आंशिक तुल्यता संबंध: Difference between revisions

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गणित में, एक आंशिक तुल्यता संबंध (अक्सर संक्षेप में प्रति के रूप में, पुराने साहित्य में प्रतिबंधित तुल्यता संबंध भी कहा जाता है)<ref>{{cite journal |last1=Scott |first1=Dana |title=जाली के रूप में डेटा प्रकार|journal=SIAM Journal on Computing |date=September 1976 |volume=5 |issue=3 |page=560 |doi=10.1137/0205037}}</ref>) एक [[सजातीय द्विआधारी संबंध]] है जो [[सममित संबंध]] और [[सकर्मक संबंध]] है। यदि संबंध भी स्वतुल्य संबंध है, तो संबंध एक [[तुल्यता संबंध]] है।
गणित में, '''आंशिक तुल्यता संबंध''' (प्रायः संक्षिप्त रूप में पीईआर, पुराने साहित्य में प्रतिबंधित तुल्यता संबंध भी कहा जाता है)<ref>{{cite journal |last1=Scott |first1=Dana |title=जाली के रूप में डेटा प्रकार|journal=SIAM Journal on Computing |date=September 1976 |volume=5 |issue=3 |page=560 |doi=10.1137/0205037}}</ref> [[सजातीय द्विआधारी संबंध|समघात द्विआधारी (बाइनरी) संबंध]] है जो [[सममित संबंध]] और [[सकर्मक संबंध]] है। यदि संबंध भी परावर्ती संबंध है, तो संबंध एक [[तुल्यता संबंध]] है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==


औपचारिक रूप से, एक संबंध <math>R</math> एक सेट पर <math>X</math> एक प्रति है अगर यह सभी के लिए है <math>a, b, c \in X</math> वह:
औपचारिक रूप से, संबंध <math>R</math> समुच्चय पर <math>X</math> एक आंशिक तुल्यता संबंध है यदि यह सभी <math>a, b, c \in X</math> के लिए धारण करता है कि:


# अगर <math>a R b</math>, तब <math>b R a</math> (समरूपता)
# यदि <math>a R b</math>, तब <math>b R a</math> (समरूपता)
# अगर <math>a R b</math> और <math>b R c</math>, तब <math>a R c</math> (संक्रमणशीलता)
# यदि <math>a R b</math> और <math>b R c</math>, तब <math>a R c</math> (संक्रमणशीलता)


एक और अधिक सहज परिभाषा यह है कि <math>R</math> एक सेट पर <math>X</math> एक प्रति है अगर कुछ उपसमुच्चय है <math>Y</math> का <math>X</math> ऐसा है कि <math>R \subseteq Y \times Y</math> और <math>R</math> पर एक तुल्यता संबंध है <math>Y</math>. दो परिभाषाओं को लेने से समकक्ष देखा जाता है <math>Y = \{ x \in X \mid x\,R\,x\}</math>.<ref>{{cite book |last1=Mitchell |first1=John C. |title=प्रोग्रामिंग भाषाओं के लिए नींव|date=1996 |publisher=MIT Press |location=Cambridge, Mass. |isbn=0585037892 |pages=364–365}}</ref>
अन्य अधिक सहज परिभाषा यह है कि समुच्चय <math>X</math> पर <math>R</math> आंशिक तुल्यता संबंध है यदि <math>X</math> का कुछ उपसमुच्चय <math>Y</math> है जैसे कि <math>R \subseteq Y \times Y</math> और <math>R</math>, <math>Y</math> पर तुल्यता संबंध है <math>Y = \{ x \in X \mid x\,R\,x\}</math> को लेकर दो परिभाषाओं को समतुल्य देखा जाता है।<ref>{{cite book |last1=Mitchell |first1=John C. |title=प्रोग्रामिंग भाषाओं के लिए नींव|date=1996 |publisher=MIT Press |location=Cambridge, Mass. |isbn=0585037892 |pages=364–365}}</ref>




== गुण और अनुप्रयोग ==
== गुण और अनुप्रयोग ==


निम्नलिखित गुण आंशिक तुल्यता संबंध के लिए मान्य हैं <math>R</math> एक सेट पर <math>X</math>:
समुच्चय <math>X</math> पर आंशिक तुल्यता संबंध <math>R</math> के लिए निम्नलिखित गुण धारण करते हैं:


