ऑर्थोगोनल बहुपद

गणित में, एक ऑर्थोगोनल बहुपद अनुक्रम बहुपदों का एक परिवार है जैसे कि अनुक्रम में कोई भी दो अलग-अलग बहुपद किसी आंतरिक गुणन के तहत एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं।

सबसे व्यापक रूप से प्रयोग किए जाने वाले ऑर्थोगोनल बहुपद क्लासिकल ऑर्थोगोनल बहुपद हैं, जिनमें हर्मिट बहुपद, लैगुएरे बहुपद और जैकोबी बहुपद सम्मिलित हैं। गेंगेंबोइर बहुपद जैकोबी बहुपदों का सबसे महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं; वे विशेष स्थिति के रूप में चेबीशेव बहुपद और लीजेंड्रे बहुपद को सम्मिलित करते हैं।

ऑर्थोगोनल बहुपदों का क्षेत्र 19वीं सदी के अंत में पी. एल. चेबिशेव द्वारा निरंतर अंशों के अध्ययन से विकसित हुआ और ए. ए. मार्कोव और टी. जे. स्टिल्टजेस द्वारा इसका अनुसरण किया गया। वे विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों में दिखाई देते हैं: संख्यात्मक विश्लेषण (गाऊसी चतुर्भुज), संभाव्यता सिद्धांत, प्रतिनिधित्व सिद्धांत (झूठे समूह, क्वांटम समूह और संबंधित ऑब्जेक्ट्स का), गणनात्मक संयोजक, बीजगणितीय संयोजक, गणितीय भौतिकी (यादृच्छिक मैट्रिक्स का सिद्धांत, समाकलनीय प्रणाली, आदि), और संख्या सिद्धांत। ऑर्थोगोनल बहुपदों पर काम करने वाले कुछ गणितज्ञों में गेबोर स्जेगो, सर्गेई नटनोविच बर्नस्टीन, नौम अखीजर, आर्थर एर्डेली, याकूब गेरोनिमस, वोल्फगैंग हैन, थिओडोर सियो चिहारा, मोर्ड इस्माइल, वलीद अल-सलाम, रिचर्ड आस्की और रेहुएल लोबेटो सम्मिलित हैं।

वास्तविक माप के लिए 1-चर स्थिति की परिभाषा

किसी भी गैर-घटते फलन को देखते हुए α वास्तविक संख्याओं पर, हम लेबसग़ई-स्टिलट्जेस समाकल को परिभाषित कर सकते हैं

$$\int f(x)\,d\alpha (x)$$

एक एफ का फलन है। यदि यह समाकल सभी बहुपदों f के लिए परिमित है, तो हम बहुपदों f और g के युग्मों पर आंतरिक गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं

$$\langle f,g\rangle =\int f(x)g(x)\,d\alpha (x).$$

यह संक्रिया सभी बहुपदों के सदिश स्थान पर एक धनात्मक अर्धनिश्चित आंतरिक गुणन है, और यदि फलन α में वृद्धि के अनंत बिंदु हैं तो यह सकारात्मक निश्चित है। यह सामान्य तरीके से ऑर्थोगोनलिटी की धारणा को प्रेरित करता है, अर्थात् दो बहुपद ऑर्थोगोनल हैं यदि उनका आंतरिक गुणन शून्य है।

फिर क्रम (P_n)^∞
_n=0 ऑर्थोगोनल बहुपद संबंधों द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\deg P_{n}=n~,\quad \langle P_{m},\,P_{n}\rangle =0\quad {\text{for}}\quad m\neq n~.$$

दूसरे शब्दों में, इस आंतरिक गुणन के संबंध में ग्राम-श्मिट प्रक्रिया द्वारा एकपदी 1, x, x², ...के अनुक्रम से अनुक्रम प्राप्त किया जाता है ।

