संभाव्यता व्याख्याएं: Difference between revisions

Revision as of 15:12, 29 March 2023

संभाव्यता शब्द का उपयोग अनेक प्रकार से किया जाता है, क्योंकि यह प्रथम बार संयोग खेल के गणितीय अध्ययन के लिए प्रारम्भ किया गया था। क्या प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की वास्तविक, भौतिक, प्रवृत्ति को मापती है, या यह इस विषय की माप है कि, कोई व्यक्ति कितनी दृढ़ता से विश्वास करता है कि यह घटित होगा, या क्या यह इन दोनों तत्वों को आकर्षित करता है? ऐसे प्रश्नों के उत्तर देने में, गणितज्ञ प्रायिकता सिद्धांत के प्रायिकता मानों की व्याख्या करते हैं।

दो व्यापक श्रेणियां हैं^[1]Cite error: Closing </ref> missing for <ref> tag Reichenbach^[2] और वॉन मिज़)^[3] और प्रवृत्ति संभाव्यता खाते (जैसे कि पॉपर, मिलर, गियर और फेटज़र)।^[4] साक्ष्य संभाव्यता, जिसे बायेसियन संभाव्यता भी कहा जाता है, को किसी भी कथन को सौंपा जा सकता है, भले ही कोई यादृच्छिक प्रक्रिया सम्मिलित न हो, इसकी व्यक्तिपरक संभाव्यता का प्रतिनिधित्व करने के तरीके के रूप में, या जिस डिग्री के लिए उपलब्ध साक्ष्य द्वारा कथन का समर्थन किया जाता है। अधिकांश खातों में, साक्ष्य संभावनाओं को विश्वास की डिग्री माना जाता है, जो कुछ बाधाओं पर जुआ खेलने के स्वभाव के संदर्भ में परिभाषित होती हैं। चार मुख्य प्रमाणिक व्याख्याएँ शास्त्रीय हैं (उदाहरण के लिए लाप्लास की)^[5]व्याख्या, व्यक्तिपरक व्याख्या (ब्रूनो डी फिनेची^[6] और सैवेज),^[7] ज्ञानमीमांसा या आगमनात्मक व्याख्या (फ्रैंक पी. रैमसे,^[8] रिचर्ड थ्रेलकल्ड कॉक्स)^[9] और तार्किक व्याख्या (जॉन मेनार्ड कीन्स^[10] और रुडोल्फ कार्नाप)।^[11] प्रायिकता को कवर करने वाले समूहों की प्रमाणिक व्याख्याएं भी हैं, जिन्हें अक्सर 'इंटर्सबजेक्टिव' के रूप में लेबल किया जाता है (डोनाल्ड ए. गिल्लीज़ द्वारा प्रस्तावित)^[12] और रोबॉटम)।^[4]

संभाव्यता की कुछ व्याख्याएं सांख्यिकीय निष्कर्ष के दृष्टिकोण से जुड़ी हैं, जिसमें अनुमान सिद्धांत और सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण के सिद्धांत सम्मिलित हैं। उदाहरण के लिए, भौतिक व्याख्या रोनाल्ड फिशर जैसे फ़्रीक्वेंटिस्ट सांख्यिकीय विधियों के अनुयायियों द्वारा ली जाती है^{[dubious – discuss]}, जॉर्ज नेमन और एगॉन पियर्सन। विरोधी बायेसियन संभाव्यता स्कूल के सांख्यिकीविद् सामान्यतः आवृत्ति व्याख्या को स्वीकार करते हैं जब यह समझ में आता है (हालांकि परिभाषा के रूप में नहीं), लेकिन भौतिक संभावनाओं के संबंध में कम सहमति है। बायेसियन साक्ष्य संभावनाओं की गणना को आँकड़ों में वैध और आवश्यक दोनों मानते हैं। हालाँकि, यह लेख सांख्यिकीय अनुमान के सिद्धांतों के अतिरिक्त संभाव्यता की व्याख्या पर केंद्रित है।

इस विषय की शब्दावली कुछ हद तक भ्रमित करने वाली है, क्योंकि विभिन्न शैक्षणिक क्षेत्रों में संभावनाओं का अध्ययन किया जाता है। फ़्रीक्वेंटिस्ट शब्द विशेष रूप से पेचीदा है। दार्शनिकों के लिए यह भौतिक संभाव्यता के एक विशेष सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसे कमोबेश छोड़ दिया गया है। दूसरी ओर, वैज्ञानिकों के लिए, लगातार संभावना भौतिक (या उद्देश्य) संभावना का दूसरा नाम है। जो लोग बायेसियन अनुमान को बढ़ावा देते हैं वे प्रायिकतावादी आँकड़ों को सांख्यिकीय अनुमान के दृष्टिकोण के रूप में देखते हैं जो संभाव्यता की आवृत्ति व्याख्या पर आधारित है, सामान्यतः बड़ी संख्या के कानून पर निर्भर करता है और जिसे 'शून्य परिकल्पना महत्व परीक्षण' (NHST) कहा जाता है। साथ ही शब्द उद्देश्य, जैसा कि संभाव्यता पर लागू होता है, कभी-कभी इसका अर्थ वही होता है जो यहां भौतिक अर्थ है, लेकिन इसका उपयोग साक्ष्य संबंधी संभावनाओं के लिए भी किया जाता है, जो तर्कसंगत बाधाओं, जैसे तार्किक और महामारी संबंधी संभावनाओं द्वारा तय की जाती हैं।

It is unanimously agreed that statistics depends somehow on probability. But, as to what probability is and how it is connected with statistics, there has seldom been such complete disagreement and breakdown of communication since the Tower of Babel. Doubtless, much of the disagreement is merely terminological and would disappear under sufficiently sharp analysis.
— (Savage, 1954, p 2)^[7]

दर्शन

संभाव्यता का दर्शन मुख्य रूप से महामारी विज्ञान के मामलों और गणित की अवधारणाओं और सामान्य भाषा के बीच असहज इंटरफ़ेस के रूप में समस्याओं को प्रस्तुत करता है क्योंकि इसका उपयोग गैर-गणितज्ञों द्वारा किया जाता है। संभाव्यता सिद्धांत गणित में अध्ययन का एक स्थापित क्षेत्र है। सत्रहवीं शताब्दी में ब्लेस पास्कल और पियरे डी फर्मेट के बीच मौके के खेल के गणित पर चर्चा करते हुए पत्राचार में इसकी उत्पत्ति हुई है,^[13] और बीसवीं शताब्दी में एंड्री कोलमोगोरोव द्वारा गणित की एक अलग शाखा के रूप में औपचारिक रूप दिया गया और स्वयंसिद्ध किया गया। स्वयंसिद्ध रूप में, संभाव्यता सिद्धांत के बारे में गणितीय कथन गणित के दर्शन के भीतर उसी प्रकार के ज्ञानमीमांसीय विश्वास को ले जाते हैं जैसा कि अन्य गणितीय कथनों द्वारा साझा किया जाता है।^[14]^[15] गणितीय विश्लेषण की शुरुआत ताश और पासे जैसे खेल उपकरणों के व्यवहार के अवलोकन से हुई, जिन्हें विशेष रूप से यादृच्छिक और समान तत्वों को पेश करने के लिए डिज़ाइन किया गया है; गणितीय दृष्टि से, वे उदासीनता के सिद्धांत के विषय हैं। सामान्य मानव भाषा में संभाव्य कथनों का उपयोग करने का यही एकमात्र तरीका नहीं है: जब लोग कहते हैं कि शायद बारिश होगी, तो उनका आम तौर पर मतलब यह नहीं होता है कि बारिश बनाम गैर-बारिश का परिणाम एक यादृच्छिक कारक है जो वर्तमान में बाधाओं का पक्ष लेता है; इसके अतिरिक्त, इस तरह के वर्णन को शायद बेहतर तरीके से समझा जा सकता है क्योंकि वे बारिश की अपनी उम्मीद को विश्वास के साथ पूरा करते हैं। इसी तरह, जब यह लिखा जाता है कि लुडलो, मैसाचुसेट्स के नाम की सबसे संभावित व्याख्या यह है कि इसका नाम रोजर लुडलो के नाम पर रखा गया था, तो यहां इसका मतलब यह नहीं है कि रोजर लुडलो एक यादृच्छिक कारक का पक्षधर है, बल्कि यह है कि यह सबसे अधिक है साक्ष्य की प्रशंसनीय व्याख्या, जो अन्य, कम संभावना वाले स्पष्टीकरणों को स्वीकार करती है।

थॉमस बेयस ने एक ऐसा तर्क प्रदान करने का प्रयास किया जो विश्वास की अलग-अलग डिग्री को संभाल सके; इस प्रकार, बायेसियन प्रायिकता संभाव्य कथनों के प्रतिनिधित्व को विश्वास की डिग्री की अभिव्यक्ति के रूप में प्रस्तुत करने का एक प्रयास है जिसके द्वारा वे विश्वास व्यक्त करते हैं।

हालांकि संभाव्यता में शुरू में कुछ सांसारिक प्रेरणाएँ थीं, इसका आधुनिक प्रभाव और उपयोग साक्ष्य-आधारित चिकित्सा से लेकर सिक्स सिग्मा तक, संभाव्य रूप से जांच योग्य प्रमाण और स्ट्रिंग सिद्धांत परिदृश्य तक व्यापक है।

A summary of some interpretations of probability ^[16]
	Classical	Frequentist	Subjective	Propensity
Main hypothesis	Principle of indifference	Frequency of occurrence	Degree of belief	Degree of causal connection
Conceptual basis	Hypothetical symmetry	Past data and reference class	Knowledge and intuition	Present state of system
Conceptual approach	Conjectural	Empirical	Subjective	Metaphysical
Single case possible	Yes	No	Yes	Yes
Precise	Yes	No	No	Yes
Problems	Ambiguity in principle of indifference	Circular definition	Reference class problem	Disputed concept

शास्त्रीय परिभाषा

संभाव्यता के क्षेत्र में गणितीय कठोरता का पहला प्रयास, पियरे-साइमन लाप्लास द्वारा प्रतिपादित, अब शास्त्रीय परिभाषा के रूप में जाना जाता है। संयोग के खेल (जैसे रोलिंग पासा) के अध्ययन से विकसित यह बताता है कि संभावना सभी संभावित परिणामों के बीच समान रूप से साझा की जाती है, बशर्ते इन परिणामों को समान रूप से संभावित माना जा सके।^[1](3.1)

The theory of chance consists in reducing all the events of the same kind to a certain number of cases equally possible, that is to say, to such as we may be equally undecided about in regard to their existence, and in determining the number of cases favorable to the event whose probability is sought. The ratio of this number to that of all the cases possible is the measure of this probability, which is thus simply a fraction whose numerator is the number of favorable cases and whose denominator is the number of all the cases possible.
— Pierre-Simon Laplace, A Philosophical Essay on Probabilities^[5]

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा उन स्थितियों के लिए अच्छी तरह से काम करती है जिनमें समान रूप से संभावित परिणामों की केवल एक सीमित संख्या होती है।

इसे गणितीय रूप से इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

यदि एक यादृच्छिक प्रयोग का परिणाम N पारस्परिक रूप से अनन्य और समान रूप से संभावित परिणाम हो सकता है और यदि N_Aइन परिणामों के परिणामस्वरूप घटना ए की घटना होती है, 'ए की संभावना' द्वारा परिभाषित किया गया है

P(A)={N_{A} \over N}.

