मास्को गणितीय पेपिरस: Difference between revisions

Moscow Mathematical Papyrus
Moscow Mathematical Papyrus
Pushkin State Museum of Fine Arts in Moscow
	14th problem of the Moscow Mathematical Papyrus (V. Struve, 1930)
Date	13th dynasty, Second Intermediate Period of Egypt
Place of origin	Thebes
Language(s)	Hieratic
Size	Length: 5.5 metres (18 ft); Width: 3.8 to 7.6 cm (1.5 to 3 in)

Revision as of 22:50, 18 April 2023

मॉस्को मैथमेटिकल पेपिरस, जिसे इसके पहले गैर-मिस्र के मालिक, मिस्र के वैज्ञानिक व्लादिमीर गोलेनिश्चेव के नाम पर गोलेनिश्चेव मैथमेटिकल पेपिरस भी कहा जाता है, एक प्राचीन मिस्र का गणित पेपिरस है जिसमें अंकगणित, ज्यामिति और बीजगणित में कई समस्याएं हैं। गोलेनिश्चेव ने 1892 या 1893 में थेब्स, मिस्र में पपीरस खरीदा था। यह बाद में मास्को में पुष्किन राज्य संग्रहालय ललित कला के संग्रह में प्रवेश किया, जहां यह आज भी बना हुआ है।

पवित्र टेक्स्ट की प्राचीन शिलालेखों का अध्ययन और ऑर्थोग्राफी के आधार पर, टेक्स्ट को मिस्र के तेरहवें राजवंश में सबसे अधिक लिखा गया था और संभवतः मिस्र के बारहवें राजवंश से जुड़ी पुरानी सामग्री पर आधारित था, लगभग 1850 ईसा पूर्व।^[1] लगभग 5½ मी (18 फ़ीट) लंबा और बीच में बदलता रहता है 3.8 and 7.6 cm (1.5 and 3 in) चौड़ा, इसका प्रारूप सोवियत संघ के प्राच्य अध्ययन वसीली वासिलिविच स्ट्रुवे द्वारा विभाजित किया गया था^[2] 1930 में^[3] समाधान के साथ 25 समस्याओं में।

यह एक प्रसिद्ध गणितीय पपाइरस है, जिसे आमतौर पर रिहंद गणितीय पेपिरस के साथ संदर्भित किया जाता है। मास्को गणितीय पेपिरस राइंड गणितीय पेपिरस से पुराना है, जबकि बाद वाला दोनों में से बड़ा है।^[4]

== मॉस्को पपीरस == में निहित व्यायाम मास्को पपीरस में समस्याएं किसी विशेष क्रम का पालन नहीं करती हैं, और समस्याओं के समाधान राइंड गणितीय पेपिरस की तुलना में बहुत कम विवरण प्रदान करते हैं। पपाइरस अपनी ज्यामिति की कुछ समस्याओं के लिए विख्यात है। प्रश्न 10 और 14 क्रमशः एक सतह क्षेत्र और एक छिन्नक के आयतन की गणना करते हैं। शेष समस्याएं प्रकृति में अधिक सामान्य हैं।^[1]

जहाज के हिस्से की समस्या

समस्याएँ 2 और 3 जहाज के भाग की समस्याएँ हैं। समस्याओं में से एक जहाज के पतवार की लंबाई की गणना करता है और दूसरा जहाज के मस्तूल की लंबाई की गणना करता है, यह देखते हुए कि यह मूल रूप से 30 हाथ लंबे देवदार के लट्ठे की लंबाई का 1/3 + 1/5 है।^[1]

अहा समस्याएं

ꜥḥꜥ (aha)
<hiero>P6-a:M35</hiero>
Era: New Kingdom (1550–1069 BC)


Egyptian hieroglyphs

अहा समस्याओं में अज्ञात मात्राओं को खोजना शामिल है (अहा, ढेर के रूप में संदर्भित) यदि मात्रा और उसके भाग (ओं) का योग दिया गया हो। राइंड मैथमेटिकल पेपिरस में भी इस प्रकार की चार समस्याएँ हैं। मास्को पपीरस की समस्या 1, 19, और 25 अहा समस्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, समस्या 19 एक व्यक्ति को 1 और ½ बार ली गई मात्रा की गणना करने और 10 बनाने के लिए 4 जोड़ने के लिए कहती है।^[1]दूसरे शब्दों में, आधुनिक गणितीय संकेतन में किसी को हल करने के लिए कहा जाता है ${\frac {3}{2}}x+4=10$ .

