डंडेलिन गोले: Difference between revisions

Revision as of 07:59, 17 March 2023

डंडेलिन के गोले हल्के पीले रंग के तल को छू रहे हैं जो शंकु को काटता है।

ज्यामिति में, डंडेलिन के गोले एक या दो गोले होते हैं जो एक समतल (ज्यामिति) और एक शंकु (ज्यामिति) दोनों के स्पर्शरेखा होते हैं जो समतल को काटते हैं। शंकु और समतल का प्रतिच्छेदन एक शंक्वाकार खंड है, और जिस बिंदु पर कोई भी गोला समतल को स्पर्श करता है, वह शंकु खंड का फोकस (ज्यामिति) होता है, इसलिए डेंडेलिन क्षेत्रों को कभी-कभी फोकल क्षेत्र भी कहा जाता है।^[1]

डंडेलिन क्षेत्रों की खोज 1822 में हुई थी।^[1]^[2] उनका नाम फ्रांस के गणितज्ञ जर्मिनल पियरे डंडेलिन के सम्मान में रखा गया है, हालांकि एडोल्फ क्वेटलेट को कभी-कभी आंशिक श्रेय भी दिया जाता है।^[3]^[4]^[5] डंडेलिन क्षेत्रों का उपयोग पेरगा के एपोलोनियस को ज्ञात दो प्राचीन ग्रीस प्रमेय के सुरुचिपूर्ण आधुनिक प्रमाण देने के लिए किया जा सकता है। पहला प्रमेय यह है कि एक बंद शंक्वाकार खंड (यानी एक दीर्घवृत्त) बिंदुओं का स्थान (गणित) है जैसे कि दो निश्चित बिंदुओं (फोसी) की दूरियों का योग स्थिर है। दूसरा प्रमेय यह है कि किसी भी शंक्वाकार खंड के लिए, एक निश्चित बिंदु (फोकस) से दूरी एक निश्चित रेखा (नियंता (शंकु खंड)) से दूरी के समानुपाती होती है, आनुपातिकता के स्थिरांक को विलक्षणता (गणित) कहा जाता है।^[6] शंकु खंड में प्रत्येक फोकस के लिए एक डंडेलिन क्षेत्र होता है। एक दीर्घवृत्त में शंकु के एक ही Nappe (बहुविकल्पी) को स्पर्श करने वाले दो डंडेलिन क्षेत्र होते हैं, जबकि अतिशयोक्ति में दो डंडेलिन क्षेत्र होते हैं जो विपरीत लंगोट को छूते हैं। एक परवलय में केवल एक डंडेलिन गोला होता है।

== प्रमाण है कि प्रतिच्छेदन वक्र में foci == की दूरी का निरंतर योग है उदाहरण पर विचार करें, शीर्ष पर शीर्ष S के साथ एक शंकु का चित्रण। एक समतल e वक्र C (नीले आतंरिक भाग वाला) में शंकु को काटता है। निम्नलिखित प्रमाण से पता चलेगा कि वक्र C एक दीर्घवृत्त है।

दो भूरे डंडेलिन गोले, जी₁ और जी₂, समतल और शंकु दोनों पर स्पर्शरेखा रखी जाती है: G₁ विमान के ऊपर, जी₂ नीचे। प्रत्येक गोला शंकु को एक वृत्त (सफेद रंग) के साथ स्पर्श करता है, $k_{1}$ और $k_{2}$ .

जी के साथ विमान की स्पर्शरेखा के बिंदु को निरूपित करें₁ एफ द्वारा₁, और इसी तरह जी के लिए₂ और एफ₂ . मान लीजिए P वक्र C पर एक विशिष्ट बिंदु है।

सिद्ध करना : दूरियों का योग $d(P,F_{1})+d(P,F_{2})$ बिंदु P के रूप में स्थिर रहता है, प्रतिच्छेद की वक्र C के साथ चलता है। (यह C की दीर्घवृत्त होने की एक परिभाषा है, साथ में $F_{1}$ और $F_{2}$ इसका फोकस होना।)

शंकु के P और शीर्ष (ज्यामिति) S से गुजरने वाली एक रेखा G को स्पर्श करते हुए दो वृत्तों को काटती है₁ और जी₂ क्रमशः बिंदु P पर₁ और पी₂.
P वक्र के चारों ओर घूमता है, P₁ और पी₂ दो वृत्तों के साथ चलते हैं, और उनकी दूरी d(P₁, पी₂) स्थिर रहता है।
P से F की दूरी₁ P से P की दूरी के समान है₁, क्योंकि रेखा खंड PF₁ और पीपी₁ दोनों एक ही गोले G की स्पर्श रेखाएँ हैं₁.
एक सममित तर्क से, पी से एफ की दूरी₂ P से P की दूरी के समान है₂.
नतीजतन, हम दूरियों के योग की गणना करते हैं $d(P,F_{1})+d(P,F_{2})\ =\ d(P,P_{1})+d(P,P_{2})\ =\ d(P_{1},P_{2}),$ जो स्थिर है क्योंकि P वक्र के साथ चलता है।

