क्लोजर ऑपरेटर

गणित में, एक सेट (गणित) S पर एक क्लोजर ऑपरेटर एक फंक्शन (गणित) है $\operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(S)\rightarrow {\mathcal {P}}(S)$ S के घात समुच्चय से स्वयं तक जो सभी समुच्चयों के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है $X,Y\subseteq S$

$X\subseteq \operatorname {cl} (X)$	(cl विस्तृत है),
$X\subseteq Y\Rightarrow \operatorname {cl} (X)\subseteq \operatorname {cl} (Y)$	(cl में वृद्धि हो रही है),
$\operatorname {cl} (\operatorname {cl} (X))=\operatorname {cl} (X)$	(cl वर्गसम है).

क्लोजर ऑपरेटर्स को उनके बंद सेटों द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात, फॉर्म cl(X) के सेट के बाद से सेट एक्स का क्लोजर cl(X) X युक्त सबसे छोटा बंद सेट है। "बंद सेट" के ऐसे परिवारों को कभी-कभी क्लोजर कहा जाता है। सिस्टम या "मूर परिवार" उस पर एक क्लोजर ऑपरेटर के साथ एक सेट को कभी-कभी क्लोजर स्पेस कहा जाता है। क्लोजर ऑपरेटरों को "हल ऑपरेटर्स" भी कहा जाता है, जो टोपोलॉजी में अध्ययन किए गए "क्लोजर ऑपरेटरों" के साथ भ्रम को रोकता है।

इतिहास

ई.एच. मूर ने अपने 1910 के सामान्य विश्लेषण के एक रूप के परिचय में क्लोजर ऑपरेटरों का अध्ययन किया, जबकि एक उपसमुच्चय को बंद करने की अवधारणा टोपोलॉजिकल स्पेस के संबंध में फ्रिग्स रिज के काम में उत्पन्न हुई थी। हालांकि उस समय इसे औपचारिक रूप नहीं दिया गया था, लेकिन बंद करने का विचार 19वीं सदी के अंत में अर्न्स्ट श्रोडर, रिचर्ड डेडेकिंड और जॉर्ज कैंटर के उल्लेखनीय योगदान के साथ उत्पन्न हुआ था।

उदाहरण

टोपोलॉजी से सामान्य सेट क्लोजर एक क्लोजर ऑपरेटर है। अन्य उदाहरणों में एक सदिश स्थान के एक उपसमुच्चय का रेखीय फैलाव, एक सदिश स्थान के एक उपसमुच्चय का उत्तल हल या एफ़ाइन हल या एक फलन $f\colon E\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ का निम्न अर्द्धसतत हल ${\overline {f}}$, जहां $E$ उदा. एक आदर्श स्थान, परिभाषित रूप से $\operatorname {epi} ({\overline {f}})={\overline {\operatorname {epi} (f)}}$ जहां $\operatorname {epi} (f)$ फ़ंक्शन $f$ का एपिग्राफ है।

सापेक्ष आंतरिक $\operatorname {ri}$ क्लोजर ऑपरेटर नहीं है: यद्यपि यह वर्गसम है, यह नहीं बढ़ रहा है और यदि $C_{1}$, $\mathbb {R} ^{3}$ में एक घन है और $C_{2}$ इसका एक फलक है, तो $C_{2}\subset C_{1}$लेकिन $\operatorname {ri} (C_{1})\neq \emptyset \neq \operatorname {ri} (C_{2})$⁡ और $\operatorname {ri} (C_{1})\cap \operatorname {ri} (C_{2})=\emptyset$ इसलिए यह नहीं बढ़ रहा है।

टोपोलॉजी में, क्लोजर ऑपरेटर टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटर होते हैं, जिन्हें संतुष्ट करना चाहिए

$\operatorname {cl} (X_{1}\cup \dots \cup X_{n})=\operatorname {cl} (X_{1})\cup \dots \cup \operatorname {cl} (X_{n})$

सभी के लिए $n\in \mathbb {N}$ (ध्यान दें कि $n=0$ के लिए इससे $\operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing$ प्राप्त होता है)

बीजगणित और तर्कशास्त्र में, कई क्लोजर ऑपरेटर अंतिम क्लोजर ऑपरेटर हैं, यानी वे संतुष्ट हैं

$\operatorname {cl} (X)=\bigcup \left\{\operatorname {cl} (Y):Y\subseteq X{\text{ and }}Y{\text{ finite}}\right\}.$

आंशिक रूप से आदेशित सेट के सिद्धांत में, जो सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में महत्वपूर्ण हैं, बंद करने वाले ऑपरेटरों की एक अधिक सामान्य परिभाषा है जो प्रतिस्थापित करती है $\subseteq$ साथ $\leq$. (देखें § आंशिक रूप से आदेशित सेटों पर क्लोजर ऑपरेटर.)