पेप्सू समस्या

अधिकांश समस्याएं पेप्सू समस्या हैं (सेट: मिस्र बीजगणित): 25 समस्याओं में से 10। एक पेफ्सू एक चुटकुला अनाज से बनी बीयर की ताकत को मापता है

{\mbox{pefsu}}={\frac {\mbox{number loaves of bread (or jugs of beer)}}{\mbox{number of heqats of grain}}}

उच्च पेफ्सू संख्या का अर्थ है कमजोर ब्रेड या बीयर। कई पेशकश सूचियों में पेफ्सू संख्या का उल्लेख किया गया है। उदाहरण के लिए, समस्या 8 का अनुवाद इस प्रकार है:

(1) पेफ्सू 20 की 100 रोटियों की गणना का उदाहरण

(2) अगर कोई आपसे कहे: आपके पास पेफ्सू 20 की 100 रोटियाँ हैं

(3) pefsu 4 की बीयर के बदले में

(4) 1/2 1/4 माल्ट-डेट बियर की तरह

(5) पहले पेफ्सू 20 की 100 रोटियों के लिए आवश्यक अनाज की गणना करें

(6) नतीजा 5 हक़त है। फिर बियर के डेस-जग के लिए आपको क्या चाहिए, जैसे बियर को 1/2 1/4 माल्ट-डेट बियर कहा जाता है

(7) परिणाम ऊपरी-मिस्र के अनाज से बने बीयर के डेस-जग के लिए आवश्यक हेकाट माप का 1/2 है।

(8) 5 हक़त का 1/2 हिसाब करो तो नतीजा 2 1/2 होगा

(9) इसे 2 1/2 चार बार लें

(10) परिणाम 10 है। फिर आप उससे कहें:

(11) निहारना! बियर की मात्रा सही पाई गई है।^[1]

बाकू समस्याएं

समस्याएँ 11 और 23 बाकू समस्याएँ हैं। ये श्रमिकों के उत्पादन की गणना करते हैं। समस्या 11 पूछती है कि यदि कोई 5 बटा 5 नाप कर 100 लट्ठा लाता है, तो यह कितने लट्ठे 4 बटे 4 मापता है? समस्या 23 में एक थानेदार के आउटपुट का पता चलता है कि उसे सैंडल को काटना और सजाना है।^[1]

ज्यामिति समस्याएं

पच्चीस समस्याओं में से सात ज्यामिति की समस्याएं हैं और त्रिकोण के कंप्यूटिंग क्षेत्रों से लेकर गोलार्ध की सतह का क्षेत्रफल (समस्या 10) और एक छिन्नक (एक छोटा पिरामिड) का आयतन ज्ञात करना है।^[1]

दो ज्यामिति समस्याएं

समस्या 10

मास्को गणितीय पेपिरस की दसवीं समस्या एक क्षेत्र (स्ट्रूव, गिलिंग्स) या संभवतः अर्ध-सिलेंडर (पीट) के क्षेत्र की सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए कहती है। नीचे हम मानते हैं कि समस्या एक गोलार्द्ध के क्षेत्र को संदर्भित करती है।

समस्या 10 का पाठ इस प्रकार चलता है: टोकरी की गणना का उदाहरण। आपको 4 1/2 के मुंह वाली एक टोकरी दी जाती है। इसकी सतह क्या है? 9 का 1/9 लें (चूंकि) टोकरी आधे अंडे का छिलका है। आपको 1 मिलता है। शेषफल की गणना करें जो 8 है। 8 का 1/9 की गणना करें। आपको 2/3 + 1/6 + 1/18 मिलता है। 2/3 + 1/6 + 1/18 घटाने के बाद इस 8 का शेषफल ज्ञात कीजिए। आपको 7 + 1/9 मिलता है। 7 + 1/9 को 4 + 1/2 से गुणा करें। आपको 32 मिलता है। देखिए यह इसका क्षेत्रफल है। आपने इसे सही पाया है।^[1]^[5] समाधान के रूप में क्षेत्र की गणना करने के बराबर है