यह पेरगा के एपोलोनियस के एक प्रमेय का एक अलग प्रमाण देता है।^[6]

यदि हम एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करते हैं जिसका अर्थ बिंदु P का स्थान है जैसे कि d(F₁, पी) + डी (एफ₂, P) = एक स्थिरांक, तो उपरोक्त तर्क यह साबित करता है कि प्रतिच्छेदन वक्र C वास्तव में एक दीर्घवृत्त है। कि शंकु के साथ समतल का प्रतिच्छेदन F से होकर जाने वाली रेखा के लंब समद्विभाजक के सापेक्ष सममित है₁ और एफ₂ विरोधाभासी हो सकता है, लेकिन यह तर्क इसे स्पष्ट करता है।

सिलेंडर का मामला

इस तर्क के अनुकूलन हाइपरबोला के लिए काम करते हैं # एक शंकु और अनुवृत्त के समतल अनुभाग के रूप में # एक शंकु के साथ एक विमान के चौराहों के रूप में डंडेलिन क्षेत्रों के साथ वैकल्पिक प्रमाण। एक अन्य अनुकूलन एक दीर्घवृत्त के लिए काम करता है जिसे एक समवृत्ताकार सिलेंडर (ज्यामिति) के साथ एक विमान के प्रतिच्छेद के रूप में महसूस किया जाता है।

फोकस-डायरेक्ट्री गुण का प्रमाण

डंडेलिन के निर्माण का उपयोग करके एक शांकव खंड का नियंता पाया जा सकता है। डंडेलिन का प्रत्येक गोला शंकु को वृत्त पर प्रतिच्छेद करता है; इन दोनों वृत्तों को अपने-अपने तलों को परिभाषित करने दें। शंक्वाकार खंड के तल के साथ इन दो समानांतर विमानों का प्रतिच्छेद दो समानांतर रेखाएँ होंगी; ये रेखाएँ शांकव परिच्छेद की निदेशिकाएँ हैं। हालांकि, एक अनुवृत्त में एकमात्र डंडेलिन क्षेत्र होता है, और इस प्रकार केवल एक नियंता होता है।

डंडेलिन क्षेत्रों का उपयोग करके, यह साबित किया जा सकता है कि कोई भी शंक्वाकार खंड बिंदुओं का स्थान है जिसके लिए एक बिंदु (फोकस) से दूरी नियंता से दूरी के समानुपाती होती है।^[7] अलेक्जेंड्रिया के पप्पस जैसे प्राचीन यूनानी गणितज्ञ इस संपत्ति के बारे में जानते थे, लेकिन डैंडेलिन क्षेत्र प्रमाण की सुविधा प्रदान करते हैं।^[6]

फ़ोकस-नियंता संपत्ति को साबित करने के लिए न तो डंडेलिन और न ही क्वेटलेट ने डैंडेलिन क्षेत्रों का उपयोग किया। ऐसा करने वाले पहले व्यक्ति 1829 में पियर्स मोर्टन रहे होंगे,^[8] या शायद ह्यूग हैमिल्टन (बिशप) जिन्होंने (1758 में) टिप्पणी की थी कि एक गोला शंकु को एक वृत्त पर स्पर्श करता है जो एक समतल को परिभाषित करता है जिसका शंकु खंड के तल के साथ प्रतिच्छेदन एक नियता है।^[1]^[9]^[10]^[11] फोकस-नियंता संपत्ति का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि केप्लर के ग्रहों की गति के नियम # सूर्य के चारों ओर न्यूटन के नियमों से व्युत्पन्न हैं।^[12]

