प्रक्षेप (रैखिक बीजगणित): Difference between revisions

Revision as of 14:23, 10 March 2023

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी किसी दिए गए बिंदु (ज्यामिति) से एक अनंत रेखा (गणित) पर किसी भी बिंदु तक की सबसे छोटी यूक्लिडियन दूरी होती है। यह बिंदु की रेखा से लंबवत दूरी है, रेखा खंड की लंबाई जो बिंदु को रेखा पर निकटतम बिंदु से जोड़ती है। इसकी गणना करने का सूत्र कई तरीकों से निकाला और व्यक्त किया जा सकता है।

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी को जानना विभिन्न स्थितियों में उपयोगी हो सकता है—उदाहरण के लिए, एक सड़क तक पहुँचने के लिए सबसे छोटी दूरी का पता लगाना, एक ग्राफ पर बिखराव की मात्रा निर्धारित करना, आदि। डेमिंग प्रतिगमन में, एक प्रकार का रेखीय वक्र फिटिंग, यदि आश्रित और स्वतंत्र चर के समान भिन्नता होती है जिसके परिणामस्वरूप ऑर्थोगोनल प्रतिगमन होता है जिसमें फिट की अपूर्णता की डिग्री प्रत्येक डेटा बिंदु के लिए प्रतिगमन रेखा से बिंदु की लंबवत दूरी के रूप में मापी जाती है।

एक समीकरण द्वारा परिभाषित रेखा

समीकरण द्वारा दिए गए विमान में एक रेखा के मामले में $ax + by + c = 0$ , कहाँ $a$ , $b$ और $c$ वास्तविक संख्या स्थिरांक हैं $a$ और $b$ दोनों शून्य नहीं, रेखा से एक बिंदु तक की दूरी $(x 0, y 0)$ है^[1]^[2]^: p.14

\operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

इस रेखा पर वह बिंदु जो सबसे निकट है $(x 0, y 0)$ निर्देशांक हैं:^[3]

x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}{\text{ and }}y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.

क्षैतिज और लंबवत रेखाएं

एक रेखा के सामान्य समीकरण में, $ax + by + c = 0$ , $a$ और $b$ जब तक दोनों शून्य नहीं हो सकते $c$ भी शून्य है, जिस स्थिति में समीकरण एक रेखा को परिभाषित नहीं करता है। अगर $a = 0$ और $b \neq 0$ , रेखा क्षैतिज है और समीकरण है $y = −.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}c/b$ . से दूरी $(x 0, y 0)$ इस रेखा को लंबाई के एक ऊर्ध्वाधर रेखा खंड के साथ मापा जाता है $| y 0 - (- c / b)| = | by 0 + c | / | b |$ सूत्र के अनुसार। इसी प्रकार, ऊर्ध्वाधर रेखाओं के लिए (b = 0) समान बिंदु और रेखा के बीच की दूरी है $| ax 0 + c | / | a |$ , जैसा कि एक क्षैतिज रेखा खंड के साथ मापा जाता है।

दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित रेखा

यदि रेखा दो बिन्दुओं से होकर गुजरती है $P 1 = (x 1, y 1)$ और $P 2 = (x 2, y 2)$ फिर की दूरी $(x 0, y 0)$ लाइन से है:^[4]: $\operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(x_{2}-x_{1})(y_{1}-y_{0})-(x_{1}-x_{0})(y_{2}-y_{1})|}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}.$ इस व्यंजक का भाजक बीच की दूरी है $P 1$ और $P 2$ . अंश तीन बिंदुओं पर इसके शीर्षों के साथ त्रिभुज के क्षेत्रफल का दुगुना है, $(x 0, y 0)$ , $P 1$ और $P 2$ . देखना: Area of a triangle § Using coordinates. अभिव्यक्ति के बराबर है $h = 2 A / b$ , जिसे त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए मानक सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करके प्राप्त किया जा सकता है: $A = 1 / 2 bh$ , कहाँ $b$ भुजा की लंबाई है, और $h$ विपरीत शीर्ष से लंबवत ऊंचाई है।

बिंदु और कोण द्वारा परिभाषित रेखा

यदि रेखा बिंदु से होकर गुजरती है $P = (P x, P y)$ कोण के साथ $θ$ , फिर किसी बिंदु की दूरी $(x 0, y 0)$ लाइन के लिए है

\operatorname {distance} (P,\theta ,(x_{0},y_{0}))=|\cos(\theta )(P_{y}-y_{0})-\sin(\theta )(P_{x}-x_{0})|

प्रमाण

एक बीजगणितीय प्रमाण

यह प्रमाण केवल तभी मान्य होता है जब रेखा न तो लंबवत हो और न ही क्षैतिज, यानी हम मानते हैं कि न तो $a$ और न $b$ रेखा के समीकरण में शून्य है।

समीकरण वाली रेखा $ax + by + c = 0$ में ढलान है $- a / b$ , इसलिए इसके लम्बवत किसी भी रेखा का ढलान होगा $b / a$ (नकारात्मक पारस्परिक)। होने देना $(m, n)$ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु हो $ax + by + c = 0$ और उस पर लंब रेखा जो बिंदु से होकर गुजरती है ( $x 0$ , $y 0$ ). इन दो बिंदुओं के माध्यम से रेखा मूल रेखा के लंबवत है, इसलिए

{\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.