{\text{Area}}=(((2\times {\text{diameter}})\times {\frac {8}{9}})\times {\frac {8}{9}})\times {\text{diameter}}={\frac {128}{81}}({\text{diameter}})^{2}

सूत्र एक गोलार्द्ध के क्षेत्र के लिए गणना करता है, जहां मॉस्को पेपिरस के मुंशी ने उपयोग किया था ${\frac {256}{81}}\approx 3.16049$ π|अनुमानित π के सन्निकटन से।

समस्या 14: वर्गाकार पिरामिड के टुकड़े का आयतन

मास्को गणित की चौदहवीं समस्या एक छिन्नक के आयतन की गणना करती है।

समस्या 14 बताती है कि एक पिरामिड को इस तरह से छोटा किया गया है कि शीर्ष क्षेत्र लंबाई 2 इकाइयों का एक वर्ग है, लंबाई 4 इकाइयों का एक वर्ग है, और ऊंचाई 6 इकाई है, जैसा कि दिखाया गया है। आयतन 56 घन इकाई पाया गया है, जो सही है।^[1]

The text of the example runs like this: "If you are told: a truncated pyramid of 6 for the vertical height by 4 on the base by 2 on the top: You are to square the 4; result 16. You are to double 4; result 8. You are to square this 2; result 4. You are to add the 16 and the 8 and the 4; result 28. You are to take 1/3 of 6; result 2. You are to take 28 twice; result 56. See, it is of 56. You will find [it] right" ^[6]

समस्या का समाधान इंगित करता है कि मिस्र के लोग छिन्नक का आयतन प्राप्त करने का सही सूत्र जानते थे:

V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2})

जहां a और b काटे गए पिरामिड के आधार और शीर्ष पार्श्व लंबाई हैं और h ऊंचाई है। शोधकर्ताओं ने अनुमान लगाया है कि कैसे मिस्र के लोग एक छिन्नक के आयतन के सूत्र तक पहुँचे होंगे लेकिन इस सूत्र की व्युत्पत्ति पपाइरस में नहीं दी गई है।^[7]

सारांश

रिचर्ड जे. गिलिंग्स ने पैपाइरस की सामग्री का सरसरी सारांश दिया।^[8] ओवरलाइन वाली संख्याएँ उस इकाई अंश को दर्शाती हैं जिसमें वह संख्या ओवरलाइन#पारस्परिक है, उदा. ${\bar {4}}={\frac {1}{4}}$ ; इकाई अंश प्राचीन मिस्र के गणित में अध्ययन की सामान्य वस्तुएँ थीं।

मास्को गणितीय पेपिरस की प्रकरण^{[lower-alpha 1]}
No.	Detail
1	त्रुटिपूर्ण और अपठनीय
2	त्रुटिपूर्ण और अपठनीय
3	सीडर मास्ट ${\bar {3}}\;{\bar {5}}$ of $30=16$ अस्पष्ट
4	एक त्रिकोण का क्षेत्र ${\bar {2}}$ of $4\times 10=20$ है।
5	लोफ और ब्रेड का पेसो संख्या 8 के समान
6	आयत, क्षेत्रफल $=12,b={\bar {2}}\;{\bar {4}}l$ . 𝑙 और 𝑏 को खोजें
7	त्रिभुज, क्षेत्र $=20,h=2\;{\bar {2}}b$ . $h$ और $b$ को खोजें
8	लोफ और ब्रेड का पेसो
9	लोफ और ब्रेड का पेसो
10	अर्धगोले (या बेलन) की वक्र सतह का क्षेत्रफल।
11	लोफ और अंक अस्पष्ट
12	बीयर का पेसू अस्पष्ट
13	लोफ और बियर के पीसस संख्या 9 के समान
14	एक कटे हुए पिरामिड का आयतन $V=(h/3)(a^{2}+ab+b^{2})$ .
15	बीयर का पेसू।
16	बीयर का पेसू संख्या 15 के समान
17	त्रिभुज, क्षेत्र $=20,b=({\bar {3}}\;{\bar {15}})h$ है, $h$ और $b$ खोजे
18	कपड़े को हाथ और हथेलियों में नापना अस्पष्ट
19	समीकरण को $1\;{\bar {2}}x+4=10$ हल करें, और स्पष्ट करें।
20	1000 लोफ का पेसू होरस-नेत्र भिन्न।
21	उत्सर्ग ब्रेड का सम्मिश्रण
22	लोफ़ और बियर के पीसस विनिमय।
23	कॉबलर के कार्य की गणना करना, अस्पष्ट, पीत कहना बहुत कठिन है।
24	लोफ और बीयर का आदान-प्रदान।
25	समीकरण $2x+x=9$ प्राथमिक और स्पष्ट हल करें

