ शामिल हो सकती हैं: एक सदिश को एक [[अदिश (गणित)]] से गुणा करके दूसरा सदिश बनाया जा सकता है (एक संक्रिया जिसे अदिश गुणन कहा जाता है),<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Scalar Multiplication|url=https://mathworld.wolfram.com/ScalarMultiplication.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> और दो सदिशों पर आंतरिक उत्पाद संचालन एक ऐसी मात्रा उत्पन्न करता है जो अदिश है।<ref>{{Cite book|last1=Jain|first1=P. K.|url=https://books.google.com/books?id=yZ68h97pnAkC&pg=PA203|title=Functional Analysis|last2=Ahmad|first2=Khalil|last3=Ahuja|first3=Om P.|date=1995|publisher=New Age International|isbn=978-81-224-0801-0|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Inner Product|url=https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> एक ऑपरेशन में कुछ गुण हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं, उदाहरण के लिए यह साहचर्य, क्रम[[विनिमेय]], [[अनुगामी]], [[बेकार]], और इसी तरह हो सकता है।
संक्रियाओं को इसके डोमेन के हर संभावित मूल्य के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं में शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Division by Zero|url=https://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> या ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल नहीं लिया जा सकता है। वे मान जिनके लिए किसी संक्रिया को परिभाषित किया जाता है, एक समुच्चय होता है जिसे उसकी परिभाषा का डोमेन या सक्रिय डोमेन कहा जाता है। जिस सेट में उत्पादित मूल्य होते हैं उसे [[कोडोमेन]] कहा जाता है, लेकिन ऑपरेशन द्वारा प्राप्त वास्तविक मूल्यों का सेट इसकी परिभाषा, सक्रिय कोडोमेन, छवि या श्रेणी का कोडोमेन है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=कार्यक्षेत्र|url=https://mathworld.wolfram.com/कार्यक्षेत्र.html|access-date=2020-08-08|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या में, वर्गाकार संक्रिया केवल गैर-ऋणात्मक संख्याएँ उत्पन्न करती है; कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, लेकिन श्रेणी गैर-ऋणात्मक संख्या है।


संयुक्त मूल्यों को ऑपरेंड, तर्क या इनपुट कहा जाता है, और उत्पादित मूल्य को मूल्य, परिणाम या आउटपुट कहा जाता है। संचालन में कम या दो से अधिक इनपुट हो सकते हैं (शून्य इनपुट और असीम रूप से कई इनपुट के मामले में<ref name=":1" />).
संक्रियाओं में असमान वस्तुएं शामिल हो सकती हैं: एक सदिश को एक [[अदिश (गणित)]] से गुणा करके दूसरा सदिश बनाया जा सकता है (एक ऑपरेशन जिसे स्केलर गुणन के रूप में जाना जाता है),<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Scalar Multiplication|url=https://mathworld.wolfram.com/ScalarMultiplication.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> और दो सदिशों पर आंतरिक उत्पाद संचालन एक मात्रा उत्पन्न करता है जो स्केलर है।<ref>{{Cite book|last1=Jain|first1=P. K.|url=https://books.google.com/books?id=yZ68h97pnAkC&pg=PA203|title=Functional Analysis|last2=Ahmad|first2=Khalil|last3=Ahuja|first3=Om P.|date=1995|publisher=New Age International|isbn=978-81-224-0801-0|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Inner Product|url=https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> एक ऑपरेशन में कुछ गुण हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं, उदाहरण के लिए यह साहचर्य, [[विनिमेय|क्रमविनिमेय]], एंटीकोम्यूटेटिव, आइडेम्पोटेंट, और इसी तरह हो सकता है।