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Taylor, Charles. An Introduction to the Ancient and Modern Geometry of Conics, page 196 ("focal spheres"), pages 204–205 (history of discovery) (Deighton, Bell and co., 1881).
↑ Dandelin, G. (1822). "Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la focale parabolique" [Memoir on some remarkable properties of the parabolic focale [i.e., oblique strophoid]]. Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Bruxelles (in French). 2: 171–200.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
↑ Kendig, Keith. Conics, p. 86 (proof for ellipse) and p. 141 (for hyperbola) (Cambridge University Press, 2005).
↑ Quetelet, Adolphe (1819) "Dissertatio mathematica inauguralis de quibusdam locis geometricis nec non de curva focali" (Inaugural mathematical dissertation on some geometric loci and also focal curves), doctoral thesis (University of Ghent ("Gand"), Belgium). (in Latin)
↑ Godeaux, L. (1928). "Le mathématicien Adolphe Quetelet (1796-1874)". Ciel et Terre (in French). 44: 60–64.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
↑ ^6.0 ^6.1 ^6.2 Heath, Thomas. A History of Greek Mathematics, page 119 (focus-directrix property), page 542 (sum of distances to foci property) (Clarendon Press, 1921).
↑ Brannan, A. et al. Geometry, page 19 (Cambridge University Press, 1999).
↑ Numericana's Biographies: Morton, Pierce
↑ Morton, Pierce. Geometry, Plane, Solid, and Spherical, in Six Books, page 228 (Baldwin and Cradock, 1830).
↑ Morton, Pierce (1830). "एक शंकु खंड के फोकस पर". Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 3: 185–190.
↑ Hamilton, Hugh (1758). शांकव वर्गों पर ज्यामितीय ग्रंथ। जिसमें शंकु की प्रकृति से ही वर्गों के स्नेह का अनुमान बड़ी आसानी से लगाया जा सकता है। एक नया तरीका। [On conic sections. A geometric treatise. In which, from the nature of the cone itself, relations of sections are most easily deduced. By a new method.] (in Latin). London, England: William Johnston. pp. 122–125.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link) Liber (book) II, Propositio (proposition) XXXVII (37).
↑ Hyman, Andrew. "A Simple Cartesian Treatment of Planetary Motion", European Journal of Physics, Vol. 14, page 145 (1993).

बाहरी संबंध

Dandelin Spheres page by Hop David
Weisstein, Eric W. "Dandelin Spheres". MathWorld.
Math Academy page on Dandelin's spheres
Les théorèmes belges by Xavier Hubaut (in French).
Conic Section Orbits-Dandelin spheres by Egan greg

[Taylor-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Taylor, Charles. An Introduction to the Ancient and Modern Geometry of Conics, page 196 ("focal spheres"), pages 204–205 (history of discovery) (Deighton, Bell and co., 1881).

[2] Dandelin, G. (1822). "Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la focale parabolique" [Memoir on some remarkable properties of the parabolic focale [i.e., oblique strophoid]]. Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Bruxelles (in French). 2: 171–200.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

[3] Kendig, Keith. Conics, p. 86 (proof for ellipse) and p. 141 (for hyperbola) (Cambridge University Press, 2005).

[4] Quetelet, Adolphe (1819) "Dissertatio mathematica inauguralis de quibusdam locis geometricis nec non de curva focali" (Inaugural mathematical dissertation on some geometric loci and also focal curves), doctoral thesis (University of Ghent ("Gand"), Belgium). (in Latin)

[5] Godeaux, L. (1928). "Le mathématicien Adolphe Quetelet (1796-1874)". Ciel et Terre (in French). 44: 60–64.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

[Heath-6] 6.0 ^6.1 ^6.2 Heath, Thomas. A History of Greek Mathematics, page 119 (focus-directrix property), page 542 (sum of distances to foci property) (Clarendon Press, 1921).

[7] Brannan, A. et al. Geometry, page 19 (Cambridge University Press, 1999).

[8] Numericana's Biographies: Morton, Pierce

[9] Morton, Pierce. Geometry, Plane, Solid, and Spherical, in Six Books, page 228 (Baldwin and Cradock, 1830).

[10] Morton, Pierce (1830). "एक शंकु खंड के फोकस पर". Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 3: 185–190.

[11] Hamilton, Hugh (1758). शांकव वर्गों पर ज्यामितीय ग्रंथ। जिसमें शंकु की प्रकृति से ही वर्गों के स्नेह का अनुमान बड़ी आसानी से लगाया जा सकता है। एक नया तरीका। [On conic sections. A geometric treatise. In which, from the nature of the cone itself, relations of sections are most easily deduced. By a new method.] (in Latin). London, England: William Johnston. pp. 122–125.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link) Liber (book) II, Propositio (proposition) XXXVII (37).

[12] Hyman, Andrew. "A Simple Cartesian Treatment of Planetary Motion", European Journal of Physics, Vol. 14, page 145 (1993).

