हेटिंग बीजगणित

गणित में, हेयटिंग बीजगणित (छद्म-बूलियन बीजगणित के रूप में भी जाना जाता है) लैटिस (ऑर्डर) # बाउंडेड जाली है (जॉइन और मीट ऑपरेशंस लिखित ∨ और ∧ के साथ और कम से कम एलिमेंट 0 और सबसे बड़ा एलिमेंट 1 के साथ) बाइनरी ऑपरेशन a → b से लैस है, जैसे कि (c ∧ a) ≤ b है सी ≤ (ए → बी) के बराबर। तार्किक दृष्टिकोण से, ए → बी इस परिभाषा के अनुसार सबसे कमजोर तर्कवाक्य है जिसके लिए मूड सेट करना, अनुमान नियम ए → बी, ए ⊢ बी, ध्वनि है। बूलियन बीजगणित (संरचना) की तरह, हेयटिंग बीजगणित विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) बनाते हैं जो बहुत से समीकरणों के साथ स्वयंसिद्ध है। हेटिंग अलजेब्रा की शुरुआत किसके द्वारा की गई थी Arend Heyting (1930) अंतर्ज्ञानवादी तर्क को औपचारिक रूप देना।

जाली के रूप में, Heyting बीजगणित वितरित जाली हैं। प्रत्येक बूलियन बीजगणित हेटिंग बीजगणित है जब a → b को ¬a ∨ b के रूप में परिभाषित किया जाता है, जैसा कि प्रत्येक पूर्णता (आदेश सिद्धांत) वितरणात्मक जाली है जो तरफा वितरण (आदेश सिद्धांत) को संतुष्ट करती है # पूर्ण जाली के लिए वितरण नियम जब a → b है सभी c के समुच्चय का सर्वोच्च माना जाता है जिसके लिए c ∧ a ≤ b। परिमित मामले में, प्रत्येक गैर-खाली वितरण जाली, विशेष रूप से प्रत्येक गैर-खाली परिमित कुल आदेश#चेन्स, स्वचालित रूप से पूर्ण और पूरी तरह से वितरण योग्य है, और इसलिए विषम बीजगणित है।

यह परिभाषा से अनुसरण करता है कि 1 ≤ 0 → ए, अंतर्ज्ञान के अनुरूप है कि कोई भी प्रस्ताव विरोधाभास 0 से निहित है। हालांकि नकारात्मक ऑपरेशन ¬a परिभाषा का हिस्सा नहीं है, यह → 0 के रूप में परिभाषित है। सहज ज्ञान युक्त ¬a की सामग्री वह प्रस्ताव है जो मान लेने से विरोधाभास हो जाएगा। परिभाषा का तात्पर्य है कि ∧ ¬a = 0. आगे यह दिखाया जा सकता है कि ≤ ¬¬a, हालांकि इसका विलोम, ¬¬a ≤ a, सामान्य रूप से सत्य नहीं है, अर्थात, दोहरा निषेध उन्मूलन सामान्य रूप से मान्य नहीं है हेटिंग बीजगणित में।

हेटिंग बीजगणित बूलियन बीजगणित का सामान्यीकरण इस अर्थ में करते हैं कि बूलियन बीजगणित निश्चित रूप से हेटिंग बीजगणित हैं जो ∨ ¬a = 1 (मध्य को छोड़कर), समकक्ष ¬¬a = a को संतुष्ट करते हैं। हेटिंग बीजगणित एच के फॉर्म ¬ए के वे तत्व बूलियन जाली शामिल करते हैं, लेकिन सामान्य तौर पर यह एच का subalgebra नहीं है (देखें #नियमित और पूरक तत्व)।

हेटिंग बीजगणित उसी तरह से प्रस्तावपरक अंतर्ज्ञानवादी तर्क के बीजगणितीय मॉडल के रूप में काम करते हैं जैसे बूलियन बीजगणित मॉडल प्रस्तावपरक शास्त्रीय तर्क। प्राथमिक टोपोस का आंतरिक तर्क टर्मिनल वस्तु 1 के उप-ऑब्जेक्ट्स के हेटिंग बीजगणित पर आधारित होता है, जो समावेशन द्वारा आदेशित होता है, समकक्ष रूप से 1 से subobject क्लासिफायरियर Ω तक।

किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस के खुले सेट पूर्ण हेटिंग बीजगणित बनाते हैं। पूर्ण हेटिंग बीजगणित इस प्रकार व्यर्थ टोपोलॉजी में अध्ययन का केंद्रीय उद्देश्य बन जाता है।

प्रत्येक हेटिंग बीजगणित जिसके गैर-महानतम तत्वों के सेट में सबसे बड़ा तत्व होता है (और और हेटिंग बीजगणित बनाता है) उप-प्रत्यक्ष रूप से इरेड्यूसिबल बीजगणित होता है, जहां से प्रत्येक हेटिंग बीजगणित को नए महानतम तत्व से जोड़कर उप-प्रत्यक्ष रूप से इरेड्यूसेबल बनाया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि परिमित हेटिंग बीजगणितों में भी असीम रूप से कई ऐसे मौजूद हैं जो उप-प्रत्यक्ष रूप से इर्रेड्यूबल हैं, जिनमें से दो में समान समीकरण सिद्धांत नहीं है। इसलिए परिमित Heyting बीजगणित का कोई परिमित समुच्चय Heyting बीजगणित के गैर-नियमों के लिए सभी प्रतिउदाहरणों की आपूर्ति नहीं कर सकता है। यह बूलियन बीजगणित के बिल्कुल विपरीत है, जिसका एकमात्र उप-प्रत्यक्ष रूप से अप्रासंगिक दो-तत्व वाला है, जो अपने दम पर बूलियन बीजगणित के गैर-कानूनों के लिए सभी प्रति-उदाहरणों के लिए पर्याप्त है, जो सरल सत्य तालिका निर्णय पद्धति का आधार है। फिर भी, यह निर्णायकता (तर्क) है कि क्या समीकरण सभी हेटिंग बीजगणितों को धारण करता है। हेयटिंग बीजगणित को अक्सर छद्म-बूलियन बीजगणित कहा जाता है, या यहां तक ​​कि Brouwer lattices, हालांकि बाद वाला शब्द दोहरी परिभाषा को निरूपित कर सकता है, या थोड़ा और सामान्य अर्थ है।

औपचारिक परिभाषा

Heyting बीजगणित एच जाली (आदेश) # आंशिक रूप से आदेशित सेट के रूप में है कि एच में सभी ए और बी के लिए एच का सबसे बड़ा तत्व एक्स है जैसे कि

