विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण

विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण दूसरे क्रम का आंशिक अंतर समीकरण है जो माध्यम (प्रकाशिकी) या निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंगों के प्रसार का वर्णन करता है। यह वेव इक्वेशन # स्केलर वेव इक्वेशन इन थ्री स्पेस डायमेंशन | वेव इक्वेशन का त्रि-आयामी रूप है। समीकरण का समांगी अवकल समीकरण रूप, या तो विद्युत क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है E या चुंबकीय क्षेत्र B, रूप लेता है:

$${\begin{aligned}\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{aligned}}$$

कहाँ

$$v_{\mathrm {ph} }={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}$$

पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व) के साथ माध्यम में प्रकाश की गति (अर्थात चरण वेग) है μ, और परावैद्युतांक ε, और ∇² वेक्टर लाप्लासियन है। निर्वात में, v_ph = c₀ = 299792458 m/s, मौलिक भौतिक स्थिरांक। इलेक्ट्रोमैग्नेटिक वेव समीकरण मैक्सवेल के समीकरणों से निकला है। अधिकांश पुराने साहित्य में, B चुंबकीय प्रवाह घनत्व या चुंबकीय प्रेरण कहा जाता है। निम्नलिखित समीकरण

$${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned}}$$

भविष्यवाणी करें कि कोई भी विद्युत चुम्बकीय तरंग अनुप्रस्थ तरंग होनी चाहिए, जहाँ विद्युत क्षेत्र हो E और चुंबकीय क्षेत्र B दोनों तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत हैं।

विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण की उत्पत्ति

मैक्सवेल से पीटर गुथरी टैट के लिए पोस्टकार्ड।

अपने 1865 के पेपर में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का गतिशील सिद्धांत शीर्षक से, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने एम्पीयर के सर्किटल लॉ में सुधार का उपयोग किया, जिसे उन्होंने अपने 1861 के पेपर बल की भौतिक रेखाओं पर के भाग III में बनाया था। उनके 1864 के भाग VI में विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत प्रकाश शीर्षक से, मैक्सवेल ने विद्युत चुंबकत्व के कुछ अन्य समीकरणों के साथ विस्थापन धारा को जोड़ा और उन्होंने प्रकाश की गति के बराबर गति के साथ तरंग समीकरण प्राप्त किया। उन्होंने टिप्पणी की:

परिणामों के समझौते से प्रतीत होता है कि प्रकाश और चुंबकत्व ही पदार्थ के स्नेह हैं, और यह प्रकाश विद्युत चुम्बकीय गड़बड़ी है जो विद्युत चुम्बकीय कानूनों के अनुसार क्षेत्र के माध्यम से फैलता है।</ब्लॉककोट>

मैक्सवेल की विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण की व्युत्पत्ति को आधुनिक भौतिकी शिक्षा में बहुत कम बोझिल विधि से बदल दिया गया है जिसमें एम्पीयर के परिपथ संबंधी नियम के सही संस्करण को फैराडे के प्रेरण के नियम के साथ जोड़ा गया है।

आधुनिक पद्धति का उपयोग करके निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम मैक्सवेल के समीकरणों के आधुनिक 'हीवीसाइड' रूप से शुरू करते हैं। निर्वात- और आवेश-मुक्त स्थान में, ये समीकरण हैं:

$${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\end{aligned}}$$

ये सामान्य मैक्सवेल के समीकरण हैं जो चार्ज और करंट दोनों के मामले में विशेष रूप से शून्य पर सेट हैं। कर्ल समीकरणों का कर्ल (गणित) लेना देता है:

$${\begin{aligned}\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)&=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)&=\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$$

हम वेक्टर कैलकुस पहचान # कर्ल के कर्ल का उपयोग कर सकते हैं

$$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V}$$

कहाँ V अंतरिक्ष का कोई सदिश फलन है। और

$$\nabla ^{2}\mathbf {V} =\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {V} \right)$$

कहाँ ∇V डायाडिक्स है जो डायवर्जेंस ऑपरेटर द्वारा संचालित होने पर होता है ∇ ⋅ सदिश देता है। तब से

$${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned}}$$

फिर सर्वसमिका में दाईं ओर का पहला पद लुप्त हो जाता है और हमें तरंग समीकरण प्राप्त होते हैं:

$${\begin{aligned}{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=0\\{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} &=0\end{aligned}}$$