शास्त्रीय परिभाषा की दो स्पष्ट सीमाएँ हैं।^[17] सबसे पहले, यह केवल उन स्थितियों पर लागू होता है जिनमें संभावित परिणामों की केवल 'सीमित' संख्या होती है। लेकिन कुछ महत्वपूर्ण यादृच्छिक प्रयोग, जैसे सिक्का फ़्लिपिंग जब तक यह सिर दिखाता है, परिणामों के अनंत सेट को जन्म देता है। और दूसरी बात, इसके लिए एक प्राथमिक निर्धारण की आवश्यकता होती है कि संभाव्यता की धारणा पर भरोसा करके परिपत्र तर्क के जाल में गिरने के बिना सभी संभावित परिणाम समान रूप से संभव हैं। (शब्दावली का उपयोग करने में हम समान रूप से अनिर्णीत हो सकते हैं, लाप्लास ने माना, जिसे अपर्याप्त कारण का सिद्धांत कहा गया है, कि सभी संभावित परिणाम समान रूप से संभावित हैं यदि अन्यथा मानने का कोई ज्ञात कारण नहीं है, जिसके लिए कोई स्पष्ट औचित्य नहीं है।^[18]^[19])

आवृत्तिवाद

बार-बार आने वालों के लिए, किसी भी पॉकेट में गेंद के गिरने की संभावना केवल दोहराए गए परीक्षणों द्वारा निर्धारित की जा सकती है जिसमें देखे गए परिणाम लंबे समय में अंतर्निहित संभावना में परिवर्तित हो जाते हैं।

फ़्रीक्वेंटिस्ट मानते हैं कि किसी घटना की संभावना समय के साथ उसकी सापेक्ष आवृत्ति है,^[1](3.4) यानी समान परिस्थितियों में एक प्रक्रिया को बड़ी संख्या में दोहराने के बाद घटना की इसकी सापेक्ष आवृत्ति। इसे ऐलेटरी प्रायिकता के रूप में भी जाना जाता है। घटनाओं को कुछ यादृच्छिक भौतिक घटनाओं द्वारा नियंत्रित माना जाता है, जो या तो ऐसी घटनाएं हैं जो अनुमानित हैं, सिद्धांत रूप में, पर्याप्त जानकारी के साथ (निर्णयवाद देखें); या घटनाएँ जो अनिवार्य रूप से अप्रत्याशित हैं। प्रथम तरह के उदाहरणों में पासा उछालना या रूलेट व्हील को स्पिन करना सम्मिलित है; दूसरे प्रकार का एक उदाहरण रेडियोधर्मी क्षय है। एक निष्पक्ष सिक्के को उछालने के मामले में, बारंबारतावादियों का कहना है कि शीर्ष प्राप्त करने की संभावना 1/2 है, इसलिए नहीं कि दो समान रूप से संभावित परिणाम हैं, बल्कि इसलिए कि बड़ी संख्या में परीक्षणों की बार-बार श्रृंखला दर्शाती है कि अनुभवजन्य आवृत्ति सीमा 1 में परिवर्तित हो जाती है। /2 क्योंकि परीक्षणों की संख्या अनंत तक जाती है।

अगर हम द्वारा निरूपित करते हैं $\textstyle n_{a}$ किसी घटना की घटनाओं की संख्या ${\mathcal {A}}$ में $\textstyle n$ परीक्षण, तो अगर $\lim _{n\to +\infty }{n_{a} \over n}=p$ हम कहते हैं $\textstyle P({\mathcal {A}})=p$ .

फ़्रीक्वेंटिस्ट व्यू की अपनी समस्याएं हैं। किसी घटना की संभावना निर्धारित करने के लिए वास्तव में एक यादृच्छिक प्रयोग की पुनरावृत्ति की अनंतता को निष्पादित करना असंभव है। लेकिन अगर प्रक्रिया की केवल एक सीमित संख्या में पुनरावृत्ति की जाती है, तो विभिन्न सापेक्ष आवृत्तियाँ परीक्षणों की विभिन्न श्रृंखलाओं में दिखाई देंगी। यदि ये सापेक्ष आवृत्तियाँ प्रायिकता को परिभाषित करने के लिए हैं, तो हर बार मापे जाने पर प्रायिकता थोड़ी भिन्न होगी। लेकिन वास्तविक संभावना हर बार एक जैसी होनी चाहिए। यदि हम इस तथ्य को स्वीकार करते हैं कि हम केवल माप की कुछ त्रुटि के साथ एक संभाव्यता को माप सकते हैं, तो हम अभी भी समस्याओं में पड़ जाते हैं क्योंकि माप की त्रुटि को केवल एक संभावना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिस अवधारणा को हम परिभाषित करने का प्रयास कर रहे हैं। यह आवृत्ति की परिभाषा को भी वृत्ताकार बना देता है; उदाहरण के लिए देखें "भूकंप की संभावना क्या है?"^[20]

विषयवाद

विषयवादी, जिन्हें बायेसियन या महामारी संभाव्यता के अनुयायी के रूप में भी जाना जाता है, किसी विशेष स्थिति की अनिश्चितता का आकलन करने वाले व्यक्ति के 'विश्वास की डिग्री' के एक उपाय के रूप में संभाव्यता की धारणा को एक व्यक्तिपरक स्थिति देते हैं। महामारी या व्यक्तिपरक संभावना को कभी-कभी साख (सांख्यिकी) कहा जाता है, जैसा कि प्रवृत्ति की संभावना के लिए मौका शब्द के विपरीत है। महामारी संभाव्यता के कुछ उदाहरण प्रस्ताव के लिए एक संभावना प्रदान करना है कि भौतिकी का एक प्रस्तावित कानून सत्य है या यह निर्धारित करने के लिए कि यह कितना संभावित है कि एक संदिग्ध ने अपराध किया है, प्रस्तुत साक्ष्य के आधार पर। बायेसियन संभाव्यता का उपयोग दार्शनिक बहस को उठाता है कि क्या यह विश्वास के औचित्य के वैध सिद्धांत में योगदान दे सकता है। बायेसियन फ्रैंक पी। रैमसे के काम की ओर इशारा करते हैं^[8](पी 182) और ब्रूनो डी फिनेटी^[6](पृष्ठ 103) यह साबित करते हुए कि व्यक्तिपरक विश्वासों को संभाव्यता के नियमों का पालन करना चाहिए यदि वे सुसंगत हों।^[21] साक्ष्य संदेह पैदा करता है कि मनुष्य के पास सुसंगत विश्वास होंगे।^[22]^[23] बायेसियन संभाव्यता के उपयोग में एक पूर्व संभाव्यता निर्दिष्ट करना सम्मिलित है। यह इस बात पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है कि क्या आवश्यक पूर्व संभाव्यता संदर्भ संभाव्यता से अधिक या कम है^{[clarification needed]} एक कलश मॉडल या एक विचार प्रयोग से जुड़ा हुआ है। मुद्दा यह है कि किसी दिए गए समस्या के लिए, कई विचार प्रयोग लागू हो सकते हैं, और एक को चुनना निर्णय का मामला है: अलग-अलग लोग अलग-अलग पूर्व संभावनाओं को निर्दिष्ट कर सकते हैं, जिन्हें संदर्भ वर्ग समस्या के रूप में जाना जाता है। सूर्योदय की समस्या एक उदाहरण प्रदान करती है।

प्रवृत्ति

प्रायिकता के सिद्धांतकार एक निश्चित प्रकार के परिणाम उत्पन्न करने के लिए या इस तरह के परिणाम की लंबी अवधि की सापेक्ष आवृत्ति प्राप्त करने के लिए एक भौतिक प्रवृत्ति, या स्वभाव, या किसी दिए गए प्रकार की भौतिक स्थिति की प्रवृत्ति के रूप में संभाव्यता के बारे में सोचते हैं।^[24] इस तरह की वस्तुनिष्ठ संभावना को कभी-कभी 'मौका' कहा जाता है।

प्रवृत्तियाँ, या संभावनाएँ, सापेक्ष आवृत्तियाँ नहीं हैं, बल्कि देखी गई स्थिर सापेक्ष आवृत्तियों के कथित कारण हैं। यह बताने के लिए प्रवृत्तियों का आह्वान किया जाता है कि एक निश्चित प्रकार के प्रयोग को दोहराने से लगातार दरों पर दिए गए परिणाम प्रकार उत्पन्न होंगे, जिन्हें प्रवृत्ति या संभावना के रूप में जाना जाता है। फ़्रीक्वेंटिस्ट इस दृष्टिकोण को अपनाने में असमर्थ हैं, क्योंकि एक सिक्के के एकल टॉस के लिए सापेक्ष आवृत्तियाँ उपस्थित नहीं हैं, लेकिन केवल बड़े पहनावा या सामूहिक के लिए (ऊपर दी गई तालिका में संभव एकल मामला देखें)।^[16]इसके विपरीत, एक प्रोपेन्सिटिस्ट लंबी अवधि की आवृत्तियों के व्यवहार की व्याख्या करने के लिए बड़ी संख्या के कानून का उपयोग करने में सक्षम है। यह कानून, जो संभाव्यता के स्वयंसिद्धों का परिणाम है, कहता है कि यदि (उदाहरण के लिए) एक सिक्के को कई बार बार-बार उछाला जाता है, तो इस तरह से कि उसके गिरने की संभावना प्रत्येक टॉस पर समान होती है, और परिणाम संभाव्य रूप से होते हैं स्वतंत्र है, तो चित की सापेक्ष आवृत्ति प्रत्येक एकल उछाल पर चित आने की संभावना के करीब होगी। यह कानून अनुमति देता है कि स्थिर लंबी अवधि की आवृत्तियाँ अपरिवर्तनीय एकल-मामले की संभावनाओं की अभिव्यक्ति हैं। स्थिर सापेक्ष आवृत्तियों के उद्भव की व्याख्या करने के अलावा, प्रवृत्ति का विचार क्वांटम यांत्रिकी में एकल-केस संभाव्यता गुणों को समझने की इच्छा से प्रेरित होता है, जैसे किसी विशेष समय में किसी विशेष परमाणु के रेडियोधर्मी क्षय की संभावना।

प्रवृत्ति सिद्धांतों का सामना करने वाली मुख्य चुनौती यह कहना है कि वास्तव में प्रवृत्ति का क्या अर्थ है। (और फिर, निश्चित रूप से, यह दिखाने के लिए कि इस प्रकार परिभाषित प्रवृत्ति में आवश्यक गुण हैं।) वर्तमान में, दुर्भाग्य से, इस चुनौती को पूरा करने के लिए प्रवृत्ति के जाने-माने खातों में से कोई भी करीब नहीं आता है।

