यादृच्छिक मैट्रिक्स

संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय भौतिकी में, यादृच्छिक मैट्रिक्स मैट्रिक्स (गणित) है - मूल्यवान यादृच्छिक चर-अर्थात, मैट्रिक्स जिसमें कुछ या सभी तत्व यादृच्छिक चर होते हैं। भौतिक प्रणालियों के कई महत्वपूर्ण गुणों को गणितीय रूप से मैट्रिक्स समस्याओं के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जाली मॉडल (भौतिकी) की तापीय चालकता की गणना जाली के भीतर कण-कण अंतःक्रियाओं के गतिशील मैट्रिक्स से की जा सकती है।

अनुप्रयोग

भौतिकी

परमाणु भौतिकी में, भारी परमाणुओं के नाभिकों को मॉडल करने के लिए यूजीन विग्नर द्वारा यादृच्छिक मैट्रिक्स पेश किए गए थे। विग्नर ने अभिगृहीत किया कि भारी परमाणु नाभिक के स्पेक्ट्रम में रेखाओं के बीच की दूरी यादृच्छिक मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​के बीच की दूरी के समान होनी चाहिए, और केवल अंतर्निहित विकास के समरूपता वर्ग पर निर्भर होना चाहिए। भौतिक विज्ञान की ठोस अवस्था में, रैंडम मेट्रिसेस मीन फील्ड सन्निकटन | मीन-फील्ड सन्निकटन में बड़े अव्यवस्थित हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के व्यवहार को मॉडल करते हैं।

क्वांटम अराजकता में, बोहिगास-गियानोनी-श्मिट (बीजीएस) अनुमान का दावा है कि क्वांटम सिस्टम के वर्णक्रमीय आंकड़े जिनके शास्त्रीय समकक्ष अराजक व्यवहार प्रदर्शित करते हैं, यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत द्वारा वर्णित हैं। क्वांटम प्रकाशिकी में, शास्त्रीय संगणना पर क्वांटम के लाभ को प्रदर्शित करने के लिए यादृच्छिक एकात्मक मेट्रिसेस द्वारा वर्णित परिवर्तन महत्वपूर्ण हैं (देखें, उदाहरण के लिए, बोसोन नमूनाकरण मॉडल)। इसके अलावा, इस तरह के यादृच्छिक एकात्मक परिवर्तनों को ऑप्टिकल सर्किट घटकों (जो कि बीम फाड़नेवाला ्स और फेज शिफ्टर्स हैं) में उनके मापदंडों को मैप करके सीधे ऑप्टिकल सर्किट में लागू किया जा सकता है। रैंडम मैट्रिक्स सिद्धांत ने क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में चिराल डायराक ऑपरेटर के लिए भी आवेदन पाया है, दो आयामों में क्वांटम गुरुत्व, मेसोस्कोपिक, स्पिन-ट्रांसफर टॉर्क, भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव, एंडरसन स्थानीयकरण, क्वांटम डॉट्स, और अतिचालक

गणितीय आँकड़े और संख्यात्मक विश्लेषण

बहुभिन्नरूपी आँकड़ों में, जॉन विशरट (सांख्यिकीविद्) द्वारा यादृच्छिक मेट्रिसेस पेश किए गए, जिन्होंने बड़े नमूनों के सहप्रसरण मेट्रिसेस का अनुमान लगाने की मांग की। Chernoff बाध्य, बर्नस्टीन असमानताएँ (संभाव्यता सिद्धांत) -, और होफ़डिंग की असमानता-प्रकार की असमानताओं को आम तौर पर तब मजबूत किया जा सकता है जब यादृच्छिक हर्मिटियन मैट्रिक्स के परिमित योग के अधिकतम ईजेनवेल्यू पर लागू किया जाता है। संख्यात्मक विश्लेषण में, जॉन वॉन न्यूमैन और हरमन गोल्डस्टाइन के काम के बाद से यादृच्छिक मैट्रिक्स का उपयोग किया गया है मैट्रिक्स गुणन जैसे संचालन में संगणना त्रुटियों का वर्णन करने के लिए। हालांकि यादृच्छिक प्रविष्टियां एल्गोरिदम के पारंपरिक सामान्य इनपुट हैं, यादृच्छिक मैट्रिक्स वितरण से जुड़े माप की एकाग्रता का अर्थ है कि यादृच्छिक मैट्रिक्स एल्गोरिदम के इनपुट स्थान के बड़े हिस्से का परीक्षण नहीं करेंगे।