टोपोलॉजी में क्लोजर ऑपरेटर

Main article: कुराटोव्स्की क्लोजर एक्सिओम्स

टोपोलॉजिकल स्पेस के एक सबसेट X के टोपोलॉजिकल क्लोजर में स्पेस के सभी बिंदु y होते हैं, जैसे कि y के हर पड़ोस (गणित) में X का एक बिंदु होता है। फंक्शन जो हर सबसेट X को बंद करता है, वह एक टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटर है। इसके विपरीत, एक सेट पर प्रत्येक टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटर एक टोपोलॉजिकल स्पेस की वृद्धि करता है, जिसके बंद सेट क्लोजर ऑपरेटर के संबंध में बिल्कुल बंद सेट होते हैं।

बीजगणित में क्लोजर ऑपरेटर

फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर सार्वभौमिक बीजगणित में अपेक्षाकृत प्रमुख भूमिका निभाते हैं, और इस संदर्भ में, उन्हें पारंपरिक रूप से बीजगणितीय क्लोजर ऑपरेटर कहा जाता है। एक बीजगणित का प्रत्येक उपसमुच्चय एक सबलजेब्रा उत्पन्न करता है: सबसे छोटा सबलजेब्रा जिसमें सेट होता है। यह एक अंतिम क्लोजर ऑपरेटर की वृद्धि करता है।

संभवतया इसका सबसे प्रसिद्ध उदाहरण वह कार्य है जो किसी दिए गए सदिश स्थान के प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके रैखिक विस्तार से जोड़ता है। इसी प्रकार, वह फलन जो किसी दिए गए समूह के प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके द्वारा उत्पन्न उपसमूह से जोड़ता है, और इसी प्रकार खेतों और अन्य सभी प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के लिए है।

एक सदिश स्थान में रैखिक अवधि और एक क्षेत्र में समान बीजगणितीय समापन दोनों विनिमय संपत्ति को संतुष्ट करते हैं: यदि x, A और {y} के मिलन के समापन में है, लेकिन A के संवरण में नहीं है, तो y संवरण में है A और {x} के मिलन का। इस संपत्ति के साथ एक फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर को मैट्रॉइड कहा जाता है। एक सदिश स्थान का आयाम, या एक क्षेत्र की उत्कृष्टता की डिग्री (इसके प्रमुख क्षेत्र पर) संबंधित मैट्रॉइड का रैंक है।

फ़ंक्शन जो किसी दिए गए क्षेत्र (गणित) के प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके बीजगणितीय बंद करने के लिए मैप करता है, वह भी एक अंतिम समापन ऑपरेटर है, और सामान्य तौर पर यह पहले बताए गए ऑपरेटर से अलग है। फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर्स जो इन दोनों ऑपरेटरों को सामान्यीकृत करते हैं, उन्हें मॉडल सिद्धांत में dcl (निश्चित क्लोजर के लिए) और acl (बीजगणितीय क्लोजर के लिए) के रूप में अध्ययन किया जाता है।

एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उत्तल हल एक अंतिम क्लोजर ऑपरेटर का एक और उदाहरण है। यह एक्सचेंज विरोधी संपत्ति को संतुष्ट करता है: यदि x {y} और A के संघ के समापन में है, लेकिन {y} के संघ में नहीं है और A के समापन में है, तो y {के संघ के समापन में नहीं है। x} और A इस गुण के साथ फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर एंटीमैट्रोइड्स के वृद्धि करते हैं।

बीजगणित में उपयोग किए जाने वाले क्लोजर ऑपरेटर के एक अन्य उदाहरण के रूप में, यदि कुछ बीजगणित में A है और X A के जोड़े का एक सेट है, तो X को X से युक्त सबसे छोटा सर्वांगसम संबंध देने वाला ऑपरेटर A X A पर एक परिमित क्लोजर ऑपरेटर है।