संभाव्यता का एक प्रवृत्ति सिद्धांत चार्ल्स सैंडर्स पियर्स द्वारा दिया गया था। <रेफरी नाम = मिलर 1975 123-132>{{Cite journal| last= Miller|first=Richard W.| title = प्रवृत्ति: पॉपर या पियर्स?|journal =British Journal for the Philosophy of Science| volume=26| issue=2| pages=123–132| doi=10.1093/bjps/26.2.123 | year=1975 }</ref><रेफरी नाम= हैक 1977 63–104 >Haack, Susan; Kolenda, Konstantin, Konstantin; Kolenda (1977). "सत्य की खोज में दो फालिबिलिस्ट". Proceedings of the Aristotelian Society. 51 (Supplementary Volumes): 63–104. doi:10.1093/aristoteliansupp/51.1.63. JSTOR 4106816.</ref>^[25]^[26] एक बाद की प्रवृत्ति सिद्धांत दार्शनिक कार्ल पॉपर द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो सी.एस. पियर्स के लेखन से बहुत कम परिचित थे। पॉपर ने नोट किया कि एक भौतिक प्रयोग का परिणाम उत्पन्न करने वाली स्थितियों के एक निश्चित सेट द्वारा निर्मित होता है। जब हम एक प्रयोग को दोहराते हैं, जैसा कि कहा जाता है, हम वास्तव में एक (अधिक या कम) समान स्थितियों के सेट के साथ एक और प्रयोग करते हैं। यह कहने के लिए कि उत्पन्न स्थितियों के एक सेट में परिणाम ई उत्पन्न करने की प्रवृत्ति पी है, इसका मतलब है कि उन सटीक स्थितियों को, यदि अनिश्चित काल तक दोहराया जाता है, तो एक परिणाम अनुक्रम उत्पन्न होगा जिसमें ई सापेक्ष आवृत्ति पी को सीमित करने के साथ हुआ। पॉपर के लिए, एक नियतात्मक प्रयोग में प्रत्येक परिणाम के लिए 0 या 1 की प्रवृत्ति होगी, क्योंकि प्रत्येक परीक्षण पर उत्पन्न होने वाली स्थितियों का एक ही परिणाम होगा। दूसरे शब्दों में, गैर-तुच्छ प्रवृत्तियाँ (जो 0 और 1 से भिन्न हैं) केवल वास्तव में गैर-नियतात्मक प्रयोगों के लिए उपस्थित हैं।

डेविड मिलर (दार्शनिक) और डोनाल्ड ए. गिल्लीज़ सहित कई अन्य दार्शनिकों ने प्रवृत्ति सिद्धांतों को कुछ हद तक पॉपर के समान प्रस्तावित किया है।

अन्य प्रवृत्ति सिद्धांतकार (जैसे रोनाल्ड गियर^[27]) प्रवृतियों को स्पष्ट रूप से बिल्कुल भी परिभाषित नहीं करते हैं, बल्कि प्रवृति को विज्ञान में निभाई जाने वाली सैद्धांतिक भूमिका द्वारा परिभाषित के रूप में देखते हैं। उन्होंने तर्क दिया, उदाहरण के लिए, कि विद्युत आवेश जैसे भौतिक परिमाणों को या तो अधिक बुनियादी चीजों के संदर्भ में स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है, लेकिन केवल वे क्या करते हैं (जैसे कि अन्य विद्युत आवेशों को आकर्षित करना और हटाना)। इसी तरह, प्रवृत्ति वह है जो विज्ञान में भौतिक संभाव्यता द्वारा निभाई जाने वाली विभिन्न भूमिकाओं को भरती है।

विज्ञान में भौतिक संभाव्यता क्या भूमिका निभाती है? इसके गुण क्या हैं? मौके की एक केंद्रीय संपत्ति यह है कि, ज्ञात होने पर, यह समान संख्यात्मक मान लेने के लिए तर्कसंगत विश्वास को विवश करता है। डेविड लुईस ने इसे प्रधान सिद्धांत कहा,^[1](3.3 और 3.5) एक ऐसा शब्द जिसे दार्शनिकों ने ज्यादातर अपनाया है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप निश्चित हैं कि एक विशेष पक्षपाती सिक्का हर बार उछाले जाने पर शीर्ष पर 0.32 की प्रवृत्ति रखता है। फिर एक जुए के लिए सही कीमत क्या है जो $1 का भुगतान करती है यदि सिक्का गिर जाता है, और कुछ नहीं? प्रधान सिद्धांत के अनुसार, उचित मूल्य 32 सेंट है।

तार्किक, ज्ञानमीमांसा और आगमनात्मक संभाव्यता

यह व्यापक रूप से माना जाता है कि संभाव्यता शब्द का प्रयोग कभी-कभी उन संदर्भों में किया जाता है जहां इसका भौतिक यादृच्छिकता से कोई लेना-देना नहीं है। उदाहरण के लिए, इस दावे पर विचार करें कि डायनासोर का विलुप्त होना संभवतः एक बड़े उल्कापिंड के पृथ्वी से टकराने के कारण हुआ था। हाइपोथीसिस एच जैसे कथन शायद सच हैं, इसका मतलब यह निकाला गया है कि (वर्तमान में उपलब्ध) अनुभवजन्य साक्ष्य (ई, कहते हैं) एच को उच्च स्तर तक समर्थन करता है। ई द्वारा एच के समर्थन की इस डिग्री को एच दिए गए ई की तार्किक संभावना कहा गया है, या एच दिए गए ई की महाकाव्य संभावना, या एच दिए गए ई की आगमनात्मक संभावना है।

इन व्याख्याओं के बीच अंतर बहुत छोटा है, और अप्रासंगिक लग सकता है। असहमति के मुख्य बिंदुओं में से एक संभाव्यता और विश्वास के बीच के संबंध में निहित है। तार्किक संभावनाओं की कल्पना की जाती है (उदाहरण के लिए जॉन मेनार्ड केन्स की संभाव्यता पर एक ग्रंथ^[10] प्रस्तावों (या वाक्यों) के बीच वस्तुनिष्ठ, तार्किक संबंध होना और इसलिए विश्वास पर किसी भी तरह से निर्भर नहीं होना। वे (आंशिक) प्रवेश की डिग्री हैं, या तार्किक परिणाम की डिग्री हैं, विश्वास की डिग्री नहीं। (वे करते हैं, फिर भी, विश्वास की उचित डिग्री निर्धारित करते हैं, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।) दूसरी ओर, फ्रैंक पी। राम्से, इस तरह के वस्तुनिष्ठ तार्किक संबंधों के अस्तित्व के बारे में संदेह था और तर्क दिया कि (साक्ष्य) संभाव्यता आंशिक का तर्क है। आस्था ।^[8](पृ. 157) दूसरे शब्दों में, राम्से का मानना था कि ज्ञानमीमांसीय संभावनाएँ केवल तर्कसंगत विश्वास की मात्राएँ हैं, न कि तार्किक संबंध होने के कारण जो केवल तर्कसंगत विश्वास की मात्रा को बाधित करती हैं।

असहमति का एक अन्य बिंदु ज्ञान की दी गई स्थिति के सापेक्ष साक्ष्य संभाव्यता की विशिष्टता से संबंधित है। रुडोल्फ कार्नाप ने, उदाहरण के लिए, यह माना कि तार्किक सिद्धांत सदैव किसी भी वर्णन के लिए किसी भी सबूत के सापेक्ष एक अद्वितीय तार्किक संभावना निर्धारित करते हैं। रैमसे, इसके विपरीत, सोचा था कि जबकि विश्वास की डिग्री कुछ तर्कसंगत बाधाओं के अधीन हैं (जैसे, लेकिन संभाव्यता के स्वयंसिद्धों तक सीमित नहीं हैं) ये बाधाएं सामान्यतः एक अद्वितीय मूल्य निर्धारित नहीं करती हैं। तर्कसंगत लोग, दूसरे शब्दों में, उनके विश्वास की डिग्री में कुछ भिन्न हो सकते हैं, भले ही उन सभी के पास समान जानकारी हो।

भविष्यवाणी

संभाव्यता का एक वैकल्पिक खाता भविष्यवाणी की भूमिका पर जोर देता है - पिछले अवलोकनों के आधार पर भविष्य के अवलोकनों की भविष्यवाणी करना, न कि अप्राप्य मापदंडों पर। अपने आधुनिक रूप में, यह मुख्य रूप से बायेसियन नस में है। 20वीं सदी से पहले प्रायिकता का यह मुख्य कार्य था,^[28] लेकिन पैरामीट्रिक दृष्टिकोण की तुलना में पक्ष से बाहर हो गया, जिसने घटना को एक भौतिक प्रणाली के रूप में प्रतिरूपित किया जिसे त्रुटि के साथ देखा गया था, जैसे कि आकाशीय यांत्रिकी में।

विनिमेयता के केंद्रीय विचार के साथ ब्रूनो डी फिनेटी द्वारा आधुनिक भविष्य कहनेवाला दृष्टिकोण का नेतृत्व किया गया था - कि भविष्य की टिप्पणियों को पिछली टिप्पणियों की तरह व्यवहार करना चाहिए।^[28]1974 में डी फिनेटी की पुस्तक के अनुवाद के साथ यह दृश्य एंग्लोफोन दुनिया के ध्यान में आया,^[28]और हैं सीमोर गीजर जैसे सांख्यिकीविदों द्वारा प्रतिपादित किया गया।

स्वयंसिद्ध संभाव्यता

संभाव्यता का गणित पूरी तरह से स्वयंसिद्ध आधार पर विकसित किया जा सकता है जो किसी भी व्याख्या से स्वतंत्र है: विस्तृत उपचार के लिए संभाव्यता सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांतों पर लेख देखें।

यह भी देखें

कवरेज संभावना
आवृत्ति (सांख्यिकी)
नकारात्मक संभावना
गणित का दर्शन
सांख्यिकी का दर्शन
पिग्निस्टिक संभावना
संभावना आयाम (क्वांटम यांत्रिकी)
सूर्योदय की समस्या
बायेसियन ज्ञानमीमांसा

संदर्भ

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Hájek, Alan (21 October 2002), Zalta, Edward N. (ed.), Interpretations of Probability, The Stanford Encyclopedia of Philosophy The taxonomy of probability interpretations given here is similar to that of the longer and more complete Interpretations of Probability article in the online Stanford Encyclopedia of Philosophy. References to that article include a parenthetic section number where appropriate. A partial outline of that article:
- Section 2: Criteria of adequacy for the interpretations of probability
- Section 3:
  - 3.1 Classical Probability
  - 3.2 Logical Probability
  - 3.3 Subjective Probability
  - 3.4 Frequency Interpretations
  - 3.5 Propensity Interpretations
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अग्रिम पठन

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Eagle, Antony (2011). Philosophy of probability : contemporary readings. Abingdon, Oxon New York: Routledge. ISBN 978-0415483872.
Gillies, Donald (2000). Philosophical theories of probability. London New York: Routledge. ISBN 978-0415182768. A comprehensive monograph covering the four principal current interpretations: logical, subjective, frequency, propensity. Also proposes a novel intersubective interpretation.
Hacking, Ian (2006). The emergence of probability : a philosophical study of early ideas about probability, induction and statistical inference. Cambridge New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521685573.
Paul Humphreys, ed. (1994) Patrick Suppes: Scientific Philosopher, Synthese Library, Springer-Verlag.
- Vol. 1: Probability and Probabilistic Causality.
- Vol. 2: Philosophy of Physics, Theory Structure and Measurement, and Action Theory.
Jackson, Frank, and Robert Pargetter (1982) "Physical Probability as a Propensity," Noûs 16(4): 567–583.
Khrennikov, Andrei (2009). Interpretations of probability (2nd ed.). Berlin New York: Walter de Gruyter. ISBN 978-3110207484. Covers mostly non-Kolmogorov probability models, particularly with respect to quantum physics.
Lewis, David (1983). Philosophical papers. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0195036466.
Plato, Jan von (1994). Creating modern probability : its mathematics, physics, and philosophy in historical perspective. Cambridge England New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521597357.
Rowbottom, Darrell (2015). Probability. Cambridge: Polity. ISBN 978-0745652573. A highly accessible introduction to the interpretation of probability. Covers all the main interpretations, and proposes a novel group level (or 'intersubjective') interpretation. Also covers fallacies and applications of interpretations in the social and natural sciences.
Skyrms, Brian (2000). Choice and chance : an introduction to inductive logic. Australia Belmont, CA: Wadsworth/Thomson Learning. ISBN 978-0534557379.