संख्या सिद्धांत

संख्या सिद्धांत में, [[रीमैन जीटा एल समारोह]] (और अन्य एल-फ़ंक्शंस) के शून्यों का वितरण कुछ यादृच्छिक मैट्रिसेस के eigenvalues ​​​​के वितरण द्वारा तैयार किया गया है। कनेक्शन की खोज सबसे पहले ह्यूग मोंटगोमरी (गणितज्ञ) और फ्रीमैन जे डायसन ने की थी। यह हिल्बर्ट-पोल्या अनुमान से जुड़ा है।

सैद्धांतिक तंत्रिका विज्ञान

सैद्धांतिक तंत्रिका विज्ञान के क्षेत्र में, मस्तिष्क में न्यूरॉन्स के बीच सिनैप्टिक कनेक्शन के नेटवर्क को मॉडल करने के लिए यादृच्छिक मेट्रिसेस का तेजी से उपयोग किया जाता है। रैंडम कनेक्टिविटी मैट्रिक्स वाले न्यूरोनल नेटवर्क के डायनेमिक मॉडल को अराजकता के लिए चरण संक्रमण प्रदर्शित करने के लिए दिखाया गया था जब अन्तर्ग्रथनी भार का प्रसरण अनंत प्रणाली आकार की सीमा पर महत्वपूर्ण मान को पार कर जाता है। यादृच्छिक मैट्रिक्स पर परिणाम यह भी दिखाते हैं कि यादृच्छिक-मैट्रिक्स मॉडल की गतिशीलता मतलब कनेक्शन शक्ति के प्रति असंवेदनशील है। इसके बजाय, उतार-चढ़ाव की स्थिरता कनेक्शन शक्ति भिन्नता पर निर्भर करती है और समकालिकता का समय नेटवर्क टोपोलॉजी पर निर्भर करता है।

इष्टतम नियंत्रण

इष्टतम नियंत्रण सिद्धांत में, समय के माध्यम से एन राज्य चर का विकास किसी भी समय अपने स्वयं के मूल्यों और के नियंत्रण चर के मूल्यों पर निर्भर करता है। रैखिक विकास के साथ, गुणांक के मैट्रिक्स राज्य समीकरण (विकास के समीकरण) में दिखाई देते हैं। कुछ समस्याओं में इन मैट्रिसेस में पैरामीटर के मान निश्चित रूप से ज्ञात नहीं होते हैं, इस मामले में राज्य समीकरण में रैंडम मैट्रिसेस होते हैं और समस्या को स्टोकेस्टिक नियंत्रण में से के रूप में जाना जाता है। स्टोचैस्टिक मैट्रिसेस के साथ रैखिक-द्विघात नियंत्रण के मामले में महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि निश्चितता तुल्यता सिद्धांत लागू नहीं होता है: जबकि गुणक अनिश्चितता के अभाव में (यानी, केवल योगात्मक अनिश्चितता के साथ) द्विघात हानि समारोह के साथ इष्टतम नीति के साथ मेल खाता है यदि अनिश्चितता को नजरअंदाज कर दिया गया तो क्या तय किया जाएगा, राज्य समीकरण में यादृच्छिक गुणांक होने पर इष्टतम नीति भिन्न हो सकती है।

कम्प्यूटेशनल यांत्रिकी

कम्प्यूटेशनल यांत्रिकी में, मॉडल सिस्टम के भौतिकी के बारे में ज्ञान की कमी के कारण ज्ञान संबंधी अनिश्चितताएं कम्प्यूटेशनल मॉडल से जुड़े गणितीय ऑपरेटरों को जन्म देती हैं, जो निश्चित अर्थ में कमी हैं। इस तरह के ऑपरेटरों में अनमॉडेल्ड फिजिक्स से जुड़े कुछ गुणों का अभाव होता है। जब ऐसे ऑपरेटरों को कम्प्यूटेशनल सिमुलेशन करने के लिए अलग किया जाता है, तो उनकी सटीकता लापता भौतिकी द्वारा सीमित होती है। गणितीय ऑपरेटर की इस कमी की भरपाई करने के लिए, मॉडल पैरामीटर को यादृच्छिक बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है, गणितीय ऑपरेटर पर विचार करना आवश्यक है जो यादृच्छिक है और इस प्रकार कम्प्यूटेशनल मॉडल के परिवारों को उम्मीद में उत्पन्न कर सकता है कि इनमें से लापता को पकड़ लेता है भौतिक विज्ञान। इस अर्थ में रैंडम मेट्रिसेस का उपयोग किया गया है, कंपन ध्वनिक, तरंग प्रसार, सामग्री विज्ञान, द्रव यांत्रिकी, गर्मी हस्तांतरण, आदि में अनुप्रयोगों के साथ।

