नीलसन-थर्स्टन वर्गीकरण

गणित में, थर्स्टन का वर्गीकरण प्रमेय एक सघन ओरिएंटेबल सतह के होमियोमोर्फिज्म की विशेषता है। जैकब निल्सन (1944) के द्वारा प्रारम्भ किये गए कार्य को विलियम थर्स्टन के प्रमेय के द्वारा पूर्ण किया गया है।

एक होमोमोर्फिज्म f : S → S दिया गया है, f के लिए एक मानचित्र g आईसोटोपी है, जिसमें निम्न में से कम से कम एक धारण करता है:

• g आवधिक है,अर्थात g की कुछ शक्ति पहचान है;
• g, s पर अलग-अलग सरल बंद वक्रों के कुछ असंयुक्त सम्मिलन को संरक्षित करता है (इस सन्दर्भ में, g को कम करने योग्य कहा जाता है); या
• g छद्म-अनोसोव मानचित्र है।

मामला जहां एस एक टोरस्र्स है (यानी, एक सतह जिसका जीनस (गणित) एक है) को अलग से संभाला जाता है (टोरस बंडल देखें) और थर्स्टन के काम से पहले जाना जाता था। यदि S का जीनस दो या अधिक है, तो S स्वाभाविक रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति है, और Teichmüller space|Teichmüller सिद्धांत के उपकरण उपयोगी हो जाते हैं। निम्नलिखित में, हम मानते हैं कि S के पास कम से कम दो जीनस हैं, जैसा कि थर्स्टन ने माना है। (ध्यान दें, हालांकि, ऐसे मामले जहां S की सीमा (टोपोलॉजी) है या उन्मुख नहीं है, निश्चित रूप से अभी भी रुचि रखते हैं।)

इस वर्गीकरण में तीन प्रकार परस्पर अनन्य 'नहीं' हैं, हालांकि एक छद्म-एनोसोव होमोमोर्फिज्म कभी भी आवधिक या कम करने योग्य नहीं होता है। सरल बंद घटता Γ के संरक्षित संघ के साथ सतह को काटकर एक कम करने योग्य होमोमोर्फिज्म जी का और अधिक विश्लेषण किया जा सकता है। कई गुना के साथ परिणामी कॉम्पैक्ट सतहों में से प्रत्येक पर जी की कुछ शक्ति (यानी फ़ंक्शन रचना) द्वारा कार्य किया जाता है, और वर्गीकरण को फिर से इस होमोमोर्फिज्म पर लागू किया जा सकता है।

== उच्च जीनस == की सतहों के लिए मानचित्रण वर्ग समूह थर्स्टन का वर्गीकरण जीनस ≥ 2 की ओरिएंटेबल सतहों के होमोमोर्फिज्म पर लागू होता है, लेकिन होमोमोर्फिज्म का प्रकार केवल मैपिंग क्लास ग्रुप मॉड (एस) के संबंधित तत्व पर निर्भर करता है। वास्तव में, वर्गीकरण प्रमेय का प्रमाण अच्छे ज्यामितीय गुणों वाले प्रत्येक मानचित्रण वर्ग के एक विहित रूप प्रतिनिधि की ओर जाता है। उदाहरण के लिए:

• जब जी आवधिक होता है, तो इसके मानचित्रण वर्ग का एक तत्व होता है जो कि एस पर हाइपरबोलिक ज्यामिति का एक आइसोमेट्री होता है।
• जब जी छद्म-अनोसोव होता है, तो इसके मानचित्रण वर्ग का एक तत्व होता है जो एस की ट्रांसवर्सलिटी (गणित) एकवचन पर्णों की एक जोड़ी को संरक्षित करता है, एक की पत्तियों को खींचता है (अस्थिर पर्णसमूह) जबकि दूसरे की पत्तियों को सिकोड़ता है (स्थिर) पत्ते)।

मैपिंग टोरी

इस वर्गीकरण को विकसित करने के लिए थर्स्टन की मूल प्रेरणा जियोमेट्रीज़ेशन अनुमान द्वारा भविष्यवाणी की गई प्रकार की टोरी मैपिंग पर ज्यामितीय संरचनाओं को खोजना था। मानचित्रण टोरस एम_gएक सतह S का होमोमोर्फिज्म g, S × [0,1] से S × {0} को S × {1} से g का उपयोग करके प्राप्त किया गया 3-कई गुना है। यदि S के जीनस कम से कम दो हैं, तो M की ज्यामितीय संरचना_gनिम्नानुसार वर्गीकरण में जी के प्रकार से संबंधित है:

• यदि जी आवधिक है, तो एम_gएक एच है² × R संरचना;
• यदि जी कम करने योग्य है, तो एम_gअसंपीड्य सतह टोरस है, और इन तोरी के साथ टुकड़ों को काटा जाना चाहिए ताकि प्रत्येक में ज्यामितीय संरचनाएं हों (जेएसजे अपघटन);
• यदि जी छद्म-अनोसोव मानचित्र है|छद्म-अनोसोव, तो एम_gएक अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति है (यानी एच³) संरचना।

