विशिष्ट आपेक्षिकता में द्रव्यमान

विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान शब्द के दो अर्थ हैं: अपरिवर्तनीय द्रव्यमान (जिसे विश्राम द्रव्यमान भी कहा जाता है) एक अपरिवर्तनीय मात्रा है जो सभी संदर्भ फ़्रेमों में सभी पर्यवेक्षक (विशेष सापेक्षता ) के लिए समान है, जबकि 'सापेक्ष द्रव्यमान' के वेग पर निर्भर है। निरीक्षक। द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता की अवधारणा के अनुसार, अपरिवर्तनीय द्रव्यमान बाकी ऊर्जा के बराबर है, जबकि सापेक्षतावादी द्रव्यमान सापेक्षतावादी ऊर्जा (जिसे कुल ऊर्जा भी कहा जाता है) के बराबर है।

सापेक्षतावादी द्रव्यमान शब्द का उपयोग कण और परमाणु भौतिकी में नहीं किया जाता है और शरीर की सापेक्ष ऊर्जा के संदर्भ में, विशेष सापेक्षता पर लेखकों द्वारा अक्सर इससे बचा जाता है। इसके विपरीत, स्थिर द्रव्यमान को आमतौर पर बाकी ऊर्जा से अधिक पसंद किया जाता है। मापने योग्य जड़ता और संदर्भ के दिए गए फ्रेम में किसी पिंड द्वारा स्पेसटाइम का ताना-बाना उसके सापेक्ष द्रव्यमान से निर्धारित होता है, न कि केवल इसके अपरिवर्तनीय द्रव्यमान से। उदाहरण के लिए, फोटॉनों में शून्य विराम द्रव्यमान होता है, लेकिन उनमें मौजूद किसी भी प्रणाली की जड़ता (और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में वजन) में योगदान होता है।

सामान्य सापेक्षता में द्रव्यमान में अवधारणा सामान्यीकृत है।

विश्राम मास

विशेष सापेक्षता में शब्द द्रव्यमान आमतौर पर वस्तु के शेष द्रव्यमान को संदर्भित करता है, जो वस्तु के साथ चलने वाले पर्यवेक्षक द्वारा मापा गया न्यूटोनियन द्रव्यमान है। अपरिवर्तनीय द्रव्यमान एकल कणों के शेष द्रव्यमान का दूसरा नाम है। अधिक सामान्य अपरिवर्तनीय द्रव्यमान (एक अधिक जटिल सूत्र के साथ गणना की गई) एक प्रणाली के बाकी द्रव्यमान से शिथिल रूप से मेल खाती है। इस प्रकार, अपरिवर्तनीय द्रव्यमान द्रव्यमान की एक प्राकृतिक इकाई है जिसका उपयोग उन प्रणालियों के लिए किया जाता है जिन्हें उनके संवेग केंद्र (COM फ्रेम) के केंद्र से देखा जा रहा है, जैसे कि जब किसी बंद प्रणाली (उदाहरण के लिए गर्म गैस की एक बोतल) को तौला जाता है, जिसके लिए माप की आवश्यकता होती है गति फ्रेम के केंद्र में लिया जाना चाहिए जहां सिस्टम में कोई शुद्ध गति नहीं है। ऐसी परिस्थितियों में अपरिवर्तनीय द्रव्यमान सापेक्ष द्रव्यमान (नीचे चर्चा की गई) के बराबर है, जो सी द्वारा विभाजित प्रणाली की कुल ऊर्जा है² (प्रकाश की गति का वर्ग)।