प्रायः अनुक्रम को ऑर्थोनॉर्मल होना आवश्यक है, अर्थात्,

$$\langle P_{n},P_{n}\rangle =1,$$

हालाँकि, अन्य मानक कभी-कभी उपयोग किए जाते हैं।

पूर्णतः निरंतर स्थिति

कभी-कभी हमारे पास होता है

$$d\alpha (x)=W(x)\,dx$$

जहाँ

$$W:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R}$$

वास्तविक रेखा में कुछ अंतराल[x₁, x₂] पर समर्थन के साथ एक गैर-नकारात्मक फलन है (जहाँ x₁ = −∞ और x₂ = ∞ अनुमति दी जाती है)। इस तरह W को एक वेट फलन कहा जाता है। फिर आंतरिक गुणन द्वारा दिया जाता है

$$\langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\,dx.$$

हालांकि, ऑर्थोगोनल बहुपदों के कई उदाहरण हैं जहां माप dα(x) में गैर-शून्य माप वाले बिंदु होते हैं जहां फलन α विच्छिन्न है, इसलिए ऊपरोक्त वेट फलन W द्वारा नहीं दिया जा सकता है।

ऑर्थोगोनल बहुपदों के उदाहरण

एक वास्तविक अंतराल में समर्थन के साथ माप के लिए सबसे अधिक प्रयोग किया जाने वाला ऑर्थोगोनल बहुपद ऑर्थोगोनल है। यह भी सम्मिलित है:

• क्लासिकल ऑर्थोगोनल बहुपद (जैकोबी बहुपद, लैगुएरे बहुपद, हर्मिट बहुपद, और उनकी विशेष स्थिति गेगेनबॉयर बहुपद, चेबीशेव बहुपद और लीजेंड्रे बहुपद)।
• विल्सन बहुपद, जो जैकोबी बहुपदों का सामान्यीकरण करता है। वे कई ऑर्थोगोनल बहुपदों को विशेष स्थिति के रूप में सम्मिलित करते हैं, जैसे कि मेक्सनर-पोलकज़ेक बहुपद, [[निरंतर हैन बहुपद]], निरंतर दोहरी हान बहुपद, और क्लासिकल बहुपद, जो आस्की योजना द्वारा वर्णित हैं।
• एस्की-विल्सन बहुपद विल्सन बहुपदों में एक अतिरिक्त मापदण्ड क्यू प्रस्तुत करते हैं।

असतत ऑर्थोगोनल बहुपद कुछ असतत माप के संबंध में ऑर्थोगोनल हैं। कभी-कभी माप का परिमित समर्थन होता है, इस स्थिति में ऑर्थोगोनल बहुपदों का परिवार एक अनंत अनुक्रम के अपेक्षाकृत परिमित होता है। राका बहुपद असतत ऑर्थोगोनल बहुपदों के उदाहरण हैं, और विशेष स्थिति के रूप में हन बहुपद और दोहरे हन बहुपद सम्मिलित हैं, जो बदले में विशेष स्थिति के रूप में मीक्सनर बहुपद, क्रावचौक बहुपद और चार्लीर बहुपद सम्मिलित हैं।

मीक्सनर ने सभी ऑर्थोगोनल शेफ़र अनुक्रम को वर्गीकृत किया है: केवल हेर्माइट, लैगुएरे, चार्लीयर, मीक्सनर और मीक्सनर-पोलाकज़ेक हैं। कुछ अर्थों में क्रावचौक भी इस सूची में होना चाहिए, लेकिन वे एक परिमित अनुक्रम हैं। ये छह परिवार एनईएफ-क्यूवीएफ के अनुरूप हैं और कुछ लेवी प्रक्रियाओं के लिए मार्टिंगेल_(संभाव्यता_सिद्धांत) बहुपद हैं।

सीव्ड ऑर्थोगोनल बहुपद, जैसे छना हुआ अल्ट्रास्फेरिकल बहुपद, छना हुआ जैकोबी बहुपद, और सीव्ड पोलाज़ेक बहुपद, ने पुनरावृत्ति संबंधों को संशोधित किया है।

