लोमैक्स वितरण

Lomax

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	$\alpha >0$ shape (real) $\lambda >0$ scale (real)
Support	$x\geq 0$
PDF	${\alpha \over \lambda }\left[{1+{x \over \lambda }}\right]^{-(\alpha +1)}$
CDF	$1-\left[{1+{x \over \lambda }}\right]^{-\alpha }$
Quantile	$\lambda \left[\left(1-p\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}-1\right]$
Mean	${\lambda \over {\alpha -1}}{\text{ for }}\alpha >1$; undefined otherwise
Median	$\lambda \left({\sqrt[{\alpha }]{2}}-1\right)$
Mode	0
Variance	${\begin{cases}{{\lambda ^{2}\alpha } \over {(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&\alpha >2\\\infty &1<\alpha \leq 2\\{\text{Undefined}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
Skewness	${\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3\,$
Ex. kurtosis	${\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4\,$

Lomax वितरण, सशर्त रूप से Pareto_distribution#Pareto प्रकार I-IV भी कहा जाता है, एक भारी पूंछ है। व्यापार, अर्थशास्त्र, बीमांकिक विज्ञान, कतार सिद्धांत और इंटरनेट ट्रैफ़िक मॉडलिंग में उपयोग किया जाने वाला भारी-पूंछ संभाव्यता वितरण। इसका नाम के.एस. लोमैक्स के नाम पर रखा गया है। यह अनिवार्य रूप से एक पेरेटो वितरण है जिसे स्थानांतरित कर दिया गया है ताकि इसका समर्थन शून्य से शुरू हो।

विशेषता

संभाव्यता घनत्व समारोह

लोमैक्स वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व समारोह (पीडीएफ) द्वारा दिया गया है

$p(x)={\alpha \over \lambda }\left[{1+{x \over \lambda }}\right]^{-(\alpha +1)},\qquad x\geq 0,$

आकार पैरामीटर के साथ $\alpha >0$ और स्केल पैरामीटर $\lambda >0$. घनत्व को इस तरह से फिर से लिखा जा सकता है जो पारेतो वितरण के संबंध को अधिक स्पष्ट रूप से दर्शाता है। वह है:

$p(x)={{\alpha \lambda ^{\alpha }} \over {(x+\lambda )^{\alpha +1}}}$.

=== गैर-केंद्रीय क्षण === $\nu$वें> वें गैर-केंद्रीय क्षण $E\left[X^{\nu }\right]$ आकार पैरामीटर होने पर ही मौजूद है $\alpha$ सख्ती से अधिक है $\nu$, जब क्षण का मूल्य हो

$E\left(X^{\nu }\right)={\frac {\lambda ^{\nu }\Gamma (\alpha -\nu )\Gamma (1+\nu )}{\Gamma (\alpha )}}$

संबंधित वितरण

पेरेटो वितरण से संबंध

लोमैक्स वितरण एक पारेटो वितरण है जिसे स्थानांतरित किया गया है ताकि इसका समर्थन शून्य से शुरू हो। विशेष रूप से:

${\text{If }}Y\sim {\mbox{Pareto}}(x_{m}=\lambda ,\alpha ),{\text{ then }}Y-x_{m}\sim {\mbox{Lomax}}(\alpha ,\lambda ).$

लोमैक्स वितरण एक Pareto_distribution#Pareto प्रकार I-IV x के साथ है_m=λ और μ=0:

${\text{If }}X\sim {\mbox{Lomax}}(\alpha ,\lambda ){\text{ then }}X\sim {\text{P(II)}}\left(x_{m}=\lambda ,\alpha ,\mu =0\right).$

सामान्यीकृत पेरेटो वितरण से संबंध

लोमैक्स वितरण सामान्यीकृत पेरेटो वितरण का एक विशेष मामला है। विशेष रूप से:

$\mu =0,~\xi ={1 \over \alpha },~\sigma ={\lambda \over \alpha }.$

बीटा प्राइम वितरण से संबंध

स्केल पैरामीटर λ = 1 के साथ लोमैक्स वितरण बीटा प्राइम वितरण का एक विशेष मामला है। यदि X का लोमैक्स वितरण है, तो ${\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )$.

एफ वितरण से संबंध

आकार पैरामीटर α = 1 और स्केल पैरामीटर λ = 1 के साथ लोमैक्स वितरण में घनत्व है $f(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}}}$, F-वितरण के समान वितरण|F(2,2) वितरण। यह घातीय वितरण के साथ दो स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अनुपात का वितरण है।

क्यू-घातीय वितरण से संबंध

लोमैक्स वितरण क्यू-घातीय वितरण का एक विशेष मामला है। क्यू-एक्सपोनेंशियल एक सीमित अंतराल पर समर्थन करने के लिए इस वितरण का विस्तार करता है। लोमैक्स पैरामीटर द्वारा दिए गए हैं:

$\alpha ={{2-q} \over {q-1}},~\lambda ={1 \over \lambda _{q}(q-1)}.$

(लॉग-) रसद वितरण से संबंध

लोमैक्स (आकार = 1.0, स्केल = λ) का लघुगणक - वितरित चर स्थान लॉग (λ) और स्केल 1.0 के साथ एक रसद वितरण का अनुसरण करता है। इसका तात्पर्य है कि एक लोमैक्स (आकार = 1.0, स्केल = λ) -वितरण आकार β = 1.0 और स्केल α = लॉग (λ) के साथ लॉग-लॉजिस्टिक वितरण के बराबर है।

गामा-घातीय (स्केल-) मिश्रण कनेक्शन

लोमैक्स वितरण घातीय वितरण के एक यौगिक संभाव्यता वितरण के रूप में उत्पन्न होता है जहां दर का मिश्रण वितरण एक गामा वितरण होता है। अगर λ|k,θ ~ Gamma(shape = k, scale = θ) and X|λ ~ Exponential(rate = λ) तो X|k,θ का सीमांत वितरण Lomax(shape = k, scale = 1/θ) है ). चूंकि दर पैरामीटर समतुल्य रूप से स्केल पैरामीटर के लिए पुनर्मूल्यांकन किया जा सकता है, इसलिए लोमैक्स वितरण घातांकों का एक 'पैमाने का मिश्रण' बनाता है (एक व्युत्क्रम-गामा वितरण के बाद घातीय वितरण पैमाने पैरामीटर के साथ)।

यह भी देखें

• बिजली कानून
• यौगिक संभाव्यता वितरण
• हाइपरएक्सपोनेंशियल वितरण (घातांकों का परिमित मिश्रण)
• सामान्य-घातीय-गामा वितरण (लोमैक्स मिश्रण वितरण के साथ एक सामान्य पैमाने का मिश्रण)