बेसेल बहुपद

गणित में, बेसेल बहुपद बहुपदों का एक ओर्थोगोनल बहुपद अनुक्रम हैं। कई अलग-अलग लेकिन सूक्ष्मता से संबंधित परिभाषाएँ हैं। गणितज्ञों द्वारा समर्थित परिभाषा श्रृंखला द्वारा दी गई है

$y_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!k!}}\,\left({\frac {x}{2}}\right)^{k}.$

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरों द्वारा समर्थित एक अन्य परिभाषा को कभी-कभी रिवर्स बेसेल बहुपद के रूप में जाना जाता है

$\theta _{n}(x)=x^{n}\,y_{n}(1/x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!k!}}\,{\frac {x^{n-k}}{2^{k}}}.$

दूसरी परिभाषा के गुणांक पहले के समान हैं लेकिन विपरीत क्रम में हैं। उदाहरण के लिए, तृतीय-डिग्री बेसेल बहुपद है

$y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1$

जबकि थर्ड-डिग्री रिवर्स बेसेल बहुपद है

$\theta _{3}(x)=x^{3}+6x^{2}+15x+15.$

बेसल फिल्टर के डिजाइन में रिवर्स बेसेल बहुपद का उपयोग किया जाता है।

गुण

बेसेल कार्यों के संदर्भ में परिभाषा

बेसेल बहुपद को बेसेल फलनों का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता है जिससे बहुपद को अपना नाम मिलता है।

$y_{n}(x)=\,x^{n}\theta _{n}(1/x)\,$

$y_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(1/x)$

$\theta _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,x^{n+1/2}e^{x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(x)$

जहां के_n(x) एक बेसेल फलन है संशोधित बेसेल फलन:आईसीई.बी1.2सी के.सीई.बी1, y_n(x) साधारण बहुपद है, और θ_n(x) विपरीत बहुपद है . उदाहरण के लिए:

$y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{3+{\frac {1}{2}}}(1/x)$

हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषा ==

बेसेल बहुपद को एक मिश्रित अतिज्यामितीय फलन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है

$y_{n}(x)=\,_{2}F_{0}(-n,n+1;;-x/2)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{-n}U\left(-n,-2n,{\frac {2}{x}}\right)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1}U\left(n+1,2n+2,{\frac {2}{x}}\right).$

सामान्यीकृत बेसेल बहुपदों के लिए समान अभिव्यक्ति सही है (नीचे देखें):

$y_{n}(x;a,b)=\,_{2}F_{0}(-n,n+a-1;;-x/b)=\left({\frac {b}{x}}\right)^{n+a-1}U\left(n+a-1,2n+a,{\frac {b}{x}}\right).$

रिवर्स बेसेल बहुपद को एक सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

$\theta _{n}(x)={\frac {n!}{(-2)^{n}}}\,L_{n}^{-2n-1}(2x)$

जिससे यह अनुसरण करता है कि इसे हाइपरज्यामेट्रिक फ़ंक्शन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है:

$\theta _{n}(x)={\frac {(-2n)_{n}}{(-2)^{n}}}\,\,_{1}F_{1}(-n;-2n;2x)$

जहां (−2n)_n पोचममेर प्रतीक (बढ़ती तथ्यात्मक) है।

जनरेटिंग फंक्शन

बेसल बहुपद, सूचकांक स्थानांतरित होने के साथ, जनरेटिंग फ़ंक्शन है

$\sum _{n=0}^{\infty }{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}x^{n+{\frac {1}{2}}}e^{x}K_{n-{\frac {1}{2}}}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=1+x\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.$

के सम्बन्ध में विभेद करना $t$, रद्द करना $x$, बहुपदों के लिए जनक फलन प्राप्त करता है $\{\theta _{n}\}_{n\geq 0}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\theta _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{\sqrt {1-2t}}}e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.$

के लिए समान जनरेटिंग फ़ंक्शन मौजूद है $y_{n}$ बहुपद भी:

$\sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=\exp \left({\frac {1-{\sqrt {1-2xt}}}{x}}\right).$

