गणित में, जैकोबी बहुपद(कभी-कभी अतिज्यामितीय बहुपद कहा जाता है) P n ( α , β ) ( x ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)} लंबकोणीय बहुपदों का एक वर्ग हैं। वे अंतराल [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β {\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }} चेबिशेव बहुपद , जैकोबी बहुपद के विशेष स्थितियां हैं।[1]
जैकोबी बहुपद कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी द्वारा प्रस्तुत किए गए थे।
परिभाषाएँ जैकोबी बहुपदों को हाइपरज्यामितीय फलन के माध्यम से निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:[2]
P n ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) n n ! 2 F 1 ( − n , 1 + α + β + n ; α + 1 ; 1 2 ( 1 − z ) ) , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),} जहाँ ( α + 1 ) n {\displaystyle (\alpha +1)_{n}}
P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + n + 1 ) n ! Γ ( α + β + n + 1 ) ∑ m = 0 n ( n m ) Γ ( α + β + n + m + 1 ) Γ ( α + m + 1 ) ( z − 1 2 ) m {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}}
रोड्रिग्स का सूत्र रोड्रिग्स के सूत्र द्वारा एक समतुल्य परिभाषा दी गई है:[1] [3]
P n ( α , β ) ( z ) = ( − 1 ) n 2 n n ! ( 1 − z ) − α ( 1 + z ) − β d n d z n { ( 1 − z ) α ( 1 + z ) β ( 1 − z 2 ) n } {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}} अगर α = β = 0 {\displaystyle \alpha =\beta =0}
P n ( z ) = 1 2 n n ! d n d z n ( z 2 − 1 ) n . {\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}\;.}
वास्तविक तर्क के लिए वैकल्पिक अभिव्यक्ति यथार्थ x {\displaystyle x}
P n ( α , β ) ( x ) = ∑ s = 0 n ( n + α n − s ) ( n + β s ) ( x − 1 2 ) s ( x + 1 2 ) n − s {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose n-s}{n+\beta \choose s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{n-s}} और पूर्णांक n {\displaystyle n}
( z n ) = { Γ ( z + 1 ) Γ ( n + 1 ) Γ ( z − n + 1 ) n ≥ 0 0 n < 0 {\displaystyle {z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}} जहाँ Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} गामा फलन है।
विशेष स्थितियों में कि चार मात्राएँ n {\displaystyle n} n + α {\displaystyle n+\alpha } n + β {\displaystyle n+\beta } n + α + β {\displaystyle n+\alpha +\beta }
P n ( α , β ) ( x ) = ( n + α ) ! ( n + β ) ! ∑ s = 0 n 1 s ! ( n + α − s ) ! ( β + s ) ! ( n − s ) ! ( x − 1 2 ) n − s ( x + 1 2 ) s {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s=0}^{n}{\frac {1}{s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}}
(1 )
इस रूप में लिखा जा सकता है।
योग s {\displaystyle s}
विशेष स्थितियां P 0 ( α , β ) ( z ) = 1 , {\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1,} P 1 ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) + ( α + β + 2 ) z − 1 2 , {\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2){\frac {z-1}{2}},} P 2 ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) ( α + 2 ) 2 + ( α + 2 ) ( α + β + 3 ) z − 1 2 + ( α + β + 3 ) ( α + β + 4 ) 2 ( z − 1 2 ) 2 . {\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}+(\alpha +2)(\alpha +\beta +3){\frac {z-1}{2}}+{\frac {(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)}{2}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{2}.}
मूल गुण लंबकोणीयता जैकोबी बहुपद लंबकोणीयता की स्थिति