एक ऑपरेटर एक ऑपरेशन के समान है जिसमें यह प्रतीक या ऑपरेशन को निरूपित करने के लिए उपयोग की जाने वाली प्रक्रिया को संदर्भित करता है, इसलिए उनका दृष्टिकोण अलग है। उदाहरण के लिए, जब आप ऑपरेंड और परिणाम पर ध्यान केंद्रित करते हैं, तो अक्सर जोड़ या अतिरिक्त ऑपरेशन के संचालन के बारे में बात करते हैं, लेकिन प्रक्रिया पर ध्यान केंद्रित करते समय, या अधिक प्रतीकात्मक दृष्टिकोण से, अतिरिक्त ऑपरेटर (शायद ही कभी जोड़ के ऑपरेटर) पर स्विच करते हैं, कार्यक्रम {{nowrap|+: ''X'' × ''X'' → ''X''}}.
संयुक्त मूल्यों को ऑपरेंड, तर्क या इनपुट कहा जाता है, और उत्पादित मूल्य को मूल्य, परिणाम या आउटपुट कहा जाता है। संचालन में कम या दो से अधिक इनपुट हो सकते हैं (शून्य इनपुट और असीम रूप से कई इनपुट<ref name=":1" /> के मामले सहित)।
 
एक ऑपरेटर एक ऑपरेशन के समान है जिसमें यह प्रतीक या ऑपरेशन को निरूपित करने के लिए उपयोग की जाने वाली प्रक्रिया को संदर्भित करता है, इसलिए उनका दृष्टिकोण अलग है। उदाहरण के लिए, जब आप ऑपरेंड और परिणाम पर ध्यान केंद्रित करते हैं, तो अक्सर "जोड़ने का संचालन" या "जोड़ने का संचालन" के बारे में बात करता है, लेकिन प्रक्रिया पर ध्यान केंद्रित करते समय "अतिरिक्त ऑपरेटर" (शायद ही कभी "जोड़ने का ऑपरेटर") पर स्विच करता है , या अधिक प्रतीकात्मक दृष्टिकोण से, फलन {{nowrap|+: ''X'' × ''X'' → ''X''}}.


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
एक ''एन''-एरी ऑपरेशन ''ω'' से {{nowrap|''X''<sub>1</sub>, …, ''X''<sub>''n''</sub>}} से Y एक फलन है (गणित) {{nowrap|''ω'': ''X''<sub>1</sub> × … × ''X''<sub>''n''</sub> → ''Y''}}. सेट {{nowrap|''X''<sub>1</sub> × … × ''X''<sub>''n''</sub>}} को ऑपरेशन का डोमेन कहा जाता है, सेट Y को ऑपरेशन का कोडोमेन कहा जाता है, और निश्चित गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n (ऑपरेंड की संख्या) को ऑपरेशन की arity कहा जाता है। इस प्रकार एक एकरी संक्रिया में arity एक है, और एक द्विआधारी संक्रिया में arity दो है। एरिटी शून्य का एक ऑपरेशन, जिसे शून्य ऑपरेशन कहा जाता है, कोडोमेन वाई का एक तत्व है। एक एन-आरी ऑपरेशन को एक के रूप में भी देखा जा सकता है {{nowrap|(''n'' + 1)}}-एरी [[परिमित संबंध]] जो फ़िनिटरी रिलेशन है # इसके एन इनपुट डोमेन पर परिभाषाएँ और फ़िनिटरी रिलेशन # इसके आउटपुट डोमेन पर परिभाषाएँ।
एक n-एरी ऑपरेशन ω से X1, …, Xn से Y एक फ़ंक्शन ω: X1 × … × Xn → Y है। सेट X1 × … × Xn को ऑपरेशन का डोमेन कहा जाता है, सेट Y को कोडोमेन कहा जाता है ऑपरेशन, और निश्चित गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n (ऑपरेंड की संख्या) को ऑपरेशन की arity कहा जाता है। इस प्रकार एक एकरी संक्रिया में arity एक है, और एक द्विआधारी संक्रिया में arity दो है। एरीटी शून्य का एक ऑपरेशन, जिसे शून्य संचालन कहा जाता है, केवल कोडोमेन वाई का एक तत्व है। एक एन-एरी ऑपरेशन को एक {{nowrap|(''n'' + 1)}}-एरी [[परिमित संबंध|संबंध]] के रूप में भी देखा जा सकता है जो इसके एन इनपुट डोमेन पर कुल है और अद्वितीय है इसका आउटपुट डोमेन।
 