कोई जटिल समतल में कुछ वक्र के लिए ऑर्थोगोनल बहुपदों पर भी विचार कर सकता है। सबसे महत्वपूर्ण स्थिति(वास्तविक अंतराल के अलावा) तब होता है जब वक्र ईकाई वृत्ताकार होती है, जो ईकाई वृत्त पर ऑर्थोगोनल बहुपद देता है, जैसे रोजर्स-सेगो बहुपद।

ऑर्थोगोनल बहुपदों के कुछ परिवार हैं जो त्रिकोण या डिस्क जैसे समतल क्षेत्रों पर ऑर्थोगोनल हैं। उन्हें कभी-कभी जैकोबी बहुपदों के संदर्भ में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, जेरनायक बहुपद ईकाई डिस्क पर ओर्थोगोनल हैं।

हर्मिट बहुपदों के विभिन्न आदेशों के बीच लंबकोणीयता का लाभ सामान्यीकृत आवृत्ति विभाजन बहुसंकेतन (जीएफडीएम) संरचना पर लागू होता है। समय-आवृत्ति जाली के प्रत्येक जाल में एक से अधिक प्रतीक ले जा सकते हैं।

गुण

वास्तविक रेखा पर एक गैर-ऋणात्मक माप द्वारा परिभाषित एक चर के ऑर्थोगोनल बहुपदों में निम्नलिखित गुण होते हैं।

मोमेंट्स से संबंध

ऑर्थोगोनल बहुपद P_n मोमेंट्स के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

$m_{n}=\int x^{n}\,d\alpha (x)$

निम्नलिखितनुसार:

$P_{n}(x)=c_{n}\,\det {\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}~,$

जहां स्थिरांक C_n यादृच्छिक हैं (P_n के सामान्यीकरण पर निर्भर करते हैं).

यह सीधे ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को एकपदी पर लागू करने से आता है, प्रत्येक बहुपद को पिछले वाले के संबंध में ऑर्थोगोनल होने के लिए लागू करता है। उदाहरण के लिए, के साथ लंबकोणीयता $P_{0}$ यह निर्धारित करता है $P_{1}$ रूप होना चाहिए

$$P_{1}(x)=c_{1}\left(x-{\frac {\langle P_{0},x\rangle P_{0}}{\langle P_{0},P_{0}\rangle }}\right)=c_{1}(x-m_{1}),$$

जिसे निर्धारक के साथ पहले दी गई अभिव्यक्ति के अनुरूप देखा जा सकता है।

पुनरावृत्ति संबंध

बहुपद P_n प्रपत्र के पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करें

$P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)$

जहाँ A_n 0 नहीं है। विलोम भी सत्य है; फावर्ड की प्रमेय देखें।

क्रिस्टोफेल-डार्बौक्स फॉर्मूला

Main article: क्रिस्टोफेल-डार्बौक्स फॉर्मूला

शून्य

यदि माप dα एक अंतराल [a, b] पर समर्थित है, तो P_n के सभी शून्य [a, b] में हैं। इसके अलावा, शून्य में निम्नलिखित इंटरलेसिंग गुण होते हैं: यदि m < n, P_m के किन्हीं दो शून्यों के बीच P_n का एक शून्य होता है . शून्य की इलेक्ट्रोस्टैटिक व्याख्या दी जा सकती है।

मिश्रित व्याख्या

1980 के दशक से, एक्स. जी. विएनोट, जे. लबेले, वाई.-एन. येह, डी. फोटा, और अन्य, सभी क्लासिकल ऑर्थोगोनल बहुपदों के लिए संयोजी व्याख्याएं पाई गईं।

