द्विरेखीय प्रतिचित्रण: Difference between revisions

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{{Short description|Function of two vectors linear in each argument}}
{{Short description|Function of two vectors linear in each argument}}


गणित में, एक द्विरेखीय मानचित्र एक फलन (गणित) है जो दो सदिश समष्टियों के तत्वों को मिलाकर तीसरे सदिश समष्टि का एक अवयव प्राप्त करता है, और इसके प्रत्येक तर्कों में एक रेखीय मानचित्र होता है। मैट्रिक्स गुणा एक उदाहरण है।
गणित में, द्विरेखीय मानचित्र एक ऐसा फलन है जो दो सदिश समष्टियों के तत्वों को मिलाकर तीसरे सदिश समष्टि का एक अवयव प्राप्त करता है, और इसके प्रत्येक तर्क में रैखिक होता है। मैट्रिक्स गुणा एक उदाहरण है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==


=== वेक्टर रिक्त स्थान ===
=== सदिश समष्टि ===
होने देना <math>V, W </math> और <math>X</math> एक ही आधार [[क्षेत्र (गणित)]] पर तीन सदिश स्थान हो <math>F</math>. बिलिनियर मैप एक फंक्शन (गणित) है
मान लीजिए कि <math>V, W </math> और <math>X</math> एक ही आधार [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र <math>F</math>]] पर तीन सदिश समष्टियाँ हैं। द्विरेखीय प्रतिचित्रण एक फलन है
<math display=block>B : V \times W \to X</math>
<math display=block>B : V \times W \to X</math>
ऐसा कि सभी के लिए <math>w \in W</math>, वो नक्शा <math>B_w</math>
ऐसा है कि सभी <math>w \in W</math> के लिए, मानचित्र <math>B_w</math>
<math display=block>v \mapsto B(v, w)</math>
<math display=block>v \mapsto B(v, w)</math>
से एक रेखीय मानचित्र है <math>V</math> को <math>X,</math> और सभी के लिए <math>v \in V</math>, वो नक्शा <math>B_v</math>
<math>V</math> से <math>X</math> तक एक रैखिक मानचित्र है,और सभी <math>v \in V</math> के लिए, मानचित्र <math>B_v</math>
<math display=block>w \mapsto B(v, w)</math>
<math display=block>w \mapsto B(v, w)</math>
से एक रेखीय मानचित्र है <math>W</math> को <math>X.</math> दूसरे शब्दों में, जब हम द्विरेखीय मानचित्र की पहली प्रविष्टि को स्थिर रखते हैं जबकि दूसरी प्रविष्टि को बदलते हैं, तो परिणाम एक रैखिक संकारक होता है, और इसी तरह जब हम दूसरी प्रविष्टि को स्थिर रखते हैं।
<math>W</math> से <math>X</math> तक एक रेखीय मानचित्र है। दूसरे शब्दों में, जब हम दूसरी प्रविष्टि को बदलते हुए द्विरेखीय मानचित्र की पहली प्रविष्टि को स्थिर रखते हैं, तो परिणाम एक रैखिक संकारक होता है, और इसी तरह जब हम दूसरी प्रविष्टि को स्थिर रखते हैं।


ऐसा नक्शा <math>B</math> निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है।
ऐसा मानचित्र <math>B</math> निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है।


* किसी के लिए <math>\lambda \in F</math>, <math>B(\lambda v,w) = B(v, \lambda w) = \lambda B(v, w).</math>
* किसी भी <math>\lambda \in F</math>, <math>B(\lambda v,w) = B(v, \lambda w) = \lambda B(v, w)</math> के लिए।
* वो नक्शा <math>B</math> दोनों घटकों में योज्य है: यदि <math>v_1, v_2 \in V</math> और <math>w_1, w_2 \in W,</math> तब <math>B(v_1 + v_2, w) = B(v_1, w) + B(v_2, w)</math> और <math>B(v, w_1 + w_2) = B(v, w_1) + B(v, w_2).</math>
* मानचित्र <math>B</math> दोनों घटकों में योज्य है: यदि <math>v_1, v_2 \in V</math> और <math>w_1, w_2 \in W,</math> तब <math>B(v_1 + v_2, w) = B(v_1, w) + B(v_2, w)</math> और <math>B(v, w_1 + w_2) = B(v, w_1) + B(v, w_2).</math>
अगर <math>V = W</math> और हमारे पास है {{nowrap|1=''B''(''v'', ''w'') = ''B''(''w'', ''v'')}} सभी के लिए <math>v, w \in V,</math> तब हम कहते हैं कि B सममित फलन है। यदि X आधार क्षेत्र F है, तो मानचित्र को [[द्विरेखीय रूप]] कहा जाता है, जिसका अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है (उदाहरण के लिए: स्केलर उत्पाद, आंतरिक उत्पाद और [[द्विघात रूप]])।
अगर <math>V = W</math> और हमारे पास सभी <math>v, w \in V,</math> के लिए  {{nowrap|1=''B''(''v'', ''w'') = ''B''(''w'', ''v'')}} है, तो हम कहते हैं कि B सममित है। यदि X आधार क्षेत्र F है, तो मानचित्र को [[द्विरेखीय रूप]] कहा जाता है, जिसका अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है (उदाहरण के लिए: अदिश गुणनफल, आंतर गुणनफल और [[द्विघात रूप]])।