* <math>R</math> उपसमुच्चय पर एक तुल्यता संबंध है <math>Y = \{ x \in X \mid x\,R\,x\} \subseteq X</math>.<ref group=note>By construction, <math>R</math> is reflexive on <math>Y</math> and therefore an equivalence relation on <math>Y</math>.</ref>
* <math>R</math> उपसमुच्चय <math>Y = \{ x \in X \mid x\,R\,x\} \subseteq X</math> पर समतुल्य संबंध है।<ref group="note">By construction, <math>R</math> is reflexive on <math>Y</math> and therefore an equivalence relation on <math>Y</math>.</ref>
* द्विक्रियात्मक संबंध: संबंध समुच्चय है <math>\{(a,b) \mid f a = g b \}</math> दो आंशिक कार्यों के लिए <math>f,g : X \rightharpoonup Y</math> और कुछ संकेतक सेट <math>Y</math>
* द्वि-फलनात्मक: संबंध समुच्चय <math>\{(a,b) \mid f a = g b \}</math> दो आंशिक फलनों के लिए <math>f,g : X \rightharpoonup Y</math> और कुछ संकेतक समुच्चय <math>Y</math> के लिए है
* दाएं और बाएं [[यूक्लिडियन संबंध]]: के लिए <math>a,b,c \in X</math>, <math>a R b</math> और <math>a R c</math> तात्पर्य <math>b R c</math> और इसी तरह बाएं यूक्लिडियननेस के लिए <math>b R a</math> और <math>c R a</math> मतलब <math>b R c</math>
* दाएं और बाएं [[यूक्लिडियन संबंध]]: <math>a,b,c \in X</math> के लिए <math>a R b</math> और <math>a R c</math> का तात्पर्य <math>b R c</math> है, और इसी तरह बाएँ यूक्लिडियन के लिए <math>b R a</math> और <math>c R a</math> का तात्पर्य <math>b R c</math> है
* अर्ध-प्रतिवर्ती संबंध|अर्ध-प्रतिवर्ती संबंध: यदि <math>x, y \in X</math> और <math>x R y</math>, तब <math>x R x</math> और <math>y R y</math>.<ref>[https://www.britannica.com/topic/formal-logic/Logical-manipulations-in-LPC#ref534730 Encyclopaedia Britannica] (EB); although EB's notion of quasi-reflexivity is Wikipedia's notion of left quasi-reflexivity, they coincide for symmetric relations.</ref><ref group=note>This follows since if <math>x R y</math>, then <math>y R x</math> by symmetry, so <math>x R x</math> and <math>y R y</math> by transitivity. It is also a consequence of the Euclidean properties.</ref>
* अर्ध-प्रतिवर्ती संबंध: यदि <math>x, y \in X</math> और <math>x R y</math>, तब <math>x R x</math> और <math>y R y</math> है।<ref>[https://www.britannica.com/topic/formal-logic/Logical-manipulations-in-LPC#ref534730 Encyclopaedia Britannica] (EB); although EB's notion of quasi-reflexivity is Wikipedia's notion of left quasi-reflexivity, they coincide for symmetric relations.</ref><ref group="note">This follows since if <math>x R y</math>, then <math>y R x</math> by symmetry, so <math>x R x</math> and <math>y R y</math> by transitivity. It is also a consequence of the Euclidean properties.</ref>
इनमें से कोई भी गुण यह बताने के लिए पर्याप्त नहीं है कि संबंध एक PER है।<ref group=note>For the equivalence relation, consider the set <math>E=\{a,b,c,d\}</math> and the relation <math>R=\{a,b,c\}^2\cup\{(d,a)\}</math>. <math>R</math> is an equivalence relation on <math>\{a,b,c\}</math> but not a PER on <math>E</math> since it is neither symmetric (<math>dRa</math>, but not <math>aRd</math>) nor transitive (<math>dRa</math> and <math>aRb</math>, but not <math>dRb</math>). For Euclideanness, ''xRy'' on natural numbers, defined by 0 ≤ ''x'' ≤ ''y''+1 ≤ 2, is right Euclidean, but neither symmetric (since e.g. 2''R''1, but not 1''R''2) nor transitive (since e.g. 2''R''1 and 1''R''0, but not 2''R''0).</ref>
इनमें से कोई भी गुण यह बताने के लिए पर्याप्त नहीं है कि संबंध आंशिक समतुल्य संबंध है।<ref group="note">For the equivalence relation, consider the set <math>E=\{a,b,c,d\}</math> and the relation <math>R=\{a,b,c\}^2\cup\{(d,a)\}</math>. <math>R</math> is an equivalence relation on <math>\{a,b,c\}</math> but not a PER on <math>E</math> since it is neither symmetric (<math>dRa</math>, but not <math>aRd</math>) nor transitive (<math>dRa</math> and <math>aRb</math>, but not <math>dRb</math>). For Euclideanness, ''xRy'' on natural numbers, defined by 0 ≤ ''x'' ≤ ''y''+1 ≤ 2, is right Euclidean, but neither symmetric (since e.g. 2''R''1, but not 1''R''2) nor transitive (since e.g. 2''R''1 and 1''R''0, but not 2''R''0).</ref>




