केंद्रीय सरल बीजगणित

अंगूठी सिद्धांत और गणित के संबंधित क्षेत्रों में एक क्षेत्र (गणित) पर एक केंद्रीय सरल बीजगणित (CSA) K एक परिमित-आयामी साहचर्य बीजगणित है | साहचर्य K-बीजगणित A जो सरल है बीजगणित, और जिसके लिए केंद्र (रिंग थ्योरी) बिल्कुल 'के' है। (ध्यान दें कि नहीं प्रत्येक सरल बीजगणित अपने केंद्र पर एक केंद्रीय सरल बीजगणित है: उदाहरण के लिए, यदि K विशेषता 0 का क्षेत्र है, तो वेइल बीजगणित $K[X,\partial _{X}]$ केंद्र K के साथ एक साधारण बीजगणित है, लेकिन K के ऊपर एक केंद्रीय सरल बीजगणित नहीं है क्योंकि इसमें K-मॉड्यूल के रूप में अनंत आयाम हैं।)

उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या 'C' अपने ऊपर एक CSA बनाती है, लेकिन वास्तविक संख्या 'R' पर नहीं ('C' का केंद्र 'C' का है, न कि केवल 'R' का)। Quaternions 'H' 'R' के ऊपर एक 4-आयामी CSA बनाता है, और वास्तव में वास्तविक के Brauer समूह के एकमात्र गैर-तुच्छ तत्व का प्रतिनिधित्व करता है (नीचे देखें)।

दो केंद्रीय सरल बीजगणित A ~ M(n,S) और B ~ M(m,T) एक ही फ़ील्ड F, A और B पर समान (या Brauer समकक्ष) कहलाते हैं यदि उनके विभाजन रिंग S और T आइसोमोर्फिक हैं। इस तुल्यता संबंध के तहत दिए गए फ़ील्ड F पर केंद्रीय सरल बीजगणित के सभी तुल्यता वर्गों का सेट, बीजगणित के टेंसर उत्पाद द्वारा दिए गए समूह संचालन से सुसज्जित किया जा सकता है। परिणामी समूह को फ़ील्ड F का Brauer group Br(F) कहा जाता है। यह हमेशा एक मरोड़ समूह है।

दो केंद्रीय सरल बीजगणित A ~ M(n,S) और B ~ M(m,T) एक ही फ़ील्ड F, A और B पर समान (या Brauer समकक्ष) कहलाते हैं यदि उनके विभाजन रिंग S और T आइसोमोर्फिक हैं। इस तुल्यता संबंध के तहत दिए गए फ़ील्ड F पर केंद्रीय सरल बीजगणित के सभी तुल्यता वर्गों का सेट, बीजगणित के टेंसर उत्पाद द्वारा दिए गए समूह संचालन से सुसज्जित किया जा सकता है। परिणामी समूह को फ़ील्ड F कादिए गए फ़ील्ड F पर केंद्रीय सरल बीजगणित के सभी तुल्यता वर्गों का सेट, बीजगणित के टेंसर उत्पाद द्वारा दिए गए समूह संचालन से सुसज्जित किया जा सकता है

गुण

• आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय के अनुसार एक परिमित-आयामी सरल बीजगणित ए मैट्रिक्स बीजगणित मैट्रिक्स रिंग | एम (एन, एस) के लिए कुछ विभाजन की अंगूठी एस के लिए आइसोमोर्फिक है। इसलिए, प्रत्येक ब्राउर समकक्ष वर्ग में एक अद्वितीय विभाजन बीजगणित है।
• एक केंद्रीय सरल बीजगणित का प्रत्येक automorphism एक आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म है (यह स्कोलेम-नोथेर प्रमेय से अनुसरण करता है)।
• एक केंद्रीय सरल बीजगणित का आयाम (वेक्टर स्पेस) इसके केंद्र पर एक वेक्टर स्पेस के रूप में हमेशा एक वर्ग होता है: डिग्री इस आयाम का वर्गमूल है। केंद्रीय सरल बीजगणित का शूर सूचकांक समतुल्य विभाजन बीजगणित की डिग्री है: यह केवल बीजगणित के ब्राउर वर्ग पर निर्भर करता है।
• एक केंद्रीय सरल बीजगणित की अवधि या प्रतिपादक, ब्राउर समूह के एक तत्व के रूप में इसके ब्राउर वर्ग का क्रम है। यह सूचकांक का भाजक है, और दो संख्याएँ समान अभाज्य गुणनखंडों से बनी हैं।
• यदि एस एक केंद्रीय सरल बीजगणित ए का एक सरल subalgebra है तो मंद_FS मंद को विभाजित करता है_Fएक।
• क्षेत्र F पर प्रत्येक 4-आयामी केंद्रीय सरल बीजगणित एक चतुष्कोणीय बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है; वास्तव में, यह या तो दो-बटा-दो मैट्रिक्स बीजगणित है, या एक विभाजन बीजगणित है।
• यदि D, K के ऊपर एक केंद्रीय विभाजन बीजगणित है, जिसके लिए सूचकांक का प्रमुख गुणनखंड है