गाऊसी पहनावा

सबसे अधिक अध्ययन किया जाने वाला यादृच्छिक मैट्रिक्स संभाव्यता वितरण गॉसियन पहनावा है।

गॉसियन एकात्मक पहनावा ${\text{GUE}}(n)$ गॉसियन माप द्वारा घनत्व के साथ वर्णित किया गया है

$${\frac {1}{Z_{{\text{GUE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{2}}\mathrm {tr} H^{2}}$$

के स्थान पर $n\times n$ हर्मिटियन मेट्रिसेस $H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}$. यहाँ $Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi ^{{\frac {1}{2}}n^{2}}$ सामान्यीकरण स्थिरांक है, इसलिए चुना जाता है ताकि घनत्व का समाकल के बराबर हो। एकात्मक शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि वितरण एकात्मक संयुग्मन के तहत अपरिवर्तनीय है। गॉसियन एकात्मक पहनावा मॉडल हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) में समय-उलट समरूपता का अभाव है।

'गॉसियन ऑर्थोगोनल पहनावा' ${\text{GOE}}(n)$ गॉसियन माप द्वारा घनत्व के साथ वर्णित किया गया है

$${\frac {1}{Z_{{\text{GOE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{4}}\mathrm {tr} H^{2}}$$

n × n वास्तविक सममित आव्यूहों के स्थान पर H = (H_ij)ⁿ
_i,j=1. इसका वितरण ऑर्थोगोनल संयुग्मन के तहत अपरिवर्तनीय है, और यह हैमिल्टनियों को समय-उलट समरूपता के साथ मॉडल करता है।

गाऊसी सहानुभूतिपूर्ण पहनावा ${\text{GSE}}(n)$ गॉसियन माप द्वारा घनत्व के साथ वर्णित किया गया है

$${\frac {1}{Z_{{\text{GSE}}(n)}}}e^{-n\mathrm {tr} H^{2}}$$

n × n हर्मिटियन चार का समुदाय मैट्रिक्स के स्थान पर, उदा. चतुष्कोणों से बना सममित वर्ग मैट्रिक्स, H = (H_ij)ⁿ
_i,j=1. इसका वितरण सहानुभूतिपूर्ण समूह द्वारा संयुग्मन के तहत अपरिवर्तनीय है, और यह हैमिल्टनियों को समय-उलट समरूपता के साथ मॉडल करता है लेकिन कोई घूर्णी समरूपता नहीं है।

गॉसियन पहनावा GOE, GUE और GSE को अक्सर उनके फ्रीमैन डायसन इंडेक्स द्वारा दर्शाया जाता है, GOE के लिए β=1, GUE के लिए β=2 और GSE के लिए β=4। यह सूचकांक प्रति मैट्रिक्स तत्व के वास्तविक घटकों की संख्या की गणना करता है। यहाँ परिभाषित पहनावा में गाऊसी वितरित मैट्रिक्स तत्व हैं जिनका मतलब ⟨H है_ij⟩ = 0, और दो-बिंदु सहसंबंध द्वारा दिया गया

$$\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm},$$

जिससे सभी उच्च सहसंबंध इस्सरलिस प्रमेय द्वारा अनुसरण करते हैं।

ईगेनवैल्यू, ईजेनवेक्टर और ईजेनस्पेस के लिए संयुक्त प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन {{math|λ₁, λ₂, ..., λ_n}GUE/GOE/GSE का } द्वारा दिया गया है

$${\frac {1}{Z_{\beta ,n}}}\prod _{k=1}^{n}e^{-{\frac {\beta }{4}}\lambda _{k}^{2}}\prod _{i<j}\left|\lambda _{j}-\lambda _{i}\right|^{\beta }~,$$

(1)

जहां जेड_β,n सामान्यीकरण स्थिरांक है जिसे स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है, सेलबर्ग अभिन्न देखें। GUE (β = 2) के मामले में, सूत्र (1) निर्धारक बिंदु प्रक्रिया का वर्णन करता है। Eigenvalues ​​पीछे हटते हैं क्योंकि संयुक्त संभाव्यता घनत्व में शून्य (का $\beta$वां क्रम) eigenvalues ​​​​से मेल खाने के लिए $\lambda _{j}=\lambda _{i}$.