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 [[File:Dandelin spheres.svg|right|thumb|330px|डंडेलिन के गोले हल्के पीले रंग के तल को छू रहे हैं जो शंकु को काटता है।]][[ज्यामिति]] में, डंडेलिन के गोले एक या दो गोले होते हैं जो एक समतल (ज्यामिति) और एक [[शंकु (ज्यामिति)]] दोनों के [[स्पर्शरेखा]] होते हैं जो समतल को काटते हैं। शंकु और समतल का प्रतिच्छेदन एक शंक्वाकार खंड है, और जिस बिंदु पर कोई भी गोला समतल को स्पर्श करता है, वह [[शंकु खंड]] का [[फोकस (ज्यामिति)]] होता है, इसलिए डेंडेलिन क्षेत्रों को कभी-कभी फोकल क्षेत्र भी कहा जाता है।<ref name="Taylor">Taylor, Charles.  ''An Introduction to the Ancient and Modern Geometry of Conics'', [https://books.google.com/books?id=QOQ5AAAAMAAJ&pg=PA204&lpg=PA204&dq=%22focal+sphere%22+dandelin&source=bl&ots=Zx_9i7pM9i&sig=_VTldqLW6PZE-z17XdXioaCpWqQ&hl=en&ei=Ef7gSYL6O5fCMdubsIUJ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1#PPA196,M1 page 196 ("focal spheres")], [https://books.google.com/books?id=LBwPAAAAIAAJ&pg=PA204&dq=%22hugh+hamilton%22+sphere&as_brr=3&ei=dQfhSff0BynSNdaxwZcN pages 204–205 (history of discovery)] (Deighton, Bell and co., 1881).</ref>
-डंडेलिन क्षेत्रों की खोज 1822 में हुई थी।<ref name="Taylor" /><ref>{{cite journal |last1=Dandelin |first1=G. |title=Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la focale parabolique |journal=Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Bruxelles |date=1822 |volume=2 |pages=171–200 |url=https://www.biodiversitylibrary.org/item/101263#page/349/mode/1up |trans-title=Memoir on some remarkable properties of the parabolic ''focale'' [i.e., oblique [[strophoid]]]|language=French}}</ref> उनका नाम [[फ्रांस]] के गणितज्ञ [[जर्मिनल पियरे डंडेलिन]] के सम्मान में रखा गया है, हालांकि [[एडोल्फ क्वेटलेट]] को कभी-कभी आंशिक श्रेय भी दिया जाता है।<ref>Kendig, Keith.  ''Conics'', [https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=TeWCKNsSy6wC&oi=fnd&pg=PA1&ots=jirU6NOR6_&sig=5Se2go8Hxmbmr1FL78ftRZz456o#PPA86,M1 p. 86 (proof for ellipse)] and [https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=TeWCKNsSy6wC&oi=fnd&pg=PA1&ots=jirU6NOR6_&sig=5Se2go8Hxmbmr1FL78ftRZz456o#PPA141,M1 p. 141 (for hyperbola)] (Cambridge University Press, 2005).</ref><ref>Quetelet, Adolphe (1819) [https://books.google.com/books?id=x2pJAAAAcAAJ&pg=PP1#v=onepage&q&f=false "Dissertatio mathematica inauguralis de quibusdam locis geometricis nec non de curva focali"] (Inaugural mathematical dissertation on some geometric loci and also focal curves), doctoral thesis (University of Ghent ("Gand"), Belgium). (in Latin)</ref><ref>{{cite journal |last1=Godeaux |first1=L. |title=Le mathématicien Adolphe Quetelet (1796-1874) |journal=Ciel et Terre |date=1928 |volume=44 |pages=60–64 |url=http://adsbit.harvard.edu//full/1928C%26T....44...60G/0000060.000.html |language=French}}</ref> डंडेलिन क्षेत्रों का उपयोग पेरगा के एपोलोनियस को ज्ञात दो [[प्राचीन ग्रीस]] प्रमेय के सुरुचिपूर्ण आधुनिक प्रमाण देने के लिए किया जा सकता है। पहला प्रमेय यह है कि एक बंद शंक्वाकार खंड (यानी एक दीर्घवृत्त) बिंदुओं का स्थान (गणित) है जैसे कि दो निश्चित बिंदुओं (फोसी) की दूरियों का योग स्थिर है। दूसरा प्रमेय यह है कि किसी भी शंक्वाकार खंड के लिए, एक निश्चित बिंदु (फोकस) से दूरी एक निश्चित रेखा (डायरेक्ट्रिक्स (शंकु खंड)) से दूरी के समानुपाती होती है, आनुपातिकता के स्थिरांक को [[विलक्षणता (गणित)]] कहा जाता है।<ref name="Heath" />  शंकु खंड में प्रत्येक फोकस के लिए एक डंडेलिन क्षेत्र होता है। एक दीर्घवृत्त में शंकु के एक ही [[Nappe (बहुविकल्पी)]] को स्पर्श करने वाले दो डंडेलिन क्षेत्र होते हैं, जबकि [[ अतिशयोक्ति ]] में दो डंडेलिन क्षेत्र होते हैं जो विपरीत लंगोट को छूते हैं। एक [[परवलय]] में केवल एक डंडेलिन गोला होता है।