$a\wedge x\leq b.$

यह तत्व बी के संबंध में ए का सापेक्ष छद्म-पूरक है, और इसे ए→बी के रूप में दर्शाया गया है। हम क्रमशः H के सबसे बड़े और सबसे छोटे अवयव के लिए 1 और 0 लिखते हैं।

किसी भी Heyting बीजगणित में, कोई व्यक्ति ¬a = (a→0) सेट करके किसी भी तत्व a के छद्म-पूरक ¬a को परिभाषित करता है। परिभाषा से, $a\wedge \lnot a=0$, और ¬a इस गुण वाला सबसे बड़ा तत्व है। हालाँकि, यह सामान्य रूप से सच नहीं है $a\vee \lnot a=1$, इस प्रकार ¬ केवल छद्म पूरक है, वास्तविक पूरक (सेट सिद्धांत) नहीं है, जैसा कि बूलियन बीजगणित में होता है।

पूर्ण हेटिंग बीजगणित हेटिंग बीजगणित है जो पूर्ण जाली है।

एक Heyting बीजगणित H का उपलजगणित उपसमुच्चय H है₁ H का जिसमें 0 और 1 है और संचालन ∧, ∨ और → के तहत बंद है। यह इस प्रकार है कि यह भी ¬ के तहत बंद है। प्रेरित संक्रियाओं द्वारा सबलजेब्रा को हेयटिंग बीजगणित में बनाया जाता है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ

श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषा

हेटिंग बीजगणित $H$ बंधी हुई जाली है जिसमें सभी घातीय वस्तुएँ हैं।

जाली $H$ श्रेणी (गणित) के रूप में माना जाता है जहाँ मिलना, $\wedge$, उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) है। घातीय स्थिति का अर्थ है कि किसी भी वस्तु के लिए $Y$ और $Z$ में $H$ घातीय $Z^{Y}$ विशिष्ट रूप से वस्तु के रूप में मौजूद है $H$.

हेटिंग निहितार्थ (अक्सर उपयोग करके लिखा जाता है $\Rightarrow$ या $\multimap$ उपयोग जैसे भ्रम से बचने के लिए $\to$ ऑपरेटर को इंगित करने के लिए) केवल घातीय है: $Y\Rightarrow Z$ के लिए वैकल्पिक संकेतन है $Z^{Y}$. घातीयों की परिभाषा से हमारे पास वह निहितार्थ है ($\Rightarrow :H\times H\to H$) मिलने के लिए दायाँ सन्निकट है ($\wedge :H\times H\to H$). इस संयोजन को इस प्रकार लिखा जा सकता है $(-\wedge Y)\dashv (Y\Rightarrow -)$ या अधिक पूरी तरह से:

$$(-\wedge Y):H{\stackrel {\longrightarrow }{\underset {\longleftarrow }{\top }}}H:(Y\Rightarrow -)$$

जाली-सैद्धांतिक परिभाषाएँ

मैपिंग पर विचार करके हेटिंग बीजगणित की समकक्ष परिभाषा दी जा सकती है:

${\begin{cases}f_{a}\colon H\to H\\f_{a}(x)=a\wedge x\end{cases}}$

एच में कुछ निश्चित के लिए। बंधी हुई जाली एच हेटिंग बीजगणित है अगर और केवल अगर हर मैपिंग एफ_a मोनोटोन गाल्वा कनेक्शन का निचला भाग है। इस मामले में संबंधित ऊपरी संलग्न जी_aजी द्वारा दिया जाता है_a(x) = a→x, जहाँ → ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है।

फिर भी और परिभाषा अवशिष्ट जाली के रूप में है जिसका मोनोइड ऑपरेशन ∧ है। मोनॉइड इकाई तब शीर्ष तत्व 1 होना चाहिए। इस मोनॉइड की कम्यूटेटिविटी का अर्थ है कि दो अवशेष → बी के रूप में मेल खाते हैं।

एक निहितार्थ ऑपरेशन के साथ घिरा जाली

सबसे बड़े और सबसे छोटे तत्वों 1 और 0, और बाइनरी ऑपरेशन → के साथ बंधी हुई जाली ए को देखते हुए, ये साथ हेटिंग बीजगणित बनाते हैं यदि और केवल यदि निम्नलिखित हो:

1. $a\to a=1$
2. $a\wedge (a\to b)=a\wedge b$
3. $b\wedge (a\to b)=b$
4. $a\to (b\wedge c)=(a\to b)\wedge (a\to c)$

जहाँ समीकरण 4 → के लिए वितरण नियम है।

===अंतर्ज्ञानवादी तर्क === के स्वयंसिद्धों का उपयोग करके लक्षण वर्णन हेटिंग बीजगणित का यह लक्षण वर्णन अंतर्ज्ञानवादी प्रस्तावपरक कलन और हेटिंग बीजगणित के बीच के संबंध से संबंधित बुनियादी तथ्यों का प्रमाण तत्काल बनाता है। (इन तथ्यों के लिए, अनुभाग देखें #प्रामाणिक पहचान और #सार्वभौमिक निर्माण।) तत्व के बारे में सोचना चाहिए $\top$ अर्थ के रूप में, सहज रूप से, सिद्ध रूप से सत्य। अंतर्ज्ञानवादी तर्क#Axiomatization पर सिद्धांतों के साथ तुलना करें)।

सेट ए को तीन बाइनरी ऑपरेशंस →, ∧ और ∨, और दो विशिष्ट तत्वों के साथ दिया गया है $\bot$ और $\top$, तो ए इन परिचालनों के लिए हेटिंग बीजगणित है (और संबंध ≤ शर्त द्वारा परिभाषित किया गया है $a\leq b$ जब ए → बी = $\top$) अगर और केवल अगर निम्नलिखित शर्तें ए के किसी भी तत्व x, y और z के लिए हैं:

1. ${\mbox{If }}x\leq y{\mbox{ and }}y\leq x{\mbox{ then }}x=y,$
2. ${\mbox{If }}\top \leq y,{\mbox{ then }}y=\top ,$
3. $x\leq y\to x,$
4. $x\to (y\to z)\leq (x\to y)\to (x\to z),$
5. $x\land y\leq x,$
6. $x\land y\leq y,$
7. $x\leq y\to (x\land y),$
8. $x\leq x\lor y,$
9. $y\leq x\lor y,$
10. $x\to z\leq (y\to z)\to (x\lor y\to z),$
11. $\bot \leq x.$

अंत में, हम ¬x को x→ के रूप में परिभाषित करते हैं $\bot$.