परिमित आयामों के GOE, GUE और विशार्ट मैट्रिसेस के लिए सबसे बड़े eigenvalue के वितरण के लिए, देखें।

लेवल स्पेसिंग का वितरण

आइगेनवैल्यू के क्रमबद्ध क्रम से $\lambda _{1}<\ldots <\lambda _{n}<\lambda _{n+1}<\ldots$, सामान्यीकृत स्तर-अंतर वितरण को परिभाषित करता है $s=(\lambda _{n+1}-\lambda _{n})/\langle s\rangle$, कहाँ $\langle s\rangle =\langle \lambda _{n+1}-\lambda _{n}\rangle$ औसत अंतराल है। स्पेसिंग का प्रायिकता बंटन लगभग दिया जाता है,

$$p_{1}(s)={\frac {\pi }{2}}s\,e^{-{\frac {\pi }{4}}s^{2}}$$

ओर्थोगोनल पहनावा GOE के लिए $\beta =1$,

$$p_{2}(s)={\frac {32}{\pi ^{2}}}s^{2}\mathrm {e} ^{-{\frac {4}{\pi }}s^{2}}$$

एकात्मक पहनावा GUE के लिए $\beta =2$, और

                                 
$$p_{4}(s)={\frac {2^{18}}{3^{6}\pi ^{3}}}s^{4}e^{-{\frac {64}{9\pi }}s^{2}}$$

सहानुभूतिपूर्ण पहनावा GSE के लिए $\beta =4$.

संख्यात्मक स्थिरांक ऐसे होते हैं $p_{\beta }(s)$ सामान्यीकृत है:

$$\int _{0}^{\infty }ds\,p_{\beta }(s)=1$$

और औसत रिक्ति है,

$$\int _{0}^{\infty }ds\,s\,p_{\beta }(s)=1,$$

के लिए $\beta =1,2,4$.

सामान्यीकरण

Wigner matrices यादृच्छिक Hermitian matrices हैं ${\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}}$ जैसे कि प्रविष्टियाँ

$$\left\{H_{n}(i,j)~,\,1\leq i\leq j\leq n\right\}$$

मुख्य विकर्ण के ऊपर शून्य माध्य के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं और समान दूसरे क्षण हैं।

अपरिवर्तनीय मैट्रिक्स पहनावा वास्तविक सममित / हर्मिटियन / क्वाटरनियोनिक हर्मिटियन मैट्रिसेस के स्थान पर घनत्व के साथ यादृच्छिक हर्मिटियन मैट्रिसेस हैं, जो कि फॉर्म का है ${\textstyle {\frac {1}{Z_{n}}}e^{-n\mathrm {tr} V(H)}~,}$ जहां समारोह V को क्षमता कहा जाता है।

यादृच्छिक मेट्रिसेस के इन दो वर्गों के केवल गॉसियन पहनावा ही सामान्य विशेष मामले हैं।

यादृच्छिक मैट्रिसेस का वर्णक्रमीय सिद्धांत

रैंडम मैट्रिसेस का स्पेक्ट्रल सिद्धांत आइगेनवैल्यू के वितरण का अध्ययन करता है क्योंकि मैट्रिक्स का आकार अनंत तक जाता है।

वैश्विक शासन

वैश्विक शासन में, प्रपत्र के रैखिक आंकड़ों के वितरण में रुचि है $N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)$.

अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपाय

अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप μ_H का H द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\,\#\left\{{\text{eigenvalues of }}H{\text{ in }}A\right\}=N_{1_{A},H},\quad A\subset \mathbb {R} .$$

आमतौर पर, की सीमा $\mu _{H}$ नियतात्मक उपाय है; यह आत्म-औसत का विशेष मामला है। सीमित माप के संचयी वितरण समारोह को राज्यों का घनत्व कहा जाता है और इसे एन (λ) निरूपित किया जाता है। यदि राज्यों का एकीकृत घनत्व अलग-अलग है, तो इसके व्युत्पन्न को राज्यों का घनत्व कहा जाता है और इसे ρ(λ) दर्शाया जाता है।

विग्नर मेट्रिसेस के अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप की सीमा यूजीन विग्नर द्वारा वर्णित की गई थी; Wigner अर्धवृत्त वितरण और Wigner surmise देखें। जहां तक ​​नमूना सहप्रसरण आव्यूहों का संबंध है, मार्सेंको और पाश्चर द्वारा सिद्धांत विकसित किया गया था। अपरिवर्तनीय मैट्रिक्स के अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप की सीमा निश्चित अभिन्न समीकरण द्वारा वर्णित है जो संभावित सिद्धांत से उत्पन्न होती है।

उतार-चढ़ाव

रैखिक आँकड़ों के लिए N_f,H = n⁻¹ Σ f(λ_j), किसी की दिलचस्पी ∫ f(λ) dN(λ) के उतार-चढ़ाव में भी है। यादृच्छिक मैट्रिसेस के कई वर्गों के लिए, फॉर्म का केंद्रीय सीमा प्रमेय

$${\frac {N_{f,H}-\int f(\lambda )\,dN(\lambda )}{\sigma _{f,n}}}{\overset {D}{\longrightarrow }}N(0,1)$$

ज्ञात है।

एकात्मक पहनावा के लिए परिवर्तनशील समस्या

उपाय पर विचार करें

$\mathrm {d} \mu _{N}(\mu )={\frac {1}{{\widetilde {Z}}_{N}}}e^{-H_{N}(\lambda )}\mathrm {d} \lambda ,\qquad H_{N}(\lambda )=-\sum \limits _{j\neq k}\ln |\lambda _{j}-\lambda _{k}|+N\sum \limits _{j=1}^{N}Q(\lambda _{j}),$

कहाँ $Q(M)$ पहनावा और जाने की क्षमता है $\nu$ अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपाय हो।

हम फिर से लिख सकते हैं $H_{N}(\lambda )$ साथ $\nu$ जैसा

$H_{N}(\lambda )=N^{2}\left[-\int \int _{x\neq y}\ln |x-y|\mathrm {d} \nu (x)\mathrm {d} \nu (y)+\int Q(x)\mathrm {d} \nu (x)\right],$

संभाव्यता माप अब फॉर्म का है

$\mathrm {d} \mu _{N}(\mu )={\frac {1}{{\widetilde {Z}}_{N}}}e^{-N^{2}I_{Q}(\nu )}\mathrm {d} \lambda ,$

कहाँ $I_{Q}(\nu )$ वर्ग कोष्ठक के अंदर उपरोक्त कार्य है। अब छोड़ दिया

$M_{1}(\mathbb {R} )=\left\{\nu :\nu \geq 0,\ \int _{\mathbb {R} }\mathrm {d} \nu =1\right\}$

एक आयामी संभाव्यता उपायों का स्थान बनें और मिनिमाइज़र पर विचार करें

$E_{Q}=\inf \limits _{\nu \in M_{1}(\mathbb {R} )}-\int \int _{x\neq y}\ln |x-y|\mathrm {d} \nu (x)\mathrm {d} \nu (y)+\int Q(x)\mathrm {d} \nu (x).$

के लिए $E_{Q}$ अद्वितीय यूलिब्रियम उपाय मौजूद है $\nu _{Q}$ भिन्नरूपों की कलन के माध्यम से|यूलर-लैग्रेंज कुछ वास्तविक स्थिरांक के लिए परिवर्तनशील स्थितियाँ $l$

$2\int _{\mathbb {R} }\log |x-y|\mathrm {d} \nu (y)-Q(x)=l,\quad x\in J$

$2\int _{\mathbb {R} }\log |x-y|\mathrm {d} \nu (y)-Q(x)\leq l,\quad x\in \mathbb {R} \setminus J$

कहाँ $J=\bigcup \limits _{j=1}^{q}[a_{j},b_{j}]$ उपाय का समर्थन है और

$q=-\left({\frac {Q'(x)}{2}}\right)^{2}+\int {\frac {Q'(x)-Q'(y)}{x-y}}\mathrm {d} \nu _{Q}(y)$.