+डंडेलिन क्षेत्रों की खोज 1822 में हुई थी।<ref name="Taylor" /><ref>{{cite journal |last1=Dandelin |first1=G. |title=Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la focale parabolique |journal=Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Bruxelles |date=1822 |volume=2 |pages=171–200 |url=https://www.biodiversitylibrary.org/item/101263#page/349/mode/1up |trans-title=Memoir on some remarkable properties of the parabolic ''focale'' [i.e., oblique [[strophoid]]]|language=French}}</ref> उनका नाम [[फ्रांस]] के गणितज्ञ [[जर्मिनल पियरे डंडेलिन]] के सम्मान में रखा गया है, हालांकि [[एडोल्फ क्वेटलेट]] को कभी-कभी आंशिक श्रेय भी दिया जाता है।<ref>Kendig, Keith.  ''Conics'', [https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=TeWCKNsSy6wC&oi=fnd&pg=PA1&ots=jirU6NOR6_&sig=5Se2go8Hxmbmr1FL78ftRZz456o#PPA86,M1 p. 86 (proof for ellipse)] and [https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=TeWCKNsSy6wC&oi=fnd&pg=PA1&ots=jirU6NOR6_&sig=5Se2go8Hxmbmr1FL78ftRZz456o#PPA141,M1 p. 141 (for hyperbola)] (Cambridge University Press, 2005).</ref><ref>Quetelet, Adolphe (1819) [https://books.google.com/books?id=x2pJAAAAcAAJ&pg=PP1#v=onepage&q&f=false "Dissertatio mathematica inauguralis de quibusdam locis geometricis nec non de curva focali"] (Inaugural mathematical dissertation on some geometric loci and also focal curves), doctoral thesis (University of Ghent ("Gand"), Belgium). (in Latin)</ref><ref>{{cite journal |last1=Godeaux |first1=L. |title=Le mathématicien Adolphe Quetelet (1796-1874) |journal=Ciel et Terre |date=1928 |volume=44 |pages=60–64 |url=http://adsbit.harvard.edu//full/1928C%26T....44...60G/0000060.000.html |language=French}}</ref> डंडेलिन क्षेत्रों का उपयोग पेरगा के एपोलोनियस को ज्ञात दो [[प्राचीन ग्रीस]] प्रमेय के सुरुचिपूर्ण आधुनिक प्रमाण देने के लिए किया जा सकता है। पहला प्रमेय यह है कि एक बंद शंक्वाकार खंड (यानी एक दीर्घवृत्त) बिंदुओं का स्थान (गणित) है जैसे कि दो निश्चित बिंदुओं (फोसी) की दूरियों का योग स्थिर है। दूसरा प्रमेय यह है कि किसी भी शंक्वाकार खंड के लिए, एक निश्चित बिंदु (फोकस) से दूरी एक निश्चित रेखा (नियंता (शंकु खंड)) से दूरी के समानुपाती होती है, आनुपातिकता के स्थिरांक को [[विलक्षणता (गणित)]] कहा जाता है।<ref name="Heath" />  शंकु खंड में प्रत्येक फोकस के लिए एक डंडेलिन क्षेत्र होता है। एक दीर्घवृत्त में शंकु के एक ही [[Nappe (बहुविकल्पी)]] को स्पर्श करने वाले दो डंडेलिन क्षेत्र होते हैं, जबकि [[ अतिशयोक्ति ]] में दो डंडेलिन क्षेत्र होते हैं जो विपरीत लंगोट को छूते हैं। एक [[परवलय]] में केवल एक डंडेलिन गोला होता है।
 == प्रमाण है कि प्रतिच्छेदन वक्र में foci == की दूरी का निरंतर योग है
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 और इसी तरह जी के लिए<sub>2</sub> और एफ<sub>2</sub> . मान लीजिए P वक्र C पर एक विशिष्ट बिंदु है।