=== मॉड्यूल ===
=== मॉड्यूल ===
परिभाषा बिना किसी बदलाव के काम करती है यदि एक फ़ील्ड F पर वेक्टर रिक्त स्थान के बजाय, हम एक [[ क्रमविनिमेय अंगूठी ]] R पर [[मॉड्यूल (गणित)]] का उपयोग करते हैं। यह n-ary फ़ंक्शंस के लिए सामान्यीकरण करता है, जहाँ उचित शब्द [[बहुरेखीय नक्शा]] है।
परिभाषा बिना किसी परिवर्तन के काम करती है यदि क्षेत्र F पर सदिश समष्टि के बदले, हम एक[[ क्रमविनिमेय अंगूठी | क्रमविनिमेय रिंग]] R पर [[मॉड्यूल (गणित)|मॉड्यूल]] का उपयोग करते हैं। यह n-आरी फलन के लिए सामान्यीकरण करता है, जहाँ उचित अवधि [[बहुरेखीय नक्शा|बहुरेखीय मानचित्र]] है।


गैर-कम्यूटेटिव रिंग आर और एस के लिए, एक बायां आर-मॉड्यूल एम और एक दायां एस-मॉड्यूल एन, एक बिलिनियर मैप एक मैप है {{nowrap|''B'' : ''M'' × ''N'' → ''T''}} टी के साथ {{nowrap|(''R'', ''S'')}}-बिमॉड्यूल, और जिसके लिए N में कोई n, {{nowrap|''m'' ↦ ''B''(''m'', ''n'')}} एक आर-मॉड्यूल समरूपता है, और एम में किसी भी एम के लिए, {{nowrap|''n'' ↦ ''B''(''m'', ''n'')}} एक एस-मॉड्यूल समरूपता है। यह संतुष्ट करता है
गैर विनिमेय रिंग ''R'' और ''S'' के लिए, एक बायां ''R''-मॉड्यूल ''M'' और एक दायां ''S''-मॉड्यूल ''N'', एक द्विरेखीय मानचित्र एक मानचित्र {{nowrap|''B'' : ''M'' × ''N'' → ''T''}} ''T''  {{nowrap|(''R'', ''S'')}} - द्विमाड्यूल के साथ, और जिसके लिए N {{nowrap|''m'' ↦ ''B''(''m'', ''n'')}} में कोई भी n, एक ''R''-मॉड्यूल समरूपता है, और ''m'' में किसी भी ''M'' के लिए, {{nowrap|''n'' ↦ ''B''(''m'', ''n'')}} एक ''S''-मॉड्यूल समरूपता है। यह संतुष्ट करता है


: बी (आर एम, एन) = आर बी (एम, एन)
: ''B''(''r'' ''m'', ''n'') = ''r'' ''B''(''m'', ''n'')
: बी (एम, एन एस) = बी (एम, एन) ⋅ एस
: ''B''(''m'', ''n'' ''s'') = ''B''(''m'', ''n'') ⋅ ''s''


एम में सभी एम के लिए, एन में एन, आर में आर और एस में एस, साथ ही बी प्रत्येक तर्क में [[योगात्मक नक्शा]] है।
''m'' में सभी ''M'' के लिए, ''n'' में ''N'', ''r'' में ''R'' और ''s'' में ''S'', साथ ही ''B'' प्रत्येक तर्क में [[योगात्मक नक्शा|योगात्मक]] है।