संतुलन उपाय $\nu _{Q}$ निम्नलिखित रेडॉन-निकोडिम घनत्व है

${\frac {\mathrm {d} \nu _{Q}(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {q(x)}}.$

स्थानीय शासन

स्थानीय शासन में, किसी को eigenvalues ​​​​के बीच की दूरी में दिलचस्पी है, और अधिक आम तौर पर, क्रम 1/n की लंबाई के अंतराल में eigenvalues ​​​​के संयुक्त वितरण में। सीमित वर्णक्रमीय माप के समर्थन के भीतर अंतराल से संबंधित बल्क आंकड़ों और समर्थन की सीमा के निकट अंतराल से संबंधित किनारे के आंकड़ों के बीच अंतर करता है।

थोक आँकड़े

औपचारिक रूप से, ठीक करें $\lambda _{0}$ के समर्थन (माप सिद्धांत) के आंतरिक (टोपोलॉजी) में $N(\lambda )$. फिर बिंदु प्रक्रिया पर विचार करें

$$\Xi (\lambda _{0})=\sum _{j}\delta {\Big (}{\cdot }-n\rho (\lambda _{0})(\lambda _{j}-\lambda _{0}){\Big )}~,$$

कहाँ $\lambda _{j}$ यादृच्छिक मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​हैं।

बिंदु प्रक्रिया $\Xi (\lambda _{0})$ के आसपास के eigenvalues ​​​​के सांख्यिकीय गुणों को कैप्चर करता है $\lambda _{0}$. #Gaussian पहनावा के लिए, की सीमा $\Xi (\lambda _{0})$ ज्ञात है;इस प्रकार, GUE के लिए यह कर्नेल के साथ निर्धारक बिंदु प्रक्रिया है

$$K(x,y)={\frac {\sin \pi (x-y)}{\pi (x-y)}}$$

(साइन कर्नेल)।

सार्वभौमिकता का सिद्धांत मानता है कि की सीमा $\Xi (\lambda _{0})$ जैसा $n\to \infty$ केवल यादृच्छिक मैट्रिक्स के समरूपता वर्ग पर निर्भर होना चाहिए (और न तो यादृच्छिक मैट्रिक्स के विशिष्ट मॉडल पर और न ही $\lambda _{0}$). सार्वभौमिकता के कठोर प्रमाण अपरिवर्तनीय मैट्रिक्स पहनावा के लिए जाने जाते हैं और विग्नर मेट्रिसेस।

बढ़त के आँकड़े

Main article: Tracy–Widom distribution

सहसंबंध कार्य

के eigenvalues ​​​​की संयुक्त संभावना घनत्व $n\times n$ यादृच्छिक हर्मिटियन मेट्रिसेस $M\in \mathbf {H} ^{n\times n}$, प्रपत्र के विभाजन कार्यों के साथ

$$Z_{n}=\int _{M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}d\mu _{0}(M)e^{{\text{tr}}(V(M))}$$

कहाँ

$$V(x):=\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}x^{j}$$

और $d\mu _{0}(M)$ अंतरिक्ष पर मानक Lebesgue उपाय है $\mathbf {H} ^{n\times n}$ हर्मिटियन का $n\times n$ मैट्रिसेस, द्वारा दिया गया है

$$p_{n,V}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{Z_{n,V}}}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}e^{-\sum _{i}V(x_{i})}.$$

$k$वें>-बिंदु सहसंबंध कार्य (या सीमांत वितरण)

के रूप में परिभाषित किया गया है

$$R_{n,V}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {n!}{(n-k)!}}\int _{\mathbf {R} }dx_{k+1}\cdots \int _{\mathbb {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$$

जो उनके चरों के विषम सममित कार्य हैं। विशेष रूप से, बिंदु सहसंबंध समारोह, या राज्यों का घनत्व है

$$R_{n,V}^{(1)}(x_{1})=n\int _{\mathbb {R} }dx_{2}\cdots \int _{\mathbf {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).$$

बोरेल सेट पर इसका अभिन्न अंग $B\subset \mathbf {R}$ में निहित eigenvalues ​​की अपेक्षित संख्या देता है $B$:

$$\int _{B}R_{n,V}^{(1)}(x)dx=\mathbf {E} \left(\#\{{\text{eigenvalues in }}B\}\right).$$