बाहरी संबंध

[SEPIP-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Hájek, Alan (21 October 2002), Zalta, Edward N. (ed.), Interpretations of Probability, The Stanford Encyclopedia of Philosophy The taxonomy of probability interpretations given here is similar to that of the longer and more complete Interpretations of Probability article in the online Stanford Encyclopedia of Philosophy. References to that article include a parenthetic section number where appropriate. A partial outline of that article:
Section 2: Criteria of adequacy for the interpretations of probability

Section 3:
3.1 Classical Probability

3.2 Logical Probability

3.3 Subjective Probability

3.4 Frequency Interpretations

3.5 Propensity Interpretations

[2] Section 2: Criteria of adequacy for the interpretations of probability

[3] Section 3:
3.1 Classical Probability

3.2 Logical Probability

3.3 Subjective Probability

3.4 Frequency Interpretations

3.5 Propensity Interpretations

[4] 3.1 Classical Probability

[5] 3.2 Logical Probability

[6] 3.3 Subjective Probability

[7] 3.4 Frequency Interpretations

[8] 3.5 Propensity Interpretations

[2] Reichenbach, Hans (1948). संभाव्यता का सिद्धांत, प्रायिकता की गणना के तार्किक और गणितीय आधारों की जांच. University of California Press. English translation of the original 1935 German. ASIN: B000R0D5MS

[3] Mises, Richard (1981). संभाव्यता, सांख्यिकी और सच्चाई. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-24214-9. English translation of the third German edition of 1951 which was published 30 years after the first German edition.

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[13] Fermat and Pascal on Probability (@ socsci.uci.edu)

[14] Laszlo E. Szabo, A Physicalist Interpretation of Probability Archived 4 March 2016 at the Wayback Machine (Talk presented on the Philosophy of Science Seminar, Eötvös, Budapest, 8 October 2001.)

[15] Laszlo E. Szabo, Objective probability-like things with and without objective indeterminism, Studies in History and Philosophy of Modern Physics 38 (2007) 626–634 (Preprint)

[de_Elía-16] 16.0 ^16.1 Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named de Elía

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[18] Simon French; John Maule; Nadia Papamichail (2009). निर्णय व्यवहार, विश्लेषण और समर्थन. Cambridge University Press. p. 221. ISBN 978-1-139-48098-7.

[19] Nils-Eric Sahlin (2013). "2. On Higher Order Beliefs". In J. P. Dubucs (ed.). संभावना का दर्शन. Springer. p. 30. ISBN 978-94-015-8208-7.

[20] Freedman, David and Philip B. Stark (2003)"What is the Chance of an Earthquake?" Earthquake Science and Seismic Risk.

[21] Jaynes, E. T. (2003). संभाव्यता सिद्धांत विज्ञान का तर्क. Cambridge, UK New York, NY: Cambridge University Press. ISBN 978-0521592710.

[22] Kahneman, Daniel (2011). सोच, तेज और धीमी. New York: Farrar, Straus and Giroux. ISBN 978-0374275631. The book contains numerous examples of the difference between idealized and actual thought. "[W]hen called upon to judge probability, people actually judge something else and believe they have judged probability." (p 98)

[23] Grove, William M.; Meehl, Paul E. (1996). "Comparative efficiency of informal (subjective, impressionistic) and formal (mechanical, algorithmic) prediction procedures: The clinical-statistical controversy" (PDF). Psychology, Public Policy, and Law. 2 (2): 293–332. CiteSeerX 10.1.1.471.592. doi:10.1037/1076-8971.2.2.293. Archived from the original (PDF) on 30 October 2011. Statistical decisions are consistently superior to the subjective decisions of experts.

[24] Peterson, Martin (2009). निर्णय सिद्धांत का परिचय. Cambridge, UK New York: Cambridge University Press. p. 140. ISBN 978-0521716543.

[25] Burks, Arthur W. (1978). Chance, Cause and Reason: An Inquiry into the Nature of Scientific Evidence. University of Chicago Press. pp. 694 pages. ISBN 978-0-226-08087-1.

[26] Peirce, Charles Sanders and Burks, Arthur W., ed. (1958), the Collected Papers of Charles Sanders Peirce Volumes 7 and 8, Harvard University Press, Cambridge, MA, also Belnap Press (of Harvard University Press) edition, vols. 7-8 bound together, 798 pages, online via InteLex, reprinted in 1998 Thoemmes Continuum.

[27] Ronald N. Giere (1973). "Objective Single Case Probabilities and the Foundations of Statistics". तर्कशास्त्र में अध्ययन और गणित की नींव. Vol. 73. Elsevier. pp. 467–483. doi:10.1016/S0049-237X(09)70380-5. ISBN 978-0-444-10491-5.