शर्त 1 कहती है कि समतुल्य सूत्रों की पहचान की जानी चाहिए। शर्त 2 कहती है कि सही साबित करने वाले सूत्र मोडस पोनेंस के तहत बंद हैं। फिर शर्तें 3 और 4 शर्तें हैं। शर्तें 5, 6 और 7 हैं और शर्तें। शर्तें 8, 9 और 10 या शर्तें हैं। शर्त 11 झूठी शर्त है।

बेशक, अगर तर्क के लिए स्वयंसिद्धों का अलग सेट चुना गया था, तो हम अपने हिसाब से संशोधित कर सकते हैं।

उदाहरण

एक जनरेटर (उर्फ रिगर-निशिमुरा जाली) पर मुक्त वस्तु हेयटिंग बीजगणित

<उल>

प्रत्येक बूलियन बीजगणित (संरचना) हेटिंग बीजगणित है, जिसमें p→q ¬p∨q द्वारा दिया गया है।

प्रत्येक कुल क्रम जिसमें कम से कम तत्व 0 और सबसे बड़ा तत्व 1 है, हेटिंग बीजगणित है (यदि जाली के रूप में देखा जाता है)। इस स्थिति में p→q 1 के बराबर होता है जब p≤q, और q अन्यथा।

सबसे सरल हेटिंग बीजगणित जो पहले से ही बूलियन बीजगणित नहीं है, पूरी तरह से आदेशित सेट है {0, 1/2, 1} (जाली के रूप में देखा जाता है), संचालन प्रदान करते हुए:

$a\land b$ b a 0 1/2 1 0 0 0 0 1/2 0 1/2 1/2 1 0 1/2 1

<दिव> $a\lor b$ b a 0 1/2 1 0 0 1/2 1 1/2 1/2 1/2 1 1 1 1 1

<दिव> a→b b a 0 1/2 1 0 1 1 1 1/2 0 1 1 1 0 1/2 1

<दिव> a ¬a 0 1 1/2 0 1 0

इस उदाहरण में, वह 1/2∨¬1/2 = 1/2∨(1/2 → 0) = 1/2∨0 = 1/2 बहिष्कृत मध्य के कानून को गलत साबित करता है।

प्रत्येक टोपोलॉजी अपने खुले सेट जाली के रूप में पूर्ण हेटिंग बीजगणित प्रदान करती है। इस मामले में, तत्व A → B, A के मिलन का आंतरिक (टोपोलॉजी) है^सी और बी, जहां ए^c खुले सेट A के पूरक (सेट सिद्धांत) को दर्शाता है। सभी पूर्ण हेटिंग बीजगणित इस रूप के नहीं होते हैं। इन मुद्दों का अध्ययन व्यर्थ टोपोलॉजी में किया जाता है, जहां पूर्ण हेटिंग बीजगणित को 'फ्रेम' या 'लोकेल' भी कहा जाता है।

प्रत्येक आंतरिक बीजगणित खुले तत्वों की जाली के रूप में हेटिंग बीजगणित प्रदान करता है। हर Heyting बीजगणित इस रूप का है क्योंकि Heyting बीजगणित को बूलियन बीजगणित में बाध्य वितरण जाली के रूप में अपने मुक्त बूलियन विस्तार को लेकर पूरा किया जा सकता है और फिर इसे इस बूलियन बीजगणित में सामान्यीकृत टोपोलॉजी के रूप में माना जा सकता है।

प्रस्तावित अंतर्ज्ञानवादी तर्क का लिंडेनबाम बीजगणित हेटिंग बीजगणित है।

प्राथमिक टोपोस के उप-ऑब्जेक्ट क्लासिफायर Ω के वैश्विक तत्व हेटिंग बीजगणित बनाते हैं; यह टोपोस द्वारा प्रेरित अंतर्ज्ञानवादी उच्च-क्रम तर्क के सत्य मूल्यों का हेयटिंग बीजगणित है। अधिक आम तौर पर, किसी भी वस्तु एक्स के सबोबजेक्ट का सेट टोपोस में हेटिंग बीजगणित बनाता है।

लुकासिविक्ज़-मोइसिल अल्जेब्रस (LM_n) भी किसी भी n के लिए बीजगणित कर रहे हैं (लेकिन वे n ≥ 5 के लिए MV-अलजेब्रा नहीं हैं).

गुण

सामान्य गुण

आदेश $\leq$ हेटिंग बीजगणित एच पर ऑपरेशन से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है → निम्नानुसार: एच के किसी भी तत्व ए, बी के लिए, $a\leq b$ अगर और केवल अगर ए → बी = 1।

कुछ बहु-मूल्यवान तर्कों के विपरीत, हेटिंग बीजगणित बूलियन बीजगणित के साथ निम्नलिखित संपत्ति साझा करते हैं: यदि निषेध का निश्चित बिंदु (गणित) है (अर्थात ¬a = कुछ a के लिए), तो हेटिंग बीजगणित तुच्छ एक-तत्व हेटिंग है बीजगणित।

साध्य पहचान

एक सूत्र दिया $F(A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n})$ प्रोपोज़िशनल कैलकुलस (चरों के अलावा, संयोजकों का उपयोग करके $\land ,\lor ,\lnot ,\to$, और स्थिरांक 0 और 1), यह तथ्य है, हेटिंग बीजगणित के किसी भी अध्ययन में जल्दी साबित हुआ, कि निम्नलिखित दो स्थितियाँ समतुल्य हैं:

1. फॉर्मूला एफ इंट्यूशनिस्ट प्रोपोज़िशनल कैलकुलस में काफी हद तक सही है।
2. पहचान $F(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=1$ किसी भी Heyting बीजगणित H और किसी भी तत्व के लिए सत्य है $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in H$.