एक 'एन-आरी आंशिक ऑपरेशन' ω से {{nowrap|''X''<sub>1</sub>, …, ''X''<sub>''n''</sub>}} से Y एक आंशिक फलन है {{nowrap|''ω'': ''X''<sub>1</sub> × … × ''X''<sub>''n''</sub> → ''Y''}}. एक एन-आरी आंशिक ऑपरेशन को एक के रूप में भी देखा जा सकता है {{nowrap|(''n'' + 1)}}-ऐरी संबंध जो इसके आउटपुट डोमेन पर अद्वितीय है।
 
उपरोक्त वर्णन करता है कि आम तौर पर ऑपरेंड की परिमित संख्या (मान 'एन'') का संदर्भ देते हुए, जिसे आमतौर पर एक परिमित ऑपरेशन कहा जाता है। ऐसे स्पष्ट विस्तार हैं जहां arity को अनंत क्रमिक संख्या या कार्डिनल संख्या के रूप में लिया जाता है,<ref name=":1" />या ऑपरेंड को अनुक्रमणित करने वाला एक मनमाना सेट भी।


अक्सर, शब्द संचालन का उपयोग यह दर्शाता है कि फ़ंक्शन के डोमेन में कोडोमेन की शक्ति शामिल होती है (अर्थात कोडोमेन की एक या अधिक प्रतियों का कार्टेशियन उत्पाद),<ref>{{cite book|chapter=Chapter II, Definition 1.1|first1=S. N.|last1=Burris|first2=H. P.|last2=Sankappanavar|title=A Course in Universal Algebra|publisher=Springer|date=1981|url=http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html}}</ref> हालांकि यह किसी भी तरह से सार्वभौमिक नहीं है, जैसा कि [[डॉट उत्पाद]] के मामले में होता है, जहां वैक्टर को गुणा किया जाता है और परिणामस्वरूप एक स्केलर होता है। एक एन-आरी ऑपरेशन {{nowrap|''ω'': ''X''<sup>''n''</sup> → ''X''}} एक कहा जाता है{{vanchor|internal operation}}. एक ''एन''-एरी ऑपरेशन {{nowrap|''ω'': ''X''<sup>''i''</sup> × ''S'' × ''X''<sup>''n'' − ''i'' − 1</sup> → ''X''}} कहाँ {{nowrap|0 ≤ ''i'' < ''n''}} ''स्केलर सेट'' या ''ऑपरेटर सेट'' ''S'' द्वारा बाहरी ऑपरेशन कहा जाता है। विशेष रूप से एक बाइनरी ऑपरेशन के लिए, {{nowrap|''ω'': ''S'' × ''X'' → ''X''}} ''S'' द्वारा वाम-बाह्य संक्रिया कहलाती है, और {{nowrap|''ω'': ''X'' × ''S'' → ''X''}} ''S'' द्वारा दाहिनी-बाह्य संक्रिया कहलाती है। एक आंतरिक ऑपरेशन का एक उदाहरण [[वेक्टर जोड़]] है, जहां दो वैक्टर जोड़े जाते हैं और परिणामस्वरूप एक वेक्टर होता है। बाहरी संक्रिया का एक उदाहरण अदिश गुणन है, जहां एक सदिश को एक अदिश से गुणा किया जाता है और परिणाम सदिश होता है।
एक n-एरी आंशिक ऑपरेशन ω से {{nowrap|''X''<sub>1</sub>, …, ''X''<sub>''n''</sub>}} से Y एक आंशिक फलन {{nowrap|''ω'': ''X''<sub>1</sub> × … × ''X''<sub>''n''</sub> → ''Y''}} है। एक n-एरी आंशिक ऑपरेशन को {{nowrap|(''n'' + 1)}}-ऐरी संबंध के रूप में भी देखा जा सकता है अपने आउटपुट डोमेन पर अद्वितीय है।