अन्य पपाइरी

प्राचीन मिस्र के अन्य गणितीय ग्रंथों में शामिल हैं:

बर्लिन पपीरस 6619
मिस्र का गणितीय चमड़ा रोल
लाहुँ गणितीय पपायरी
रहिंद गणितीय पेपिरस

सामान्य पपाइरी:

2/n तालिकाओं के लिए देखें:

आरएमपी 2/एन टेबल

यह भी देखें

प्राचीन मिस्र के पिपरी की सूची

↑ This table is a verbatim reproduction of Gillings, Mathematics in the Time of the Pharaohs, pp. 246–247. Only references to other chapters are omitted. The descriptions of problems 5, 8–9, 13, 15, 20–22 and 24 concluded with "See Chapter 12." for information on Pesu problems, the description of problem 19 concluded with "See Chapter 14." for information on linear and quadratic equations, and the descriptions of problems 10 and 14 concluded with "See Chapter 18." for information on surface areas of semicylinders or hemispheres.

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 ^1.7 ^1.8 Clagett, Marshall. 1999. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Volume 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society. ISBN 0-87169-232-5
↑ Struve V.V., (1889–1965), orientalist :: ENCYCLOPAEDIA OF SAINT PETERSBURG
↑ Struve, Vasilij Vasil'evič, and Boris Turaev. 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moskau. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Berlin: J. Springer
↑ Папирусы математические in the Great Soviet Encyclopedia, 1969–1978 (in Russian)
↑ Williams, Scott W. Egyptian Mathematical Papyri
↑ as given in Gunn & Peet, Journal of Egyptian Archaeology, 1929, 15: 176. See also, Van der Waerden, 1961, Plate 5
↑ Gillings, R. J. (1964), "The volume of a truncated pyramid in ancient Egyptian papyri", The Mathematics Teacher, 57 (8): 552–555, doi:10.5951/MT.57.8.0552, JSTOR 27957144, While it has been generally accepted that the Egyptians were well acquainted with the formula for the volume of the complete square pyramid, it has not been easy to establish how they were able to deduce the formula for the truncated pyramid, with the mathematics at their disposal, in its most elegant and far from obvious form.
↑ Gillings, Richard J. फिरौन के समय में गणित. Dover. pp. 246–247. ISBN 9780486243153.

मॉस्को गणितीय पेपिरस का पूरा पाठ

स्ट्रुवे, वासिलिज वासिलिविक, और बोरिस तुराएव। 1930. मास्को में ललित कला के राज्य संग्रहालय का गणितीय पेपिरस। गणित के इतिहास पर स्रोत और अध्ययन; खंड ए: स्रोत 1. बर्लिन: जे स्प्रिंगर

अन्य संदर्भ

एलन, डॉन। अप्रैल 2001. मास्को पपीरस और /history/egypt/node5.html मिस्र के गणित का सारांश।
एनेट इम्हौसेन|इम्हौसेन, ए., मिस्री एल्गोरिदम। मध्य मिस्र के गणितीय ग्रंथों की एक जाँच, विस्बादेन 2003।
Mathpages.com। प्रिज्मॉयडल फॉर्मूला।
ओ'कॉनर और रॉबर्टसन, 2000।
ट्रूमैन स्टेट यूनिवर्सिटी, गणित और कंप्यूटर साइंस डिवीजन। 'गणित और उदार कलाएँ:' प्राचीन मिस्र और मास्को गणितीय पेपिरस।
विलियम्स, स्कॉट डब्ल्यू। अफ्रीकी डायस्पोरा के गणितज्ञ, जिसमें पर एक पृष्ठ है। प्राचीन-अफ्रीका/mad_ancient_egyptpapyrus.html मिस्र का गणित पापीरी।
जाहर्ट, किम आर.डब्ल्यू. प्राचीन मिस्री गणित पर विचार Archived 2011-09-27 at the Wayback Machine.