मेटाइम्प्लिकेशन 1 ⇒ 2 अत्यंत उपयोगी है और हेयटिंग बीजगणित में सर्वसमिका सिद्ध करने का प्रमुख व्यावहारिक तरीका है। व्यवहार में, ऐसे प्रमाणों में अक्सर कटौती प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

चूंकि हेटिंग बीजगणित एच में किसी भी ए और बी के लिए हमारे पास है $a\leq b$ अगर और केवल अगर a→b = 1, यह इस प्रकार है 1 ⇒ 2 कि जब भी कोई सूत्र F→G सिद्ध रूप से सत्य होता है, हमारे पास होता है $F(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\leq G(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ किसी भी Heyting बीजगणित एच, और किसी भी तत्व के लिए $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in H$. (डिडक्शन प्रमेय से यह पता चलता है कि F→G साध्य है (बिना शर्त के) यदि और केवल यदि G, F से साध्य है, अर्थात, यदि G, F का साध्य परिणाम है।) विशेष रूप से, यदि F और G सिद्ध रूप से समतुल्य हैं, तब $F(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=G(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$, क्योंकि ≤ आदेश संबंध है।

1 ⇒ 2 को सबूत की प्रणाली के तार्किक स्वयंसिद्धों की जांच करके और यह सत्यापित करके साबित किया जा सकता है कि किसी भी हेटिंग बीजगणित में उनका मान 1 है, और फिर यह सत्यापित करना कि हेटिंग बीजगणित में मूल्य 1 के साथ भावों के अनुमान के नियमों का प्रयोग होता है मूल्य 1 के साथ अभिव्यक्तियाँ। उदाहरण के लिए, आइए हम अनुमान के एकमात्र नियम के रूप में मॉडस पोनेन्स वाले सबूत की प्रणाली का चयन करें, और जिनके सिद्धांत हिल्बर्ट-शैली वाले हैं जो अंतर्ज्ञानवादी तर्क#Axiomatization में दिए गए हैं। तत्पश्चात् सत्यापित किए जाने वाले तथ्य ऊपर दिए गए हेयटिंग बीजगणित की अभिगृहीत-जैसी परिभाषा से तुरंत अनुसरण करते हैं।

1 ⇒ 2 यह भी सिद्ध करने के लिए विधि प्रदान करता है कि शास्त्रीय तर्क में टॉटोलॉजी (तर्क) के बावजूद कुछ तर्कवाक्य सूत्र, अंतर्ज्ञानवादी तर्कवाक्य तर्क में सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं। किसी सूत्र को सिद्ध करने के लिए $F(A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n})$ साध्य नहीं है, यह हेटिंग बीजगणित एच और तत्वों को प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त है $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in H$ ऐसा है कि $F(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\neq 1$.

यदि कोई तर्क के उल्लेख से बचना चाहता है, तो व्यवहार में यह आवश्यक हो जाता है कि हेयटिंग बीजगणित के लिए वैध कटौती प्रमेय का संस्करण लेम्मा के रूप में साबित हो: हेटिंग बीजगणित एच के किसी भी तत्व ए, बी और सी के लिए, हमारे पास है $(a\land b)\to c=a\to (b\to c)$.

मेटाइम्प्लीकेशन 2 ⇒ 1 के बारे में अधिक जानकारी के लिए, नीचे #यूनिवर्सल कंस्ट्रक्शन सेक्शन देखें।

वितरणशीलता

हेटिंग बीजगणित हमेशा वितरण (आदेश सिद्धांत) होते हैं। विशेष रूप से, हमारे पास हमेशा पहचान होती है

1. $a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c)$
2. $a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c)$

वितरणात्मक कानून को कभी-कभी स्वयंसिद्ध के रूप में कहा जाता है, लेकिन वास्तव में यह रिश्तेदार छद्म पूरक के अस्तित्व से होता है। इसका कारण यह है कि, गैलोज कनेक्शन का निचला हिस्सा होने के नाते, $\wedge$ सीमा-संरक्षण कार्य (आदेश सिद्धांत) सभी मौजूदा उच्चतम बदले में वितरण केवल बाइनरी सुपरमा का संरक्षण है $\wedge$.

इसी तरह के तर्क से, निम्नलिखित अनंत वितरण कानून किसी भी पूर्ण हेटिंग बीजगणित में होता है:

$x\wedge \bigvee Y=\bigvee \{x\wedge y\mid y\in Y\}$

एच में किसी भी तत्व एक्स और एच के किसी भी उपसमुच्चय वाई के लिए। इसके विपरीत, उपरोक्त अनंत वितरण कानून को संतुष्ट करने वाला कोई भी पूरा जाल पूर्ण हेटिंग बीजगणित है,

$a\to b=\bigvee \{c\mid a\land c\leq b\}$

इसका सापेक्ष छद्म-पूरक ऑपरेशन होना।

नियमित और पूरक तत्व

एक Heyting बीजगणित H के तत्व x को 'नियमित' कहा जाता है यदि निम्न समतुल्य शर्तों में से कोई भी हो:

1. x = ¬¬x।
2. x = ¬y H में कुछ y के लिए।

इन स्थितियों की समतुल्यता को केवल पहचान ¬¬¬x = ¬x के रूप में दोहराया जा सकता है, जो H में सभी x के लिए मान्य है।

यदि x∧y = 0 और x∨y = 1 है तो हेटिंग बीजगणित H के तत्व x और y दूसरे के 'पूरक' कहलाते हैं। यदि यह मौजूद है, तो ऐसा कोई भी y अद्वितीय है और वास्तव में ¬x के बराबर होना चाहिए। हम तत्व x को 'पूरक' कहते हैं यदि यह पूरक को स्वीकार करता है। यह सच है कि यदि x पूरक है, तो ¬x भी है, और फिर x और ¬x दूसरे के पूरक हैं। हालाँकि, भ्रामक रूप से, भले ही x पूरक न हो, फिर भी ¬x में पूरक (x के बराबर नहीं) हो सकता है। किसी भी Heyting बीजगणित में, तत्व 0 और 1 दूसरे के पूरक हैं। उदाहरण के लिए, यह संभव है कि ¬x 0 से भिन्न प्रत्येक x के लिए 0 है, और 1 यदि x = 0 है, तो इस मामले में 0 और 1 केवल नियमित तत्व हैं।

हेटिंग बीजगणित का कोई भी पूरक तत्व नियमित है, हालांकि इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है। विशेष रूप से, 0 और 1 हमेशा नियमित होते हैं।

किसी भी Heyting बीजगणित H के लिए, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं:

1. एच बूलियन बीजगणित (संरचना) है;
2. एच में प्रत्येक एक्स नियमित है;
3. H में प्रत्येक x पूरक है।

इस मामले में, तत्व a→b के बराबर है ¬a ∨ b. किसी भी Heyting बीजगणित H के नियमित (क्रमशः पूरक) तत्व बूलियन बीजगणित H का निर्माण करते हैं_reg (क्रमशः एच_comp), जिसमें संचालन ∧, ¬ और →, साथ ही स्थिरांक 0 और 1, एच के साथ मेल खाते हैं। एच के मामले में_compसंक्रिया ∨ भी वही है, इसलिए H_comp एच का सबलजेब्रा है। सामान्य तौर पर, एच_reg एच का सबलजेब्रा नहीं होगा, क्योंकि इसका ज्वाइन ऑपरेशन ∨ है_reg ∨ से भिन्न हो सकता है। के लिए x, y ∈ H_reg, अपने पास x ∨_reg y = ¬(¬x ∧ ¬y). ∨ के क्रम में आवश्यक और पर्याप्त शर्तों के लिए नीचे देखें_reg ∨ के साथ मेल खाना।