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-{{more citations needed|date=April 2011}}
+संभाव्यता शब्द का उपयोग अनेक प्रकार से किया जाता है, क्योंकि यह प्रथम बार संयोग खेल के गणितीय अध्ययन के लिए प्रारम्भ किया गया था। क्या प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की वास्तविक, भौतिक, प्रवृत्ति को मापती है, या यह इस विषय की माप है कि, कोई व्यक्ति कितनी दृढ़ता से विश्वास करता है कि यह घटित होगा, या क्या यह इन दोनों तत्वों को आकर्षित करता है? ऐसे प्रश्नों के उत्तर देने में, गणितज्ञ प्रायिकता सिद्धांत के प्रायिकता मानों की व्याख्या करते हैं।
-{{Use dmy dates|date=October 2019}}
-संभाव्यता शब्द का उपयोग कई तरह से किया गया है क्योंकि यह पहली बार मौका के खेल के गणितीय अध्ययन के लिए लागू किया गया था। क्या प्रायिकता किसी चीज़ के घटित होने की वास्तविक, भौतिक, प्रवृत्ति को मापती है, या यह इस बात का माप है कि कोई व्यक्ति कितनी दृढ़ता से विश्वास करता है कि यह घटित होगा, या क्या यह इन दोनों तत्वों को आकर्षित करता है? ऐसे प्रश्नों के उत्तर देने में, गणितज्ञ प्रायिकता सिद्धांत के प्रायिकता मानों की व्याख्या करते हैं।
 दो व्यापक श्रेणियां हैं<ref name=SEPIP>{{Citation
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   संभाव्यता व्याख्याओं का कोई मानक वर्गीकरण नहीं है, और यहां तक कि अधिक लोकप्रिय लोगों को पाठ से पाठ में सूक्ष्म विविधताओं का सामना करना पड़ सकता है। (पृष्ठ 1130)
 इस लेख में वर्गीकरण प्रतिनिधि है, जैसा कि प्रत्येक वर्गीकरण के लिए दावा किए गए लेखक और विचार हैं। संभाव्यता व्याख्याओं का </रेफरी जिसे भौतिक और साक्ष्य संभाव्यता कहा जा सकता है। भौतिक संभावनाएँ, जिन्हें उद्देश्य या [[आवृत्ति संभावना]] भी कहा जाता है, यादृच्छिक भौतिक प्रणालियों जैसे रूलेट व्हील्स, रोलिंग डाइस और रेडियोधर्मी परमाणुओं से जुड़ी होती हैं। ऐसी प्रणालियों में, किसी दिए गए प्रकार की घटना (जैसे a {{sic|die|hide=y}} यील्डिंग छक्का) परीक्षणों की एक लंबी अवधि में एक सतत दर, या सापेक्ष आवृत्ति पर घटित होता है। भौतिक संभावनाएं या तो इन स्थिर आवृत्तियों की व्याख्या करती हैं, या व्याख्या करने के लिए लागू की जाती हैं। भौतिक संभाव्यता के सिद्धांत के दो मुख्य प्रकार आवृत्ति संभाव्यता खाते हैं (जैसे वेन के,<ref>{{cite book |title= संभावना का तर्क|last= Venn |first= John |author-link= John Venn |year= 1876 |publisher= MacMillan |location= London |url= https://books.google.com/books?id=es0AAAAAcAAJ }}</ref> Reichenbach<ref>{{cite book |title= संभाव्यता का सिद्धांत, प्रायिकता की गणना के तार्किक और गणितीय आधारों की जांच|last= Reichenbach |first= Hans |author-link= Hans Reichenbach |year= 1948 |publisher= University of California Press}} English translation of the original 1935 German. ASIN: B000R0D5MS</ref> और वॉन मिज़)<ref>{{cite book | last = Mises | first = Richard |author-link= Richard von Mises | title = संभाव्यता, सांख्यिकी और सच्चाई| publisher = Dover Publications | location = New York | year = 1981 | isbn = 978-0-486-24214-9 }} English translation of the third German edition of 1951 which was published 30 years after the first German edition.</ref> और प्रवृत्ति संभाव्यता खाते (जैसे कि पॉपर, मिलर, गियर और फेटज़र)।<ref name=row>{{cite book | last = Rowbottom | first = Darrell | title = संभावना| publisher = Polity | location = Cambridge | year = 2015 | isbn = 978-0745652573 }}</ref>
-साक्ष्य संभाव्यता, जिसे बायेसियन संभाव्यता भी कहा जाता है, को किसी भी कथन को सौंपा जा सकता है, भले ही कोई यादृच्छिक प्रक्रिया शामिल न हो, इसकी व्यक्तिपरक संभाव्यता का प्रतिनिधित्व करने के तरीके के रूप में, या जिस डिग्री के लिए उपलब्ध साक्ष्य द्वारा कथन का समर्थन किया जाता है। अधिकांश खातों में, साक्ष्य संभावनाओं को विश्वास की डिग्री माना जाता है, जो कुछ बाधाओं पर जुआ खेलने के स्वभाव के संदर्भ में परिभाषित होती हैं। चार मुख्य प्रमाणिक व्याख्याएँ शास्त्रीय हैं (उदाहरण के लिए लाप्लास की)<ref name=LaPlace />व्याख्या, व्यक्तिपरक व्याख्या ([[ब्रूनो डी फिनेची]]<ref name=deF>{{cite book |last1= de Finetti |first1= Bruno |author-link1= Bruno de Finetti |editor1-first= H. E. |editor1-last= Kyburg |others= H. E. Smokler |title= व्यक्तिपरक संभावना में अध्ययन|year= 1964 |publisher= Wiley |location= New York |pages= 93–158 |chapter= Foresight: its Logical laws, its Subjective Sources }} Translation of the 1937 French original with later notes added.</ref> और सैवेज),<ref name=savage>{{Cite book |last = Savage |first = L.J. |author-link = Leonard Jimmie Savage |year = 1954 |title = सांख्यिकी की नींव|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |location = New York |isbn = 978-0-486-62349-8 |url-access = registration |url = https://archive.org/details/foundationsofsta00leon }}</ref> ज्ञानमीमांसा या आगमनात्मक व्याख्या (फ्रैंक पी. रैमसे,<ref name=ramsey>{{cite book |title= गणित और अन्य तार्किक निबंधों की नींव|last= Ramsey |first= F. P. |author-link= Frank P. Ramsey |editor1-first= R. B. |editor1-last= Braithwaite |year= 1931 |chapter= Chapter VII, Truth and Probability (1926) |pages= 156–198 |publisher= Kegan, Paul, Trench, Trubner & Co. |location= London |chapter-url= http://fitelson.org/probability/ramsey.pdf |access-date= August 15, 2013}} Contains three chapters (essays) by Ramsey. The electronic version contains only those three.</ref> [[रिचर्ड थ्रेलकल्ड कॉक्स]])<ref>{{cite book |title= संभावित अनुमान का बीजगणित|last= Cox |first= Richard Threlkeld |author-link= Richard Threlkeld Cox |year= 1961 |publisher= Johns Hopkins Press |location= Baltimore }}</ref> और तार्किक व्याख्या ([[जॉन मेनार्ड कीन्स]]<ref name=keynes>{{cite book |title= संभाव्यता पर एक ग्रंथ|last= Keynes |first= John Maynard |author-link= John Maynard Keynes |year= 1921 |publisher= MacMillan |url= https://www.gutenberg.org/ebooks/32625 |access-date= August 15, 2013}}</ref> और [[रुडोल्फ कार्नाप]])।<ref name=carnap>{{cite book |title= संभाव्यता की तार्किक नींव|last= Carnap |first= Rudolph |author-link= Rudolf Carnap |year= 1950 |publisher= University of Chicago Press |location= Chicago}} Carnap coined the notion ''"probability<sub>1</sub>"'' and ''"probability<sub>2</sub>"'' for evidential and physical probability, respectively.</ref> प्रायिकता को कवर करने वाले समूहों की प्रमाणिक व्याख्याएं भी हैं, जिन्हें अक्सर 'इंटर्सबजेक्टिव' के रूप में लेबल किया जाता है (डोनाल्ड ए. गिल्लीज़ द्वारा प्रस्तावित)<ref name=gil>{{cite book | last = Gillies | first = Donald |author-link= Donald A. Gillies | title = संभाव्यता के दार्शनिक सिद्धांत| publisher = Routledge | location = London New York | year = 2000 | isbn = 978-0415182768 }}</ref> और रोबॉटम)।<ref name=row />
+साक्ष्य संभाव्यता, जिसे बायेसियन संभाव्यता भी कहा जाता है, को किसी भी कथन को सौंपा जा सकता है, भले ही कोई यादृच्छिक प्रक्रिया सम्मिलित न हो, इसकी व्यक्तिपरक संभाव्यता का प्रतिनिधित्व करने के तरीके के रूप में, या जिस डिग्री के लिए उपलब्ध साक्ष्य द्वारा कथन का समर्थन किया जाता है। अधिकांश खातों में, साक्ष्य संभावनाओं को विश्वास की डिग्री माना जाता है, जो कुछ बाधाओं पर जुआ खेलने के स्वभाव के संदर्भ में परिभाषित होती हैं। चार मुख्य प्रमाणिक व्याख्याएँ शास्त्रीय हैं (उदाहरण के लिए लाप्लास की)<ref name=LaPlace />व्याख्या, व्यक्तिपरक व्याख्या ([[ब्रूनो डी फिनेची]]<ref name=deF>{{cite book |last1= de Finetti |first1= Bruno |author-link1= Bruno de Finetti |editor1-first= H. E. |editor1-last= Kyburg |others= H. E. Smokler |title= व्यक्तिपरक संभावना में अध्ययन|year= 1964 |publisher= Wiley |location= New York |pages= 93–158 |chapter= Foresight: its Logical laws, its Subjective Sources }} Translation of the 1937 French original with later notes added.</ref> और सैवेज),<ref name=savage>{{Cite book |last = Savage |first = L.J. |author-link = Leonard Jimmie Savage |year = 1954 |title = सांख्यिकी की नींव|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |location = New York |isbn = 978-0-486-62349-8 |url-access = registration |url = https://archive.org/details/foundationsofsta00leon }}</ref> ज्ञानमीमांसा या आगमनात्मक व्याख्या (फ्रैंक पी. रैमसे,<ref name=ramsey>{{cite book |title= गणित और अन्य तार्किक निबंधों की नींव|last= Ramsey |first= F. P. |author-link= Frank P. Ramsey |editor1-first= R. B. |editor1-last= Braithwaite |year= 1931 |chapter= Chapter VII, Truth and Probability (1926) |pages= 156–198 |publisher= Kegan, Paul, Trench, Trubner & Co. |location= London |chapter-url= http://fitelson.org/probability/ramsey.pdf |access-date= August 15, 2013}} Contains three chapters (essays) by Ramsey. The electronic version contains only those three.</ref> [[रिचर्ड थ्रेलकल्ड कॉक्स]])<ref>{{cite book |title= संभावित अनुमान का बीजगणित|last= Cox |first= Richard Threlkeld |author-link= Richard Threlkeld Cox |year= 1961 |publisher= Johns Hopkins Press |location= Baltimore }}</ref> और तार्किक व्याख्या ([[जॉन मेनार्ड कीन्स]]<ref name=keynes>{{cite book |title= संभाव्यता पर एक ग्रंथ|last= Keynes |first= John Maynard |author-link= John Maynard Keynes |year= 1921 |publisher= MacMillan |url= https://www.gutenberg.org/ebooks/32625 |access-date= August 15, 2013}}</ref> और [[रुडोल्फ कार्नाप]])।<ref name=carnap>{{cite book |title= संभाव्यता की तार्किक नींव|last= Carnap |first= Rudolph |author-link= Rudolf Carnap |year= 1950 |publisher= University of Chicago Press |location= Chicago}} Carnap coined the notion ''"probability<sub>1</sub>"'' and ''"probability<sub>2</sub>"'' for evidential and physical probability, respectively.</ref> प्रायिकता को कवर करने वाले समूहों की प्रमाणिक व्याख्याएं भी हैं, जिन्हें अक्सर 'इंटर्सबजेक्टिव' के रूप में लेबल किया जाता है (डोनाल्ड ए. गिल्लीज़ द्वारा प्रस्तावित)<ref name=gil>{{cite book | last = Gillies | first = Donald |author-link= Donald A. Gillies | title = संभाव्यता के दार्शनिक सिद्धांत| publisher = Routledge | location = London New York | year = 2000 | isbn = 978-0415182768 }}</ref> और रोबॉटम)।<ref name=row />