सेट होने पर $t=z-xz^{2}/2$, किसी के पास घातीय कार्य के लिए निम्नलिखित प्रतिनिधित्व है:

$e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {(z-xz^{2}/2)^{n}}{n!}}.$

पुनरावर्तन

बेसेल बहुपद को पुनरावर्तन सूत्र द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है:

$y_{0}(x)=1\,$

$y_{1}(x)=x+1\,$

$y_{n}(x)=(2n\!-\!1)x\,y_{n-1}(x)+y_{n-2}(x)\,$

और

$\theta _{0}(x)=1\,$

$\theta _{1}(x)=x+1\,$

$\theta _{n}(x)=(2n\!-\!1)\theta _{n-1}(x)+x^{2}\theta _{n-2}(x)\,$

विभेदक समीकरण

बेसेल बहुपद निम्नलिखित अवकल समीकरण का पालन करता है:

$x^{2}{\frac {d^{2}y_{n}(x)}{dx^{2}}}+2(x\!+\!1){\frac {dy_{n}(x)}{dx}}-n(n+1)y_{n}(x)=0$

और

$x{\frac {d^{2}\theta _{n}(x)}{dx^{2}}}-2(x\!+\!n){\frac {d\theta _{n}(x)}{dx}}+2n\,\theta _{n}(x)=0$

ओर्थोगोनलिटी

वजन के संबंध में बेसेल बहुपद ऑर्थोगोनल हैं $e^{-2/x}$ जटिल विमान के यूनिट सर्कल पर एकीकृत। दूसरे शब्दों में, यदि $n\neq m$,

$\int _{0}^{2\pi }y_{n}\left(e^{i\theta }\right)y_{m}\left(e^{i\theta }\right)ie^{i\theta }\mathrm {d} \theta =0$

सामान्यीकरण

स्पष्ट रूप

बेसेल बहुपदों का एक सामान्यीकरण साहित्य में निम्नलिखित के रूप में सुझाया गया है:

$y_{n}(x;\alpha ,\beta ):=(-1)^{n}n!\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{n}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}\left({\frac {\beta }{x}}\right),$

संगत विपरीत बहुपद हैं

$\theta _{n}(x;\alpha ,\beta ):={\frac {n!}{(-\beta )^{n}}}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}(\beta x)=x^{n}y_{n}\left({\frac {1}{x}};\alpha ,\beta \right).$

के स्पष्ट गुणांक $y_{n}(x;\alpha ,\beta )$ बहुपद हैं:

$y_{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n+k+\alpha -2)^{\underline {k}}\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{k}.$

नतीजतन, द $\theta _{n}(x;\alpha ,\beta )$ बहुपदों को स्पष्ट रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$\theta _{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(2n-k+\alpha -2)^{\underline {n-k}}{\frac {x^{k}}{\beta ^{n-k}}}.$

वेटिंग फंक्शन के लिए

$\rho (x;\alpha ,\beta ):=\,_{1}F_{1}\left(1,\alpha -1,-{\frac {\beta }{x}}\right)$

वे संबंध के लिए ओर्थोगोनल हैं

$0=\oint _{c}\rho (x;\alpha ,\beta )y_{n}(x;\alpha ,\beta )y_{m}(x;\alpha ,\beta )\mathrm {d} x$

m ≠ n और c के लिए 0 बिंदु के चारों ओर एक वक्र रखता है।

वे α = β = 2 के लिए बेसेल बहुपदों के विशेषज्ञ हैं, किस स्थिति में ρ(x) = exp(−2 / x)।

बेसेल बहुपदों के लिए रोड्रिग्स सूत्र

उपरोक्त अंतर समीकरण के विशेष समाधान के रूप में बेसेल बहुपदों के लिए रोड्रिग्स सूत्र है:

$B_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha }e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})$

जहाँ एक^(α, β)
_n सामान्यीकरण गुणांक हैं।

संबद्ध बेसेल बहुपद

इस सामान्यीकरण के अनुसार संबंधित बेसेल बहुपदों के लिए हमारे पास निम्नलिखित सामान्यीकृत अवकल समीकरण हैं:

$x^{2}{\frac {d^{2}B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx^{2}}}+[(\alpha +2)x+\beta ]{\frac {dB_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx}}-\left[n(\alpha +n+1)+{\frac {m\beta }{x}}\right]B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0$

कहाँ $0\leq m\leq n$. समाधान हैं,

$B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha +m}e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-m}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})$

शून्य

यदि एक के शून्य को निरूपित करता है $y_{n}(x;\alpha ,\beta )$ जैसा $\alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,\beta )$, और वह $\theta _{n}(x;\alpha ,\beta )$ द्वारा $\beta _{k}^{(n)}(\alpha ,\beta )$, तो निम्नलिखित अनुमान मौजूद हैं:

${\frac {2}{n(n+\alpha -1)}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}},$

और

${\frac {n+\alpha -1}{2}}\leq \beta _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {n(n+\alpha -1)}{2}},$

सभी के लिए $\alpha \geq 2$. इसके अलावा, इन सभी शून्यों में नकारात्मक वास्तविक भाग होता है।

तीव्र परिणाम कहा जा सकता है यदि कोई बहुपदों के शून्यों के अनुमानों के बारे में अधिक शक्तिशाली प्रमेयों का सहारा लेता है (अधिक संक्षेप में, सैफ और वर्गा का परबोला प्रमेय, या अंतर समीकरण तकनीकें)। एक परिणाम निम्न है:

${\frac {2}{2n+\alpha -{\frac {2}{3}}}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}}.$

विशेष मूल्य

बेसेल बहुपद $y_{n}(x)$ तक $n=5$ हैं

${\begin{aligned}y_{0}(x)&=1\\y_{1}(x)&=x+1\\y_{2}(x)&=3x^{2}+3x+1\\y_{3}(x)&=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\\y_{4}(x)&=105x^{4}+105x^{3}+45x^{2}+10x+1\\y_{5}(x)&=945x^{5}+945x^{4}+420x^{3}+105x^{2}+15x+1\end{aligned}}$

परिमेय गुणांकों वाले निम्न कोटि के बहुपदों में किसी भी बेसल बहुपद का गुणनखण्ड नहीं किया जा सकता है। विपरीत बेसेल बहुपद गुणांकों को उलट कर प्राप्त किया जाता है।

समान रूप से, ${\textstyle \theta _{k}(x)=x^{k}y_{k}(1/x)}$. इसका परिणाम निम्नलिखित होता है:

${\begin{aligned}\theta _{0}(x)&=1\\\theta _{1}(x)&=x+1\\\theta _{2}(x)&=x^{2}+3x+3\\\theta _{3}(x)&=x^{3}+6x^{2}+15x+15\\\theta _{4}(x)&=x^{4}+10x^{3}+45x^{2}+105x+105\\\theta _{5}(x)&=x^{5}+15x^{4}+105x^{3}+420x^{2}+945x+945\\\end{aligned}}$

यह भी देखें

• बेसेल समारोह
• न्यूमैन बहुपद
• लोमेल बहुपद
• हैंकेल ट्रांसफॉर्म
• फूरियर-बेसेल श्रृंखला

संदर्भ

• Carlitz, Leonard (1957). "A Note on the Bessel Polynomials". Duke Math. J. 24 (2): 151–162. doi:10.1215/S0012-7094-57-02421-3. MR 0085360.
• Fakhri, H.; Chenaghlou, A. (2006). "Ladder operators and recursion relations for the associated Bessel polynomials". Physics Letters A. 358 (5–6): 345–353. Bibcode:2006PhLA..358..345F. doi:10.1016/j.physleta.2006.05.070.
• Roman, S. (1984). The Umbral Calculus (The Bessel Polynomials §4.1.7). New York: Academic Press. ISBN 978-0-486-44139-9.

बाहरी संबंध

• "Bessel polynomials", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Bessel Polynomial". MathWorld.