हेटिंग बीजगणित में डी मॉर्गन कानून

दो डी मॉर्गन कानूनों में से हर हेटिंग बीजगणित में संतुष्ट है, अर्थात्

$\forall x,y\in H:\qquad \lnot (x\vee y)=\lnot x\wedge \lnot y.$

हालांकि, अन्य डी मॉर्गन कानून हमेशा मान्य नहीं होता है। इसके बजाय हमारे पास कमजोर डी मॉर्गन कानून है:

$\forall x,y\in H:\qquad \lnot (x\wedge y)=\lnot \lnot (\lnot x\vee \lnot y).$

निम्नलिखित बयान सभी Heyting बीजगणित एच के बराबर हैं:

1. एच दोनों डी मॉर्गन कानूनों को संतुष्ट करता है,
2. $\lnot (x\wedge y)=\lnot x\vee \lnot y{\mbox{ for all }}x,y\in H,$
3. $\lnot (x\wedge y)=\lnot x\vee \lnot y{\mbox{ for all regular }}x,y\in H,$
4. $\lnot \lnot (x\vee y)=\lnot \lnot x\vee \lnot \lnot y{\mbox{ for all }}x,y\in H,$
5. $\lnot \lnot (x\vee y)=x\vee y{\mbox{ for all regular }}x,y\in H,$
6. $\lnot (\lnot x\wedge \lnot y)=x\vee y{\mbox{ for all regular }}x,y\in H,$
7. $\lnot x\vee \lnot \lnot x=1{\mbox{ for all }}x\in H.$

शर्त 2 अन्य डी मॉर्गन कानून है। शर्त 6 कहती है कि ज्वाइन ऑपरेशन ∨_reg बूलियन बीजगणित एच पर_reg एच के नियमित तत्वों की संख्या एच के ऑपरेशन ∨ के साथ मेल खाती है। शर्त 7 बताती है कि प्रत्येक नियमित तत्व पूरक है, अर्थात, एच_reg = एच_comp.

हम समानता सिद्ध करते हैं। स्पष्ट रूप से मेटाइम्प्लिकेशंस 1 ⇒ 2, 2 ⇒ 3 और 4 ⇒ 5 तुच्छ हैं। आगे, 3 ⇔ 4 और 5 ⇔ 6 केवल पहले डी मॉर्गन कानून और नियमित तत्वों की परिभाषा से परिणाम। हम वह दिखाते हैं 6 ⇒ 7 6 में x और y के स्थान पर ¬x और ¬¬x लेकर और सर्वसमिका का उपयोग करके a ∧ ¬a = 0. नोटिस जो 2 ⇒ 1 पहले डी मॉर्गन कानून से अनुसरण करता है, और 7 ⇒ 6 इस तथ्य के परिणाम हैं कि सबलजेब्रा एच पर जॉइन ऑपरेशन ∨_comp केवल ∨ से H तक का प्रतिबंध है_comp, हमने 6 और 7 की शर्तों के बारे में बताए गए लक्षणों को ध्यान में रखते हुए मेटाइम्प्लीकेशन 5 ⇒ 2 5 में x और y के स्थान पर ¬x और ¬y लेने वाले कमजोर डी मॉर्गन कानून का तुच्छ परिणाम है।

उपरोक्त गुणों को संतुष्ट करने वाले हेटिंग बीजगणित मध्यवर्ती तर्क से उसी तरह संबंधित हैं जैसे हेटिंग बीजगणित सामान्य रूप से अंतर्ज्ञानवादी तर्क से संबंधित हैं।

Heyting बीजगणित morphisms

परिभाषा

दो Heyting बीजगणित दिए गए हैं H₁ और वह₂ और मानचित्रण f : H₁ → H₂, हम कहते हैं कि ƒ हेटिंग बीजगणित का 'आकारिता' है, यदि एच में किसी भी तत्व x और y के लिए₁, अपने पास:

1. $f(0)=0,$
2. $f(x\land y)=f(x)\land f(y),$
3. $f(x\lor y)=f(x)\lor f(y),$
4. $f(x\to y)=f(x)\to f(y),$

यह पिछली तीन स्थितियों (2, 3, या 4) में से किसी से भी निकलता है कि f वर्धमान फलन है, अर्थात f(x) ≤ f(y) जब कभी भी x ≤ y.

मान लीजिए एच₁ और वह₂ संचालन के साथ संरचनाएं हैं →, ∧, ∨ (और संभवतः ¬) और स्थिरांक 0 और 1, और एफ एच से प्रक्षेपण मानचित्रण है₁ एच के लिए₂ उपरोक्त 1 से 4 गुणों के साथ। फिर यदि एच₁ हेयटिंग बीजगणित है, इसलिए एच भी है₂. हेयटिंग बीजगणित के लक्षण वर्णन से यह ऑपरेशन के साथ बंधे हुए जाल (आंशिक रूप से आदेशित सेट के बजाय बीजगणितीय संरचनाओं के रूप में माना जाता है) के रूप में होता है → कुछ पहचानों को संतुष्ट करता है।

गुण

पहचान मानचित्र f(x) = x किसी भी Heyting बीजगणित से अपने आप में morphism, और समग्र है g ∘ f किन्हीं दो आकारिकी f और g में से आकारिकी है। इसलिए हेटिंग बीजगणित श्रेणी (गणित) बनाते हैं।

उदाहरण

एक Heyting बीजगणित एच और किसी भी subalgebra एच को देखते हुए₁, समावेशन मानचित्रण i : H₁ → H रूपवाद है।

किसी भी Heyting बीजगणित H के लिए, map x ↦ ¬¬x अपने नियमित तत्वों एच के बूलियन बीजगणित पर एच से आकारिकी को परिभाषित करता है_reg. यह सामान्य रूप से एच से अपने आप में रूपवाद नहीं है, क्योंकि एच के शामिल होने के संचालन के बाद से_reg h से भिन्न हो सकता है।

भागफल

एच को हेटिंग बीजगणित होने दें, और दें F ⊆ H. हम F को H पर 'फ़िल्टर' कहते हैं यदि यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