एक ''एन''-एरी मल्टीफ़ंक्शन या{{vanchor|multioperation}}''ω'' एक सेट के कार्टेशियन पावर से उस सेट के सबसेट के सेट में एक मैपिंग है, औपचारिक रूप से {{math|''ω'': ''X''<sup>''n''</sup> → {{mathcal|P}}(''X'')}}.<ref>{{cite journal |last1=Brunner |first1=J. |last2=Drescher |first2=Th. |last3=Pöschel |first3=R. |last4=Seidel |first4=H. |date=Jan 1993 |title=Power algebras: clones and relations |url=https://wwwpub.zih.tu-dresden.de/~poesch-r/poePUBLICATIONSpdf/1993_Brunner_Dre_Poe_Sei.pdf |journal=EIK (Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik) |volume=29 |issue= |pages=293-302 |doi= |access-date=2022-10-25}}</ref>
उपरोक्त वर्णन करता है कि आम तौर पर ऑपरेंड की परिमित संख्या (मान 'एन'') का संदर्भ देते हुए, जिसे आमतौर पर एक परिमित ऑपरेशन कहा जाता है। ऐसे स्पष्ट विस्तार हैं जहां arity को अनंत क्रमिक संख्या या कार्डिनल संख्या के रूप में लिया जाता है,<ref name=":1" />या ऑपरेंड को अनुक्रमणित करने वाला एक मनमाना सेट भी।    उपरोक्त वर्णन करता है कि आमतौर पर ऑपरेंड की परिमित संख्या (मान n) का संदर्भ देते हुए, जिसे आमतौर पर एक परिमित ऑपरेशन कहा जाता है। ऐसे स्पष्ट विस्तार हैं जहां arity को एक अनंत क्रमसूचक या कार्डिनल,<ref name=":1" />'' ''या यहां तक कि एक मनमाना सेट जो कि संकार्यों को अनुक्रमणित करता है, के रूप में लिया जाता है।''


अक्सर, ऑपरेशन शब्द के प्रयोग का मतलब है कि फ़ंक्शन के डोमेन में कोडोमेन की शक्ति शामिल है (यानी कोडोमेन की एक या एक से अधिक प्रतियों का कार्टेशियन उत्पाद),<ref>{{cite book|chapter=Chapter II, Definition 1.1|first1=S. N.|last1=Burris|first2=H. P.|last2=Sankappanavar|title=A Course in Universal Algebra|publisher=Springer|date=1981|url=http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html}}</ref> हालांकि यह किसी भी तरह से सार्वभौमिक नहीं है, जैसा कि [[डॉट उत्पाद]] का मामला, जहां सदिश को गुणा किया जाता है और परिणामस्वरूप एक स्केलर होता है। एक n-एरी संक्रिया {{nowrap|''ω'': ''X''<sup>''n''</sup> → ''X''}} एक आंतरिक संक्रिया कहलाती है। एक एन-एरी ऑपरेशन {{nowrap|''ω'': ''X''<sup>''i''</sup> × ''S'' × ''X''<sup>''n'' − ''i'' − 1</sup> → ''X''}} जहां {{nowrap|0 ≤ ''i'' < ''n''}} को स्केलर सेट या ऑपरेटर सेट S द्वारा बाहरी ऑपरेशन कहा जाता है। विशेष रूप से बाइनरी ऑपरेशन के लिए, {{nowrap|''ω'': ''S'' × ''X'' → ''X''}} को S द्वारा बाएँ-बाहरी संक्रिया कहा जाता है, और {{nowrap|''ω'': ''X'' × ''S'' → ''X''}} को S द्वारा दाएँ-बाहरी संक्रिया कहा जाता है। बाहरी संक्रिया का एक उदाहरण [[वेक्टर जोड़|अदिश गुणन]] है, जहां एक सदिश को एक अदिश से गुणा किया जाता है और परिणाम सदिश होता है।