== गुण ==
== गुण ==
परिभाषा का एक तात्कालिक परिणाम यह है कि {{nowrap|1=''B''(''v'', ''w'') = 0<sub>''X''</sub>}} जब कभी भी {{nowrap|1=''v'' = 0<sub>''V''</sub>}} या {{nowrap|1=''w'' = 0<sub>''W''</sub>}}. इसे [[शून्य वेक्टर]] 0 लिखकर देखा जा सकता है<sub>''V''</sub> जैसा {{nowrap|0 ⋅ 0<sub>''V''</sub>}} (और इसी तरह 0 के लिए<sub>''W''</sub>) और रैखिकता द्वारा स्केलर 0 को बी के सामने, बाहर ले जाना।
परिभाषा का एक तात्कालिक परिणाम यह है कि {{nowrap|1=''B''(''v'', ''w'') = 0<sub>''X''</sub>}} जब भी {{nowrap|1=''v'' = 0<sub>''V''</sub>}} या {{nowrap|1=''w'' = 0<sub>''W''</sub>}}इसे [[शून्य वेक्टर|शून्य सदिश]] 0<sub>''V''</sub> को 0 ⋅ 0<sub>''V''</sub> (और इसी तरह 0<sub>''W''</sub> के लिए) के रूप में लिखकर और अदिश 0 को रैखिकता द्वारा ''B'' के सामने "बाहर" ले जाकर देखा जा सकता है। 


सेट {{nowrap|''L''(''V'', ''W''; ''X'')}सभी द्विरेखीय नक्शों में से } अंतरिक्ष का एक रेखीय उपस्थान है (अर्थात सदिश स्थान, मॉड्यूल (गणित)) से सभी नक्शों का {{nowrap|''V'' × ''W''}} एक्स में।
सभी द्विरेखीय मानचित्र का समुच्चय ''L''(''V'', ''W''; ''X'') ''V'' × ''W'' से ''X'' में सभी मानचित्र के अंतराल (अर्थात् सदिश समष्टि, मॉड्यूल) का एक रेखीय उपस्थान है।


यदि वी, डब्ल्यू, एक्स परिमित-आयामी हैं, तो ऐसा है {{nowrap|''L''(''V'', ''W''; ''X'')}}. के लिए <math>X = F,</math> अर्थात् द्विरेखीय रूप, इस स्थान का आयाम है {{nowrap|dim ''V'' × dim ''W''}} (जबकि अंतरिक्ष {{nowrap|''L''(''V'' × ''W''; ''F'')}रैखिक रूपों का } आयाम का है {{nowrap|dim ''V'' + dim ''W''}}). इसे देखने के लिए, V और W के लिए एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] चुनें; तब प्रत्येक बिलिनियर मानचित्र को मैट्रिक्स द्वारा विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है {{nowrap|''B''(''e''<sub>''i''</sub>, ''f''<sub>''j''</sub>)}}, और इसके विपरीत।
यदि ''V'', ''W'', ''X'' सीमित-आयामी हैं, तो {{nowrap|''L''(''V'', ''W''; ''X'')}} भी है। <math>X = F,</math> यानी द्विरेखीय रूपों के लिए, इस स्थान का आयाम dim V × dim W है (जबकि रैखिक रूपों का स्थान ''L''(''V'' × ''W''; ''F'') आयाम dim V + dim W का है)।  इसे देखने के लिए, V और W के लिए एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)|आधार]] का चयन करे; तब प्रत्येक द्विरेखीय मानचित्र को विशिष्ट रूप से मैट्रिक्स {{nowrap|''B''(''e''<sub>''i''</sub>, ''f''<sub>''j''</sub>)}} द्वारा दर्शाया जा सकता है, और इसके विपरीत। अब, यदि X उच्च आयाम का स्थान है, तो हमारे पास स्पष्ट रूप से {{nowrap|1=dim ''L''(''V'', ''W''; ''X'') = dim ''V'' × dim ''W'' × dim ''X''}} है।
अब, यदि X उच्च आयाम का स्थान है, तो हमारे पास स्पष्ट रूप से है {{nowrap|1=dim ''L''(''V'', ''W''; ''X'') = dim ''V'' × dim ''W'' × dim ''X''}}.