कहाँ

$$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\;{\textrm {m/s}}$$

मुक्त स्थान में प्रकाश की गति है।

समांगी तरंग समीकरण का सहपरिवर्ती रूप

अनुप्रस्थ गति में समय फैलाव। आवश्यकता है कि प्रकाश की गति हर जड़त्वीय फ्रेम में स्थिर है, विशेष सापेक्षता की ओर ले जाती है।

विशेष आपेक्षिकता में मैक्सवेल के समीकरणों के इन सूत्रीकरण को सहप्रसरण और सदिशों के विपरीत रूप में लिखा जा सकता है

$$\Box A^{\mu }=0$$

जहां विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता है

$$A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)$$

लॉरेंज गेज स्थिति के साथ:

$$\partial _{\mu }A^{\mu }=0,$$

और कहाँ

$$\Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$$

डी'अलेम्बर्ट ऑपरेटर है।

== घुमावदार स्पेसटाइम == में सजातीय तरंग समीकरण

Main article: Maxwell's equations in curved spacetime

विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण को दो तरह से संशोधित किया जाता है, व्युत्पन्न को सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ बदल दिया जाता है और नया शब्द प्रकट होता है जो वक्रता पर निर्भर करता है।

$$-{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0$$

कहाँ ${R^{\alpha }}_{\beta }$ रिक्की वक्रता टेन्सर है और अर्धविराम सहपरिवर्ती विभेदन को इंगित करता है।

घुमावदार स्पेसटाइम में लॉरेंज गेज की स्थिति का सामान्यीकरण माना जाता है:

$${A^{\mu }}_{;\mu }=0.$$

अमानवीय विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण

Main article: Inhomogeneous electromagnetic wave equation

स्थानीयकृत समय-भिन्न चार्ज और वर्तमान घनत्व निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंगों के स्रोत के रूप में कार्य कर सकते हैं। मैक्सवेल के समीकरणों को सूत्रों के साथ तरंग समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। तरंग समीकरणों में स्रोतों का योग आंशिक अवकल समीकरणों को विषम बना देता है।

सजातीय विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण का समाधान

Main article: Wave equation

वैद्युतचुंबकीय तरंग समीकरण का सामान्य समाधान रूप की तरंगों का सुपरपोज़िशन सिद्धांत है

$${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\end{aligned}}$$

वस्तुतः के लिए any अच्छा व्यवहार समारोह g आयामहीन तर्क का φ, कहाँ ω कोणीय आवृत्ति (प्रति सेकंड रेडियंस में) है, और k = (k_x, k_y, k_z) तरंग सदिश है (रेडियन प्रति मीटर में)।

हालांकि समारोह g हो सकता है और अक्सर मोनोक्रोमैटिक साइन लहर होता है, इसमें साइनसॉइडल या आवधिक भी नहीं होता है। व्यवहार में, g की अनंत आवधिकता नहीं हो सकती क्योंकि किसी भी वास्तविक विद्युत चुम्बकीय तरंग का समय और स्थान में हमेशा सीमित विस्तार होना चाहिए। नतीजतन, और फूरियर रूपांतरण के सिद्धांत के आधार पर, वास्तविक लहर में साइनसॉइडल आवृत्तियों के अनंत सेट की सुपरपोजिशन शामिल होनी चाहिए।

इसके अलावा, वैध समाधान के लिए, तरंग सदिश और कोणीय आवृत्ति स्वतंत्र नहीं हैं; उन्हें फैलाव संबंध का पालन करना चाहिए:

$$k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$$

कहाँ k तरंग संख्या है और λ तरंग दैर्ध्य है। चर c का उपयोग केवल इस समीकरण में किया जा सकता है जब विद्युत चुम्बकीय तरंग निर्वात में हो।

मोनोक्रोमैटिक, साइनसोइडल स्थिर-अवस्था

वियोज्य रूप में एकल आवृत्ति के साइनसोइडल तरंगों को मानने से तरंग समीकरण के समाधान का सबसे सरल सेट:

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\Re \left\{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}$$

कहाँ

• i काल्पनिक इकाई है,
• ω = 2π f  रेडियंस प्रति सेकंड में कोणीय आवृत्ति है,
•  f  हेटर्स ़ में आवृत्ति है, और
• $e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)$ यूलर का सूत्र है।

विमान तरंग समाधान

Main article: Sinusoidal plane-wave solutions of the electromagnetic wave equation

एक इकाई सामान्य वेक्टर द्वारा परिभाषित विमान पर विचार करें

$$\mathbf {n} ={\mathbf {k} \over k}.$$

तत्पश्चात् तरंग समीकरणों के तलीय प्रगामी तरंग समाधान हैं

$${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=\mathbf {E} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=\mathbf {B} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\end{aligned}}$$

कहाँ r = (x, y, z) स्थिति सदिश (मीटर में) है।

ये समाधान सामान्य वेक्टर की दिशा में यात्रा करने वाली प्लेनर तरंगों का प्रतिनिधित्व करते हैं n. अगर हम परिभाषित करते हैं z दिशा की दिशा के रूप में n, और यह x दिशा की दिशा के रूप में E, तो फैराडे के नियम के अनुसार चुंबकीय क्षेत्र निहित है y दिशा और विद्युत क्षेत्र से संबंध द्वारा होता है

$$c^{2}{\partial B \over \partial z}={\partial E \over \partial t}.$$

क्योंकि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों का विचलन शून्य है, प्रसार की दिशा में कोई क्षेत्र नहीं हैं।

यह समाधान तरंग समीकरणों का रैखिक ध्रुवीकरण (तरंगों) का समाधान है। गोलाकार रूप से ध्रुवीकृत समाधान भी हैं जिनमें क्षेत्र सामान्य वेक्टर के बारे में घूमते हैं।

वर्णक्रमीय अपघटन

निर्वात में मैक्सवेल के समीकरणों की रैखिकता के कारण, समाधानों को ज्या के अध्यारोपण में विघटित किया जा सकता है। यह अंतर समीकरणों के समाधान के लिए फूरियर रूपांतरण विधि का आधार है। विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण का उन लोगों के सोइडल समाधान रूप लेता है

$${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\end{aligned}}$$

कहाँ

• t समय है (सेकंड में),
• ω कोणीय आवृत्ति है (रेडियन प्रति सेकंड में),
• k = (k_x, k_y, k_z) वेव वेक्टर है (रेडियन प्रति मीटर में), और
• $\phi _{0}$ चरण (तरंगें) (रेडियंस में) है।

तरंग वेक्टर कोणीय आवृत्ति से संबंधित है

$$k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$$

कहाँ k तरंग संख्या है और λ तरंग दैर्ध्य है।

विद्युत चुम्बकीय वर्णक्रम तरंग दैर्ध्य के समारोह के रूप में क्षेत्र परिमाण (या ऊर्जा) का प्लॉट है।

मल्टीपोल विस्तार

मोनोक्रोमैटिक क्षेत्रों को समय के साथ बदलते हुए मानते हुए $e^{-i\omega t}$, यदि कोई मैक्सवेल के समीकरणों को समाप्त करने के लिए उपयोग करता है B, विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के लिए कम हो जाता है E:

$$(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0,\,\mathbf {B} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} ,$$

साथ k = ω/c जैसा कि ऊपर दिया गया है। वैकल्पिक रूप से, कोई समाप्त कर सकता है E के पक्ष में B प्राप्त करने के लिए:

$$(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0,\,\mathbf {E} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} .$$

आवृत्ति के साथ सामान्य विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र ω को इन दो समीकरणों के समाधान के योग के रूप में लिखा जा सकता है। हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण # त्रि-आयामी समाधान | हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के त्रि-आयामी समाधानों को गोलाकार हार्मोनिक्स में विस्तार के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसमें गोलाकार बेसेल कार्यों के आनुपातिक गुणांक होते हैं। हालाँकि, इस विस्तार को प्रत्येक वेक्टर घटक पर लागू करना E या B ऐसे समाधान प्रदान करेगा जो सामान्य रूप से विचलन-मुक्त नहीं हैं (∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = 0), और इसलिए गुणांकों पर अतिरिक्त प्रतिबंधों की आवश्यकता है।

