बिंघम प्लास्टिक

मेयोनेज़ एक बिंघम प्लास्टिक है। सतह में उभाड़ और चोटियाँ हैं क्योंकि बिंघम प्लास्टिक कम कतरनी तनाव के तहत ठोस पदार्थों की नकल करता है।

सामग्री विज्ञान में, एक बिंघम प्लास्टिक एक श्यानप्रत्यास्थ पदार्थ है जो कम तनाव पर एक कठोर तत्व के रूप में व्यवहार करती है लेकिन उच्च तनाव पर एक चिपचिपा तरल पदार्थ के रूप में बहती है। इसका नाम यूजीन सी. बिंघम के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इसका गणितीय रूप प्रस्तावित किया था।

यह ड्रिलिंग इंजीनियरिंग में पंक प्रवाह के एक सामान्य गणितीय प्रतिरूप के रूप में और घोल के संचालन में प्रयोग किया जाता है। एक सामान्य उदाहरण टूथपेस्ट है, जो ट्यूब पर एक निश्चित दबाव लागू होने तक बाहर नहीं निकलेगा। इसके बाद इसे अपेक्षाकृत सुसंगत डाट के रूप में बाहर धकेल दिया जाता है।

स्पष्टीकरण

चित्रा 1. बिंघम द्वारा वर्णित बिंघम सुघट्य प्रवाह

चित्र 1 लाल रंग में एक साधारण श्यान (या न्यूटनी) तरल के व्यवहार का एक आरेख दिखाता है, उदाहरण के लिए एक नलिका में। यदि एक नलिका के एक छोर पर दबाव बढ़ जाता है तो यह तरल पदार्थ पर दबाव पैदा करता है जो इसे स्थानांतरित करने के लिए प्रवृत्त होता है (जिसे अपरूपण प्रतिबल कहा जाता है) और आयतनमितीय प्रवाह दर आनुपातिक रूप से बढ़ जाती है। हालाँकि, बिंघम सुघटय तरल पदार्थ (नीले रंग में) के लिए, प्रतिबल लागू किया जा सकता है लेकिन यह तब तक प्रवाहित नहीं होगा जब तक कि एक निश्चित मान, प्रवाह प्रतिबल, पहुँच नहीं जाता। इस बिंदु से परे बढ़ते अपरूपण प्रतिबल के साथ प्रवाह दर लगातार बढ़ जाती है। लेप के एक प्रायोगिक अध्ययन में बिंघम ने लगभग इसी तरह से अपना निरीक्षण प्रस्तुत किया। ये गुण बिंघम प्लास्टिक को न्यूटनी तरल पदार्थ जैसी आकृतिहीन सतह के बजाय चोटियों और पर्वतश्रेणी के साथ संव्यूतित सतह की अनुमति देते हैं।

चित्रा 2. वर्तमान में वर्णित बिंघम सुघट्य प्रवाह

चित्रा 2 उस तरीके को दिखाता है जिसमें इसे वर्तमान में सामान्य रूप से प्रस्तुत किया जाता है।आरेख ऊर्ध्वाधर अक्ष पर अपरूपण प्रतिबल और क्षैतिज एक पर अपरूपण दर दिखाता है। (आयतनी प्रवाह दर नलिका के आकार पर निर्भर करती है, अपरूपण दर इस बात का माप है कि दूरी के साथ वेग कैसे बदलता है। यह प्रवाह दर के अनुपाती होता है, लेकिन नलिका के आकार पर निर्भर नहीं करता है।) पहले की तरह, न्यूटनी तरल प्रवाहित होता है और अपरूपण प्रतिबल के किसी भी परिमित मूल्य के लिए अपरूपण दर देता है। हालांकि, बिंघम प्लास्टिक फिर से कोई अपरूपण दर (कोई प्रवाह नहीं और इस प्रकार कोई वेग नहीं) प्रदर्शित नहीं करता है जब तक कि एक निश्चित तनाव हासिल नहीं हो जाता। न्यूटनी तरल के लिए इस रेखा का ढलान श्यानता है, जो इसके प्रवाह का वर्णन करने के लिए आवश्यक एकमात्र मापदण्ड है। इसके विपरीत, बिंघम प्लास्टिक को दो मापदंडों की आवश्यकता होती है, प्रवाह प्रतिबल और रेखा का ढलान, जिसे प्लास्टिक श्यानता के रूप में जाना जाता है।