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
* [[मैट्रिक्स (गणित)]] एक द्विरेखीय मानचित्र है {{nowrap|M(''m'', ''n'') × M(''n'', ''p'') → M(''m'', ''p'')}}.
* [[मैट्रिक्स (गणित)|मैट्रिक्स]] गुणन एक द्विरेखीय मानचित्र {{nowrap|M(''m'', ''n'') × M(''n'', ''p'') → M(''m'', ''p'')}} है।
* यदि एक सदिश स्थान V [[वास्तविक संख्या]]ओं से अधिक है <math>\R</math> एक [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] रखता है, फिर आंतरिक उत्पाद एक बिलिनियर मानचित्र है <math>V \times V \to \R.</math> उत्पाद वेक्टर स्थान का एक आयाम है।
* यदि वास्तविक संख्या <math>\R</math> पर एक सदिश समष्टि V एक आंतरिक उत्पाद रखता है, तो आंतरिक उत्पाद एक द्विरेखीय मानचित्र <math>V \times V \to \R</math> है। उत्पाद सदिश समष्टि का एक आयाम है।
* सामान्य तौर पर, फ़ील्ड F पर सदिश समष्टि V के लिए, V पर द्विरेखीय रूप द्विरेखीय मानचित्र के समान होता है {{nowrap|''V'' × ''V'' → ''F''}}.
* सामान्य रूप में, क्षेत्र F पर सदिश समष्टि V के लिए, V पर द्विरेखीय रूप द्विरेखीय मानचित्र {{nowrap|''V'' × ''V'' → ''F''}} के समान होता है।
* यदि V दोहरी समष्टि V के साथ एक सदिश समष्टि है<sup>∗</sup>, फिर एप्लिकेशन ऑपरेटर, {{nowrap|1=''b''(''f'', ''v'') = ''f''(''v'')}} से एक द्विरेखीय नक्शा है {{nowrap|''V''<sup>∗</sup> × ''V''}} आधार क्षेत्र के लिए।
* यदि V दोहरी समष्टि V<sup>∗</sup> के साथ एक सदिश समष्टि है, तो एप्लिकेशन प्रचालक, {{nowrap|1=''b''(''f'', ''v'') = ''f''(''v'')}} {{nowrap|''V''<sup>∗</sup> × ''V''}} से आधार क्षेत्र तक एक द्विरेखीय मानचित्र है।
* मान लीजिए V और W एक ही आधार क्षेत्र F पर सदिश समष्टियाँ हैं। यदि f, V का एक सदस्य है<sup>∗</sup> और g W के सदस्य हैं<sup>∗</sup>, फिर {{nowrap|1=''b''(''v'', ''w'') = ''f''(''v'')''g''(''w'')}} बिलिनियर मैप को परिभाषित करता है {{nowrap|''V'' × ''W'' → ''F''}}.
* मान लीजिए कि V और W एक ही आधार क्षेत्र F पर सदिश समष्टियाँ हैं। यदि f, V<sup>∗</sup> का एक सदस्य है और g, W<sup>∗</sup> का सदस्य हैं, तो {{nowrap|1=''b''(''v'', ''w'') = ''f''(''v'')''g''(''w'')}} द्विरेखीय मानचित्र {{nowrap|''V'' × ''W'' → ''F''}} को परिभाषित करता है।
* क्रॉस उत्पाद में <math>\R^3</math> द्विरेखीय मानचित्र है <math>\R^3 \times \R^3 \to \R^3.</math>
*<math>\R^3</math>में अन्योन्य गुणन द्विरेखीय मानचित्र <math>\R^3 \times \R^3 \to \R^3 </math> है।
* होने देना <math>B : V \times W \to X</math> एक द्विरेखीय नक्शा हो, और <math>L : U \to W</math> एक रेखीय नक्शा हो, तो {{nowrap|(''v'', ''u'') ↦ ''B''(''v'', ''Lu'')}} एक द्विरेखीय मानचित्र है {{nowrap|''V'' × ''U''}}.
* चलो <math>B : V \times W \to X</math> एक द्विरेखीय मानचित्र हो, और <math>L : U \to W</math> एक रेखीय मानचित्र हो, तो {{nowrap|(''v'', ''u'') ↦ ''B''(''v'', ''Lu'')}} {{nowrap|''V'' × ''U''}} पर एक द्विरेखीय मानचित्र है।