∫ − 1 1 ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β P m ( α , β ) ( x ) P n ( α , β ) ( x ) d x = 2 α + β + 1 2 n + α + β + 1 Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) Γ ( n + α + β + 1 ) n ! δ n m , α , β > − 1 {\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},\qquad \alpha ,\ \beta >-1} को संतुष्ट करते हैं। जैसा कि परिभाषित किया गया है, प्रभाव के संबंध में उनके समीप इकाई मानदंड नहीं है। इसे उपरोक्त समीकरण के दाहिने हाथ की ओर के वर्गमूल से विभाजित करके ठीक किया जा सकता है, जब n = m {\displaystyle n=m}
यद्यपि यह एक प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण आधार नहीं देता है, कभी-कभी इसकी सरलता के कारण एक वैकल्पिक सामान्यीकरण को प्राथमिकता दी जाती है:
P n ( α , β ) ( 1 ) = ( n + α n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}
सममिति संबंध बहुपदों में सममिति संबंध
P n ( α , β ) ( − z ) = ( − 1 ) n P n ( β , α ) ( z ) ; {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);} है,इस प्रकार अन्य टर्मिनल मान
P n ( α , β ) ( − 1 ) = ( − 1 ) n ( n + β n ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}} है। व्युत्पन्न स्पष्ट अभिव्यक्ति का k {\displaystyle k}
d k d z k P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + β + n + 1 + k ) 2 k Γ ( α + β + n + 1 ) P n − k ( α + k , β + k ) ( z ) {\displaystyle {\frac {d^{k}}{dz^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z)} की ओर जाता है। विभेदक समीकरण जैकोबी बहुपद P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}} रैखिक सजातीय अंतर समीकरण [1]
( 1 − x 2 ) y ″ + ( β − α − ( α + β + 2 ) x ) y ′ + n ( n + α + β + 1 ) y = 0 {\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0} का एक हल है।
पुनरावृत्ति संबंध निश्चित α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } [1]
n = 2 , 3 , … {\displaystyle n=2,3,\ldots }
के लिए
2 n ( n + α + β ) ( 2 n + α + β − 2 ) P n ( α , β ) ( z ) = ( 2 n + α + β − 1 ) { ( 2 n + α + β ) ( 2 n + α + β − 2 ) z + α 2 − β 2 } P n − 1 ( α , β ) ( z ) − 2 ( n + α − 1 ) ( n + β − 1 ) ( 2 n + α + β ) P n − 2 ( α , β ) ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z)\end{aligned}}} संक्षिप्तता a := n + α {\displaystyle a:=n+\alpha } b := n + β {\displaystyle b:=n+\beta } c := a + b = 2 n + α + β {\displaystyle c:=a+b=2n+\alpha +\beta } a , b , c {\displaystyle a,b,c}
2 n ( c − n ) ( c − 2 ) P n ( α , β ) ( z ) = ( c − 1 ) { c ( c − 2 ) z + ( a − b ) ( c − 2 n ) } P n − 1 ( α , β ) ( z ) − 2 ( a − 1 ) ( b − 1 ) c P n − 2 ( α , β ) ( z ) {\displaystyle 2n(c-n)(c-2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(c-1){\Big \{}c(c-2)z+(a-b)(c-2n){\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(a-1)(b-1)c\;P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z)} चूँकि जैकोबी बहुपदों को हाइपरज्यामितीय फलन के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, हाइपरज्यामितीय फलन की पुनरावृत्ति जैकोबी बहुपदों के अनुरूप पुनरावृत्ति देती है। विशेष रूप से, गॉस के सन्निहित संबंध सर्वसमिकाओं
( z − 1 ) d d z P n ( α , β ) ( z ) = 1 2 ( z − 1 ) ( 1 + α + β + n ) P n − 1 ( α + 1 , β + 1 ) = n P n ( α , β ) − ( α + n ) P n − 1 ( α , β + 1 ) = ( 1 + α + β + n ) ( P n ( α , β + 1 ) − P n ( α , β ) ) = ( α + n ) P n ( α − 1 , β + 1 ) − α P n ( α , β ) = 2 ( n + 1 ) P n + 1 ( α , β − 1 ) − ( z ( 1 + α + β + n ) + α + 1 + n − β ) P n ( α , β ) 1 + z = ( 2 β + n + n z ) P n ( α , β ) − के अनुरूप हैं। जैकोबी बहुपदों का जनक फलन