=== गैर-सेट-सिद्धांत सेटिंग्स में ===
=== गैर-समुच्चय-सिद्धांत समुच्चयनमें ===


[[ प्रकार सिद्धांत ]] में, [[रचनात्मक गणित]] और [[कंप्यूटर विज्ञान]] के लिए उनके अनुप्रयोग, सबसेट के एनालॉग्स का निर्माण अक्सर समस्याग्रस्त होता है<ref>{{Cite book|chapter-url=https://ieeexplore.ieee.org/document/5135|doi=10.1109/LICS.1988.5135|chapter=The strength of the subset type in Martin-Lof's type theory|title=&#91;1988&#93; Proceedings. Third Annual Information Symposium on Logic in Computer Science|year=1988|last1=Salveson|first1=A.|last2=Smith|first2=J.M.|pages=384–391|isbn=0-8186-0853-6|s2cid=15822016}}</ref>-इन संदर्भों में PER का अधिक सामान्य रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से [[सेटॉइड]] को परिभाषित करने के लिए, जिसे कभी-कभी आंशिक सेटॉइड कहा जाता है। एक प्रकार और प्रति से एक आंशिक सेटॉइड बनाना शास्त्रीय सेट-सैद्धांतिक गणित में उपसमुच्चय और भागफल बनाने के समान है।
[[ प्रकार सिद्धांत | प्ररूप सिद्धांत]] में, [[रचनात्मक गणित]] और [[कंप्यूटर विज्ञान]] के लिए उनके अनुप्रयोग, उप-समुच्चय के एनालॉग्स का निर्माण प्रायः समस्याग्रस्त होता है<ref>{{Cite book|chapter-url=https://ieeexplore.ieee.org/document/5135|doi=10.1109/LICS.1988.5135|chapter=The strength of the subset type in Martin-Lof's type theory|title=&#91;1988&#93; Proceedings. Third Annual Information Symposium on Logic in Computer Science|year=1988|last1=Salveson|first1=A.|last2=Smith|first2=J.M.|pages=384–391|isbn=0-8186-0853-6|s2cid=15822016}}</ref>-इन संदर्भों में आंशिक समतुल्य संबंध का अधिक सामान्य रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से [[सेटॉइड|सेटोइड्स,]] को परिभाषित करने के लिए, जिसे कभी-कभी आंशिक सेटोइड् कहा जाता है। एक प्ररूप और आंशिक समतुल्य संबंध से एक आंशिक सेटोइड् बनाना उत्कृष्ट समुच्चय-सैद्धांतिक गणित में उपसमुच्चय और भागफल बनाने के समान है।


सर्वांगसम संबंध की बीजगणितीय धारणा को भी आंशिक तुल्यता के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिससे [[उपसंगठन]] की धारणा उत्पन्न होती है, अर्थात एक समरूपी संबंध जो सममित और सकर्मक है, लेकिन अनिवार्य रूप से प्रतिवर्ती नहीं है।<ref>{{cite book|editor1=Aldo Ursini |editor2=Paulo Agliano|title=तर्क और बीजगणित|year=1996|publisher=CRC Press|isbn=978-0-8247-9606-8|pages=161–180|author=J. Lambek|chapter=The Butterfly and the Serpent}}</ref>
सर्वांगसम संबंध की बीजगणितीय धारणा को भी आंशिक तुल्यता के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिससे [[उपसंगठन|उप-सर्वांगसमता]] की धारणा उत्पन्न होती है, अर्थात समरूपी संबंध जो सममित और सकर्मक है, लेकिन अनिवार्य रूप से प्रतिवर्ती नहीं है।<ref>{{cite book|editor1=Aldo Ursini |editor2=Paulo Agliano|title=तर्क और बीजगणित|year=1996|publisher=CRC Press|isbn=978-0-8247-9606-8|pages=161–180|author=J. Lambek|chapter=The Butterfly and the Serpent}}</ref>