अन्य प्रकार के ऑर्थोगोनल बहुपद

बहुभिन्नरूपी ऑर्थोगोनल बहुपद

मैकडोनाल्ड बहुपद कई चरों में ऑर्थोगोनल बहुपद हैं, जो एक सजातीय रूट प्रणाली की पसंद पर निर्भर करता है। वे विशेष स्थिति के रूप में बहुभिन्नरूपी ऑर्थोगोनल बहुपदों के कई अन्य परिवारों को सम्मिलित करते हैं, जिनमें जैक बहुपद, हॉल-लिटिलवुड बहुपद, हेकमैन-ओपडम बहुपद, और कोर्नविंदर बहुपद सम्मिलित हैं। एस्की-विल्सन बहुपद श्रेणी 1 की एक निश्चित गैर-रीडयूस्ड रूट प्रणाली के लिए मैकडोनाल्ड बहुपदों की विशेष स्थिति है।

एकाधिक ऑर्थोगोनल बहुपद

Main article: एकाधिक ऑर्थोगोनल बहुपद

एकाधिक ऑर्थोगोनल बहुपद एक चर में बहुपद होते हैं जो मापक के परिमित परिवार के संबंध में ऑर्थोगोनल होते हैं।

सोबोलेव ऑर्थोगोनल बहुपद

Main article: सोबोलेव ऑर्थोगोनल बहुपद

ये सोबोलेव स्पेस आंतरिक गुणन के संबंध में ऑर्थोगोनल बहुपद हैं, यानी डेरिवेटिव के साथ एक आंतरिक गुणन। डेरिवेटिव सहित बहुपदों के लिए बड़े परिणाम हैं, सामान्यतः वे क्लासिकल ऑर्थोगोनल बहुपदों की कुछ अच्छी विशेषताओं को साझा नहीं करते हैं।

मैट्रिसेस के साथ ऑर्थोगोनल बहुपद

मेट्रिसेस वाले ऑर्थोगोनल बहुपद में या तो गुणांक होते हैं जो मैट्रिसेस होते हैं या अनिश्चित एक मैट्रिक्स होता है।

यह भी देखें

• अपील अनुक्रम
• हाइपरज्यामितीय ऑर्थोगोनल बहुपदों की आस्की योजना
• Favard की प्रमेय
• द्विपद प्रकार
• बायोर्थोगोनल बहुपद
• सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला
• माध्यमिक उपाय
• शेफर अनुक्रम
• स्टर्म-लिउविल सिद्धांत
• उम्ब्रल कैलकुलस

संदर्भ

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Chihara, Theodore Seio (1978). An Introduction to Orthogonal Polynomials. Gordon and Breach, New York. ISBN 0-677-04150-0.
• Chihara, Theodore Seio (2001). "45 years of orthogonal polynomials: a view from the wings". Proceedings of the Fifth International Symposium on Orthogonal Polynomials, Special Functions and their Applications (Patras, 1999). Journal of Computational and Applied Mathematics. 133 (1): 13–21. Bibcode:2001JCoAM.133...13C. doi:10.1016/S0377-0427(00)00632-4. ISSN 0377-0427. MR 1858267.
• Foncannon, J. J.; Foncannon, J. J.; Pekonen, Osmo (2008). "Review of Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable by Mourad Ismail". The Mathematical Intelligencer. Springer New York. 30: 54–60. doi:10.1007/BF02985757. ISSN 0343-6993. S2CID 118133026.
• Ismail, Mourad E. H. (2005). Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-78201-5.
• Jackson, Dunham (2004) [1941]. Fourier Series and Orthogonal Polynomials. New York: Dover. ISBN 0-486-43808-2.
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• "Orthogonal polynomials", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Szegő, Gábor (1939). Orthogonal Polynomials. Colloquium Publications. Vol. XXIII. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1023-1. MR 0372517.
• Totik, Vilmos (2005). "Orthogonal Polynomials". Surveys in Approximation Theory. 1: 70–125. arXiv:math.CA/0512424.
• C. Chan, A. Mironov, A. Morozov, A. Sleptsov, arXiv:1712.03155.