$\mathrm {ind} (D)=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}\$

तो डी एक टेंसर उत्पाद अपघटन है

$D=\bigotimes _{i=1}^{r}D_{i}\$

जहां प्रत्येक घटक डी_i सूचकांक का एक केंद्रीय विभाजन बीजगणित है $p_{i}^{m_{i}}$, और घटक विशिष्ट रूप से समरूपता तक निर्धारित होते हैं।

विभाजन क्षेत्र

हम फ़ील्ड E को K के ऊपर A के लिए स्प्लिटिंग फ़ील्ड कहते हैं यदि A⊗E E पर मैट्रिक्स रिंग के लिए आइसोमोर्फिक है। A का विभाजन क्षेत्र है। सामान्य तौर पर जोसेफ वेडरबर्न और कोएथे के प्रमेयों द्वारा एक विभाजन क्षेत्र होता है जो ए के सूचकांक के बराबर डिग्री के के का एक वियोज्य विस्तार होता है, और यह विभाजन क्षेत्र ए के एक उपक्षेत्र के लिए आइसोमॉर्फिक होता है। एक उदाहरण के रूप में, फ़ील्ड C चतुष्कोणीय बीजगणित H को R के साथ विभाजित करता है

$t+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \leftrightarrow \left({\begin{array}{*{20}c}t+xi&y+zi\\-y+zi&t-xi\end{array}}\right).$

हम सीएसए ए के लिए घटे हुए मानक और कम ट्रेस को परिभाषित करने के लिए विभाजन क्षेत्र के अस्तित्व का उपयोग कर सकते हैं। एक बंटवारे वाले क्षेत्र पर एक मैट्रिक्स रिंग के लिए मानचित्र ए और क्रमशः निर्धारक और ट्रेस के साथ इस मानचित्र के समग्र होने के लिए कम मानदंड और ट्रेस को परिभाषित करें। उदाहरण के लिए, चतुष्कोणीय बीजगणित 'एच' में, उपरोक्त विभाजन से पता चलता है कि तत्व टी + एक्स 'आई' + वाई 'जे' + जेड 'के' ने मानक टी को कम कर दिया है² + एक्स² + और² + के साथ² और ट्रेस 2t घटाया।

घटा हुआ मान गुणक है और घटा हुआ निशान योगात्मक है। ए का एक तत्व व्युत्क्रमणीय है अगर और केवल गैर-शून्य में इसका कम मानदंड: इसलिए एक सीएसए एक विभाजन बीजगणित है अगर और केवल अगर कम मानदंड गैर-शून्य तत्वों पर गैर-शून्य है।

सामान्यीकरण

एक क्षेत्र K पर CSAs K पर विस्तार क्षेत्रों के लिए एक गैर-कम्यूटेटिव एनालॉग हैं - दोनों ही मामलों में, उनके पास कोई गैर-तुच्छ 2-पक्षीय आदर्श नहीं हैं, और उनके केंद्र में एक विशिष्ट क्षेत्र है, हालांकि एक CSA गैर-कम्यूटेटिव हो सकता है और व्युत्क्रम होने की आवश्यकता नहीं है (विभाजन बीजगणित होने की आवश्यकता नहीं है)। संख्या क्षेत्रों के सामान्यीकरण (राशनिक 'क्यू' के विस्तार) के रूप में गैर-अनुक्रमिक संख्या सिद्धांत में यह विशेष रुचि है; गैर क्रमविनिमेय संख्या फ़ील्ड देखें।

यह भी देखें

• अज़ुमाया बीजगणित, सीएसए का सामान्यीकरण जहां आधार क्षेत्र को एक कम्यूटेटिव लोकल रिंग से बदल दिया जाता है
• सेवेरी-ब्राउर किस्म
• पॉसनर प्रमेय

संदर्भ

• Cohn, P.M. (2003). Further Algebra and Applications (2nd ed.). Springer. ISBN 1852336676. Zbl 1006.00001.
• Jacobson, Nathan (1996). Finite-dimensional division algebras over fields. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57029-2. Zbl 0874.16002.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
• Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001.

अग्रिम पठन

• Albert, A.A. (1939). Structure of Algebras. Colloquium Publications. Vol. 24 (7th revised reprint ed.). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1024-3. Zbl 0023.19901.
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001.