एटवुड मशीन

एटवुड मशीन का चित्रण, 1905।

एटवुड मशीन (या एटवुड की मशीन) का आविष्कार 1784 में अंग्रेजी गणितज्ञ जॉर्ज एटवुड द्वारा एकसमान त्वरण के साथ गति के यांत्रिक नियमों को सत्यापित करने के लिए प्रयोगशाला प्रयोग के रूप में किया गया था। एटवुड की मशीन चिरसम्मत यांत्रिकी के सिद्धांतों को स्पष्ट करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक सामान्य कक्षा प्रदर्शन है।

आदर्श एटवुड मशीन में द्रव्यमान m₁ और m₂ की दो वस्तुएं होती हैं, जो एक आदर्श द्रव्यमान रहित घिरनी के ऊपर अविस्तारित द्रव्यमान रहित स्ट्रिंग से जुड़ी होती हैं।

दोनों द्रव्यमान समान त्वरण का अनुभव करते हैं। जब m₁ = m₂, भार की स्थिति की परवाह किए बिना मशीन उदासीन साम्यावस्था में होती है।

स्थिर त्वरण के लिए समीकरण

एटवुड मशीन के दो आलंब द्रव्यमानों का मुफ्त निकाय आरेख। त्वरण सदिशों द्वारा दर्शाया गया हमारा चिह्न परिपाटी यह है कि m₁ नीचे की ओर त्वरित होता है और m₂ ऊपर की ओर गति करता है, जैसे कि स्थिति होगी यदि m₁ > m₂

बलों का विश्लेषण करके त्वरण के लिए एक समीकरण प्राप्त किया जा सकता है। द्रव्यमान रहित, अविस्‍तार्य स्ट्रिंग और आदर्श द्रव्यमान रहित घिरनी को मानते हुए, विचार करने योग्य एकमात्र बल हैं- तनाव बल (T), और दो द्रव्यमानों का भार (W₁ और W₂)। त्वरण ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक द्रव्यमान को प्रभावित करने वाले बलोंं पर विचार करें। न्यूटन के द्वितीय नियम ($m_{1}>m_{2}$) की चिह्न परिपाटी के साथ) का उपयोग करते हुए त्वरण (a) के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करें।

चिह्न परिपाटी के रूप में, मान लें कि जब $m_{1}$ के लिए नीचे की ओर और $m_{2}$ के लिए ऊपर की ओर होता है तो a धनात्मक होता है। $m_{1}$ और $m_{2}$ का वजन क्रमशः $W_{1}=m_{1}g$ और $W_{2}=m_{2}g$ है।

m₁ को प्रभावित करने वाले बल-

$$m_{1}g-T=m_{1}a$$

m₂ को प्रभावित करने वाले बल-

$$T-m_{2}g=m_{2}a$$

और पिछले दो समीकरणों को जोड़ने से प्राप्त होता है

$$m_{1}g-m_{2}g=m_{1}a+m_{2}a,$$

तथा त्वरण के लिए समापन सूत्र

$$a=g{\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$$

एटवुड मशीन का उपयोग कभी-कभी गति के समीकरणों को प्राप्त करने की लैग्रैन्जियन पद्धति को स्पष्ट करने के लिए किया जाता है।

तनाव के लिए समीकरण

डोरी में तनाव के लिए समीकरण को जानना उपयोगी हो सकता है। तनाव का मूल्यांकन करने के लिए, दो बल समीकरणों में से किसी एक में त्वरण के लिए समीकरण को प्रतिस्थापित करें।

$$a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}$$

उदाहरण के लिए, $m_{1}a=m_{1}g-T$ में प्रतिस्थापित करने पर, परिणाम प्राप्त होता है

$$T={2gm_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}={2g \over 1/m_{1}+1/m_{2}}=m_{h}\,g$$

जहाँ $m_{h}={\frac {2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$ दो द्रव्यमानों का हार्मोनिक माध्य है। $m_{h}$ का संख्यात्मक मान दो द्रव्यमानों में से छोटे द्रव्यमान के निकट होता है।