== उदाहरण ==
== उदाहरण ==


प्रति का एक सरल उदाहरण जो एक तुल्यता संबंध नहीं है, रिक्त संबंध है <math>R=\emptyset</math>, अगर <math>X</math> खाली नहीं है।
आंशिक समतुल्य संबंध का एक सरल उदाहरण जो तुल्यता संबंध नहीं है, शून्य संबंध <math>R=\emptyset</math> है, यदि <math>X</math> शून्य नहीं है।


=== आंशिक कार्यों के गुठली ===
=== आंशिक फलनों के कर्नेल ===
अगर <math>f</math> एक सेट पर एक आंशिक कार्य है <math>A</math>, फिर संबंध <math>\approx</math> द्वारा परिभाषित
यदि <math>f</math> समुच्चय पर <math>A</math> आंशिक फलन है, तो संबंध <math>\approx</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
: <math>x \approx y</math> अगर <math>f</math> पर परिभाषित किया गया है <math>x</math>, <math>f</math> पर परिभाषित किया गया है <math>y</math>, और <math>f(x) = f(y)</math>
: <math>x \approx y</math> यदि <math>f</math> को <math>x</math> पर परिभाषित किया गया है, और यदि <math>f</math> को <math>y</math> पर परिभाषित किया गया है, तब <math>f(x) = f(y)</math>
एक आंशिक तुल्यता संबंध है, क्योंकि यह स्पष्ट रूप से सममित और सकर्मक है।
आंशिक तुल्यता संबंध है, क्योंकि यह स्पष्ट रूप से सममित और संक्रामक है।


अगर <math>f</math> कुछ तत्वों पर अपरिभाषित है, तो <math>\approx</math> तुल्यता संबंध नहीं है। यह if से रिफ्लेक्सिव नहीं है <math>f(x)</math> तब परिभाषित नहीं किया गया है <math>x \not\approx x</math> - वास्तव में, ऐसे के लिए <math>x</math> कोई नहीं है <math>y \in A</math> ऐसा है कि <math>x \approx y</math>. यह तुरंत अनुसरण करता है कि का सबसे बड़ा उपसमुच्चय <math>A</math> जिस पर <math>\approx</math> एक तुल्यता संबंध ठीक वही उपसमुच्चय है जिस पर <math>f</math> परिभाषित किया गया।
यदि <math>f</math> कुछ तत्वों पर अपरिभाषित है, तो <math>\approx</math> तुल्यता संबंध नहीं है। यदि यह प्रतिवर्ती नहीं है क्योंकि यदि <math>f(x)</math> परिभाषित नहीं किया गया है तो <math>x \not\approx x</math> - वास्तव में, <math>x</math> के लिए कोई <math>y \in A</math> नहीं है जैसे कि <math>x \approx y</math> है। यह तुरंत अनुसरण करता है कि का सबसे बड़ा उपसमुच्चय <math>A</math> जिस पर <math>\approx</math> एक तुल्यता संबंध ठीक वही उपसमुच्चय है जिस पर <math>f</math> परिभाषित किया गया है।


=== तुल्यता संबंधों का सम्मान करने वाले कार्य ===
=== तुल्यता संबंधों का सम्मान करने वाले फलन ===
मान लीजिए कि X और Y तुल्यता संबंध (या PERs) से युक्त समुच्चय हैं <math>\approx_X, \approx_Y</math>. के लिए <math>f,g : X \to Y</math>, परिभाषित करना <math>f \approx g</math> मतलब निकालना:
मान लीजिए कि X और Y तुल्यता संबंध (या आंशिक समतुल्य संबंध) से युक्त समुच्चय <math>\approx_X, \approx_Y</math>हैं, <math>f,g : X \to Y</math> के लिए परिभाषित करना <math>f \approx g</math> का तात्पर्य है:


: <math>\forall x_0 \; x_1, \quad x_0 \approx_X x_1 \Rightarrow f(x_0) \approx_Y g(x_1)</math>
: <math>\forall x_0 \; x_1, \quad x_0 \approx_X x_1 \Rightarrow f(x_0) \approx_Y g(x_1)</math>
तब <math>f \approx f</math> का अर्थ है कि f भागफल के एक अच्छी तरह से परिभाषित कार्य को प्रेरित करता है <math>X / {\approx_X} \; \to \; Y / {\approx_Y}</math>. इस प्रकार, प्रति <math>\approx</math> भागफल पर परिभाषितता के विचार और भागफल पर समान कार्य को प्रेरित करने वाले दो कार्यों को कैप्चर करता है।
तब <math>f \approx f</math> का अर्थ है कि f भागफल के एक अच्छी तरह से परिभाषित फलन <math>X / {\approx_X} \; \to \; Y / {\approx_Y}</math> को प्रेरित करता है। इस प्रकार, आंशिक समतुल्य संबंध <math>\approx</math> भागफल पर परिभाषितता के विचार और भागफल पर समान फलन को प्रेरित करने वाले दो फलनों को प्रग्रहण करता है।


=== [[IEEE फ़्लोटिंग पॉइंट]] मानों की समानता ===
=== [[IEEE फ़्लोटिंग पॉइंट|विद्युत और इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियर संस्थान चल बिंदु]] मानों की समानता ===
IEEE 754:2008 IEEE फ़्लोटिंग पॉइंट फ़्लोटिंग पॉइंट मानों के लिए EQ संबंध को परिभाषित करता है। यह विधेय सममित और सकर्मक है, लेकिन [[NaN]] मानों की उपस्थिति के कारण प्रतिवर्त नहीं है जो स्वयं के लिए EQ नहीं हैं।
विद्युत और इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियर संस्थान (आईईईई) 754:2008 चल बिंदु मानक चल बिंदु मानों के लिए "ईक्यू" संबंध को परिभाषित करता है। यह निर्धारक सममित और सकर्मक है, लेकिन एनएएन (संख्या नहीं) मानों की उपस्थिति के कारण प्रतिवर्त नहीं है जो स्वयं के लिए ईक्यू नहीं हैं।


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==

Revision as of 09:13, 12 March 2023

गणित में, आंशिक तुल्यता संबंध (प्रायः संक्षिप्त रूप में पीईआर, पुराने साहित्य में प्रतिबंधित तुल्यता संबंध भी कहा जाता है)[1] समघात द्विआधारी (बाइनरी) संबंध है जो सममित संबंध और सकर्मक संबंध है। यदि संबंध भी परावर्ती संबंध है, तो संबंध एक तुल्यता संबंध है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, संबंध समुच्चय पर एक आंशिक तुल्यता संबंध है यदि यह सभी के लिए धारण करता है कि:

  1. यदि , तब (समरूपता)
  2. यदि और , तब (संक्रमणशीलता)

अन्य अधिक सहज परिभाषा यह है कि समुच्चय पर आंशिक तुल्यता संबंध है यदि का कुछ उपसमुच्चय है जैसे कि और , पर तुल्यता संबंध है को लेकर दो परिभाषाओं को समतुल्य देखा जाता है।[2]


गुण और अनुप्रयोग

समुच्चय पर आंशिक तुल्यता संबंध के लिए निम्नलिखित गुण धारण करते हैं:

  • उपसमुच्चय पर समतुल्य संबंध है।[note 1]
  • द्वि-फलनात्मक: संबंध समुच्चय दो आंशिक फलनों के लिए और कुछ संकेतक समुच्चय के लिए है
  • दाएं और बाएं यूक्लिडियन संबंध: के लिए और का तात्पर्य है, और इसी तरह बाएँ यूक्लिडियन के लिए और का तात्पर्य है
  • अर्ध-प्रतिवर्ती संबंध: यदि और , तब और है।[3][note 2]

इनमें से कोई भी गुण यह बताने के लिए पर्याप्त नहीं है कि संबंध आंशिक समतुल्य संबंध है।[note 3]


गैर-समुच्चय-सिद्धांत समुच्चयनमें

प्ररूप सिद्धांत में, रचनात्मक गणित और कंप्यूटर विज्ञान के लिए उनके अनुप्रयोग, उप-समुच्चय के एनालॉग्स का निर्माण प्रायः समस्याग्रस्त होता है[4]-इन संदर्भों में आंशिक समतुल्य संबंध का अधिक सामान्य रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से सेटोइड्स, को परिभाषित करने के लिए, जिसे कभी-कभी आंशिक सेटोइड् कहा जाता है। एक प्ररूप और आंशिक समतुल्य संबंध से एक आंशिक सेटोइड् बनाना उत्कृष्ट समुच्चय-सैद्धांतिक गणित में उपसमुच्चय और भागफल बनाने के समान है।