-सिद्ध करना : दूरियों का योग <math> d(P,F_1) + d(P,F_2)</math> बिंदु P के रूप में स्थिर रहता है, चौराहे की वक्र C के साथ चलता है। (यह C की दीर्घवृत्त होने की एक परिभाषा है, साथ में <math>F_1</math> और <math>F_2</math> इसका फोकस होना।)
+सिद्ध करना : दूरियों का योग <math> d(P,F_1) + d(P,F_2)</math> बिंदु P के रूप में स्थिर रहता है, प्रतिच्छेद की वक्र C के साथ चलता है। (यह C की दीर्घवृत्त होने की एक परिभाषा है, साथ में <math>F_1</math> और <math>F_2</math> इसका फोकस होना।)
 *शंकु के P और [[शीर्ष (ज्यामिति)]] S से गुजरने वाली एक रेखा G को स्पर्श करते हुए दो वृत्तों को काटती है<sub>1</sub> और जी<sub>2</sub> क्रमशः बिंदु P पर<sub>1</sub> और पी<sub>2</sub>.
 * P वक्र के चारों ओर घूमता है, P<sub>1</sub> और पी<sub>2</sub> दो वृत्तों के साथ चलते हैं, और उनकी दूरी d(P<sub>1</sub>, पी<sub>2</sub>) स्थिर रहता है।
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 यदि हम एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करते हैं जिसका अर्थ बिंदु P का स्थान है जैसे कि d(F<sub>1</sub>, पी) + डी (एफ<sub>2</sub>, P) = एक स्थिरांक, तो उपरोक्त तर्क यह साबित करता है कि प्रतिच्छेदन वक्र C वास्तव में एक दीर्घवृत्त है। कि शंकु के साथ समतल का प्रतिच्छेदन F से होकर जाने वाली रेखा के लंब समद्विभाजक के सापेक्ष सममित है<sub>1</sub> और एफ<sub>2</sub> विरोधाभासी हो सकता है, लेकिन यह तर्क इसे स्पष्ट करता है।
-[[File:Zylinder-dandelin.svg|thumb|सिलेंडर का मामला]]इस तर्क के अनुकूलन हाइपरबोला के लिए काम करते हैं # एक शंकु और पैराबोला के समतल अनुभाग के रूप में # एक शंकु के साथ एक विमान के चौराहों के रूप में डंडेलिन क्षेत्रों के साथ वैकल्पिक प्रमाण। एक अन्य अनुकूलन एक दीर्घवृत्त के लिए काम करता है जिसे एक समवृत्ताकार [[सिलेंडर (ज्यामिति)]] के साथ एक विमान के चौराहे के रूप में महसूस किया जाता है।
+[[File:Zylinder-dandelin.svg|thumb|सिलेंडर का मामला]]इस तर्क के अनुकूलन हाइपरबोला के लिए काम करते हैं # एक शंकु और अनुवृत्त के समतल अनुभाग के रूप में # एक शंकु के साथ एक विमान के चौराहों के रूप में डंडेलिन क्षेत्रों के साथ वैकल्पिक प्रमाण। एक अन्य अनुकूलन एक दीर्घवृत्त के लिए काम करता है जिसे एक समवृत्ताकार [[सिलेंडर (ज्यामिति)]] के साथ एक विमान के प्रतिच्छेद के रूप में महसूस किया जाता है।
 == फोकस-डायरेक्ट्री गुण का प्रमाण ==
-डंडेलिन के निर्माण का उपयोग करके एक शांकव खंड का डायरेक्ट्रिक्स पाया जा सकता है। डंडेलिन का प्रत्येक गोला शंकु को एक वृत्त पर काटता है; इन दोनों वृत्तों को अपने-अपने तलों को परिभाषित करने दें। शंक्वाकार खंड के तल के साथ इन दो समानांतर विमानों के चौराहे दो समानांतर रेखाएँ होंगी; ये रेखाएँ शांकव परिच्छेद की निदेशिकाएँ हैं। हालांकि, एक पैराबोला में केवल एक डंडेलिन क्षेत्र होता है, और इस प्रकार केवल एक डायरेक्ट्रिक्स होता है।
+डंडेलिन के निर्माण का उपयोग करके एक शांकव खंड का नियंता पाया जा सकता है। डंडेलिन का प्रत्येक गोला शंकु को वृत्त पर  प्रतिच्छेद करता है; इन दोनों वृत्तों को अपने-अपने तलों को परिभाषित करने दें। शंक्वाकार खंड के तल के साथ इन दो समानांतर विमानों का प्रतिच्छेद दो समानांतर रेखाएँ होंगी; ये रेखाएँ शांकव परिच्छेद की निदेशिकाएँ हैं। हालांकि, एक अनुवृत्त में एकमात्र डंडेलिन क्षेत्र होता है, और इस प्रकार केवल एक नियंता होता है।