पहले दो मामले तुलनात्मक रूप से आसान हैं, जबकि छद्म-एनोसोव होमोमोर्फिज्म के मानचित्रण टोरस पर एक अतिशयोक्तिपूर्ण संरचना का अस्तित्व एक गहरा और कठिन प्रमेय है (विलियम थर्स्टन के कारण भी)। इस तरह से उत्पन्न होने वाले अतिशयोक्तिपूर्ण 3-मैनिफोल्ड्स को फाइबरेड कहा जाता है क्योंकि वे सर्कल के ऊपर सतह बंडल होते हैं, और इन मैनिफोल्ड्स को हुक कई गुना के लिए थर्स्टन के ज्यामितीय अनुमान के प्रमाण में अलग से व्यवहार किया जाता है। फाइबरयुक्त अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना में कई दिलचस्प और रोग संबंधी गुण हैं; उदाहरण के लिए, केनन और थर्स्टन ने दिखाया कि उत्पन्न होने वाले क्लेनियन समूह के सतह उपसमूह की सीमा निर्धारित है जो एक स्थान-भरने वाला वक्र है|गोले-भरने वाला वक्र है।

निश्चित बिंदु वर्गीकरण

तीन प्रकार की सतह होमियोमॉर्फिज्म भी टेचमुलर स्पेस टी (एस) पर मैपिंग क्लास ग्रुप मॉड (एस) की गतिशील प्रणाली से संबंधित हैं। थर्स्टन ने T(S) का एक संघनन (गणित)गणित) पेश किया जो एक बंद गेंद के लिए होमोमोर्फिक है, और जिसके लिए मॉड (S) की क्रिया स्वाभाविक रूप से फैली हुई है। थर्स्टन वर्गीकरण में मानचित्रण वर्ग समूह के एक तत्व जी का प्रकार टी (एस) के संघनन पर कार्य करते समय उसके निश्चित बिंदुओं से संबंधित होता है:

• यदि जी आवधिक है, तो टी (एस) के भीतर एक निश्चित बिंदु है; यह बिंदु S पर एक अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति से मेल खाता है जिसके आइसोमेट्री समूह में g के लिए एक समस्थानिक तत्व होता है;
• यदि g स्यूडो-एनोसोव है, तो g का T(S) में कोई निश्चित बिंदु नहीं है, लेकिन थर्स्टन सीमा पर निश्चित बिंदुओं की एक जोड़ी है; ये निश्चित बिंदु जी द्वारा संरक्षित एस के स्थिर और अस्थिर फोलिएशन के अनुरूप हैं।
• कुछ रिड्यूसिबल मैपिंग क्लास जी के लिए, थर्स्टन सीमा पर एक निश्चित बिंदु है; एक उदाहरण एक देह मोड़ है | एक पैंट अपघटन के साथ बहु-मोड़ Γ। इस मामले में थर्स्टन सीमा पर जी का निश्चित बिंदु Γ से मेल खाता है।

यह अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति isometric ़ के अण्डाकार, परवलयिक, और अतिशयोक्तिपूर्ण प्रकारों में वर्गीकरण की याद दिलाता है (जो कि आवधिक, कम करने योग्य, और ऊपर सूचीबद्ध छद्म-एनोसोव प्रकारों के समान निश्चित बिंदु संरचनाएं हैं)।

यह भी देखें

• ट्रेन ट्रैक का नक्शा

संदर्भ

• Bestvina, M.; Handel, M. (1995). "Train-tracks for surface homeomorphisms" (PDF). Topology. 34 (1): 109–140. doi:10.1016/0040-9383(94)E0009-9.
• Fenchel, Werner; Nielsen, Jakob (2003). Schmidt, Asmus L. (ed.). Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. Vol. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co.
• Travaux de Thurston sur les surfaces, Astérisque, 66-67, Soc. Math. France, Paris, 1979
• Handel, M.; Thurston, W. P. (1985). "New proofs of some results of Nielsen" (PDF). Advances in Mathematics. 56 (2): 173–191. doi:10.1016/0001-8708(85)90028-3. MR 0788938.
• Nielsen, Jakob (1944), "Surface transformation classes of algebraically finite type", Danske Vid. Selsk. Math.-Phys. Medd., 21 (2): 89, MR 0015791
• Penner, R. C. (1988). "A construction of pseudo-Anosov homeomorphisms". Transactions of the American Mathematical Society. 310 (1): 179–197. doi:10.1090/S0002-9947-1988-0930079-9. MR 0930079.
• Thurston, William P. (1988), "On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 19 (2): 417–431, doi:10.1090/S0273-0979-1988-15685-6, ISSN 0002-9904, MR 0956596