1. $1\in F,$
2. ${\mbox{If }}x,y\in F{\mbox{ then }}x\land y\in F,$
3. ${\mbox{If }}x\in F,\ y\in H,\ {\mbox{and }}x\leq y{\mbox{ then }}y\in F.$

एच पर फिल्टर के किसी भी सेट का प्रतिच्छेदन फिर से फिल्टर है। इसलिए, एच के किसी भी उपसमुच्चय एस को दिए जाने पर सबसे छोटा फिल्टर होता है जिसमें एस होता है। हम इसे एस द्वारा 'उत्पन्न' फिल्टर कहते हैं। यदि एस खाली है, F = {1}. अन्यथा, एफ एच में एक्स के सेट के बराबर है जैसे कि मौजूद है y₁, y₂, ..., y_n ∈ S साथ y₁ ∧ y₂ ∧ ... ∧ y_n ≤ x. यदि H हेटिंग बीजगणित है और F, H पर फ़िल्टर है, तो हम H पर संबंध ∼ को इस प्रकार परिभाषित करते हैं: हम लिखते हैं x ∼ y जब कभी भी x → y और y → x दोनों F से संबंधित हैं। फिर ∼ तुल्यता संबंध है; हम लिखते हैं H/F भागफल सेट के लिए। अद्वितीय Heyting बीजगणित संरचना पर है H/F जैसे कि विहित अनुमान p_F : H → H/F Heyting बीजगणित morphism बन जाता है। हम हेटिंग बीजगणित कहते हैं H/F F द्वारा H का भागफल।

चलो एस हेटिंग बीजगणित एच का उपसमुच्चय है और एफ को एस द्वारा उत्पन्न फिल्टर होने दें। फिर एच/एफ निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है:

Heyting algebras के किसी भी morphism को देखते हुए f : H → H′ संतुष्टि देने वाला f(y) = 1 हरएक के लिए y ∈ S, f कारक विहित अनुमान के माध्यम से विशिष्ट रूप से p_F : H → H/F. यानी अनोखा रूपवाद है f′ : H/F → H′ संतुष्टि देने वाला f′p_F = f. आकृतिवाद f′ को f से प्रेरित कहा जाता है।

होने देना f : H₁ → H₂ Heyting algebras का रूपवाद हो। F का कर्नेल, ker f लिखा हुआ, समुच्चय है f⁻¹[{1}]. यह एच पर फिल्टर है₁. (देखभाल की जानी चाहिए क्योंकि यह परिभाषा, यदि बूलियन बीजगणित के आकारिकी पर लागू होती है, तो दोहरी होती है, जिसे अंगूठियों के आकारिकी के रूप में देखे जाने वाले आकृतिवाद का कर्नेल कहा जाएगा।) पूर्वगामी द्वारा, f आकारिकी को प्रेरित करता है। f′ : H₁/(ker f) → H₂. यह का समरूपता है H₁/(ker f) सबलजेब्रा f[H₁] एच₂.

सार्वभौमिक निर्माण

अंतर्ज्ञानवादी तुल्यता तक n चरों में प्रस्तावपरक सूत्रों का हेटिंग बीजगणित

मेटाइम्प्लिकेशन 2 ⇒ 1 अनुभाग में #प्रामाणिक सर्वसमिकाएँ यह दिखाकर सिद्ध की जाती हैं कि निम्नलिखित निर्माण का परिणाम अपने आप में हेयटिंग बीजगणित है:

1. चर ए में प्रस्ताव के सूत्रों के सेट एल पर विचार करें₁, ए₂,..., ए_n.
2. F≼G को परिभाषित करके L को प्रीऑर्डर ≼ प्रदान करें यदि G, F का (अंतर्ज्ञानवादी) तार्किक परिणाम है, अर्थात, यदि G F से सिद्ध किया जा सकता है। यह तत्काल है कि ≼ प्रीऑर्डर है।
3. पूर्ववर्ती आदेश F≼G द्वारा प्रेरित तुल्यता संबंध F∼G पर विचार करें। (इसे F∼G द्वारा परिभाषित किया गया है यदि और केवल यदि F≼G और G≼F। वास्तव में, ∼ (अंतर्ज्ञानवादी) तार्किक तुल्यता का संबंध है।)
4. चलो एच₀ भागफल समुच्चय L/∼ हो। यह वांछित हेटिंग बीजगणित होगा।
5. हम सूत्र F के तुल्यता वर्ग के लिए [F] लिखते हैं। संचालन →, ∧, ∨ और ¬ को L पर स्पष्ट तरीके से परिभाषित किया गया है। सत्यापित करें कि दिए गए सूत्र F और G, तुल्यता वर्ग [F→G], [ F∧G], [F∨G] और [¬F] केवल [F] और [G] पर निर्भर करते हैं। यह संक्रियाओं को परिभाषित करता है →, ∧, ∨ और ¬ भागफल समुच्चय H पर₀=एल/∼. आगे 1 को सिद्ध करने योग्य सत्य कथनों के वर्ग के रूप में परिभाषित करें, और 0=[⊥] सेट करें।
6. सत्यापित करें कि एच₀, साथ में इन संक्रियाओं के साथ, Heyting बीजगणित है। हम हेयटिंग बीजगणित की स्वयंसिद्ध परिभाषा का उपयोग करके ऐसा करते हैं। एच₀ शर्तों को संतुष्ट करता है THEN-1 FALSE के माध्यम से क्योंकि दिए गए रूपों के सभी सूत्र अंतर्ज्ञानवादी तर्क के स्वयंसिद्ध हैं। मोडस-पोन्स इस तथ्य से अनुसरण करते हैं कि यदि कोई सूत्र ⊤→F प्रमाणित रूप से सत्य है, जहां ⊤ सिद्ध रूप से सत्य है, तो F सिद्ध रूप से सत्य है (अनुमान मोडस पोनेन्स के नियम के अनुप्रयोग द्वारा)। अंत में, EQUIV इस तथ्य से परिणाम प्राप्त करता है कि यदि F→G और G→F दोनों प्रमाणित रूप से सत्य हैं, तो F और G दूसरे से सिद्ध किए जा सकते हैं (अनुमान मोडस पोनेंस के नियम के अनुप्रयोग द्वारा), इसलिए [F]=[G] .