== निरंतरता और अलग निरंतरता ==
== निरंतरता और अलग निरंतरता ==


कल्पना करना <math>X, Y, \text{ and } Z</math> [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] हैं और चलो <math>b : X \times Y \to Z</math> एक बिलिनियर मानचित्र बनें।
मान लीजिए <math>X, Y, \text{ and } Z</math> [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांस्थितिक सदिश समष्टि]] हैं और <math>b : X \times Y \to Z</math> द्विरैखिक मानचित्र बनें। तब ''b'' को अलग-अलग निरंतर कहा जाता है यदि निम्नलिखित दो प्रतिबंध हैं:
तो बी कहा जाता है '{{visible anchor|separately continuous}} यदि निम्न दो शर्तें लागू होती हैं:
# सभी <math>x \in X</math> के लिए, <math>y \mapsto b(x, y)</math> द्वारा दिया गया मानचित्र <math>Y \to Z</math> निरंतर है;
# सभी के लिए <math>x \in X,</math> वो नक्शा <math>Y \to Z</math> द्वारा दिए गए <math>y \mapsto b(x, y)</math> निरंतर है;
# सभी <math>y \in Y</math>के लिए, <math>x \mapsto b(x, y)</math> द्वारा दिया गया मानचित्र <math>X \to Z</math> निरंतर है।  
# सभी के लिए <math>y \in Y,</math> वो नक्शा <math>X \to Z</math> द्वारा दिए गए <math>x \mapsto b(x, y)</math> निरंतर है।


कई अलग-अलग निरंतर द्विरेखीय जो निरंतर नहीं हैं, एक अतिरिक्त संपत्ति को संतुष्ट करते हैं: [[hypocontinuity]]{{sfn | Trèves | 2006 | pp=424-426}}
कई अलग-अलग निरंतर द्विरेखीय जो निरंतर नहीं हैं, एक अतिरिक्त संपत्ति को संतुष्ट करते हैं: [[hypocontinuity|हाइपोकॉन्टीनिटी।]]{{sfn | Trèves | 2006 | pp=424-426}} सभी निरंतर द्विरैखिक मानचित्र हाइपोकॉन्टिनस होते हैं।
सभी निरंतर बिलिनियर मानचित्र हाइपोकॉन्टिनस होते हैं।


=== निरंतरता के लिए पर्याप्त शर्तें ===
=== निरंतरता के लिए पर्याप्त प्रतिबंध ===


व्यवहार में पाए जाने वाले अनेक द्विरेखीय मानचित्र अलग-अलग निरंतर होते हैं लेकिन सभी निरंतर नहीं होते हैं।
व्यवहार में पाए जाने वाले अनेक द्विरेखीय मानचित्र अलग-अलग निरंतर होते हैं लेकिन सभी निरंतर नहीं होते हैं। हम यहां अलग से निरंतर द्विरैखिक के निरंतर होने के लिए पर्याप्त प्रतिबंध सूचीबद्ध करते हैं।
हम यहां अलग से निरंतर बिलिनियर के निरंतर होने के लिए पर्याप्त शर्तें सूचीबद्ध करते हैं।


* यदि X एक [[बाहर की जगह]] है और Y [[ metrizable ]] है तो प्रत्येक अलग से लगातार बिलिनियर मैप <math>b : X \times Y \to Z</math> निरंतर है।{{sfn | Trèves | 2006 | pp=424-426}}
* यदि X एक [[बाहर की जगह|बेयर समष्टि]] है और Y [[ metrizable |मेट्रिज़ेबल]] है तो प्रत्येक अलग-अलग निरंतर द्विरैखिक मानचित्र <math>b : X \times Y \to Z</math> निरंतर है।{{sfn | Trèves | 2006 | pp=424-426}}
* अगर <math>X, Y, \text{ and } Z</math> फ्रेचेट रिक्त स्थान के मजबूत दोहरे हैं तो प्रत्येक अलग-अलग निरंतर द्विरेखीय मानचित्र <math>b : X \times Y \to Z</math> निरंतर है।{{sfn | Trèves | 2006 | pp=424-426}}
* अगर <math>X, Y, \text{ and } Z</math> फ्रेचेट समष्टि के मजबूत दोहरे हैं तो प्रत्येक अलग-अलग निरंतर द्विरेखीय मानचित्र <math>b : X \times Y \to Z</math> निरंतर है।{{sfn | Trèves | 2006 | pp=424-426}}
* यदि एक द्विरेखीय मानचित्र (0, 0) पर निरंतर है तो यह हर जगह निरंतर है।{{sfn | Schaefer|Wolff| 1999 | p=118}}
* यदि एक द्विरेखीय मानचित्र (0, 0) पर निरंतर है तो यह हर जगह निरंतर है।{{sfn | Schaefer|Wolff| 1999 | p=118}}