सर्वांगसम संबंध की बीजगणितीय धारणा को भी आंशिक तुल्यता के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिससे उप-सर्वांगसमता की धारणा उत्पन्न होती है, अर्थात समरूपी संबंध जो सममित और सकर्मक है, लेकिन अनिवार्य रूप से प्रतिवर्ती नहीं है।[5]


उदाहरण

आंशिक समतुल्य संबंध का एक सरल उदाहरण जो तुल्यता संबंध नहीं है, शून्य संबंध है, यदि शून्य नहीं है।

आंशिक फलनों के कर्नेल

यदि समुच्चय पर आंशिक फलन है, तो संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है

यदि को पर परिभाषित किया गया है, और यदि को पर परिभाषित किया गया है, तब

आंशिक तुल्यता संबंध है, क्योंकि यह स्पष्ट रूप से सममित और संक्रामक है।

यदि कुछ तत्वों पर अपरिभाषित है, तो तुल्यता संबंध नहीं है। यदि यह प्रतिवर्ती नहीं है क्योंकि यदि परिभाषित नहीं किया गया है तो - वास्तव में, के लिए कोई नहीं है जैसे कि है। यह तुरंत अनुसरण करता है कि का सबसे बड़ा उपसमुच्चय जिस पर एक तुल्यता संबंध ठीक वही उपसमुच्चय है जिस पर परिभाषित किया गया है।

तुल्यता संबंधों का सम्मान करने वाले फलन

मान लीजिए कि X और Y तुल्यता संबंध (या आंशिक समतुल्य संबंध) से युक्त समुच्चय हैं, के लिए परिभाषित करना का तात्पर्य है:

तब का अर्थ है कि f भागफल के एक अच्छी तरह से परिभाषित फलन को प्रेरित करता है। इस प्रकार, आंशिक समतुल्य संबंध भागफल पर परिभाषितता के विचार और भागफल पर समान फलन को प्रेरित करने वाले दो फलनों को प्रग्रहण करता है।

विद्युत और इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियर संस्थान चल बिंदु मानों की समानता

विद्युत और इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियर संस्थान (आईईईई) 754:2008 चल बिंदु मानक चल बिंदु मानों के लिए "ईक्यू" संबंध को परिभाषित करता है। यह निर्धारक सममित और सकर्मक है, लेकिन एनएएन (संख्या नहीं) मानों की उपस्थिति के कारण प्रतिवर्त नहीं है जो स्वयं के लिए ईक्यू नहीं हैं।

टिप्पणियाँ

  1. ↑ By construction, is reflexive on and therefore an equivalence relation on .
  2. ↑ This follows since if , then by symmetry, so and by transitivity. It is also a consequence of the Euclidean properties.
  3. ↑ For the equivalence relation, consider the set and the relation . is an equivalence relation on but not a PER on since it is neither symmetric (, but not ) nor transitive ( and , but not ). For Euclideanness, xRy on natural numbers, defined by 0 ≤ x ≤ y+1 ≤ 2, is right Euclidean, but neither symmetric (since e.g. 2R1, but not 1R2) nor transitive (since e.g. 2R1 and 1R0, but not 2R0).


संदर्भ

  1. ↑ Scott, Dana (September 1976). "जाली के रूप में डेटा प्रकार". SIAM Journal on Computing. 5 (3): 560. doi:10.1137/0205037.
  2. ↑ Mitchell, John C. (1996). प्रोग्रामिंग भाषाओं के लिए नींव. Cambridge, Mass.: MIT Press. pp. 364–365. ISBN 0585037892.
  3. ↑ Encyclopaedia Britannica (EB); although EB's notion of quasi-reflexivity is Wikipedia's notion of left quasi-reflexivity, they coincide for symmetric relations.
  4. ↑ Salveson, A.; Smith, J.M. (1988). "The strength of the subset type in Martin-Lof's type theory". [1988] Proceedings. Third Annual Information Symposium on Logic in Computer Science. pp. 384–391. doi:10.1109/LICS.1988.5135. ISBN 0-8186-0853-6. S2CID 15822016.
  5. ↑ J. Lambek (1996). "The Butterfly and the Serpent". In Aldo Ursini; Paulo Agliano (eds.). तर्क और बीजगणित. CRC Press. pp. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.
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