इस व्यवहार का भौतिक कारण यह है कि तरल में कण (जैसे मिट्टी) या बड़े अणु (जैसे बहुलक) होते हैं, जिनमें किसी प्रकार की परस्पर क्रिया होती है, जिससे एक कमजोर ठोस संरचना बनती है, जिसे पहले एक कृत्रिम पदार्थ के रूप में जाना जाता था, और एक निश्चित मात्रा में इस संरचना को तोड़ने के लिए प्रतिबल की आवश्यकता होती है। एक बार जब संरचना टूट जाती है, तो कण श्यान बल के तहत तरल के साथ चलते हैं। यदि प्रतिबल हटा दिया जाता है, तो कण फिर से जुड़ जाते हैं।

परिभाषा

सामग्री अपरूपण प्रतिबल के लिए एक प्रत्यास्थ ठोस है $\tau$, एक महत्वपूर्ण मूल्य से कम $\tau _{0}$ / एक बार महत्वपूर्ण अपरूपण प्रतिबल (या "प्रवाह प्रतिबल") पार हो जाने पर, सामग्री इस तरह से प्रवाहित होती है कि अपरूपण दर, ∂u/∂y (जैसा कि श्यानता में परिभाषित किया गया है), उस मात्रा के सीधे आनुपातिक है जिसके द्वारा लागू किया गया अपरूपण प्रतिबल प्रवाह प्रतिबल से अधिक है:

${\frac {\partial u}{\partial y}}={\begin{cases}0,&\tau <\tau _{0}\\{\frac {\tau -\tau _{0}}{\mu _{\infty }}},&\tau \geq \tau _{0}\end{cases}}$

घर्षण गुणांक सूत्र

तरल प्रवाह में, स्थापित नलिकायन गोट जाल में दाब ह्रास की गणना करना एक आम समस्या है। एक बार घर्षण गुणांक, f ज्ञात हो जाने पर, विभिन्न नलीय प्रवाह समस्याओं को संभालना आसान हो जाता है, जैसे पंपन लागत का मूल्यांकन करने के लिए दाब ह्रास की गणना करना या किसी दिए गए दाब ह्रास के लिए नलिकायन गोट जाल में प्रवाह-दर का पता लगाना। आमतौर पर गैर-न्यूटनी तरल पदार्थों के प्रवाह से जुड़े घर्षण कारक की गणना करने के लिए सटीक विश्लेषणात्मक समाधान पर पहुंचना बेहद मुश्किल होता है और इसलिए इसकी गणना के लिए स्पष्ट अनुमानों का उपयोग किया जाता है। एक बार घर्षण कारक की गणना हो जाने के बाद डार्सी-वीसबैक समीकरण द्वारा दिए गए प्रवाह के लिए दाब ह्रास को आसानी से निर्धारित किया जा सकता है:

$f={2h_{\text{f}}gD \over LV^{2}}$

जहाँ:

• $f$ डार्सी घर्षण कारक है (एसआई इकाइयां: विमाहीन)
• $h_{\text{f}}$ घर्षण दोबोच्चता ह्रास है (एसआई इकाई: एम)
• $g$ गुरुत्वीय त्वरण है (एसआई इकाई: m/s²)
• $D$ नलिका व्यास है (एसआई इकाई: एम)
• $L$ नलिका की लंबाई है (एसआई इकाई: एम)
• $V$ औसत तरल वेग है (एसआई इकाई: m/s)

स्तरीय प्रवाह

पूरी तरह से विकसित स्तरीय नलीय प्रवाह में बिंघम प्लास्टिक के लिए घर्षण हानि का सटीक विवरण पहले बकिंघम द्वारा प्रकाशित किया गया था। उनकी अभिव्यक्ति, बकिंघम-राइनर समीकरण, को विमाहीन रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$f_{\text{L}}={64 \over \operatorname {Re} }\left[1+{\operatorname {He} \over 6\operatorname {Re} }-{64 \over 3}\left({\operatorname {He} ^{4} \over f^{3}\operatorname {Re} ^{7}}\right)\right]$

जहाँ:

• $f_{\text{L}}$ स्तरीय प्रवाह डार्सी घर्षण कारक है (एसआई इकाइयाँ: विमाहीन)
• $\operatorname {Re}$ रेनल्ड्स संख्या है (एसआई इकाइयां: विमाहीन)
• $\operatorname {He}$ हेडस्ट्रॉम संख्या है (एसआई इकाइयां: विमाहीन)

रेनल्ड्स संख्या और हेडस्ट्रॉम संख्या को क्रमशः परिभाषित किया गया है:

$\operatorname {Re} ={\rho VD \over \mu },$ और

$\operatorname {He} ={\rho D^{2}\tau _{o} \over \mu ^{2}}$

जहाँ:

• $\rho$ तरल पदार्थ का द्रव्य घनत्व है (एसआई इकाई: kg/m3)
• $\mu$ तरल की गतिक श्यानता है (एसआई इकाई: kg/ms)
• $\tau _{o}$ तरल का पराभव बिन्दु (पराभव सामर्थ्य) है (एसआई इकाइयाँ: Pa)

प्रक्षुब्ध प्रवाह

डार्बी और मेलसन ने एक अनुभवजन्य अभिव्यक्ति विकसित की जिसे तब परिष्कृत किया गया था, और इसके द्वारा दिया गया है:

$f_{\text{T}}=4\times 10^{a}\operatorname {Re} ^{-0.193}$

जहाँ:

• $f_{\text{T}}$ प्रक्षुब्ध प्रवाह घर्षण कारक है (एसआई इकाइयां: विमाहीन)
• $a=-1.47\left[1+0.146e^{-2.9\times {10^{-5}}\operatorname {He} }\right]$

नोट: डार्बी और मेलसन की अभिव्यक्ति फैनिंग घर्षण गुणक के लिए है, और इस पृष्ठ पर कहीं और स्थित घर्षण हानि समीकरणों में उपयोग करने के लिए इसे 4 से गुणा करने की आवश्यकता है।

बकिंघम-रेनर समीकरण का अनुमान

हालांकि बकिंघम-रेनर समीकरण का एक सटीक विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि यह f में चौथा क्रम बहुपद समीकरण है, समाधान की जटिलता के कारण यह शायद ही कभी नियोजित होता है। इसलिए, शोधकर्ताओं ने बकिंघम-रेनर समीकरण के लिए स्पष्ट सन्निकटन विकसित करने का प्रयास किया है।

स्वामी–अग्रवाल समीकरण

स्वामी-अग्रवाल समीकरण का उपयोग बिंघम सुघट्य तरल पदार्थ के स्तरीय प्रवाह के लिए डार्सी-वीसबैक घर्षण कारक f के लिए सीधे हल करने के लिए किया जाता है। यह सन्निकटन बकिंघम-रेनर समीकरण का एक अनुमान है, लेकिन प्रयोगात्मक विवरण से विसंगति विवरण की सटीकता के भीतर है। स्वामी-अग्रवाल समीकरण द्वारा दिया गया है:

$f_{L}={64 \over \mathrm {Re} }+{64 \over \mathrm {Re} }\left({\mathrm {He} \over 6.2218\mathrm {Re} }\right)^{0.958}$

डेनिश-कुमार समाधान

डेनिश एट अल. एडोमियन अपघटन विधि का उपयोग करके घर्षण कारक f की गणना करने के लिए एक स्पष्ट प्रक्रिया प्रदान की है। इस विधि के माध्यम से दो शब्दों वाले घर्षण कारक को इस प्रकार दिया गया है:

$f_{L}={\frac {K_{1}+{\dfrac {4K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{3}}}}{1+{\dfrac {3K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{4}}}}}$

जहाँ

$K_{1}={16 \over \mathrm {Re} }+{16\mathrm {He} \over 6\mathrm {Re} ^{2}},$

और

$K_{2}=-{16\mathrm {He} ^{4} \over 3\mathrm {Re} ^{8}}.$

सभी प्रवाह तंत्र और घर्षण कारक के लिए संयुक्त समीकरण

डार्बी-मेलसन समीकरण

1981 में, डार्बी और मेलसन, चर्चिल और उसगी के दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, सभी प्रवाह तंत्र के लिए मान्य एकल घर्षण कारक समीकरण प्राप्त करने के लिए एक अभिव्यक्ति विकसित की:

$f=\left[{f_{\text{L}}}^{m}+{f_{\text{T}}}^{m}\right]^{\frac {1}{m}}$

जहाँ:

$m=1.7+{40000 \over \operatorname {Re} }$

स्वामी-अग्रवाल समीकरण और डार्बी-मेलसन समीकरण दोनों को किसी भी व्यवस्था में बिंघम सुघट्य तरल पदार्थ के घर्षण कारक को निर्धारित करने के लिए एक स्पष्ट समीकरण देने के लिए जोड़ा जा सकता है। सापेक्ष रूक्षता किसी भी समीकरण में एक मापदण्ड नहीं है क्योंकि बिंघम सुघट्य तरल पदार्थ का घर्षण कारक पाइप रूक्षता के प्रति संवेदक नहीं है।

यह भी देखें

• बैगनोल्ड संख्या
• बर्नूली का सिद्धांत
• विंघम-पपनास्तसियो प्रतिरूप
• प्रवाहिकी: एक विज्ञान
• अपरुपण विरलन