मल्टीपोल एक्सपेंशन इस कठिनाई को एक्सपैंडिंग न करके कम करता है E या B, लेकिन r ⋅ E या r ⋅ B गोलाकार हार्मोनिक्स में। ये विस्तार अभी भी मूल हेल्महोल्ट्ज़ समीकरणों को हल करते हैं E और B क्योंकि विचलन मुक्त क्षेत्र के लिए F, ∇² (r ⋅ F) = r ⋅ (∇² F). सामान्य विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के लिए परिणामी भाव हैं:

$${\begin{aligned}\mathbf {E} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\right]\\\mathbf {B} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\right]\,,\end{aligned}}$$

कहाँ $\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}$ और $\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}$ क्रम (l, m) के विद्युत बहुध्रुवीय क्षेत्र हैं, और $\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}$ और $\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}$ संगत चुंबकीय बहुध्रुव क्षेत्र हैं, और a_E(l, m) और a_M(l, m) विस्तार के गुणांक हैं। बहुध्रुव क्षेत्र किसके द्वारा दिए गए हैं

$${\begin{aligned}\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}&={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}&=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\,,\end{aligned}}$$

कहाँ h_l^(1,2)(x) गोलाकार बेसेल फलन#गोलाकार हैंकेल फलन हैं, E_l^(1,2) और B_l^(1,2) सीमा स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है, और

$$\mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l,m}$$

वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स सामान्यीकृत हैं ताकि

$$\int \mathbf {\Phi } _{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi } _{l',m'}d\Omega =\delta _{l,l'}\delta _{m,m'}.$$

विद्युतचुंबकीय क्षेत्र के बहुध्रुव विस्तार में गोलाकार समरूपता से जुड़ी कई समस्याओं में आवेदन मिलता है, उदाहरण के लिए एंटीना विकिरण पैटर्न, या परमाणु गामा क्षय। इन अनुप्रयोगों में, अक्सर निकट और दूर के क्षेत्र #विकिरण क्षेत्र में विकीर्ण होने वाली शक्ति में रुचि होती है, जिसमें दूर-क्षेत्र को विकीर्ण करना भी शामिल है|दूर-क्षेत्र। इस क्षेत्रों में, E और B क्षेत्र असम्बद्ध रूप से दृष्टिकोण करते हैं

$${\begin{aligned}\mathbf {B} &\approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\\\mathbf {E} &\approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} .\end{aligned}}$$

समय-औसत विकीर्ण शक्ति का कोणीय वितरण तब दिया जाता है

$${\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\times \mathbf {\hat {r}} +a_{M}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.$$

यह भी देखें

सिद्धांत और प्रयोग

• मैक्सवेल के समीकरण
• तरंग समीकरण
• आंशिक विभेदक समीकरण
• कम्प्यूटेशनल इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स
• विद्युत चुम्बकीय विकिरण
• प्रभार संरक्षण
• रोशनी
• विद्युत चुम्बकीय वर्णक्रम
• प्रकाशिकी

• विशेष सापेक्षता
• सामान्य सापेक्षता
• अमानवीय विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण
• फोटॉन ध्रुवीकरण
• लारमोर फॉर्मूला
• श्रोडिंगर समीकरण के लिए सैद्धांतिक और प्रायोगिक औचित्य

अनुप्रयोग

• इंद्रधनुष
• लौकिक माइक्रोवेव पृष्ठभूमि
• लेज़र
• लेजर फ्यूजन
• फोटोग्राफी
• एक्स-रे
• एक्स - रे क्रिस्टलोग्राफी
• राडार

• रेडियो तरंग
• ऑप्टिकल कंप्यूटिंग
• माइक्रोवेव
• होलोग्रफ़ी
• सूक्ष्मदर्शी
• दूरबीन
• गुरुत्वाकर्षण लेंस
• श्याम पिंडों से उत्पन्न विकिरण