एक n-एरी मल्टीफंक्शन या मल्टीऑपरेशन ω एक सेट के कार्टेशियन पावर से उस सेट के सबसेट के सेट में एक मैपिंग है, औपचारिक रूप से {{math|''ω'': ''X''<sup>''n''</sup> → {{mathcal|P}}(''X'')}}।<ref>{{cite journal |last1=Brunner |first1=J. |last2=Drescher |first2=Th. |last3=Pöschel |first3=R. |last4=Seidel |first4=H. |date=Jan 1993 |title=Power algebras: clones and relations |url=https://wwwpub.zih.tu-dresden.de/~poesch-r/poePUBLICATIONSpdf/1993_Brunner_Dre_Poe_Sei.pdf |journal=EIK (Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik) |volume=29 |issue= |pages=293-302 |doi= |access-date=2022-10-25}}</ref>
== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* परिमित संबंध
* परिमित संबंध

Revision as of 15:19, 18 February 2023

Not to be confused with ऑपरेटर (गणित).
प्राथमिक अंकगणितीय संचालन:
  • +, प्लस (अतिरिक्त)
  • −, ऋण (घटाव)
  • ÷, ओबेलस (विभाजन)
  • ×, गुणा (गुणन)

गणित में, ऑपरेशन एक ऐसा फलन है जो शून्य या अधिक इनपुट मान (जिन्हें "संचालन" या "तर्क" भी कहा जाता है) को एक अच्छी तरह से परिभाषित आउटपुट मान पर ले जाता है। ऑपरेंड की संख्या ऑपरेशन की एरिटी है।

सबसे अधिक अध्ययन किए जाने वाले ऑपरेशन बाइनरी ऑपरेशन हैं (यानी, एरिटी 2 के ऑपरेशंस), जैसे कि जोड़ और गुणा, और यूनरी ऑपरेशंस (यानी, 1 के ऑपरेशंस), जैसे योगज प्रतिलोम और गुणात्मक प्रतिलोम। शून्य संक्रिया, या अशक्त संक्रिया, एक नियतांक (गणित) है।[1][2] मिश्रित उत्पाद arity 3 के संचालन का एक उदाहरण है, जिसे त्रिगुट संक्रिया भी कहा जाता है।

आम तौर पर, परिमित होने के लिए arity लिया जाता है। हालांकि, असीमित संचालन को कभी-कभी माना जाता है,[1] जिस मामले में परिमित arity के "सामान्य" संक्रियाओं को परिमित संक्रियाएँ कहा जाता है।

एक आंशिक ऑपरेशन को एक ऑपरेशन के समान ही परिभाषित किया जाता है, लेकिन एक फ़ंक्शन के स्थान पर एक आंशिक फ़ंक्शन के साथ परिभाषित किया जाता है।

ऑपरेशन के प्रकार

एक बाइनरी ऑपरेशन में दो तर्क होते हैं और , और परिणाम देता है .

ऑपरेशन के दो सामान्य प्रकार हैं: यूनरी ऑपरेशन और बाइनरी ऑपरेशन। एकात्मक संक्रियाओं में केवल एक मान शामिल होता है, जैसे कि निषेध और त्रिकोणमितीय कार्य।[3] दूसरी ओर, द्विआधारी संक्रियाएं दो मान लेती हैं, और इसमें जोड़, घटाव, गुणा, भाग और घातांक शामिल होते हैं।[4]

संक्रियाओं में संख्याओं के अलावा अन्य गणितीय वस्तुएँ शामिल हो सकती हैं। तार्किक मान सही और गलत तर्क संचालन का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है, जैसे कि और, या, और नहीं। सदिशों को जोड़ा और घटाया जा सकता है।[5] फ़ंक्शन रचना ऑपरेशन का उपयोग करके घुमावों को जोड़ा जा सकता है, पहला घुमाव और फिर दूसरा। सेट पर संचालन में बाइनरी ऑपरेशंस यूनियन और चौराहे और पूरकता के यूनरी ऑपरेशन शामिल हैं।[6][7][8] कार्यों की संक्रियाओं में रचना और कनवल्शन शामिल हैं।[9][10]