जड़त्व और घर्षण के साथ घिरनी के लिए समीकरण

m₁ और m₂ के बीच बहुत कम द्रव्यमान अंतर के लिए, त्रिज्या r की घिरनी के घूर्णी जड़त्व I की उपेक्षा नहीं की जा सकती है। घिरनी का कोणीय त्वरण असर्पण स्थिति द्वारा दिया जाता है-

$$\alpha ={\frac {a}{r}},$$

जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है। शुद्ध बल आघूर्ण तब है-

$$\tau _{\mathrm {net} }=\left(T_{1}-T_{2}\right)r-\tau _{\mathrm {friction} }=I\alpha$$

आलंब द्रव्यमान के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के साथ संयोजन, और T₁, T₂, और a के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता हैं-

त्वरण-

$$a={{g(m_{1}-m_{2})-{\tau _{\mathrm {friction} } \over r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}$$

निकटतम m₁ स्ट्रिंग खंड में तनाव-

$$T_{1}={{m_{1}g\left(2m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}+{\frac {\tau _{\mathrm {friction} }}{rg}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}$$

निकटतम m₂ स्ट्रिंग खंड में तनाव-

$$T_{2}={{m_{2}g\left(2m_{1}+{\frac {I}{r^{2}}}+{\frac {\tau _{\mathrm {friction} }}{rg}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}$$

बियरिंग घर्षण नगण्य (लेकिन घिरनी का जड़त्व नहीं और न ही घिरनी परिधि पर स्ट्रिंग का कर्षण) होना चाहिए, ये समीकरण निम्नलिखित परिणामों के रूप में सरल होते हैं-

त्वरण-

$$a={{g\left(m_{1}-m_{2}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}$$

निकटतम m₁ स्ट्रिंग खंड में तनाव-

$$T_{1}={{m_{1}g\left(2m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}$$

निकटतम m₂ स्ट्रिंग खंड में तनाव-

$$T_{2}={{m_{2}g\left(2m_{1}+{\frac {I}{r^{2}}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}$$

व्यावहारिक कार्यान्वयन

बीयरिंगों से घर्षण बलों को कम करने के लिए, एटवुड के मूल स्पष्टीकरण अन्य चार पहियों की परिधि पर आराम करने वाली मुख्य घिरनी धुरी को दिखाते हैं। मशीन के कई ऐतिहासिक कार्यान्वयन इस डिजाइन का अनुसरण करते हैं।

प्रतिसंतुलन वाला एलेवेटर आदर्श एटवुड मशीन का अनुमान लगाता है और इस तरह ड्राइविंग मोटर को एलेवेटर कैब को पकड़ने के भार से राहत देता है - इसे केवल वजन के अंतर और दो द्रव्यमानों के जड़त्व को दूर करना होता है। समान सिद्धांत का उपयोग फ़्यूनिक्यूलर रेलवे के लिए किया जाता है, जिसमें झुकी हुई पटरियों पर दो जुड़ी हुई रेलवे कारें होती हैं, और एफिल टॉवर पर लिफ्ट के लिए जो एक दूसरे को प्रतिसंतुलित करती हैं। स्की लिफ्ट एक और उदाहरण है, जहां केबल कार की सीट पहाड़ के ऊपर और नीचे एक बंद (स्थिर) घिरनी प्रणाली पर चलते हैं। स्की लिफ्ट प्रति-भारित एलेवेटर के समान है, लेकिन ऊर्ध्वाधर आयाम में केबल द्वारा प्रदान की जाने वाली विवश बल के साथ क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों आयामों में काम प्राप्त होता है। नाव लिफ्ट एक अन्य प्रकार की प्रति-भारित एलेवेटर प्रणाली है जो एटवुड मशीन का अनुमान लगाती है।

यह भी देखें

• घर्षण रहित समतल
• कैटर का लोलक
• स्फेरिकल काऊ
• स्विंगिंग एटवुड की मशीन

बाहरी संबंध

• A treatise on the rectilinear motion and rotation of bodies; with a description of original experiments relative to the subject by George Atwood, 1764. Drawings appear on page 450.
• Professor Greenslade's account on the Atwood Machine
• Atwood's Machine by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project