=== रचना मानचित्र ===
=== मानचित्र रचना ===
{{See also|Topology of uniform convergence}}
{{See also|समान अभिसरण की सांस्थिति}}


होने देना <math>X, Y, \text{ and } Z</math> हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान को स्थानीय रूप से उत्तल करें और दें <math>C : L(X; Y) \times L(Y; Z) \to L(X; Z)</math> द्वारा परिभाषित रचना मानचित्र हो <math>C(u, v) := v \circ u.</math> सामान्य तौर पर, द्विरेखीय नक्शा <math>C</math> निरंतर नहीं है (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि रेखीय मानचित्रों के स्थान क्या हैं)।
<math>X, Y, \text{ and } Z</math> को स्थानीय रूप से हौसडॉर्फ समष्टि उत्तल होने दें और <math>C : L(X; Y) \times L(Y; Z) \to L(X; Z)</math> द्वारा परिभाषित रचना मानचित्र <math>C(u, v) := v \circ u</math> हो। सामान्य रूप में, द्विरेखीय मानचित्र <math>C</math> निरंतर नहीं होता है (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि रेखीय मानचित्रों के समष्टि दिए गए हैं)। हालाँकि, हमारे पास निम्नलिखित परिणाम हैं:
हालाँकि, हमारे पास निम्नलिखित परिणाम हैं:


रैखिक मानचित्रों के सभी तीन स्थानों को निम्नलिखित सांस्थितियों में से एक दें:
रैखिक मानचित्रों के सभी तीन समष्टि को निम्नलिखित सांस्थितियों में से एक दें:
# तीनों को परिबद्ध अभिसरण की टोपोलॉजी दें;
# तीनों को परिबद्ध अभिसरण की सांस्थिति दें;
# तीनों को कॉम्पैक्ट अभिसरण की टोपोलॉजी दें;
# तीनों को सघन अभिसरण की सांस्थिति दें;
# तीनों को बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी दें।
# बिंदुवार अभिसरण की तीनों सांस्थिति दें।


* अगर <math>E</math> का एक समानान्तर उपसमुच्चय है <math>L(Y; Z)</math> फिर प्रतिबंध <math>C\big\vert_{L(X; Y) \times E} : L(X; Y) \times E \to L(X; Z)</math> सभी तीन टोपोलॉजी के लिए निरंतर है।{{sfn | Trèves | 2006 | pp=424-426}}
* यदि <math>E</math> <math>L(Y; Z)</math> का समानान्तर उपसमुच्चय है तो प्रतिबंध <math>C\big\vert_{L(X; Y) \times E} : L(X; Y) \times E \to L(X; Z)</math> सभी तीन सांस्थिति के लिए निरंतर है।{{sfn | Trèves | 2006 | pp=424-426}}
* अगर <math>Y</math> एक [[बैरल वाली जगह]] है तो हर क्रम के लिए <math>\left(u_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> में अभिसरण <math>u</math> में <math>L(X; Y)</math> और हर क्रम <math>\left(v_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> में अभिसरण <math>v</math> में <math>L(Y; Z),</math> क्रम <math>\left(v_i \circ u_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> में विलीन हो जाता है <math>v \circ u</math> में <math>L(Y; Z).</math> {{sfn | Trèves | 2006 | pp=424-426}}
* अगर <math>Y</math> एक [[बैरल वाली जगह|बैरेल्ड समष्टि]] है, तो प्रत्येक अनुक्रम <math>\left(u_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> के लिए <math>L(X; Y)</math> में <math>u</math> में अभिसरण करना और प्रत्येक अनुक्रम <math>\left(v_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> में <math>v</math> में अभिसरण करना <math>L(Y; Z),</math> अनुक्रम <math>\left(v_i \circ u_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> <math>L(Y; Z)</math> में <math>v \circ u</math> परिवर्तित होता है।  {{sfn | Trèves | 2006 | pp=424-426}}


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==


* {{annotated link|Tensor product}}
* [[प्रदिश गुणनफल]] - सदिश समष्टि पर गणितीय संक्रिया
* {{annotated link|Sesquilinear form}}
* [[सेस्क्विलिनियर रूप]] - द्विरेखीय रूप का सामान्यीकरण
* {{annotated link|Bilinear filtering}}
* [[द्विरैखिक निस्यंदन]] - 2डी ग्रिड पर प्रक्षेपित फलन की विधि
* {{annotated link|Multilinear map}}
* [[बहुरेखीय मानचित्र]] - एकाधिक सदिशों का सदिश-मूल्यवान कार्य, प्रत्येक तर्क में रैखिक