+डंडेलिन क्षेत्रों का उपयोग करके, यह साबित किया जा सकता है कि कोई भी शंक्वाकार खंड बिंदुओं का स्थान है जिसके लिए एक बिंदु (फोकस) से दूरी नियंता से दूरी के समानुपाती होती है।<ref>Brannan, A. et al.  ''Geometry'', [https://books.google.com/books?id=q49lhAzXTFEC&pg=PA5&dq=dandelin+and+directrix&as_brr=3&ei=if3fSc2tGZ3CMoGTzLEN#PPA19,M1 page 19] (Cambridge University Press, 1999).</ref> [[अलेक्जेंड्रिया के पप्पस]] जैसे प्राचीन यूनानी गणितज्ञ इस संपत्ति के बारे में जानते थे, लेकिन डैंडेलिन क्षेत्र प्रमाण की सुविधा प्रदान करते हैं।<ref name="Heath">Heath, Thomas.  ''A History of Greek Mathematics'',  [https://books.google.com/books?id=7DDQAAAAMAAJ&pg=PA119&lpg=PA119&dq=focus-directrix+property&source=bl&ots=f73ypoeqO6&sig=tToUEkaGhF-JaajlrSGPvvWEq4Q&hl=en&ei=KODgSYGPAde6nAeclfmzCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2 page 119 (focus-directrix property)], [https://books.google.com/books?id=7DDQAAAAMAAJ&pg=PA119&lpg=PA119&dq=focus-directrix+property&source=bl&ots=f73ypoeqO6&sig=tToUEkaGhF-JaajlrSGPvvWEq4Q&hl=en&ei=KODgSYGPAde6nAeclfmzCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2#PPA542,M1 page 542 (sum of distances to foci property)] (Clarendon Press, 1921).</ref>
+फ़ोकस-नियंता संपत्ति को साबित करने के लिए न तो डंडेलिन और न ही क्वेटलेट ने डैंडेलिन क्षेत्रों का उपयोग किया। ऐसा करने वाले पहले व्यक्ति 1829 में पियर्स मोर्टन रहे होंगे,<ref>[http://www.numericana.com/fame/bio.htm Numericana's  Biographies:  Morton, Pierce]</ref>
+या शायद [[ह्यूग हैमिल्टन (बिशप)]] जिन्होंने (1758 में) टिप्पणी की थी कि एक गोला शंकु को एक वृत्त पर स्पर्श करता है जो एक समतल को परिभाषित करता है जिसका शंकु खंड के तल के साथ प्रतिच्छेदन एक नियता है।<ref name="Taylor" /><ref>Morton, Pierce.  ''Geometry, Plane, Solid, and Spherical, in Six Books'', [https://books.google.com/books?id=z6EAAAAAYAAJ&dq=%22Geometry,+Plane+Solid+and+Spherical%22&printsec=frontcover&source=bl&ots=1S8Acu0GaD&sig=wWJfp-LKyy0DdFRXaTxblz373qU&hl=en&ei=ZBjhSaaMPMTmnQf1q4y1CQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1#PPA228,M1 page 228] (Baldwin and Cradock, 1830).</ref><ref>{{cite journal |last1=Morton |first1=Pierce |title=एक शंकु खंड के फोकस पर|journal=Transactions of the Cambridge Philosophical Society |date=1830 |volume=3 |pages=185-190 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433004518340;view=1up;seq=223}}</ref><ref>{{cite book |last1=Hamilton |first1=Hugh |title=शांकव वर्गों पर ज्यामितीय ग्रंथ। जिसमें शंकु की प्रकृति से ही वर्गों के स्नेह का अनुमान बड़ी आसानी से लगाया जा सकता है। एक नया तरीका।|trans-title=On conic sections. A geometric treatise. In which, from the nature of the cone itself, relations of sections are most easily deduced. By a new method. |date=1758 |publisher=William Johnston |location=London, England |pages=122–125 |url=https://archive.org/stream/desectionibusco01hamigoog#page/n154 |language=Latin}} ''Liber'' (book) II, ''Propositio'' (proposition) XXXVII (37).</ref> फोकस-नियंता संपत्ति का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि केप्लर के ग्रहों की गति के नियम # सूर्य के चारों ओर न्यूटन के नियमों से व्युत्पन्न हैं।<ref>Hyman, Andrew. "A Simple Cartesian Treatment of Planetary Motion", ''European Journal of Physics'', Vol. 14, [https://www.researchgate.net/publication/230944834_A_simple_Cartesian_treatment_of_planetary_motion page 145] (1993).</ref>