हमेशा की तरह हेटिंग बीजगणित की स्वयंसिद्ध परिभाषा के तहत, हम ≤ एच पर परिभाषित करते हैं₀ शर्त के अनुसार x≤y यदि और केवल यदि x→y=1. चूंकि, कटौती प्रमेय द्वारा, सूत्र F→G सिद्ध रूप से सत्य है यदि और केवल यदि G, F से सिद्ध किया जा सकता है, तो यह [F]≤[G] का अनुसरण करता है यदि और केवल यदि F≼G। दूसरे शब्दों में, ≤ एल/∼ पर ऑर्डर संबंध है जो एल पर प्रीऑर्डर ≼ द्वारा प्रेरित है।

=== जेनरेटर === के मनमाने सेट पर मुफ्त हेटिंग बीजगणित वास्तव में, पूर्ववर्ती निर्माण चर के किसी भी सेट के लिए किया जा सकता है {ए_i : i∈I} (संभवतः अनंत)। इस तरह से वेरिएबल्स {ए पर मुफ्त हेटिंग बीजगणित प्राप्त करता है_i}, जिसे हम फिर से H से निरूपित करेंगे₀. यह इस अर्थ में मुक्त है कि किसी भी Heyting बीजगणित H को उसके तत्वों के परिवार के साथ दिया गया है 〈a_i: i∈I 〉, अद्वितीय आकारिकी f:H है₀→ एच संतोषजनक एफ ([ए_i])=ए_i. एफ की विशिष्टता को देखना मुश्किल नहीं है, और इसके अस्तित्व का परिणाम अनिवार्य रूप से मेटाइम्प्लिकेशंस से होता है 1 ⇒ 2 ऊपर दिए गए खंड #प्रामाणिक पहचान, इसके परिणाम के रूप में कि जब भी F और G सिद्ध रूप से समतुल्य सूत्र हैं, F(〈a_i〉) = जी (〈ए_i〉) तत्वों के किसी भी परिवार के लिए 〈ए_i>एच में।

===हेटिंग बीजगणित सूत्रों का सिद्धांत T=== के संबंध में समतुल्य है चर {ए में सूत्रों टी के सेट को देखते हुए_i}, अभिगृहीत के रूप में देखे जाने पर, वही निर्माण L पर परिभाषित संबंध F≼G के संबंध में किया जा सकता था, जिसका अर्थ है कि G, F और अभिगृहीतों के समुच्चय T का सिद्ध परिणाम है। आइए हम H द्वारा निरूपित करें_T Heyting बीजगणित तो प्राप्त किया। तब एच_T H के समान सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है₀ ऊपर, लेकिन Heyting बीजगणित एच और तत्वों के परिवारों के संबंध में 〈ए_i〉 उस संपत्ति को संतुष्ट करना जो J(〈a_i〉)=1 किसी भी स्वयंसिद्ध J(〈A_i〉) टी में। (आइए ध्यान दें कि एच_T, इसके तत्वों के परिवार के साथ लिया गया 〈[ए_i]〉, स्वयं इस संपत्ति को संतुष्ट करता है।) रूपवाद का अस्तित्व और विशिष्टता उसी तरह सिद्ध होती है जैसे एच के लिए₀, सिवाय इसके कि किसी को मेटाइम्प्लीकेशन को संशोधित करना होगा 1 ⇒ 2 #साध्य पहचान में ताकि 1 टी से सिद्ध रूप से सत्य को पढ़े, और 2 किसी भी तत्व को पढ़े₁, ए₂,..., ए_n एच में टी के सूत्रों को संतुष्ट करना।

हेटिंग बीजगणित एच_T जिसे हमने अभी परिभाषित किया है, मुक्त Heyting बीजगणित H के भागफल के रूप में देखा जा सकता है₀ चरों के समान समुच्चय पर, H के सार्वत्रिक गुण को लागू करके₀ एच के संबंध में_T, और इसके तत्वों का परिवार 〈[ए_i]〉.

हर Heyting बीजगणित फॉर्म H के लिए आइसोमोर्फिक है_T. इसे देखने के लिए, H को कोई भी Heyting बीजगणित होने दें, और 〈a_i: i∈I〉 एच उत्पन्न करने वाले तत्वों का परिवार हो (उदाहरण के लिए, कोई विशेषण परिवार)। अब सूत्रों के सेट टी पर विचार करें जे (〈ए_i〉) चर में 〈ए_i: i∈I〉 ऐसा है कि J(〈a_i〉)=1. तब हमें आकारिकी f:H प्राप्त होती है_T→एच एच की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा_T, जो स्पष्ट रूप से विशेषण है। यह दर्शाना कठिन नहीं है कि f एकैकी है।

लिंडेनबाम बीजगणित से तुलना

हमने अभी-अभी जो निर्माण दिए हैं वे बूलियन बीजगणित (संरचना) के संबंध में हेटिंग बीजगणित के संबंध में लिंडेनबाउम बीजगणित के संबंध में पूरी तरह से समान भूमिका निभाते हैं। वास्तव में, लिंडनबाउम बीजगणित बी_T चर में {ए_i} अभिगृहीतों के संबंध में T केवल हमारा H है_{T∪T1</उप>, जहां टी1 ¬¬F→F रूप के सभी सूत्रों का समुच्चय है, क्योंकि T के अतिरिक्त अभिगृहीत1 केवल वे ही हैं जिन्हें जोड़ने की आवश्यकता है ताकि सभी शास्त्रीय पुनरुक्ति को सिद्ध किया जा सके।}

हेटिंग अलजेब्रस जैसा कि इंट्यूशनिस्टिक लॉजिक पर लागू होता है

यदि कोई हेटिंग बीजगणित की शर्तों के रूप में अंतर्ज्ञानवादी प्रस्तावपरक तर्क के स्वयंसिद्धों की व्याख्या करता है, तो वे सूत्र के चर के मूल्यों के किसी भी असाइनमेंट के तहत किसी भी हेटिंग बीजगणित में सबसे बड़े तत्व, 1 का मूल्यांकन करेंगे। उदाहरण के लिए, (P∧Q)→P छद्म-पूरक की परिभाषा के अनुसार, सबसे बड़ा तत्व x ऐसा है कि $P\land Q\land x\leq P$. यह असमिका किसी भी x के लिए संतुष्ट है, इसलिए सबसे बड़ा x 1 है।

इसके अलावा, मॉडस पोनेन्स का नियम हमें फॉर्मूला क्यू को सूत्र पी और पी → क्यू से प्राप्त करने की अनुमति देता है। लेकिन किसी भी Heyting बीजगणित में, यदि P का मान 1 है, और P→Q का मान 1 है, तो इसका मतलब है कि $P\land 1\leq Q$, इसलिए $1\land 1\leq Q$; यह केवल यह हो सकता है कि Q का मान 1 हो।