श्रेणी:मिस्री गणित श्रेणी:मिस्र के अंश श्रेणी:मिस्री पपाइरी श्रेणी:पुश्किन संग्रहालय के पुरावशेष श्रेणी:19वीं शताब्दी ईसा पूर्व मिस्र में

[9] This table is a verbatim reproduction of Gillings, Mathematics in the Time of the Pharaohs, pp. 246–247. Only references to other chapters are omitted. The descriptions of problems 5, 8–9, 13, 15, 20–22 and 24 concluded with "See Chapter 12." for information on Pesu problems, the description of problem 19 concluded with "See Chapter 14." for information on linear and quadratic equations, and the descriptions of problems 10 and 14 concluded with "See Chapter 18." for information on surface areas of semicylinders or hemispheres.

[Clagett-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 ^1.7 ^1.8 Clagett, Marshall. 1999. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Volume 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society. ISBN 0-87169-232-5

[2] Struve V.V., (1889–1965), orientalist :: ENCYCLOPAEDIA OF SAINT PETERSBURG

[3] Struve, Vasilij Vasil'evič, and Boris Turaev. 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moskau. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Berlin: J. Springer

[4] Папирусы математические in the Great Soviet Encyclopedia, 1969–1978 (in Russian)

[5] Williams, Scott W. Egyptian Mathematical Papyri

[6] s given in Gunn & Peet, Journal of Egyptian Archaeology, 1929, 15: 176. See also, Van der Waerden, 1961, Plate 5

[7] Gillings, R. J. (1964), "The volume of a truncated pyramid in ancient Egyptian papyri", The Mathematics Teacher, 57 (8): 552–555, doi:10.5951/MT.57.8.0552, JSTOR 27957144, While it has been generally accepted that the Egyptians were well acquainted with the formula for the volume of the complete square pyramid, it has not been easy to establish how they were able to deduce the formula for the truncated pyramid, with the mathematics at their disposal, in its most elegant and far from obvious form.

[Gillings-8] Gillings, Richard J. फिरौन के समय में गणित. Dover. pp. 246–247. ISBN 9780486243153.