-डंडेलिन क्षेत्रों का उपयोग करके, यह साबित किया जा सकता है कि कोई भी शंक्वाकार खंड बिंदुओं का स्थान है जिसके लिए एक बिंदु (फोकस) से दूरी डायरेक्ट्रिक्स से दूरी के समानुपाती होती है।<ref>Brannan, A. et al.  ''Geometry'', [https://books.google.com/books?id=q49lhAzXTFEC&pg=PA5&dq=dandelin+and+directrix&as_brr=3&ei=if3fSc2tGZ3CMoGTzLEN#PPA19,M1 page 19] (Cambridge University Press, 1999).</ref> [[अलेक्जेंड्रिया के पप्पस]] जैसे प्राचीन यूनानी गणितज्ञ इस संपत्ति के बारे में जानते थे, लेकिन डैंडेलिन क्षेत्र प्रमाण की सुविधा प्रदान करते हैं।<ref name="Heath">Heath, Thomas.  ''A History of Greek Mathematics'',  [https://books.google.com/books?id=7DDQAAAAMAAJ&pg=PA119&lpg=PA119&dq=focus-directrix+property&source=bl&ots=f73ypoeqO6&sig=tToUEkaGhF-JaajlrSGPvvWEq4Q&hl=en&ei=KODgSYGPAde6nAeclfmzCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2 page 119 (focus-directrix property)], [https://books.google.com/books?id=7DDQAAAAMAAJ&pg=PA119&lpg=PA119&dq=focus-directrix+property&source=bl&ots=f73ypoeqO6&sig=tToUEkaGhF-JaajlrSGPvvWEq4Q&hl=en&ei=KODgSYGPAde6nAeclfmzCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2#PPA542,M1 page 542 (sum of distances to foci property)] (Clarendon Press, 1921).</ref>
-फ़ोकस-डायरेक्ट्रिक्स संपत्ति को साबित करने के लिए न तो डंडेलिन और न ही क्वेटलेट ने डैंडेलिन क्षेत्रों का उपयोग किया। ऐसा करने वाले पहले व्यक्ति 1829 में पियर्स मोर्टन रहे होंगे,<ref>[http://www.numericana.com/fame/bio.htm Numericana's  Biographies:  Morton, Pierce]</ref>
-या शायद [[ह्यूग हैमिल्टन (बिशप)]] जिन्होंने (1758 में) टिप्पणी की थी कि एक गोला शंकु को एक वृत्त पर स्पर्श करता है जो एक समतल को परिभाषित करता है जिसका शंकु खंड के तल के साथ प्रतिच्छेदन एक नियता है।<ref name="Taylor" /><ref>Morton, Pierce.  ''Geometry, Plane, Solid, and Spherical, in Six Books'', [https://books.google.com/books?id=z6EAAAAAYAAJ&dq=%22Geometry,+Plane+Solid+and+Spherical%22&printsec=frontcover&source=bl&ots=1S8Acu0GaD&sig=wWJfp-LKyy0DdFRXaTxblz373qU&hl=en&ei=ZBjhSaaMPMTmnQf1q4y1CQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1#PPA228,M1 page 228] (Baldwin and Cradock, 1830).</ref><ref>{{cite journal |last1=Morton |first1=Pierce |title=एक शंकु खंड के फोकस पर|journal=Transactions of the Cambridge Philosophical Society |date=1830 |volume=3 |pages=185-190 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433004518340;view=1up;seq=223}}</ref><ref>{{cite book |last1=Hamilton |first1=Hugh |title=शांकव वर्गों पर ज्यामितीय ग्रंथ। जिसमें शंकु की प्रकृति से ही वर्गों के स्नेह का अनुमान बड़ी आसानी से लगाया जा सकता है। एक नया तरीका।|trans-title=On conic sections. A geometric treatise. In which, from the nature of the cone itself, relations of sections are most easily deduced. By a new method. |date=1758 |publisher=William Johnston |location=London, England |pages=122–125 |url=https://archive.org/stream/desectionibusco01hamigoog#page/n154 |language=Latin}} ''Liber'' (book) II, ''Propositio'' (proposition) XXXVII (37).</ref> फोकस-डायरेक्ट्रिक्स संपत्ति का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि केप्लर के ग्रहों की गति के नियम # सूर्य के चारों ओर न्यूटन के नियमों से व्युत्पन्न हैं।<ref>Hyman, Andrew. "A Simple Cartesian Treatment of Planetary Motion", ''European Journal of Physics'', Vol. 14, [https://www.researchgate.net/publication/230944834_A_simple_Cartesian_treatment_of_planetary_motion page 145] (1993).</ref>

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