-संभाव्यता की कुछ व्याख्याएं [[सांख्यिकीय निष्कर्ष]] के दृष्टिकोण से जुड़ी हैं, जिसमें [[अनुमान सिद्धांत]] और [[सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण]] के सिद्धांत शामिल हैं। उदाहरण के लिए, भौतिक व्याख्या [[रोनाल्ड फिशर]] जैसे फ़्रीक्वेंटिस्ट सांख्यिकीय विधियों के अनुयायियों द्वारा ली जाती है{{Dubious|date=February 2019}}, [[जॉर्ज नेमन]] और [[एगॉन पियर्सन]]। विरोधी बायेसियन संभाव्यता स्कूल के सांख्यिकीविद् आमतौर पर आवृत्ति व्याख्या को स्वीकार करते हैं जब यह समझ में आता है (हालांकि परिभाषा के रूप में नहीं), लेकिन भौतिक संभावनाओं के संबंध में कम सहमति है। बायेसियन साक्ष्य संभावनाओं की गणना को आँकड़ों में वैध और आवश्यक दोनों मानते हैं। हालाँकि, यह लेख सांख्यिकीय अनुमान के सिद्धांतों के बजाय संभाव्यता की व्याख्या पर केंद्रित है।
+संभाव्यता की कुछ व्याख्याएं [[सांख्यिकीय निष्कर्ष]] के दृष्टिकोण से जुड़ी हैं, जिसमें [[अनुमान सिद्धांत]] और [[सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण]] के सिद्धांत सम्मिलित हैं। उदाहरण के लिए, भौतिक व्याख्या [[रोनाल्ड फिशर]] जैसे फ़्रीक्वेंटिस्ट सांख्यिकीय विधियों के अनुयायियों द्वारा ली जाती है{{Dubious|date=February 2019}}, [[जॉर्ज नेमन]] और [[एगॉन पियर्सन]]। विरोधी बायेसियन संभाव्यता स्कूल के सांख्यिकीविद् सामान्यतः आवृत्ति व्याख्या को स्वीकार करते हैं जब यह समझ में आता है (हालांकि परिभाषा के रूप में नहीं), लेकिन भौतिक संभावनाओं के संबंध में कम सहमति है। बायेसियन साक्ष्य संभावनाओं की गणना को आँकड़ों में वैध और आवश्यक दोनों मानते हैं। हालाँकि, यह लेख सांख्यिकीय अनुमान के सिद्धांतों के अतिरिक्त संभाव्यता की व्याख्या पर केंद्रित है।
-इस विषय की शब्दावली कुछ हद तक भ्रमित करने वाली है, क्योंकि विभिन्न शैक्षणिक क्षेत्रों में संभावनाओं का अध्ययन किया जाता है। फ़्रीक्वेंटिस्ट शब्द विशेष रूप से पेचीदा है। दार्शनिकों के लिए यह भौतिक संभाव्यता के एक विशेष सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसे कमोबेश छोड़ दिया गया है। दूसरी ओर, वैज्ञानिकों के लिए, लगातार संभावना भौतिक (या उद्देश्य) संभावना का दूसरा नाम है। जो लोग बायेसियन अनुमान को बढ़ावा देते हैं वे प्रायिकतावादी आँकड़ों को सांख्यिकीय अनुमान के दृष्टिकोण के रूप में देखते हैं जो संभाव्यता की आवृत्ति व्याख्या पर आधारित है, आमतौर पर बड़ी संख्या के कानून पर निर्भर करता है और जिसे 'शून्य परिकल्पना महत्व परीक्षण' (NHST) कहा जाता है। साथ ही शब्द उद्देश्य, जैसा कि संभाव्यता पर लागू होता है, कभी-कभी इसका अर्थ वही होता है जो यहां भौतिक अर्थ है, लेकिन इसका उपयोग साक्ष्य संबंधी संभावनाओं के लिए भी किया जाता है, जो तर्कसंगत बाधाओं, जैसे तार्किक और महामारी संबंधी संभावनाओं द्वारा तय की जाती हैं।
+इस विषय की शब्दावली कुछ हद तक भ्रमित करने वाली है, क्योंकि विभिन्न शैक्षणिक क्षेत्रों में संभावनाओं का अध्ययन किया जाता है। फ़्रीक्वेंटिस्ट शब्द विशेष रूप से पेचीदा है। दार्शनिकों के लिए यह भौतिक संभाव्यता के एक विशेष सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसे कमोबेश छोड़ दिया गया है। दूसरी ओर, वैज्ञानिकों के लिए, लगातार संभावना भौतिक (या उद्देश्य) संभावना का दूसरा नाम है। जो लोग बायेसियन अनुमान को बढ़ावा देते हैं वे प्रायिकतावादी आँकड़ों को सांख्यिकीय अनुमान के दृष्टिकोण के रूप में देखते हैं जो संभाव्यता की आवृत्ति व्याख्या पर आधारित है, सामान्यतः बड़ी संख्या के कानून पर निर्भर करता है और जिसे 'शून्य परिकल्पना महत्व परीक्षण' (NHST) कहा जाता है। साथ ही शब्द उद्देश्य, जैसा कि संभाव्यता पर लागू होता है, कभी-कभी इसका अर्थ वही होता है जो यहां भौतिक अर्थ है, लेकिन इसका उपयोग साक्ष्य संबंधी संभावनाओं के लिए भी किया जाता है, जो तर्कसंगत बाधाओं, जैसे तार्किक और महामारी संबंधी संभावनाओं द्वारा तय की जाती हैं।
 {{quote|It is unanimously agreed that statistics depends somehow on probability. But, as to what probability is and how it is connected with statistics, there has seldom been such complete disagreement and breakdown of communication since the Tower of Babel. Doubtless, much of the disagreement is merely terminological and would disappear under sufficiently sharp analysis.|(Savage, 1954, p 2)<ref name=savage />}}
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 संभाव्यता का दर्शन मुख्य रूप से महामारी विज्ञान के मामलों और गणित की अवधारणाओं और सामान्य भाषा के बीच असहज इंटरफ़ेस के रूप में समस्याओं को प्रस्तुत करता है क्योंकि इसका उपयोग गैर-गणितज्ञों द्वारा किया जाता है।
 संभाव्यता सिद्धांत गणित में अध्ययन का एक स्थापित क्षेत्र है। सत्रहवीं शताब्दी में [[ब्लेस पास्कल]] और [[पियरे डी फर्मेट]] के बीच मौके के खेल के गणित पर चर्चा करते हुए पत्राचार में इसकी उत्पत्ति हुई है,<ref>[http://www.socsci.uci.edu/~bskyrms/bio/readings/pascal_fermat.pdf Fermat and Pascal on Probability] (@ socsci.uci.edu)</ref> और बीसवीं शताब्दी में [[एंड्री कोलमोगोरोव]] द्वारा गणित की एक अलग शाखा के रूप में औपचारिक रूप दिया गया और [[स्वयंसिद्ध]] किया गया। स्वयंसिद्ध रूप में, संभाव्यता सिद्धांत के बारे में गणितीय कथन गणित के दर्शन के भीतर उसी प्रकार के ज्ञानमीमांसीय विश्वास को ले जाते हैं जैसा कि अन्य गणितीय कथनों द्वारा साझा किया जाता है।<ref>Laszlo E. Szabo, ''[http://philosophy.elte.hu/colloquium/2001/October/Szabo/angol011008/angol011008.html A Physicalist Interpretation of Probability] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304041743/http://philosophy.elte.hu/colloquium/2001/October/Szabo/angol011008/angol011008.html |date=4 March 2016 }}'' (Talk presented on the Philosophy of Science Seminar, Eötvös, Budapest, 8 October 2001.)</ref><ref>Laszlo E. Szabo, Objective probability-like things with and without objective indeterminism, Studies in History and Philosophy of Modern Physics 38 (2007) 626–634 (''[http://philosophy.elte.hu/leszabo/Preprints/lesz_no_probability_preprint.pdf Preprint]'')</ref>
-गणितीय विश्लेषण की शुरुआत ताश और पासे जैसे खेल उपकरणों के व्यवहार के अवलोकन से हुई, जिन्हें विशेष रूप से यादृच्छिक और समान तत्वों को पेश करने के लिए डिज़ाइन किया गया है; गणितीय दृष्टि से, वे उदासीनता के सिद्धांत के विषय हैं। सामान्य मानव भाषा में संभाव्य कथनों का उपयोग करने का यही एकमात्र तरीका नहीं है: जब लोग कहते हैं कि शायद बारिश होगी, तो उनका आम तौर पर मतलब यह नहीं होता है कि बारिश बनाम गैर-बारिश का परिणाम एक यादृच्छिक कारक है जो वर्तमान में बाधाओं का पक्ष लेता है; इसके बजाय, इस तरह के बयानों को शायद बेहतर तरीके से समझा जा सकता है क्योंकि वे बारिश की अपनी उम्मीद को विश्वास के साथ पूरा करते हैं। इसी तरह, जब यह लिखा जाता है कि लुडलो, मैसाचुसेट्स के नाम की सबसे संभावित व्याख्या यह है कि इसका नाम [[रोजर लुडलो]] के नाम पर रखा गया था, तो यहां इसका मतलब यह नहीं है कि रोजर लुडलो एक यादृच्छिक कारक का पक्षधर है, बल्कि यह है कि यह सबसे अधिक है साक्ष्य की प्रशंसनीय व्याख्या, जो अन्य, कम संभावना वाले स्पष्टीकरणों को स्वीकार करती है।
+गणितीय विश्लेषण की शुरुआत ताश और पासे जैसे खेल उपकरणों के व्यवहार के अवलोकन से हुई, जिन्हें विशेष रूप से यादृच्छिक और समान तत्वों को पेश करने के लिए डिज़ाइन किया गया है; गणितीय दृष्टि से, वे उदासीनता के सिद्धांत के विषय हैं। सामान्य मानव भाषा में संभाव्य कथनों का उपयोग करने का यही एकमात्र तरीका नहीं है: जब लोग कहते हैं कि शायद बारिश होगी, तो उनका आम तौर पर मतलब यह नहीं होता है कि बारिश बनाम गैर-बारिश का परिणाम एक यादृच्छिक कारक है जो वर्तमान में बाधाओं का पक्ष लेता है; इसके अतिरिक्त, इस तरह के वर्णन को शायद बेहतर तरीके से समझा जा सकता है क्योंकि वे बारिश की अपनी उम्मीद को विश्वास के साथ पूरा करते हैं। इसी तरह, जब यह लिखा जाता है कि लुडलो, मैसाचुसेट्स के नाम की सबसे संभावित व्याख्या यह है कि इसका नाम [[रोजर लुडलो]] के नाम पर रखा गया था, तो यहां इसका मतलब यह नहीं है कि रोजर लुडलो एक यादृच्छिक कारक का पक्षधर है, बल्कि यह है कि यह सबसे अधिक है साक्ष्य की प्रशंसनीय व्याख्या, जो अन्य, कम संभावना वाले स्पष्टीकरणों को स्वीकार करती है।
 [[थॉमस बेयस]] ने एक ऐसा [[तर्क]] प्रदान करने का प्रयास किया जो विश्वास की अलग-अलग डिग्री को संभाल सके; इस प्रकार, बायेसियन प्रायिकता संभाव्य कथनों के प्रतिनिधित्व को विश्वास की डिग्री की अभिव्यक्ति के रूप में प्रस्तुत करने का एक प्रयास है जिसके द्वारा वे विश्वास व्यक्त करते हैं।
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 [[Image:Roulette wheel.jpg|left|200px|thumb|बार-बार आने वालों के लिए, किसी भी पॉकेट में गेंद के गिरने की संभावना केवल दोहराए गए परीक्षणों द्वारा निर्धारित की जा सकती है जिसमें देखे गए परिणाम लंबे समय में अंतर्निहित संभावना में परिवर्तित हो जाते हैं।]]
 {{Main|Frequency probability}}
-फ़्रीक्वेंटिस्ट मानते हैं कि किसी घटना की संभावना समय के साथ उसकी सापेक्ष आवृत्ति है,<ref name=SEPIP />(3.4) यानी समान परिस्थितियों में एक प्रक्रिया को बड़ी संख्या में दोहराने के बाद घटना की इसकी सापेक्ष आवृत्ति। इसे ऐलेटरी प्रायिकता के रूप में भी जाना जाता है। घटनाओं को कुछ यादृच्छिक भौतिक घटनाओं द्वारा नियंत्रित माना जाता है, जो या तो ऐसी घटनाएं हैं जो अनुमानित हैं, सिद्धांत रूप में, पर्याप्त जानकारी के साथ (निर्णयवाद देखें); या घटनाएँ जो अनिवार्य रूप से अप्रत्याशित हैं। पहली तरह के उदाहरणों में पासा उछालना या [[रूले]]ट व्हील को स्पिन करना शामिल है; दूसरे प्रकार का एक उदाहरण [[रेडियोधर्मी क्षय]] है। एक निष्पक्ष सिक्के को उछालने के मामले में, बारंबारतावादियों का कहना है कि शीर्ष प्राप्त करने की संभावना 1/2 है, इसलिए नहीं कि दो समान रूप से संभावित परिणाम हैं, बल्कि इसलिए कि बड़ी संख्या में परीक्षणों की बार-बार श्रृंखला दर्शाती है कि अनुभवजन्य आवृत्ति सीमा 1 में परिवर्तित हो जाती है। /2 क्योंकि परीक्षणों की संख्या अनंत तक जाती है।