==संदर्भ==
==संदर्भ==

Revision as of 23:49, 22 March 2023

गणित में, द्विरेखीय मानचित्र एक ऐसा फलन है जो दो सदिश समष्टियों के तत्वों को मिलाकर तीसरे सदिश समष्टि का एक अवयव प्राप्त करता है, और इसके प्रत्येक तर्क में रैखिक होता है। मैट्रिक्स गुणा एक उदाहरण है।

परिभाषा

सदिश समष्टि

मान लीजिए कि और एक ही आधार क्षेत्र पर तीन सदिश समष्टियाँ हैं। द्विरेखीय प्रतिचित्रण एक फलन है

ऐसा है कि सभी के लिए, मानचित्र
से तक एक रैखिक मानचित्र है,और सभी के लिए, मानचित्र
से तक एक रेखीय मानचित्र है। दूसरे शब्दों में, जब हम दूसरी प्रविष्टि को बदलते हुए द्विरेखीय मानचित्र की पहली प्रविष्टि को स्थिर रखते हैं, तो परिणाम एक रैखिक संकारक होता है, और इसी तरह जब हम दूसरी प्रविष्टि को स्थिर रखते हैं।

ऐसा मानचित्र निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है।

  • किसी भी , के लिए।
  • मानचित्र दोनों घटकों में योज्य है: यदि और तब और

अगर और हमारे पास सभी के लिए B(v, w) = B(w, v) है, तो हम कहते हैं कि B सममित है। यदि X आधार क्षेत्र F है, तो मानचित्र को द्विरेखीय रूप कहा जाता है, जिसका अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है (उदाहरण के लिए: अदिश गुणनफल, आंतर गुणनफल और द्विघात रूप)।

मॉड्यूल

परिभाषा बिना किसी परिवर्तन के काम करती है यदि क्षेत्र F पर सदिश समष्टि के बदले, हम एक क्रमविनिमेय रिंग R पर मॉड्यूल का उपयोग करते हैं। यह n-आरी फलन के लिए सामान्यीकरण करता है, जहाँ उचित अवधि बहुरेखीय मानचित्र है।

गैर विनिमेय रिंग R और S के लिए, एक बायां R-मॉड्यूल M और एक दायां S-मॉड्यूल N, एक द्विरेखीय मानचित्र एक मानचित्र B : M × NT T (R, S) - द्विमाड्यूल के साथ, और जिसके लिए N mB(m, n) में कोई भी n, एक R-मॉड्यूल समरूपता है, और m में किसी भी M के लिए, nB(m, n) एक S-मॉड्यूल समरूपता है। यह संतुष्ट करता है

B(rm, n) = rB(m, n)
B(m, ns) = B(m, n) ⋅ s

m में सभी M के लिए, n में N, r में R और s में S, साथ ही B प्रत्येक तर्क में योगात्मक है।

गुण

परिभाषा का एक तात्कालिक परिणाम यह है कि B(v, w) = 0X जब भी v = 0V या w = 0W। इसे शून्य सदिश 0V को 0 ⋅ 0V (और इसी तरह 0W के लिए) के रूप में लिखकर और अदिश 0 को रैखिकता द्वारा B के सामने "बाहर" ले जाकर देखा जा सकता है।

सभी द्विरेखीय मानचित्र का समुच्चय L(V, W; X) V × W से X में सभी मानचित्र के अंतराल (अर्थात् सदिश समष्टि, मॉड्यूल) का एक रेखीय उपस्थान है।

यदि V, W, X सीमित-आयामी हैं, तो L(V, W; X) भी है। यानी द्विरेखीय रूपों के लिए, इस स्थान का आयाम dim V × dim W है (जबकि रैखिक रूपों का स्थान L(V × W; F) आयाम dim V + dim W का है)। इसे देखने के लिए, V और W के लिए एक आधार का चयन करे; तब प्रत्येक द्विरेखीय मानचित्र को विशिष्ट रूप से मैट्रिक्स B(ei, fj) द्वारा दर्शाया जा सकता है, और इसके विपरीत। अब, यदि X उच्च आयाम का स्थान है, तो हमारे पास स्पष्ट रूप से dim L(V, W; X) = dim V × dim W × dim X है।