इस प्रकार, $a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,$ और इस समीकरण का वर्ग करके हम प्राप्त करते हैं:

a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m).

अब विचार करें,

{\begin{aligned}(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}&=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}\\&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}\right)\end{aligned}}

उपरोक्त वर्ग समीकरण का उपयोग करना। लेकिन हमारे पास भी है,

(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}

तब से $(m, n)$ चालू है $ax + by + c = 0$ . इस प्रकार,

\left(a^{2}+b^{2}\right)\left((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}\right)=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}

और हम इन दो बिंदुओं द्वारा निर्धारित रेखा खंड की लंबाई प्राप्त करते हैं,

d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

^[5]

एक ज्यामितीय प्रमाण

ज्यामितीय प्रमाण के लिए आरेख

यह प्रमाण तभी मान्य होता है जब रेखा क्षैतिज या लंबवत न हो।^[6]

बिंदु P से निर्देशांक (x₀, और₀) समीकरण Ax + By + C = 0 वाली रेखा पर। लंब R के पाद को लेबल करें। P से होकर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें और दी गई रेखा S के साथ इसके प्रतिच्छेदन को चिह्नित करें। रेखा के किसी भी बिंदु T पर, एक समकोण त्रिभुज बनाएँ। TVU जिसकी भुजाएँ दी गई रेखा पर कर्ण TU के साथ क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाखंड हैं और लंबाई की क्षैतिज भुजा |B| (आरेख देखें)। ∆TVU की उर्ध्वाधर भुजा की लंबाई |A| होगी चूँकि रेखा का ढाल -A/B है।

∆PRS और ∆TVU समरूप त्रिभुज हैं, क्योंकि ये दोनों समकोण त्रिभुज हैं और ∠PSR ≅ ∠TUV क्योंकि ये समांतर रेखाओं PS और UV (दोनों लंबवत रेखाएँ हैं) के तिर्यक रेखा के संगत कोण हैं।^[7] इन त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं, इसलिए:

{\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}.

यदि बिंदु S के निर्देशांक हैं (x₀, एम) फिर | पीएस | = |य₀ - म| और P से लाइन की दूरी है:

|{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.

चूँकि S रेखा पर है, हम m का मान ज्ञात कर सकते हैं,

m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},

और अंत में प्राप्त करें:^[8]

|{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.

इस प्रमाण का एक रूपांतर V को P पर रखना है और त्रिभुज ∆UVT के क्षेत्रफल की गणना दो तरीकों से प्राप्त करना है। $D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|$ जहाँ D P से ∆UVT के कर्ण के लिए खींची गई ∆UVT की ऊँचाई है। तब दूरी सूत्र का उपयोग व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है $|{\overline {TU}}|$ , $|{\overline {VU}}|$ , और $|{\overline {VT}}|$ संकेतित सूत्र प्राप्त करने के लिए P के निर्देशांक और रेखा के समीकरण के गुणांक के संदर्भ में।^{[citation needed]}

एक वेक्टर प्रोजेक्शन प्रूफ

मान लीजिए P निर्देशांक वाला बिंदु है (x₀, और₀) और मान लीजिए कि दी गई रेखा का समीकरण ax + by + c = 0 है। साथ ही, मान लीजिए Q = (x₁, और₁) इस रेखा पर कोई बिंदु हो और n वेक्टर (a, b) बिंदु Q से शुरू हो। सदिश n रेखा के लंबवत है, और बिंदु P से रेखा तक की दूरी d के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण की लंबाई के बराबर है ${\overrightarrow {QP}}$ एन पर। इस प्रक्षेपण की लंबाई इसके द्वारा दी गई है:

d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.

अब,

{\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),

इसलिए

{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})

और

\|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},

इस प्रकार

d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

चूँकि Q रेखा पर एक बिंदु है, $c=-ax_{1}-by_{1}$ , इसलिए,^[9]

d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

हालांकि दूरी को मॉड्यूलस के रूप में दिया जाता है, संकेत सामान्य वेक्टर (ए, बी) की दिशा द्वारा निर्धारित अर्थ में, यह निर्धारित करने के लिए उपयोगी हो सकता है कि बिंदु किस तरफ है।

अन्य सूत्र

एक बिंदु से एक रेखा की सबसे छोटी दूरी का पता लगाने के लिए एक और अभिव्यक्ति उत्पन्न करना संभव है। इस व्युत्पत्ति के लिए यह भी आवश्यक है कि रेखा लंबवत या क्षैतिज न हो।

बिंदु P निर्देशांक के साथ दिया गया है ( $x_{0},y_{0}$ ). एक रेखा का समीकरण किसके द्वारा दिया जाता है $y=mx+k$ . बिंदु P से गुजरने वाली उस रेखा के अभिलम्ब का समीकरण दिया गया है $y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}$ .