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-|+ The contents of The Moscow Mathematical Papyrus{{efn|This table is a verbatim reproduction of Gillings, ''Mathematics in the Time of the Pharaohs'', pp.&nbsp;246–247. Only references to other chapters are omitted. The descriptions of problems 5, 8–9, 13, 15, 20–22 and 24 concluded with "See Chapter&nbsp;12." for information on Pesu problems, the description of problem 19 concluded with "See Chapter 14." for information on linear and quadratic equations, and the descriptions of problems 10 and 14 concluded with "See Chapter 18." for information on surface areas of semicylinders or hemispheres.}}
+|+ मास्को गणितीय पेपिरस की प्रकरण{{efn|This table is a verbatim reproduction of Gillings, ''Mathematics in the Time of the Pharaohs'', pp.&nbsp;246–247. Only references to other chapters are omitted. The descriptions of problems 5, 8–9, 13, 15, 20–22 and 24 concluded with "See Chapter&nbsp;12." for information on Pesu problems, the description of problem 19 concluded with "See Chapter 14." for information on linear and quadratic equations, and the descriptions of problems 10 and 14 concluded with "See Chapter 18." for information on surface areas of semicylinders or hemispheres.}}
 ! No.
 ! Detail
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 | 1
-| Damaged and unreadable.
+| त्रुटिपूर्ण और अपठनीय
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 | 2
-| Damaged and unreadable.
+| त्रुटिपूर्ण और अपठनीय
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 | 3
-| A cedar mast. <math>\bar{3} \; \bar{5}</math> of <math>30 = 16</math>. Unclear.
+| सीडर मास्ट <math>\bar{3} \; \bar{5}</math> of <math>30 = 16</math> अस्पष्ट
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 | 4
-| Area of a triangle. <math>\bar{2}</math> of <math>4 \times 10 = 20</math>.
+| एक त्रिकोण का क्षेत्र <math>\bar{2}</math> of <math>4 \times 10 = 20</math> है।
 |-
 | 5
-| Pesus of loaves and bread. Same as No. 8.
+| लोफ और ब्रेड का पेसो संख्या 8 के समान
 |-
 | 6
-| Rectangle, area <math>= 12, b = \bar{2} \; \bar{4}l</math>. Find <math>l</math> and <math>b</math>.
+| आयत, क्षेत्रफल <math>= 12, b = \bar{2} \; \bar{4}l</math>. 𝑙 और 𝑏 को खोजें
 |-
 | 7
-| Triangle, area <math>= 20, h = 2 \; \bar{2}b</math>. Find <math>h</math> and <math>b</math>.
+| त्रिभुज, क्षेत्र <math>= 20, h = 2 \; \bar{2}b</math>.  <math>h</math> और <math>b</math> को खोजें
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 | 8
-| Pesus of loaves and bread.
+| लोफ और ब्रेड का पेसो
 |-
 | 9
-| Pesus of loaves and bread.
+| लोफ और ब्रेड का पेसो
 |-
 | 10
-| Area of curved surface of a hemisphere (or cylinder).
+| अर्धगोले (या बेलन) की वक्र सतह का क्षेत्रफल।
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 | 11
-| Loaves and basket. Unclear.
+| लोफ और अंक अस्पष्ट
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 | 12
-| Pesu of beer. Unclear.
+| बीयर का पेसू अस्पष्ट
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 | 13
-| Pesus of loaves and beer. Same as No. 9.
+| लोफ और बियर के पीसस संख्या  9 के समान
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 | 14
-| Volume of a truncated pyramid. <math>V = (h/3) (a^2 + ab + b^2)</math>.
+| एक कटे हुए पिरामिड का आयतन <math>V = (h/3) (a^2 + ab + b^2)</math>.
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 | 15
-| Pesu of beer.
+| बीयर का पेसू।
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 | 16
-| Pesu of beer. Similar to No. 15.
+| बीयर का पेसू संख्या 15 के समान
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 | 17
-| Triangle, area <math>= 20, b = (\bar{3} \; \bar{15})h</math>. Find <math>h</math> and <math>b</math>.
+| त्रिभुज, क्षेत्र <math>= 20, b = (\bar{3} \; \bar{15})h</math> है,  <math>h</math> और <math>b</math> खोजे
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 | 18
-| Measuring cloth in cubits and palms. Unclear.
+| कपड़े को हाथ और हथेलियों में नापना अस्पष्ट
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 | 19
-| Solve the equation <math>1 \; \bar{2}x + 4 = 10</math>. Clear.
+| समीकरण को  <math>1 \; \bar{2}x + 4 = 10</math> हल करें, और स्पष्ट करें।
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 | 20
-| Pesu of 1000 loaves. Horus-eye fractions.
+| 1000 लोफ का पेसू होरस-नेत्र भिन्न।
 |-
 | 21
-| Mixing of sacrificial bread.
+| उत्सर्ग ब्रेड का सम्मिश्रण
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 | 22
-| Pesus of loaves and beer. Exchange.
+| लोफ़ और बियर के पीसस विनिमय।
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 | 23
-| Computing the work of a cobbler. Unclear. Peet says very difficult.
+| कॉबलर के कार्य की गणना करना, अस्पष्ट, पीत कहना बहुत कठिन है।
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 | 24
-| Exchange of loaves and beer.
+| लोफ और बीयर का आदान-प्रदान।
 |-
 | 25
-| Solve the equation <math>2x + x = 9</math>. Elementary and clear.
+| समीकरण <math>2x + x = 9</math> प्राथमिक और स्पष्ट हल करें
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जहाज के हिस्से की समस्या

अहा समस्याएं

पेप्सू समस्या

बाकू समस्याएं

ज्यामिति समस्याएं

दो ज्यामिति समस्याएं

समस्या 10

समस्या 14: वर्गाकार पिरामिड के टुकड़े का आयतन

सारांश

अन्य पपाइरी

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मॉस्को गणितीय पेपिरस का पूरा पाठ

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जहाज के हिस्से की समस्या

अहा समस्याएं

पेप्सू समस्या

बाकू समस्याएं

ज्यामिति समस्याएं

दो ज्यामिति समस्याएं

समस्या 10

समस्या 14: वर्गाकार पिरामिड के टुकड़े का आयतन

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