तर्क में क्लोजर ऑपरेटर्स

मान लीजिए कि आपके पास कुछ गणितीय तर्क हैं जिनमें कुछ नियम हैं जो आपको दिए गए सूत्रों से नए सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। सभी संभावित सूत्रों के सेट F पर विचार करें, और P को F का पावर सेट होने दें, जिसे ⊆ द्वारा आदेशित किया गया है। सूत्रों के एक सेट एक्स के लिए, सीएल (एक्स) को एक्स से प्राप्त किए जा सकने वाले सभी सूत्रों का सेट होने दें। फिर सीएल पी पर एक क्लोजर ऑपरेटर है। अधिक सटीक रूप से, हम निम्नानुसार सीएल प्राप्त कर सकते हैं। एक ऑपरेटर J को निरंतर कॉल करें, जैसे कि प्रत्येक निर्देशित सेट वर्ग T के लिए,

जे (लिम टी) = लिम जे (टी)।

यह निरंतरता की स्थिति जे के लिए एक निश्चित बिंदु प्रमेय के आधार पर है। मोनोटोन तर्क के एक-चरण ऑपरेटर जे पर विचार करें। यह सूत्र के सेट J(X) के सूत्रों के किसी भी सेट X को जोड़ने वाला संकारक है जो या तो तार्किक स्वयंसिद्ध हैं या X में सूत्रों से एक अनुमान नियम द्वारा प्राप्त किए गए हैं या X में हैं। तब ऐसा संकारक निरंतर होता है और हम परिभाषित कर सकते हैं सीएल (एक्स) एक्स के बराबर या अधिक जे के लिए कम से कम निश्चित बिंदु के रूप में। इस तरह के दृष्टिकोण के अनुसार, टार्स्की, ब्राउन, सुस्ज़को और अन्य लेखकों ने क्लोजर ऑपरेटर सिद्धांत के आधार पर तर्क के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण प्रस्तावित किया। इसके अलावा, प्रोग्रामिंग लॉजिक (लॉयड 1987 देखें) और फजी लॉजिक (गेरला 2000 देखें) में ऐसा विचार प्रस्तावित है।

परिणाम संचालक

1930 के आसपास, अल्फ्रेड टार्स्की ने तार्किक कटौती का एक सार सिद्धांत विकसित किया जो तार्किक गणना के कुछ गुणों को मॉडल करता है। गणितीय रूप से, उन्होंने जो वर्णन किया वह एक सेट (वाक्यों का सेट) पर केवल एक परिमित क्लोजर ऑपरेटर है। अमूर्त बीजगणितीय तर्क में, फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटरों का अभी भी नाम परिणाम ऑपरेटर के तहत अध्ययन किया जाता है, जिसे टार्स्की द्वारा गढ़ा गया था। समुच्चय S वाक्यों के समुच्चय का प्रतिनिधित्व करता है, S सिद्धांत का उपसमुच्चय T, और सिद्धांत से अनुसरण करने वाले सभी वाक्यों का समुच्चय cl(T) है। आजकल यह शब्द बंद करने वाले ऑपरेटरों को संदर्भित कर सकता है, जिनकी आवश्यकता एकरूप नहीं है; फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटरों को तब कभी-कभी 'परिमित परिणाम ऑपरेटर' कहा जाता है।

बंद सेट

S पर क्लोजर ऑपरेटर के संबंध में बंद सेट पावर सेट 'P'(S) का एक सबसेट C बनाते हैं। C में सेट का कोई भी चौराहा फिर से C में है। दूसरे शब्दों में, C 'P' (S) का पूर्ण मिलन-उपसमूह है। इसके विपरीत, यदि C ⊆ 'P'(S) मनमाना चौराहों के तहत बंद है, तो फ़ंक्शन जो S के प्रत्येक सबसेट X को सबसे छोटे सेट Y ∈ C से जोड़ता है, जैसे कि X ⊆ Y एक क्लोजर ऑपरेटर है।

किसी दिए गए क्लोजर ऑपरेटर के सभी बंद सेटों को उत्पन्न करने के लिए एक सरल और तेज़ एल्गोरिथम है। एक सेट पर एक क्लोजर ऑपरेटर टोपोलॉजिकल है अगर और केवल अगर बंद सेट का सेट परिमित यूनियनों के तहत बंद हो जाता है, यानी, सी 'पी' (एस) का एक पूरा-पूरा सबलेटिस है। गैर-टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटरों के लिए भी, सी को जाली की संरचना के रूप में देखा जा सकता है। (दो समुच्चयों X,Y ⊆ 'P'(S) का योग cl(X $\cup$ Y).) लेकिन तब C जाली 'P'(S) का एक उपवर्ग नहीं है।

