ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय

के माध्यम से लाइन $A_{0},B_{0},C_{0}$ Droz-Farny रेखा है

यूक्लिडियन ज्यामिति में, ड्रोज़-फ़ार्नी लाइन प्रमेय एक मनमाना त्रिकोण के orthocenter के माध्यम से दो लंबवत रेखाओं की संपत्ति है।

होने देना $T$ शीर्षों के साथ एक त्रिभुज बनें $A$, $B$, और $C$, और जाने $H$ इसका लंबकेन्द्र (इसके तीन शीर्षलंब (त्रिकोण) का उभयनिष्ठ बिंदु) हो $L_{1}$ और $L_{2}$ किन्हीं भी दो परस्पर लम्बवत रेखाओं के बीच हो $H$. होने देना $A_{1}$, $B_{1}$, और $C_{1}$ वे बिंदु हों जहां $L_{1}$ पार्श्व रेखाओं को काटता है $BC$, $CA$, और $AB$, क्रमश। इसी तरह, चलो $A_{2}$, $B_{2}$, और $C_{2}$ वे बिंदु हों जहां $L_{2}$ उन पार्श्व रेखाओं को काटता है। Droz-Farny रेखा प्रमेय कहता है कि तीन खंडों के मध्य बिंदु $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$, और $C_{1}C_{2}$ संरेख हैं।

प्रमेय 1899 में अर्नोल्ड ड्रोज़-फ़ार्नी द्वारा कहा गया था,लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि उसके पास सबूत था या नहीं।

गुर्माघटघ का सामान्यीकरण

ड्रोज़-फ़ार्नी लाइन प्रमेय का एक सामान्यीकरण 1930 में रेने गोरमाघट द्वारा सिद्ध किया गया था।

ऊपर के रूप में, चलो $T$ शीर्षों के साथ एक त्रिभुज बनें $A$, $B$, और $C$. होने देना $P$ किसी भी बिंदु से अलग हो $A$, $B$, और $C$, और $L$ किसी भी लाइन के माध्यम से हो $P$. होने देना $A_{1}$, $B_{1}$, और $C_{1}$ किनारे पर बिंदु बनें $BC$, $CA$, और $AB$, क्रमशः, जैसे कि लाइनें $PA_{1}$, $PB_{1}$, और $PC_{1}$ रेखाओं के चित्र हैं $PA$, $PB$, और $PC$, क्रमशः, रेखा के विरुद्ध प्रतिबिंब द्वारा $L$. गोरमाघटघ प्रमेय तब कहता है कि अंक $A_{1}$, $B_{1}$, और $C_{1}$ संरेख हैं।

Droz-Farny रेखा प्रमेय इस परिणाम का एक विशेष मामला है, जब $P$ त्रिभुज का लंबकेन्द्र है $T$.

दाओ का सामान्यीकरण

चाकू थान ओई द्वारा प्रमेय को और सामान्यीकृत किया गया था। सामान्यीकरण इस प्रकार है:

पहला सामान्यीकरण: ABC को एक त्रिभुज होने दें, P समतल पर एक बिंदु हो, तीन समानांतर खंड AA', BB', CC' इस तरह दें कि इसके मध्यबिंदु और P संरेख हों। फिर PA', PB', PC' क्रमशः 'BC, CA, AB से तीन संरेख बिंदुओं पर मिलते हैं।

दाओ का दूसरा सामान्यीकरण

दूसरा सामान्यीकरण: मान लीजिए कि समतल (ज्यामिति) पर एक शंकु S और एक बिंदु (ज्यामिति) P है। तीन रेखाएँ बनाएँ (ज्यामिति) d_a, डी_b, डी_c P से होकर इस प्रकार कि वे शंकु को A, A' पर मिलते हैं; बी, बी '; सी, सी 'क्रमशः। मान लीजिए D ध्रुव पर एक बिंदु है और बिंदु P का ध्रुव (S) के संबंध में है या D शंकु (S) पर स्थित है। माना DA' ∩ BC =A₀; डीबी' ∩ एसी = बी₀; DC' ∩ AB= C₀. फिर एक₀, बी₀, सी₀ संरेख हैं।