∑ n = 0 ∞ P n ( α , β ) ( z ) t n = 2 α + β R − 1 ( 1 − t + R ) − α ( 1 + t + R ) − β , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)t^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-t+R)^{-\alpha }(1+t+R)^{-\beta },} द्वारा दिया जाता है, जहाँ
R = R ( z , t ) = ( 1 − 2 z t + t 2 ) 1 2 , {\displaystyle R=R(z,t)=\left(1-2zt+t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}~,} और वर्गमूल की शाखा को चुना जाता है ताकि R ( z , 0 ) = 1 {\displaystyle R(z,0)=1} [1]
जैकोबी बहुपदों के स्पर्शोन्मुख [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} x {\displaystyle x} n {\displaystyle n} P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}} [1]
P n ( α , β ) ( cos θ ) = n − 1 2 k ( θ ) cos ( N θ + γ ) + O ( n − 3 2 ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )=n^{-{\frac {1}{2}}}k(\theta )\cos(N\theta +\gamma )+O\left(n^{-{\frac {3}{2}}}\right)} द्वारा दिए गए हैं, जहां
k ( θ ) = π − 1 2 sin − α − 1 2 θ 2 cos − β − 1 2 θ 2 , N = n + 1 2 ( α + β + 1 ) , γ = − π 2 ( α + 1 2 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}k(\theta )&=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin ^{-\alpha -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}}\cos ^{-\beta -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}},\\N&=n+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),\\\gamma &=-{\tfrac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\tfrac {1}{2}}\right),\end{aligned}}} और O {\displaystyle O} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} [ ε , π − ε ] {\displaystyle [\varepsilon ,\pi -\varepsilon ]}
बिंदु ± 1 {\displaystyle \pm 1}
lim n → ∞ n − α P n ( α , β ) ( cos ( z n ) ) = ( z 2 ) − α J α ( z ) lim n → ∞ n − β P n ( α , β ) ( cos ( π − z n ) ) = ( z 2 ) − β J β ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left({\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left(\pi -{\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)\end{aligned}}} द्वारा दिया गया है द्वारा दी गई है, जहां एक बंधे हुए डोमेन(गणितीय विश्लेषण) में z {\displaystyle z}
बाहर स्पर्शोन्मुख [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]}
अनुप्रयोग विग्नर डी-आव्यूह अभिव्यक्ति(1) जैकोबी बहुपदों के संदर्भ में विग्नेर डी-आव्यूह
d m ′ , m j ( ϕ ) {\displaystyle d_{m',m}^{j}(\phi )} 0 ≤ ϕ ≤ 4 π {\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi } की अभिव्यक्ति की अनुमति देता है:[4]
d m ′ m j ( ϕ ) = [ ( j + m ) ! ( j − m ) ! ( j + m ′ ) ! ( j − m ′ ) ! ] 1 2 ( sin ϕ 2 ) m − m ′ ( cos ϕ 2 ) m + m ′ P j − m ( m − m ′ , m + m ′ ) ( cos ϕ ) {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi )}
यह भी देखें टिप्पणियाँ
↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Szegő, Gábor (1939). "IV. Jacobi polynomials.". ऑर्थोगोनल बहुपद ISBN 978-0-8218-1023-1 MR 0372517 . ↑ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22" . Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .↑ P.K. Suetin (2001) [1994], "Jacobi polynomials" , Encyclopedia of Mathematics EMS Press ↑ Biedenharn, L.C.; Louck, J.D. (1981). क्वांटम भौतिकी में कोणीय गति . Reading: Addison-Wesley.
अग्रिम पठन Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Special functions , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 71, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-62321-6 MR 1688958 , ISBN 978-0-521-78988-2 Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248
बाहरी संबंध 