जिस बिंदु पर ये दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, वह मूल रेखा पर बिंदु P का निकटतम बिंदु है। इसलिए:

mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.

हम इस समीकरण को x के लिए हल कर सकते हैं,

x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.

चौराहे के बिंदु का y निर्देशांक मूल रेखा के समीकरण में x के इस मान को प्रतिस्थापित करके पाया जा सकता है,

y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.

2 बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए समीकरण का उपयोग करना, $d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}$ , हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक रेखा और एक बिंदु के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित है:

d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}={\frac {|k+mx_{0}-y_{0}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.

समीकरण ax + by + c = 0 वाली रेखा के लिए m = -a/b और k = - c/b को याद करते हुए, थोड़ा बीजगणितीय सरलीकरण इसे मानक अभिव्यक्ति में कम कर देता है।^[3]

वेक्टर फॉर्मूलेशन

वेक्टर फॉर्मूलेशन का चित्रण।

यूक्लिडियन सदिश रूप में एक रेखा का समीकरण दिया जा सकता है:

\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n}

यहाँ $a$ रेखा पर एक बिंदु है, और $n$ रेखा की दिशा में एक इकाई सदिश है। फिर जैसे स्केलर टी भिन्न होता है, $x$ रेखा का स्थान (गणित) देता है।

एक मनमाना बिंदु की दूरी $p$ द्वारा इस पंक्ति को दिया गया है

\operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {p} -\mathbf {a} )-((\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.

यह सूत्र इस प्रकार निकाला जा सकता है: $\mathbf {p} -\mathbf {a}$ से एक वेक्टर है $a$ मुद्दे पर $p$ . तब $(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {n}$ लाइन पर अनुमानित लंबाई है और इसलिए

\mathbf {a} +((\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}

एक वेक्टर है जो कि प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) है $\mathbf {p} -\mathbf {a}$ लाइन पर और निकटतम रेखा पर बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है $\mathbf {p}$ . इस प्रकार

(\mathbf {p} -\mathbf {a} )-((\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}

का अंग है $\mathbf {p} -\mathbf {a}$ रेखा के लंबवत। बिंदु से रेखा तक की दूरी तब उस वेक्टर का आदर्श (गणित) है।^[4] यह अधिक सामान्य सूत्र दो आयामों तक सीमित नहीं है।

एक और सदिश सूत्रीकरण

यदि सदिश स्थान orthonormality है और यदि रेखा बिंदु से होकर जाती है $a$ और एक यूक्लिडियन वेक्टर है $n$ , बिंदु के बीच की दूरी $p$ और रेखा है^[10]

\operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )={\frac {\left\|(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\times \mathbf {n} \right\|}{\|\mathbf {n} \|}}.

ध्यान दें कि क्रॉस उत्पाद केवल आयाम 3 और 7 में मौजूद हैं।

यह भी देखें

↑ Larson & Hostetler 2007, p. 452
↑ Spain 2007
↑ ^3.0 ^3.1 Larson & Hostetler 2007, p. 522
↑ ^4.0 ^4.1 Sunday, Dan. "रेखाएँ और एक बिंदु से एक रेखा की दूरी". softSurfer. Archived from the original on 2021-05-07.
↑ Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units With Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples
↑ Ballantine & Jerbert 1952 do not mention this restriction in their article
↑ If the two triangles are on opposite sides of the line, these angles are congruent because they are alternate interior angles.
↑ Ballantine & Jerbert 1952
↑ Anton 1994, pp. 138-9
↑ Weisstein, Eric W. "Point-Line Distance--3-Dimensional". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2021-06-06.

संदर्भ

Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
Ballantine, J.P.; Jerbert, A.R. (1952), "Distance from a line or plane to a point", American Mathematical Monthly, 59 (4): 242–243, doi:10.2307/2306514, JSTOR 2306514
Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus: A Concise Course, Houghton Mifflin Co., ISBN 978-0-618-62719-6
Spain, Barry (2007) [1957], Analytical Conics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-45773-4
Weisstein, Eric W. "Point-Line Distance--3-Dimensional". MathWorld.

अग्रिम पठन

Deza, Michel Marie; Deza, Elena (2013), Encyclopedia of Distances (2nd ed.), Springer, p. 86, ISBN 9783642309588

[1] Larson & Hostetler 2007, p. 452

[2] Spain 2007

[Larson_2007_loc=p._522-3] 3.0 ^3.1 Larson & Hostetler 2007, p. 522

[GEO-4] 4.0 ^4.1 Sunday, Dan. "रेखाएँ और एक बिंदु से एक रेखा की दूरी". softSurfer. Archived from the original on 2021-05-07.

[5] Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units With Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples

[6] Ballantine & Jerbert 1952 do not mention this restriction in their article

[7] If the two triangles are on opposite sides of the line, these angles are congruent because they are alternate interior angles.

[8] Ballantine & Jerbert 1952

[9] Anton 1994, pp. 138-9

[10] Weisstein, Eric W. "Point-Line Distance--3-Dimensional". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2021-06-06.

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दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित रेखा

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