उदाहरण

  • मैट्रिक्स गुणन एक द्विरेखीय मानचित्र M(m, n) × M(n, p) → M(m, p) है।
  • यदि वास्तविक संख्या पर एक सदिश समष्टि V एक आंतरिक उत्पाद रखता है, तो आंतरिक उत्पाद एक द्विरेखीय मानचित्र है। उत्पाद सदिश समष्टि का एक आयाम है।
  • सामान्य रूप में, क्षेत्र F पर सदिश समष्टि V के लिए, V पर द्विरेखीय रूप द्विरेखीय मानचित्र V × VF के समान होता है।
  • यदि V दोहरी समष्टि V के साथ एक सदिश समष्टि है, तो एप्लिकेशन प्रचालक, b(f, v) = f(v) V × V से आधार क्षेत्र तक एक द्विरेखीय मानचित्र है।
  • मान लीजिए कि V और W एक ही आधार क्षेत्र F पर सदिश समष्टियाँ हैं। यदि f, V का एक सदस्य है और g, W का सदस्य हैं, तो b(v, w) = f(v)g(w) द्विरेखीय मानचित्र V × WF को परिभाषित करता है।
  • में अन्योन्य गुणन द्विरेखीय मानचित्र है।
  • चलो एक द्विरेखीय मानचित्र हो, और एक रेखीय मानचित्र हो, तो (v, u) ↦ B(v, Lu) V × U पर एक द्विरेखीय मानचित्र है।

निरंतरता और अलग निरंतरता

मान लीजिए सांस्थितिक सदिश समष्टि हैं और द्विरैखिक मानचित्र बनें। तब b को अलग-अलग निरंतर कहा जाता है यदि निम्नलिखित दो प्रतिबंध हैं:

  1. सभी के लिए, द्वारा दिया गया मानचित्र निरंतर है;
  2. सभी के लिए, द्वारा दिया गया मानचित्र निरंतर है।

कई अलग-अलग निरंतर द्विरेखीय जो निरंतर नहीं हैं, एक अतिरिक्त संपत्ति को संतुष्ट करते हैं: हाइपोकॉन्टीनिटी।[1] सभी निरंतर द्विरैखिक मानचित्र हाइपोकॉन्टिनस होते हैं।

निरंतरता के लिए पर्याप्त प्रतिबंध

व्यवहार में पाए जाने वाले अनेक द्विरेखीय मानचित्र अलग-अलग निरंतर होते हैं लेकिन सभी निरंतर नहीं होते हैं। हम यहां अलग से निरंतर द्विरैखिक के निरंतर होने के लिए पर्याप्त प्रतिबंध सूचीबद्ध करते हैं।

  • यदि X एक बेयर समष्टि है और Y मेट्रिज़ेबल है तो प्रत्येक अलग-अलग निरंतर द्विरैखिक मानचित्र निरंतर है।[1]
  • अगर फ्रेचेट समष्टि के मजबूत दोहरे हैं तो प्रत्येक अलग-अलग निरंतर द्विरेखीय मानचित्र निरंतर है।[1]
  • यदि एक द्विरेखीय मानचित्र (0, 0) पर निरंतर है तो यह हर जगह निरंतर है।[2]

मानचित्र रचना

को स्थानीय रूप से हौसडॉर्फ समष्टि उत्तल होने दें और द्वारा परिभाषित रचना मानचित्र हो। सामान्य रूप में, द्विरेखीय मानचित्र निरंतर नहीं होता है (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि रेखीय मानचित्रों के समष्टि दिए गए हैं)। हालाँकि, हमारे पास निम्नलिखित परिणाम हैं:

रैखिक मानचित्रों के सभी तीन समष्टि को निम्नलिखित सांस्थितियों में से एक दें:

  1. तीनों को परिबद्ध अभिसरण की सांस्थिति दें;
  2. तीनों को सघन अभिसरण की सांस्थिति दें;
  3. बिंदुवार अभिसरण की तीनों सांस्थिति दें।
  • यदि का समानान्तर उपसमुच्चय है तो प्रतिबंध सभी तीन सांस्थिति के लिए निरंतर है।[1]
  • अगर एक बैरेल्ड समष्टि है, तो प्रत्येक अनुक्रम के लिए में में अभिसरण करना और प्रत्येक अनुक्रम में में अभिसरण करना अनुक्रम में परिवर्तित होता है। [1]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Trèves 2006, pp. 424–426.
  2. Schaefer & Wolff 1999, p. 118.


ग्रन्थसूची

  • Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
  • Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.


बाहरी संबंध