संक्रियाओं को इसके डोमेन के हर संभावित मूल्य के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं में शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है[11] या ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल नहीं लिया जा सकता है। वे मान जिनके लिए किसी संक्रिया को परिभाषित किया जाता है, एक समुच्चय होता है जिसे उसकी परिभाषा का डोमेन या सक्रिय डोमेन कहा जाता है। जिस सेट में उत्पादित मूल्य होते हैं उसे कोडोमेन कहा जाता है, लेकिन ऑपरेशन द्वारा प्राप्त वास्तविक मूल्यों का सेट इसकी परिभाषा, सक्रिय कोडोमेन, छवि या श्रेणी का कोडोमेन है।[12] उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या में, वर्गाकार संक्रिया केवल गैर-ऋणात्मक संख्याएँ उत्पन्न करती है; कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, लेकिन श्रेणी गैर-ऋणात्मक संख्या है।

संक्रियाओं में असमान वस्तुएं शामिल हो सकती हैं: एक सदिश को एक अदिश (गणित) से गुणा करके दूसरा सदिश बनाया जा सकता है (एक ऑपरेशन जिसे स्केलर गुणन के रूप में जाना जाता है),[13] और दो सदिशों पर आंतरिक उत्पाद संचालन एक मात्रा उत्पन्न करता है जो स्केलर है।[14][15] एक ऑपरेशन में कुछ गुण हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं, उदाहरण के लिए यह साहचर्य, क्रमविनिमेय, एंटीकोम्यूटेटिव, आइडेम्पोटेंट, और इसी तरह हो सकता है।

संयुक्त मूल्यों को ऑपरेंड, तर्क या इनपुट कहा जाता है, और उत्पादित मूल्य को मूल्य, परिणाम या आउटपुट कहा जाता है। संचालन में कम या दो से अधिक इनपुट हो सकते हैं (शून्य इनपुट और असीम रूप से कई इनपुट[1] के मामले सहित)।

एक ऑपरेटर एक ऑपरेशन के समान है जिसमें यह प्रतीक या ऑपरेशन को निरूपित करने के लिए उपयोग की जाने वाली प्रक्रिया को संदर्भित करता है, इसलिए उनका दृष्टिकोण अलग है। उदाहरण के लिए, जब आप ऑपरेंड और परिणाम पर ध्यान केंद्रित करते हैं, तो अक्सर "जोड़ने का संचालन" या "जोड़ने का संचालन" के बारे में बात करता है, लेकिन प्रक्रिया पर ध्यान केंद्रित करते समय "अतिरिक्त ऑपरेटर" (शायद ही कभी "जोड़ने का ऑपरेटर") पर स्विच करता है , या अधिक प्रतीकात्मक दृष्टिकोण से, फलन +: X × X → X.

परिभाषा

एक n-एरी ऑपरेशन ω से X1, …, Xn से Y एक फ़ंक्शन ω: X1 × … × Xn → Y है। सेट X1 × … × Xn को ऑपरेशन का डोमेन कहा जाता है, सेट Y को कोडोमेन कहा जाता है ऑपरेशन, और निश्चित गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n (ऑपरेंड की संख्या) को ऑपरेशन की arity कहा जाता है। इस प्रकार एक एकरी संक्रिया में arity एक है, और एक द्विआधारी संक्रिया में arity दो है। एरीटी शून्य का एक ऑपरेशन, जिसे शून्य संचालन कहा जाता है, केवल कोडोमेन वाई का एक तत्व है। एक एन-एरी ऑपरेशन को एक (n + 1)-एरी संबंध के रूप में भी देखा जा सकता है जो इसके एन इनपुट डोमेन पर कुल है और अद्वितीय है इसका आउटपुट डोमेन।

एक n-एरी आंशिक ऑपरेशन ω से X1, …, Xn से Y एक आंशिक फलन ω: X1 × … × Xn → Y है। एक n-एरी आंशिक ऑपरेशन को (n + 1)-ऐरी संबंध के रूप में भी देखा जा सकता है अपने आउटपुट डोमेन पर अद्वितीय है।