एक सेट पर एक फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर को देखते हुए, परिमित सेट के क्लोजर बंद सेट के सेट सी के बिल्कुल कॉम्पैक्ट तत्व हैं। इससे पता चलता है कि C एक बीजगणितीय पॉसेट है। चूँकि C भी एक जाली है, इसे अक्सर इस संदर्भ में बीजगणितीय जाली के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, यदि C एक बीजगणितीय पॉसेट है, तो क्लोजर ऑपरेटर परिमित है।

छद्म बंद सेट

एक परिमित सेट S पर प्रत्येक क्लोजर ऑपरेटर अपने छद्म-बंद सेटों की छवियों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। इन्हें पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है: एक सेट छद्म-बंद है यदि यह बंद नहीं है और इसके प्रत्येक छद्म-बंद उचित उपसमुच्चय को बंद करना शामिल है। औपचारिक रूप से: P ⊆ S स्यूडो-क्लोज्ड है अगर और केवल अगर

• पी ≠ सीएल(पी) और
• अगर Q ⊂ P स्यूडो-क्लोज्ड है, तो cl(Q) ⊆ P।

== आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट == पर क्लोजर ऑपरेटर एक आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट (पॉसेट) एक आंशिक ऑर्डर ≤ के साथ एक सेट है, यानी एक द्विआधारी संबंध जो रिफ्लेक्सिव है (a ≤ aसकर्मक (a ≤ b ≤ c तात्पर्य a ≤ c) और एंटीसिमेट्रिक संबंध (a ≤ b ≤ a मतलब ए = बी)। प्रत्येक घात समुच्चय 'P'(S) समावेशन ⊆ के साथ आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय है।

एक फ़ंक्शन सीएल: पी → पी एक आंशिक क्रम पी से खुद को क्लोजर ऑपरेटर कहा जाता है यदि यह पी में सभी तत्वों एक्स, वाई के लिए निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।

x ≤ cl(x)	(cl is extensive)
x ≤ y implies cl(x) ≤ cl(y)	(cl is increasing)
cl(cl(x)) = cl(x)	(cl is idempotent)

अधिक संक्षिप्त विकल्प उपलब्ध हैं: उपरोक्त परिभाषा एकल स्वयंसिद्ध के समतुल्य है

x ≤ सीएल(वाई) अगर और केवल अगर सीएल(एक्स) ≤ सीएल(वाई)

P में सभी x, y के लिए।

पॉसेट्स के बीच कार्यों पर बिंदुवार क्रम का उपयोग करके, कोई वैकल्पिक रूप से आईडी के रूप में व्यापकता संपत्ति लिख सकता है_P ≤ सीएल, जहां आईडी पहचान कार्य है। एक स्व-नक्शा k जो बढ़ रहा है और उदासीन है, लेकिन व्यापकता संपत्ति के द्वैत (आदेश सिद्धांत) को संतुष्ट करता है, अर्थात k ≤ आईडी_P कर्नेल ऑपरेटर कहा जाता है, आंतरिक ऑपरेटर या दोहरी बंद। उदाहरण के तौर पर, यदि A समुच्चय B का उपसमुच्चय है, तो B के घात पर स्व-नक्शा μ द्वारा दिया गया है_A(एक्स) = ए ∪ एक्स एक क्लोजर ऑपरेटर है, जबकि λ_A(एक्स) = ए ∩ एक्स एक कर्नेल ऑपरेटर है। वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक छत समारोह, जो प्रत्येक वास्तविक x को x से छोटा नहीं सबसे छोटा पूर्णांक प्रदान करता है, क्लोजर ऑपरेटर का एक और उदाहरण है।

फ़ंक्शन सीएल का एक fixpoint, यानी पी का एक तत्व सी जो सीएल (सी) = सी को संतुष्ट करता है, को 'बंद तत्व' कहा जाता है। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट पर एक क्लोजर ऑपरेटर उसके बंद तत्वों द्वारा निर्धारित किया जाता है। यदि c एक बंद अवयव है, तो x ≤ c और cl(x) ≤ c तुल्य स्थितियाँ हैं।