इसका अर्थ यह है कि यदि सूत्र अंतर्ज्ञानवादी तर्क के नियमों से घटाया जा सकता है, जो मोडस पोनेन्स के नियम के माध्यम से अपने सिद्धांतों से प्राप्त किया जा रहा है, तो सूत्र के चर के मूल्यों के किसी भी असाइनमेंट के तहत सभी हेटिंग बीजगणित में इसका मान हमेशा 1 होगा। . हालांकि कोई हेटिंग बीजगणित का निर्माण कर सकता है जिसमें पियर्स के नियम का मान हमेशा 1 नहीं होता है। 3-तत्व बीजगणित पर विचार करें {0,1/2,1} जैसा कि ऊपर दिया गया है। अगर हम आवंटित करते हैं 1/2 पी और 0 से क्यू, तो पियर्स के कानून का मूल्य ((P→Q)→P)→P है 1/2. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि पियर्स के नियम को सहज रूप से व्युत्पन्न नहीं किया जा सकता है। प्रकार सिद्धांत में इसका क्या अर्थ है, इसके सामान्य संदर्भ के लिए करी-हावर्ड समरूपतावाद देखें।

विलोम को भी सिद्ध किया जा सकता है: यदि किसी सूत्र का मान हमेशा 1 होता है, तो यह अंतर्ज्ञानवादी तर्क के नियमों से घटाया जा सकता है, इसलिए अंतर्ज्ञानवादी रूप से मान्य सूत्र बिल्कुल वही होते हैं जिनका मान हमेशा 1 होता है। यह धारणा के समान है शास्त्रीय रूप से मान्य सूत्र वे सूत्र हैं जिनका सूत्र के चरों के लिए सत्य और असत्य के किसी भी संभावित असाइनमेंट के तहत दो-तत्व बूलियन बीजगणित में 1 का मान है - अर्थात, वे ऐसे सूत्र हैं जो सामान्य सत्य-तालिका अर्थों में पुनरुत्पादन हैं। हेटिंग बीजगणित, तार्किक दृष्टिकोण से, सत्य मूल्यों की सामान्य प्रणाली का सामान्यीकरण है, और इसका सबसे बड़ा तत्व 1 'सत्य' के अनुरूप है। सामान्य दो-मूल्यवान तर्क प्रणाली हेटिंग बीजगणित का विशेष मामला है, और सबसे छोटा गैर-तुच्छ है, जिसमें बीजगणित के केवल तत्व 1 (सत्य) और 0 (गलत) हैं।

निर्णय समस्याएं

1965 में शाऊल क्रिपके द्वारा प्रत्येक हेटिंग बीजगणित में दिए गए समीकरण की समस्या को निर्णायक होना दिखाया गया था।समस्या का सटीक कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत 1979 में रिचर्ड स्टेटमैन द्वारा स्थापित किया गया था, जिन्होंने दिखाया कि यह PSPACE-पूर्ण था और इसलिए कम से कम बूलियन संतुष्टि समस्या जितनी कठिन (स्टीफन कुक द्वारा 1971 में coNP-पूर्ण दिखाया गया) और काफी कठिन होने का अनुमान लगाया। Heyting algebras का प्राथमिक या प्रथम-क्रम सिद्धांत अनिर्णीत है। यह खुला रहता है कि क्या हेटिंग बीजगणित का सार्वभौमिक हॉर्न सिद्धांत, या शब्द समस्या (गणित), निर्णायक है। À शब्द समस्या का प्रस्ताव यह ज्ञात है कि बूलियन बीजगणित के विपरीत हेटिंग बीजगणित स्थानीय रूप से परिमित नहीं हैं (कोई हेटिंग बीजगणित परिमित गैर-खाली सेट परिमित नहीं है), जो स्थानीय रूप से परिमित हैं और जिनकी शब्द समस्या निर्णायक है। यह अज्ञात है कि जनरेटर के मामले को छोड़कर मुक्त पूर्ण हेटिंग बीजगणित मौजूद है या नहीं, जहां जनरेटर पर मुफ्त हेटिंग बीजगणित नए शीर्ष से सटे हुए तुच्छ रूप से पूर्ण है।

सामयिक प्रतिनिधित्व और द्वैत सिद्धांत

हर Heyting बीजगणित H परिबद्ध उपजालटी के लिए स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक है L टोपोलॉजिकल स्पेस के खुले सेट X, जहां निहितार्थ $U\to V$ का L के आंतरिक भाग द्वारा दिया गया है $(X\setminus U)\cup V$. ज्यादा ठीक, X बंधी हुई जाली के प्रमुख आदर्श (आदेश सिद्धांत) का वर्णक्रमीय स्थान है H और L के खुले और अर्ध-कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की जाली है X.

अधिक आम तौर पर, हेटिंग बीजगणित की श्रेणी हेटिंग स्पेस की श्रेणी के बराबर है। इस द्वैत को हेयटिंग बीजगणित के (गैर-पूर्ण) उपश्रेणी के लिए बाध्य वितरणात्मक लैटिस के शास्त्रीय स्टोन द्वैत के प्रतिबंध के रूप में देखा जा सकता है।

वैकल्पिक रूप से, हेटिंग बीजगणित की श्रेणी एसाकिया रिक्त स्थान की श्रेणी के बराबर है। इसे एसकिया द्वैत कहते हैं।

टिप्पणियाँ

यह भी देखें

• अलेक्जेंडर टोपोलॉजी
• इंटरमीडिएट लॉजिक | सुपरिंट्यूशनिस्टिक (उर्फ इंटरमीडिएट) लॉजिक
• बूलियन बीजगणित विषयों की सूची
• ओखम बीजगणित

संदर्भ

• Rutherford, Daniel Edwin (1965). Introduction to Lattice Theory. Oliver and Boyd. OCLC 224572.
• F. Borceux, Handbook of Categorical Algebra 3, In Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 53, Cambridge University Press, 1994. ISBN 0-521-44180-3 OCLC 52238554
• G. Gierz, K.H. Hoffmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove and D. S. Scott, Continuous Lattices and Domains, In Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 93, Cambridge University Press, 2003.
• S. Ghilardi. Free Heyting algebras as bi-Heyting algebras, Math. Rep. Acad. Sci. Canada XVI., 6:240–244, 1992.
• Heyting, A. (1930), "Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik. I, II, III", Sitzungsberichte Akad. Berlin: 42–56, 57–71, 158–169, JFM 56.0823.01
• Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Spectral Spaces. New Mathematical Monographs. Vol. 35. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781316543870. ISBN 9781107146723. S2CID 201542298.

बाहरी संबंध

• Heyting algebra at PlanetMath.