उपरोक्त वर्णन करता है कि आम तौर पर ऑपरेंड की परिमित संख्या (मान 'एन) का संदर्भ देते हुए, जिसे आमतौर पर एक परिमित ऑपरेशन कहा जाता है। ऐसे स्पष्ट विस्तार हैं जहां arity को अनंत क्रमिक संख्या या कार्डिनल संख्या के रूप में लिया जाता है,[1]या ऑपरेंड को अनुक्रमणित करने वाला एक मनमाना सेट भी। उपरोक्त वर्णन करता है कि आमतौर पर ऑपरेंड की परिमित संख्या (मान n) का संदर्भ देते हुए, जिसे आमतौर पर एक परिमित ऑपरेशन कहा जाता है। ऐसे स्पष्ट विस्तार हैं जहां arity को एक अनंत क्रमसूचक या कार्डिनल,[1] या यहां तक कि एक मनमाना सेट जो कि संकार्यों को अनुक्रमणित करता है, के रूप में लिया जाता है।

अक्सर, ऑपरेशन शब्द के प्रयोग का मतलब है कि फ़ंक्शन के डोमेन में कोडोमेन की शक्ति शामिल है (यानी कोडोमेन की एक या एक से अधिक प्रतियों का कार्टेशियन उत्पाद),[16] हालांकि यह किसी भी तरह से सार्वभौमिक नहीं है, जैसा कि डॉट उत्पाद का मामला, जहां सदिश को गुणा किया जाता है और परिणामस्वरूप एक स्केलर होता है। एक n-एरी संक्रिया ω: Xn → X एक आंतरिक संक्रिया कहलाती है। एक एन-एरी ऑपरेशन ω: Xi × S × Xn − i − 1 → X जहां 0 ≤ i < n को स्केलर सेट या ऑपरेटर सेट S द्वारा बाहरी ऑपरेशन कहा जाता है। विशेष रूप से बाइनरी ऑपरेशन के लिए, ω: S × X → X को S द्वारा बाएँ-बाहरी संक्रिया कहा जाता है, और ω: X × S → X को S द्वारा दाएँ-बाहरी संक्रिया कहा जाता है। बाहरी संक्रिया का एक उदाहरण अदिश गुणन है, जहां एक सदिश को एक अदिश से गुणा किया जाता है और परिणाम सदिश होता है।

एक n-एरी मल्टीफंक्शन या मल्टीऑपरेशन ω एक सेट के कार्टेशियन पावर से उस सेट के सबसेट के सेट में एक मैपिंग है, औपचारिक रूप से ω: Xn → P(X)।[17]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 "Algebraic operation - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. Retrieved 2019-12-10.
  2. ↑ DeMeo, William (August 26, 2010). "Universal Algebra Notes" (PDF). math.hawaii.edu. Retrieved 2019-12-09.
  3. ↑ Weisstein, Eric W. "Unary Operation". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  4. ↑ Weisstein, Eric W. "Binary Operation". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  5. ↑ Weisstein, Eric W. "वेक्टर". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27. वेक्टरs can be added together (vector addition), subtracted (vector subtraction) ...
  6. ↑ Weisstein, Eric W. "मिलन". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  7. ↑ Weisstein, Eric W. "चौराहा". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  8. ↑ Weisstein, Eric W. "पूरक". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  9. ↑ Weisstein, Eric W. "संघटन". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  10. ↑ Weisstein, Eric W. "कनवल्शन". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  11. ↑ Weisstein, Eric W. "Division by Zero". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  12. ↑ Weisstein, Eric W. "कार्यक्षेत्र". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-08.
  13. ↑ Weisstein, Eric W. "Scalar Multiplication". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  14. ↑ Jain, P. K.; Ahmad, Khalil; Ahuja, Om P. (1995). Functional Analysis (in English). New Age International. ISBN 978-81-224-0801-0.
  15. ↑ Weisstein, Eric W. "Inner Product". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  16. ↑ Burris, S. N.; Sankappanavar, H. P. (1981). "Chapter II, Definition 1.1". A Course in Universal Algebra. Springer.
  17. ↑ Brunner, J.; Drescher, Th.; Pöschel, R.; Seidel, H. (Jan 1993). "Power algebras: clones and relations" (PDF). EIK (Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik). 29: 293–302. Retrieved 2022-10-25.
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