प्रत्येक गाल्वा कनेक्शन (या अवशिष्ट मानचित्रण) एक क्लोजर ऑपरेटर को जन्म देता है (जैसा कि उस लेख में बताया गया है)। वास्तव में, प्रत्येक क्लोजर ऑपरेटर एक उपयुक्त गैलोज़ कनेक्शन से इस तरह उत्पन्न होता है। क्लोजर ऑपरेटर द्वारा गैलोज़ कनेक्शन विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जाता है। क्लोजर ऑपरेटर सीएल को जन्म देने वाला एक गैलोज कनेक्शन निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: यदि ए सीएल के संबंध में बंद तत्वों का सेट है, तो सीएल: पी → ए, पी और ए के बीच गैलोइस कनेक्शन का निचला आसन्न है, साथ में ऊपरी आसन्न पी में ए की एम्बेडिंग है। इसके अलावा, पी में कुछ सबसेट के एम्बेडिंग के प्रत्येक निचले आसन्न एक क्लोजर ऑपरेटर है। क्लोजर ऑपरेटर एंबेडिंग के निचले जोड़ हैं। हालांकि, ध्यान दें कि प्रत्येक एम्बेडिंग में निचला आसन्न नहीं होता है।

किसी भी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट P को एक श्रेणी सिद्धांत के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें x से y तक एक एकल आकारिकी है और यदि केवल x ≤ y है। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट P पर क्लोजर ऑपरेटर्स श्रेणी P पर मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) के अलावा और कुछ नहीं हैं। समान रूप से, एक क्लोजर ऑपरेटर को आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट की श्रेणी पर एक एंडोफंक्टर के रूप में देखा जा सकता है जिसमें अतिरिक्त idempotent और व्यापक है गुण।

यदि P एक पूर्ण जाली है, तो P का एक उपसमुच्चय A, P पर कुछ क्लोजर ऑपरेटर के लिए बंद तत्वों का समूह है यदि और केवल यदि A, P पर एक 'मूर परिवार' है, अर्थात P का सबसे बड़ा तत्व A में है, और A के किसी भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय का infimum (मिलना) फिर से A में है। ऐसा कोई भी सेट A अपने आप में P से विरासत में मिले आदेश के साथ एक पूर्ण जाली है (लेकिन अंतिम (जॉइन) ऑपरेशन P से भिन्न हो सकता है)। जब P एक सेट X का सत्ता स्थापित बूलियन बीजगणित होता है, तो P पर एक मूर परिवार को X पर 'क्लोजर सिस्टम' कहा जाता है।

P पर क्लोजर ऑपरेटर स्वयं को एक पूर्ण जाली बनाते हैं; क्लोजर ऑपरेटरों पर आदेश सीएल द्वारा परिभाषित किया गया है₁ ≤ सीएल₂ अगर सीएल₁(एक्स) ≤ सीएल₂(एक्स) पी में सभी एक्स के लिए।

यह भी देखें

• Čech closure operator
• Closure (topology)
• Galois connection
• Interior algebra
• Interior (topology)
• Kuratowski closure axioms
• Preclosure operator

संदर्भ

• Garrett Birkhoff. 1967 (1940). Lattice Theory, 3rd ed. American Mathematical Society.
• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar (1981) A Course in Universal Algebra Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 Free online edition.
• Brown, D.J. and Suszko, R. (1973) "Abstract Logics," Dissertationes Mathematicae 102- 9-42.
• Castellini, G. (2003) Categorical closure operators. Boston MA: Birkhaeuser.
• Edelman, Paul H. (1980) Meet-distributive lattices and the anti-exchange closure, Algebra Universalis 10: 290-299.
• Ganter, Bernhard and Obiedkov, Sergei (2016) Conceptual Exploration. Springer, ISBN 978-3-662-49290-1.
• Gerla, G. (2000) Fuzzy Logic: Mathematical Tools for Approximate Reasoning. Kluwer Academic Publishers.
• Lloyd, J.W. (1987) Foundations of Logic Programming. Springer-Verlag.
• Tarski, Alfred (1983) "Fundamental concepts of the methodology of deductive sciences" in Logic, Semantics, Metamathematics. Hackett (1956 ed., Oxford University Press).
• Alfred Tarski (1956) Logic, semantics and metamathematics. Oxford University Press.
• Ward, Morgan (1942) "The closure operators of a lattice," Annals of Mathematics 43: 191-96.
• G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003
• T.S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
• M. Erné, J. Koslowski, A. Melton, G. E. Strecker, A primer on Galois connections, in: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 704, 1993, pp. 103–125. Available online in various file formats: PS.GZ PS

बाहरी संबंध

• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Algebraic Propositional Logic"—by Ramon Jansana.