जीवनी

• आंद्रे-मैरी एम्पीयर
• अल्बर्ट आइंस्टीन
• माइकल फैराडे
• हेनरिक हर्ट्ज़
• ओलिवर हीविसाइड
• जेम्स क्लर्क मैक्सवेल
• हेंड्रिक लोरेंत्ज़

टिप्पणियाँ

अग्रिम पठन

विद्युत चुंबकत्व

जर्नल लेख

• मैक्सवेल, जेम्स क्लर्क, इलेक्ट्रोमैग्नेटिक फील्ड का गतिशील सिद्धांत, लंदन की रॉयल सोसाइटी के दार्शनिक लेनदेन 155, 459-512 (1865) ). (यह लेख मैक्सवेल द्वारा रॉयल सोसाइटी के लिए 8 दिसंबर, 1864 की प्रस्तुति के साथ था।)

स्नातक स्तर की पाठ्यपुस्तकें

• Griffiths, David J. (1998). इलेक्ट्रोडायनामिक्स का परिचय (तीसरा संस्करण). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Tipler, Paul (2004). वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए भौतिकी: बिजली, चुंबकत्व, प्रकाश और प्राथमिक आधुनिक भौतिकी (5वां संस्करण)।. W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.
• एडवर्ड एम. परसेल, बिजली और चुंबकत्व (मैकग्रा-हिल, न्यूयॉर्क, 1985)। ISBN 0-07-004908-4.
• हरमन ए. हॉस और जेम्स आर. मेल्चर, इलेक्ट्रोमैग्नेटिक फील्ड्स एंड एनर्जी (प्रेंटिस-हॉल, 1989) ISBN 0-13-249020-X.
• बनेश हॉफमैन, रिलेटिविटी एंड इट्स रूट्स (फ्रीमैन, न्यूयॉर्क, 1983)। ISBN 0-7167-1478-7.
• डेविड एच. स्टेलिन, ऐन डब्ल्यू. मोर्गेंथेलर, और जिन औ कोंग, इलेक्ट्रोमैग्नेटिक वेव्स (प्रेंटिस-हॉल, 1994) ISBN 0-13-225871-4.
• चार्ल्स एफ स्टीवंस, द सिक्स कोर थ्योरीज़ ऑफ़ मॉडर्न फ़िज़िक्स, (एमआईटी प्रेस, 1995) ISBN 0-262-69188-4.
• मार्कस ज़ैन, इलेक्ट्रोमैग्नेटिक फील्ड थ्योरी: समस्या समाधान दृष्टिकोण, (जॉन विले एंड संस, 1979) ISBN 0-471-02198-9

स्नातक स्तर की पाठ्यपुस्तकें

• Jackson, John D. (1998). क्लासिकल इलेक्ट्रोडायनामिक्स (तीसरा संस्करण). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• लेव डेविडोविच लैंडौ|लैंडौ, एल.डी., द क्लासिकल थ्योरी ऑफ़ फील्ड्स (सैद्धांतिक भौतिकी का पाठ्यक्रम: वॉल्यूम 2), (बटरवर्थ-हेनीमैन: ऑक्सफोर्ड, 1987)। ISBN 0-08-018176-7.
• Maxwell, James C. (1954). बिजली और चुंबकत्व पर एक ग्रंथ. Dover. ISBN 0-486-60637-6.
• चार्ल्स डब्ल्यू. मिस्नर, किप थॉर्न|किप एस. थॉर्न, जॉन आर्चीबाल्ड व्हीलर, ग्रेविटेशन, (1970) डब्ल्यू.एच. फ्रीमैन, न्यूयॉर्क; ISBN 0-7167-0344-0. (अवकल रूपों के संदर्भ में मैक्सवेल के समीकरणों का उपचार प्रदान करता है।)

वेक्टर कलन

• पी। सी। मैथ्यूज वेक्टर कैलकुलस, स्प्रिंगर 1998, ISBN 3-540-76180-2
• एच। एम. शाय, डिव ग्रैड कर्ल एंड दैट ऑल दैट: एन इनफॉर्मल टेक्स्ट ऑन वेक्टर कैलकुलस, चौथा संस्करण (डब्ल्यू. डब्ल्यू. नॉर्टन एंड कंपनी, 2005) ISBN 0-393-92516-1.

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