+फ़्रीक्वेंटिस्ट मानते हैं कि किसी घटना की संभावना समय के साथ उसकी सापेक्ष आवृत्ति है,<ref name=SEPIP />(3.4) यानी समान परिस्थितियों में एक प्रक्रिया को बड़ी संख्या में दोहराने के बाद घटना की इसकी सापेक्ष आवृत्ति। इसे ऐलेटरी प्रायिकता के रूप में भी जाना जाता है। घटनाओं को कुछ यादृच्छिक भौतिक घटनाओं द्वारा नियंत्रित माना जाता है, जो या तो ऐसी घटनाएं हैं जो अनुमानित हैं, सिद्धांत रूप में, पर्याप्त जानकारी के साथ (निर्णयवाद देखें); या घटनाएँ जो अनिवार्य रूप से अप्रत्याशित हैं। प्रथम तरह के उदाहरणों में पासा उछालना या [[रूले]]ट व्हील को स्पिन करना सम्मिलित है; दूसरे प्रकार का एक उदाहरण [[रेडियोधर्मी क्षय]] है। एक निष्पक्ष सिक्के को उछालने के मामले में, बारंबारतावादियों का कहना है कि शीर्ष प्राप्त करने की संभावना 1/2 है, इसलिए नहीं कि दो समान रूप से संभावित परिणाम हैं, बल्कि इसलिए कि बड़ी संख्या में परीक्षणों की बार-बार श्रृंखला दर्शाती है कि अनुभवजन्य आवृत्ति सीमा 1 में परिवर्तित हो जाती है। /2 क्योंकि परीक्षणों की संख्या अनंत तक जाती है।
 अगर हम द्वारा निरूपित करते हैं <math>\textstyle n_a</math> किसी घटना की घटनाओं की संख्या <math>\mathcal{A}</math> में <math> \textstyle n</math> परीक्षण, तो अगर <math>\lim_{n \to +\infty}{n_a \over n}=p </math> हम कहते हैं<math>\textstyle P(\mathcal{A})=p</math>.
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 == विषयवाद ==
 {{Main|Bayesian probability}}
-विषयवादी, जिन्हें बायेसियन या [[महामारी]] संभाव्यता के अनुयायी के रूप में भी जाना जाता है, किसी विशेष स्थिति की अनिश्चितता का आकलन करने वाले व्यक्ति के 'विश्वास की डिग्री' के एक उपाय के रूप में संभाव्यता की धारणा को एक व्यक्तिपरक स्थिति देते हैं। महामारी या व्यक्तिपरक संभावना को कभी-कभी [[साख (सांख्यिकी)]] कहा जाता है, जैसा कि प्रवृत्ति की संभावना के लिए मौका शब्द के विपरीत है। महामारी संभाव्यता के कुछ उदाहरण प्रस्ताव के लिए एक संभावना प्रदान करना है कि भौतिकी का एक प्रस्तावित कानून सत्य है या यह निर्धारित करने के लिए कि यह कितना संभावित है कि एक संदिग्ध ने अपराध किया है, प्रस्तुत साक्ष्य के आधार पर। बायेसियन संभाव्यता का उपयोग दार्शनिक बहस को उठाता है कि क्या यह विश्वास के औचित्य के वैध सिद्धांत में योगदान दे सकता है। बायेसियन फ्रैंक पी। रैमसे के काम की ओर इशारा करते हैं<ref name=ramsey />(पी 182) और ब्रूनो डी फिनेटी<ref name=deF />(पृष्ठ 103) यह साबित करते हुए कि व्यक्तिपरक विश्वासों को [[संभाव्यता के नियम]]ों का पालन करना चाहिए यदि वे सुसंगत हों।<ref>{{cite book | last = Jaynes | first = E. T. | title = संभाव्यता सिद्धांत विज्ञान का तर्क| publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge, UK New York, NY | year = 2003 | isbn = 978-0521592710 }}</ref> साक्ष्य संदेह पैदा करता है कि मनुष्य के पास सुसंगत विश्वास होंगे।<ref>{{cite book | last = Kahneman | first = Daniel | title = सोच, तेज और धीमी| publisher = Farrar, Straus and Giroux | location = New York | year = 2011 | isbn = 978-0374275631 }} The book contains numerous examples of the difference between idealized and actual thought. "[W]hen called upon to judge probability, people actually judge something else and believe they have judged probability." (p 98)</ref><ref>{{cite journal | last1 = Grove | first1 = William M. | last2 = Meehl | first2 = Paul E. | title = Comparative efficiency of informal (subjective, impressionistic) and formal (mechanical, algorithmic) prediction procedures: The clinical-statistical controversy | journal = Psychology, Public Policy, and Law | volume = 2 | issue = 2 | pages = 293–332 | year = 1996 | doi = 10.1037/1076-8971.2.2.293 | url = http://www.tc.umn.edu/~pemeehl/167GroveMeehlClinstix.pdf | url-status = dead | archive-url = https://web.archive.org/web/20111030214359/http://www.tc.umn.edu/~pemeehl/167GroveMeehlClinstix.pdf | archive-date = 30 October 2011 | df = dmy-all | citeseerx = 10.1.1.471.592 }} Statistical decisions are consistently superior to the subjective decisions of experts.</ref> बायेसियन संभाव्यता के उपयोग में एक पूर्व संभाव्यता निर्दिष्ट करना शामिल है। यह इस बात पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है कि क्या आवश्यक पूर्व संभाव्यता संदर्भ संभाव्यता से अधिक या कम है{{Clarify|date=April 2010}} एक [[कलश मॉडल]] या एक विचार प्रयोग से जुड़ा हुआ है। मुद्दा यह है कि किसी दिए गए समस्या के लिए, कई विचार प्रयोग लागू हो सकते हैं, और एक को चुनना निर्णय का मामला है: अलग-अलग लोग अलग-अलग पूर्व संभावनाओं को निर्दिष्ट कर सकते हैं, जिन्हें संदर्भ वर्ग समस्या के रूप में जाना जाता है। [[सूर्योदय की समस्या]] एक उदाहरण प्रदान करती है।
+विषयवादी, जिन्हें बायेसियन या [[महामारी]] संभाव्यता के अनुयायी के रूप में भी जाना जाता है, किसी विशेष स्थिति की अनिश्चितता का आकलन करने वाले व्यक्ति के 'विश्वास की डिग्री' के एक उपाय के रूप में संभाव्यता की धारणा को एक व्यक्तिपरक स्थिति देते हैं। महामारी या व्यक्तिपरक संभावना को कभी-कभी [[साख (सांख्यिकी)]] कहा जाता है, जैसा कि प्रवृत्ति की संभावना के लिए मौका शब्द के विपरीत है। महामारी संभाव्यता के कुछ उदाहरण प्रस्ताव के लिए एक संभावना प्रदान करना है कि भौतिकी का एक प्रस्तावित कानून सत्य है या यह निर्धारित करने के लिए कि यह कितना संभावित है कि एक संदिग्ध ने अपराध किया है, प्रस्तुत साक्ष्य के आधार पर। बायेसियन संभाव्यता का उपयोग दार्शनिक बहस को उठाता है कि क्या यह विश्वास के औचित्य के वैध सिद्धांत में योगदान दे सकता है। बायेसियन फ्रैंक पी। रैमसे के काम की ओर इशारा करते हैं<ref name=ramsey />(पी 182) और ब्रूनो डी फिनेटी<ref name=deF />(पृष्ठ 103) यह साबित करते हुए कि व्यक्तिपरक विश्वासों को [[संभाव्यता के नियम]]ों का पालन करना चाहिए यदि वे सुसंगत हों।<ref>{{cite book | last = Jaynes | first = E. T. | title = संभाव्यता सिद्धांत विज्ञान का तर्क| publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge, UK New York, NY | year = 2003 | isbn = 978-0521592710 }}</ref> साक्ष्य संदेह पैदा करता है कि मनुष्य के पास सुसंगत विश्वास होंगे।<ref>{{cite book | last = Kahneman | first = Daniel | title = सोच, तेज और धीमी| publisher = Farrar, Straus and Giroux | location = New York | year = 2011 | isbn = 978-0374275631 }} The book contains numerous examples of the difference between idealized and actual thought. "[W]hen called upon to judge probability, people actually judge something else and believe they have judged probability." (p 98)</ref><ref>{{cite journal | last1 = Grove | first1 = William M. | last2 = Meehl | first2 = Paul E. | title = Comparative efficiency of informal (subjective, impressionistic) and formal (mechanical, algorithmic) prediction procedures: The clinical-statistical controversy | journal = Psychology, Public Policy, and Law | volume = 2 | issue = 2 | pages = 293–332 | year = 1996 | doi = 10.1037/1076-8971.2.2.293 | url = http://www.tc.umn.edu/~pemeehl/167GroveMeehlClinstix.pdf | url-status = dead | archive-url = https://web.archive.org/web/20111030214359/http://www.tc.umn.edu/~pemeehl/167GroveMeehlClinstix.pdf | archive-date = 30 October 2011 | df = dmy-all | citeseerx = 10.1.1.471.592 }} Statistical decisions are consistently superior to the subjective decisions of experts.</ref> बायेसियन संभाव्यता के उपयोग में एक पूर्व संभाव्यता निर्दिष्ट करना सम्मिलित है। यह इस बात पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है कि क्या आवश्यक पूर्व संभाव्यता संदर्भ संभाव्यता से अधिक या कम है{{Clarify|date=April 2010}} एक [[कलश मॉडल]] या एक विचार प्रयोग से जुड़ा हुआ है। मुद्दा यह है कि किसी दिए गए समस्या के लिए, कई विचार प्रयोग लागू हो सकते हैं, और एक को चुनना निर्णय का मामला है: अलग-अलग लोग अलग-अलग पूर्व संभावनाओं को निर्दिष्ट कर सकते हैं, जिन्हें संदर्भ वर्ग समस्या के रूप में जाना जाता है। [[सूर्योदय की समस्या]] एक उदाहरण प्रदान करती है।
 == प्रवृत्ति ==
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 प्रायिकता के सिद्धांतकार एक निश्चित प्रकार के परिणाम उत्पन्न करने के लिए या इस तरह के परिणाम की लंबी अवधि की सापेक्ष आवृत्ति प्राप्त करने के लिए एक भौतिक प्रवृत्ति, या स्वभाव, या किसी दिए गए प्रकार की भौतिक स्थिति की प्रवृत्ति के रूप में संभाव्यता के बारे में सोचते हैं।<ref>{{cite book | last = Peterson | first = Martin | title = निर्णय सिद्धांत का परिचय| publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge, UK New York | year = 2009 | page = 140 | isbn = 978-0521716543 }}</ref> इस तरह की वस्तुनिष्ठ संभावना को कभी-कभी 'मौका' कहा जाता है।
-प्रवृत्तियाँ, या संभावनाएँ, सापेक्ष आवृत्तियाँ नहीं हैं, बल्कि देखी गई स्थिर सापेक्ष आवृत्तियों के कथित कारण हैं। यह बताने के लिए प्रवृत्तियों का आह्वान किया जाता है कि एक निश्चित प्रकार के प्रयोग को दोहराने से लगातार दरों पर दिए गए परिणाम प्रकार उत्पन्न होंगे, जिन्हें प्रवृत्ति या संभावना के रूप में जाना जाता है। फ़्रीक्वेंटिस्ट इस दृष्टिकोण को अपनाने में असमर्थ हैं, क्योंकि एक सिक्के के एकल टॉस के लिए सापेक्ष आवृत्तियाँ मौजूद नहीं हैं, लेकिन केवल बड़े पहनावा या सामूहिक के लिए (ऊपर दी गई तालिका में संभव एकल मामला देखें)।<ref name="de Elía" />इसके विपरीत, एक प्रोपेन्सिटिस्ट लंबी अवधि की आवृत्तियों के व्यवहार की व्याख्या करने के लिए बड़ी संख्या के कानून का उपयोग करने में सक्षम है। यह कानून, जो संभाव्यता के स्वयंसिद्धों का परिणाम है, कहता है कि यदि (उदाहरण के लिए) एक सिक्के को कई बार बार-बार उछाला जाता है, तो इस तरह से कि उसके गिरने की संभावना प्रत्येक टॉस पर समान होती है, और परिणाम संभाव्य रूप से होते हैं स्वतंत्र है, तो चित की सापेक्ष आवृत्ति प्रत्येक एकल उछाल पर चित आने की संभावना के करीब होगी। यह कानून अनुमति देता है कि स्थिर लंबी अवधि की आवृत्तियाँ अपरिवर्तनीय एकल-मामले की संभावनाओं की अभिव्यक्ति हैं। स्थिर सापेक्ष आवृत्तियों के उद्भव की व्याख्या करने के अलावा, प्रवृत्ति का विचार क्वांटम यांत्रिकी में एकल-केस संभाव्यता गुणों को समझने की इच्छा से प्रेरित होता है, जैसे किसी विशेष समय में किसी विशेष परमाणु के रेडियोधर्मी क्षय की संभावना।