निम्नलिखित परिणाम इन सहसंबंध कार्यों को जोड़े में उचित अभिन्न कर्नेल का मूल्यांकन करने से गठित मैट्रिसेस के निर्धारक के रूप में व्यक्त करता है $(x_{i},x_{j})$ सहसंयोजक के भीतर दिखाई देने वाले बिंदुओं की।

प्रमेय [डायसन-मेहता] किसी के लिए $k$, $1\leq k\leq n$ $k$-प्वाइंट सहसंबंध समारोह $R_{n,V}^{(k)}$ निर्धारक के रूप में लिखा जा सकता है

$$R_{n,V}^{(k)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})=\det _{1\leq i,j\leq k}\left(K_{n,V}(x_{i},x_{j})\right),$$

कहाँ $K_{n,V}(x,y)$ है $n$वें क्रिस्टोफर-डबौक्स कर्नेल

$$K_{n,V}(x,y):=\sum _{k=0}^{n-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y),$$

के लिए जुड़े $V$, अर्धबहुपद के संदर्भ में लिखा गया है

$$\psi _{k}(x)={1 \over {\sqrt {h_{k}}}}\,p_{k}(z)\,e^{-V(z)/2},$$
 कहाँ $\{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }$ ऑर्थोगोनिलिटी स्थितियों को संतुष्ट करने वाले संकेतित डिग्री के मोनिक बहुपदों का  पूर्ण अनुक्रम है

$$\int _{\mathbf {R} }\psi _{j}(x)\psi _{k}(x)dx=\delta _{jk}.$$

रैंडम मेट्रिसेस के अन्य वर्ग

विशार्ट मेट्रिसेस

Main article: Wishart distribution

विशार्ट मेट्रिसेस फॉर्म के n × n रैंडम मैट्रिसेस हैं H = X X^*, जहां X स्वतंत्र प्रविष्टियों के साथ n × m यादृच्छिक मैट्रिक्स (m ≥ n) है, और X^* इसका संयुग्मी स्थानांतरण है। विशार्ट द्वारा विचार किए गए महत्वपूर्ण विशेष मामले में, एक्स की प्रविष्टियाँ समान रूप से गौसियन यादृच्छिक चर (या तो वास्तविक या जटिल) वितरित की जाती हैं।

मार्चेंको-पास्तुर वितरण पाया गयाव्लादिमीर मार्चेंको और लियोनिद पाश्चर द्वारा।

यादृच्छिक एकात्मक आव्यूह

Main article: Circular ensembles

गैर-हर्मिटियन यादृच्छिक मेट्रिसेस

Main article: Circular law

संदर्भ

किताबें

• Mehta, M.L. (2004). रैंडम मेट्रिसेस. Amsterdam: Elsevier/Academic Press. ISBN 0-12-088409-7.
• Anderson, G.W.; Guionnet, A.; Zeitouni, O. (2010). रैंडम मेट्रिसेस का परिचय।. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19452-5.
• Akemann, G.; Baik, J.; Di Francesco, P. (2011). रैंडम मैट्रिक्स थ्योरी की ऑक्सफोर्ड हैंडबुक. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-957400-1.

सर्वेक्षण लेख

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• Pastur, L.A. (1973). "रैंडम सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर्स का स्पेक्ट्रा". Russ. Math. Surv. 28 (1): 1–67. Bibcode:1973RuMaS..28....1P. doi:10.1070/RM1973v028n01ABEH001396. S2CID 250796916.
• Diaconis, Persi (2003). "आइगेनवैल्यूज में पैटर्न: 70वां जोशिया विलार्ड गिब्स लेक्चर". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 40 (2): 155–178. doi:10.1090/S0273-0979-03-00975-3. MR 1962294.
• Diaconis, Persi (2005). "क्या है ... एक यादृच्छिक मैट्रिक्स?". Notices of the American Mathematical Society. 52 (11): 1348–1349. ISSN 0002-9920. MR 2183871.
• Eynard, Bertrand; Kimura, Taro; Ribault, Sylvain (2015-10-15). "रैंडम मेट्रिसेस". arXiv:1510.04430v2 [math-ph].

ऐतिहासिक कार्य

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बाहरी संबंध

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• Weisstein, E. W. "Random Matrix". Wolfram MathWorld.