+प्रवृत्तियाँ, या संभावनाएँ, सापेक्ष आवृत्तियाँ नहीं हैं, बल्कि देखी गई स्थिर सापेक्ष आवृत्तियों के कथित कारण हैं। यह बताने के लिए प्रवृत्तियों का आह्वान किया जाता है कि एक निश्चित प्रकार के प्रयोग को दोहराने से लगातार दरों पर दिए गए परिणाम प्रकार उत्पन्न होंगे, जिन्हें प्रवृत्ति या संभावना के रूप में जाना जाता है। फ़्रीक्वेंटिस्ट इस दृष्टिकोण को अपनाने में असमर्थ हैं, क्योंकि एक सिक्के के एकल टॉस के लिए सापेक्ष आवृत्तियाँ उपस्थित नहीं हैं, लेकिन केवल बड़े पहनावा या सामूहिक के लिए (ऊपर दी गई तालिका में संभव एकल मामला देखें)।<ref name="de Elía" />इसके विपरीत, एक प्रोपेन्सिटिस्ट लंबी अवधि की आवृत्तियों के व्यवहार की व्याख्या करने के लिए बड़ी संख्या के कानून का उपयोग करने में सक्षम है। यह कानून, जो संभाव्यता के स्वयंसिद्धों का परिणाम है, कहता है कि यदि (उदाहरण के लिए) एक सिक्के को कई बार बार-बार उछाला जाता है, तो इस तरह से कि उसके गिरने की संभावना प्रत्येक टॉस पर समान होती है, और परिणाम संभाव्य रूप से होते हैं स्वतंत्र है, तो चित की सापेक्ष आवृत्ति प्रत्येक एकल उछाल पर चित आने की संभावना के करीब होगी। यह कानून अनुमति देता है कि स्थिर लंबी अवधि की आवृत्तियाँ अपरिवर्तनीय एकल-मामले की संभावनाओं की अभिव्यक्ति हैं। स्थिर सापेक्ष आवृत्तियों के उद्भव की व्याख्या करने के अलावा, प्रवृत्ति का विचार क्वांटम यांत्रिकी में एकल-केस संभाव्यता गुणों को समझने की इच्छा से प्रेरित होता है, जैसे किसी विशेष समय में किसी विशेष परमाणु के रेडियोधर्मी क्षय की संभावना।
 प्रवृत्ति सिद्धांतों का सामना करने वाली मुख्य चुनौती यह कहना है कि वास्तव में प्रवृत्ति का क्या अर्थ है। (और फिर, निश्चित रूप से, यह दिखाने के लिए कि इस प्रकार परिभाषित प्रवृत्ति में आवश्यक गुण हैं।) वर्तमान में, दुर्भाग्य से, इस चुनौती को पूरा करने के लिए प्रवृत्ति के जाने-माने खातों में से कोई भी करीब नहीं आता है।
-संभाव्यता का एक प्रवृत्ति सिद्धांत [[चार्ल्स सैंडर्स पियर्स]] द्वारा दिया गया था। <रेफरी नाम = मिलर 1975 123-132>{{Cite journal| last= Miller|first=Richard W.| title = प्रवृत्ति: पॉपर या पियर्स?|journal =[[British Journal for the Philosophy of Science]]| volume=26| issue=2| pages=123–132| doi=10.1093/bjps/26.2.123 | year=1975 }</ref><रेफरी नाम= हैक 1977 63–104 >{{Cite journal|title=सत्य की खोज में दो फालिबिलिस्ट| author-link1=Susan Haack | first1=Susan|last2=Kolenda, Konstantin | last1=Haack | first2=Konstantin |last3=Kolenda|journal=Proceedings of the Aristotelian Society|issue=Supplementary Volumes|volume=51| year=1977|pages= 63–104| jstor=4106816| doi=10.1093/aristoteliansupp/51.1.63 }}</ref><ref>{{Cite book|author-link=Arthur W. Burks|last=Burks|first=Arthur W.|year=1978|title=Chance, Cause and Reason: An Inquiry into the Nature of Scientific Evidence|publisher=University of Chicago Press|pages=[https://archive.org/details/chancecausereaso0000burk/page/694 694 pages]|isbn=978-0-226-08087-1|url=https://archive.org/details/chancecausereaso0000burk/page/694}}</ref><ref>[[Charles Sanders Peirce|Peirce, Charles Sanders]] and Burks, Arthur W., ed. (1958), the [[Charles Sanders Peirce bibliography#CP|''Collected Papers of Charles Sanders Peirce'']] Volumes 7 and 8, Harvard University Press, Cambridge, MA, also Belnap Press (of Harvard University Press) edition, vols. 7-8 bound together, 798 pages, [http://www.nlx.com/collections/95 online via InteLex], reprinted in 1998 Thoemmes Continuum.</ref> एक बाद की प्रवृत्ति सिद्धांत दार्शनिक [[कार्ल पॉपर]] द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो सी.एस. पियर्स के लेखन से बहुत कम परिचित थे। पॉपर ने नोट किया कि एक भौतिक प्रयोग का परिणाम उत्पन्न करने वाली स्थितियों के एक निश्चित सेट द्वारा निर्मित होता है। जब हम एक प्रयोग को दोहराते हैं, जैसा कि कहा जाता है, हम वास्तव में एक (अधिक या कम) समान स्थितियों के सेट के साथ एक और प्रयोग करते हैं। यह कहने के लिए कि उत्पन्न स्थितियों के एक सेट में परिणाम ई उत्पन्न करने की प्रवृत्ति पी है, इसका मतलब है कि उन सटीक स्थितियों को, यदि अनिश्चित काल तक दोहराया जाता है, तो एक परिणाम अनुक्रम उत्पन्न होगा जिसमें ई सापेक्ष आवृत्ति पी को सीमित करने के साथ हुआ। पॉपर के लिए, एक नियतात्मक प्रयोग में प्रत्येक परिणाम के लिए 0 या 1 की प्रवृत्ति होगी, क्योंकि प्रत्येक परीक्षण पर उत्पन्न होने वाली स्थितियों का एक ही परिणाम होगा। दूसरे शब्दों में, गैर-तुच्छ प्रवृत्तियाँ (जो 0 और 1 से भिन्न हैं) केवल वास्तव में गैर-नियतात्मक प्रयोगों के लिए मौजूद हैं।
+संभाव्यता का एक प्रवृत्ति सिद्धांत [[चार्ल्स सैंडर्स पियर्स]] द्वारा दिया गया था। <रेफरी नाम = मिलर 1975 123-132>{{Cite journal| last= Miller|first=Richard W.| title = प्रवृत्ति: पॉपर या पियर्स?|journal =[[British Journal for the Philosophy of Science]]| volume=26| issue=2| pages=123–132| doi=10.1093/bjps/26.2.123 | year=1975 }</ref><रेफरी नाम= हैक 1977 63–104 >{{Cite journal|title=सत्य की खोज में दो फालिबिलिस्ट| author-link1=Susan Haack | first1=Susan|last2=Kolenda, Konstantin | last1=Haack | first2=Konstantin |last3=Kolenda|journal=Proceedings of the Aristotelian Society|issue=Supplementary Volumes|volume=51| year=1977|pages= 63–104| jstor=4106816| doi=10.1093/aristoteliansupp/51.1.63 }}</ref><ref>{{Cite book|author-link=Arthur W. Burks|last=Burks|first=Arthur W.|year=1978|title=Chance, Cause and Reason: An Inquiry into the Nature of Scientific Evidence|publisher=University of Chicago Press|pages=[https://archive.org/details/chancecausereaso0000burk/page/694 694 pages]|isbn=978-0-226-08087-1|url=https://archive.org/details/chancecausereaso0000burk/page/694}}</ref><ref>[[Charles Sanders Peirce|Peirce, Charles Sanders]] and Burks, Arthur W., ed. (1958), the [[Charles Sanders Peirce bibliography#CP|''Collected Papers of Charles Sanders Peirce'']] Volumes 7 and 8, Harvard University Press, Cambridge, MA, also Belnap Press (of Harvard University Press) edition, vols. 7-8 bound together, 798 pages, [http://www.nlx.com/collections/95 online via InteLex], reprinted in 1998 Thoemmes Continuum.</ref> एक बाद की प्रवृत्ति सिद्धांत दार्शनिक [[कार्ल पॉपर]] द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो सी.एस. पियर्स के लेखन से बहुत कम परिचित थे। पॉपर ने नोट किया कि एक भौतिक प्रयोग का परिणाम उत्पन्न करने वाली स्थितियों के एक निश्चित सेट द्वारा निर्मित होता है। जब हम एक प्रयोग को दोहराते हैं, जैसा कि कहा जाता है, हम वास्तव में एक (अधिक या कम) समान स्थितियों के सेट के साथ एक और प्रयोग करते हैं। यह कहने के लिए कि उत्पन्न स्थितियों के एक सेट में परिणाम ई उत्पन्न करने की प्रवृत्ति पी है, इसका मतलब है कि उन सटीक स्थितियों को, यदि अनिश्चित काल तक दोहराया जाता है, तो एक परिणाम अनुक्रम उत्पन्न होगा जिसमें ई सापेक्ष आवृत्ति पी को सीमित करने के साथ हुआ। पॉपर के लिए, एक नियतात्मक प्रयोग में प्रत्येक परिणाम के लिए 0 या 1 की प्रवृत्ति होगी, क्योंकि प्रत्येक परीक्षण पर उत्पन्न होने वाली स्थितियों का एक ही परिणाम होगा। दूसरे शब्दों में, गैर-तुच्छ प्रवृत्तियाँ (जो 0 और 1 से भिन्न हैं) केवल वास्तव में गैर-नियतात्मक प्रयोगों के लिए उपस्थित हैं।
 [[डेविड मिलर (दार्शनिक)]] और डोनाल्ड ए. गिल्लीज़ सहित कई अन्य दार्शनिकों ने प्रवृत्ति सिद्धांतों को कुछ हद तक पॉपर के समान प्रस्तावित किया है।
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 इन व्याख्याओं के बीच अंतर बहुत छोटा है, और अप्रासंगिक लग सकता है। असहमति के मुख्य बिंदुओं में से एक संभाव्यता और विश्वास के बीच के संबंध में निहित है। तार्किक संभावनाओं की कल्पना की जाती है (उदाहरण के लिए जॉन मेनार्ड केन्स की [[संभाव्यता पर एक ग्रंथ]]<ref name=keynes /> प्रस्तावों (या वाक्यों) के बीच वस्तुनिष्ठ, तार्किक संबंध होना और इसलिए विश्वास पर किसी भी तरह से निर्भर नहीं होना। वे (आंशिक) प्रवेश की डिग्री हैं, या [[तार्किक परिणाम]] की डिग्री हैं, विश्वास की डिग्री नहीं। (वे करते हैं, फिर भी, विश्वास की उचित डिग्री निर्धारित करते हैं, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।) दूसरी ओर, फ्रैंक पी। राम्से, इस तरह के वस्तुनिष्ठ तार्किक संबंधों के अस्तित्व के बारे में संदेह था और तर्क दिया कि (साक्ष्य) संभाव्यता आंशिक का तर्क है। आस्था ।<ref name=ramsey />(पृ. 157) दूसरे शब्दों में, राम्से का मानना था कि ज्ञानमीमांसीय संभावनाएँ केवल तर्कसंगत विश्वास की मात्राएँ हैं, न कि तार्किक संबंध होने के कारण जो केवल तर्कसंगत विश्वास की मात्रा को बाधित करती हैं।
-असहमति का एक अन्य बिंदु ज्ञान की दी गई स्थिति के सापेक्ष साक्ष्य संभाव्यता की विशिष्टता से संबंधित है। रुडोल्फ कार्नाप ने, उदाहरण के लिए, यह माना कि तार्किक सिद्धांत हमेशा किसी भी बयान के लिए किसी भी सबूत के सापेक्ष एक अद्वितीय तार्किक संभावना निर्धारित करते हैं। रैमसे, इसके विपरीत, सोचा था कि जबकि विश्वास की डिग्री कुछ तर्कसंगत बाधाओं के अधीन हैं (जैसे, लेकिन संभाव्यता के स्वयंसिद्धों तक सीमित नहीं हैं) ये बाधाएं आमतौर पर एक अद्वितीय मूल्य निर्धारित नहीं करती हैं। तर्कसंगत लोग, दूसरे शब्दों में, उनके विश्वास की डिग्री में कुछ भिन्न हो सकते हैं, भले ही उन सभी के पास समान जानकारी हो।
+असहमति का एक अन्य बिंदु ज्ञान की दी गई स्थिति के सापेक्ष साक्ष्य संभाव्यता की विशिष्टता से संबंधित है। रुडोल्फ कार्नाप ने, उदाहरण के लिए, यह माना कि तार्किक सिद्धांत सदैव किसी भी वर्णन के लिए किसी भी सबूत के सापेक्ष एक अद्वितीय तार्किक संभावना निर्धारित करते हैं। रैमसे, इसके विपरीत, सोचा था कि जबकि विश्वास की डिग्री कुछ तर्कसंगत बाधाओं के अधीन हैं (जैसे, लेकिन संभाव्यता के स्वयंसिद्धों तक सीमित नहीं हैं) ये बाधाएं सामान्यतः एक अद्वितीय मूल्य निर्धारित नहीं करती हैं। तर्कसंगत लोग, दूसरे शब्दों में, उनके विश्वास की डिग्री में कुछ भिन्न हो सकते हैं, भले ही उन सभी के पास समान जानकारी हो।
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