हालांकि, अपरिवर्तनीय द्रव्यमान की अवधारणा को कणों की बाध्य प्रणालियों की आवश्यकता नहीं होती है। जैसे, यह उच्च गति सापेक्ष गति में अनबाउंड कणों की प्रणालियों पर भी लागू किया जा सकता है। इस वजह से, यह अक्सर कण भौतिकी में उन प्रणालियों के लिए नियोजित होता है जिनमें व्यापक रूप से अलग-अलग उच्च-ऊर्जा कण होते हैं। यदि ऐसी प्रणालियाँ एक कण से प्राप्त की गई थीं, तो ऐसी प्रणालियों के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान की गणना, जो कभी न बदलने वाली मात्रा है, मूल कण का शेष द्रव्यमान प्रदान करेगी (क्योंकि यह समय के साथ संरक्षित है)।

गणना में अक्सर यह सुविधाजनक होता है कि किसी प्रणाली का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान प्रणाली की कुल ऊर्जा (द्वारा विभाजित) होता है c²) COM फ्रेम में (जहां, परिभाषा के अनुसार, सिस्टम का संवेग शून्य है)। हालाँकि, चूंकि किसी भी प्रणाली का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान भी सभी जड़त्वीय फ़्रेमों में समान मात्रा में होता है, यह अक्सर COM फ़्रेम में कुल ऊर्जा से गणना की जाने वाली मात्रा होती है, फिर अन्य फ़्रेमों में सिस्टम ऊर्जा और संवेग की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है जहां संवेग नहीं होते हैं शून्य, और सिस्टम की कुल ऊर्जा निश्चित रूप से COM फ्रेम की तुलना में एक अलग मात्रा होगी। जैसा कि ऊर्जा और संवेग के साथ होता है, एक प्रणाली के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान को नष्ट या परिवर्तित नहीं किया जा सकता है, और इस प्रकार इसे संरक्षित किया जाता है, जब तक कि प्रणाली सभी प्रभावों के लिए बंद हो जाती है। (तकनीकी शब्द पृथक प्रणाली है जिसका अर्थ है कि प्रणाली के चारों ओर एक आदर्श सीमा रेखा खींची गई है, और इसके पार कोई द्रव्यमान/ऊर्जा की अनुमति नहीं है।)

सापेक्ष द्रव्यमान

सापेक्षतावादी द्रव्यमान एक शरीर या प्रणाली में ऊर्जा की कुल मात्रा है (द्वारा विभाजित c²). इस प्रकार द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता में द्रव्यमान

$$E=m_{\text{rel}}c^{2}$$

सापेक्ष द्रव्यमान है। परिमित विराम द्रव्यमान के एक कण के लिए m गति से चल रहा है $v$ प्रेक्षक के सापेक्ष, कोई पाता है

$$m_{\text{rel}}={\frac {m}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.$$

संवेग फ्रेम के केंद्र में, $v=0$ और आपेक्षिक द्रव्यमान शेष द्रव्यमान के बराबर होता है। अन्य फ़्रेमों में, सापेक्षतावादी द्रव्यमान (पिंड या निकायों की प्रणाली) में शरीर की शुद्ध गतिज ऊर्जा (पिंड के द्रव्यमान के केंद्र की गतिज ऊर्जा) से योगदान शामिल होता है, और शरीर की गति जितनी तेज होती है। इस प्रकार, अपरिवर्तनीय द्रव्यमान के विपरीत, सापेक्ष द्रव्यमान प्रेक्षक के संदर्भ के फ्रेम पर निर्भर करता है। हालाँकि, दिए गए संदर्भ के एकल फ्रेम और पृथक प्रणालियों के लिए, सापेक्षतावादी द्रव्यमान भी एक संरक्षित मात्रा है। सापेक्षिक द्रव्यमान भी वेग और संवेग के बीच आनुपातिकता कारक है,

$$\mathbf {p} =m_{\text{rel}}\mathbf {v} .$$

न्यूटन का द्वितीय नियम रूप में मान्य रहता है

$$\mathbf {f} ={\frac {d(m_{\text{rel}}\mathbf {v} )}{dt}}.$$

जब कोई पिंड आवृत्ति का प्रकाश उत्सर्जित करता है $\nu$ और तरंग दैर्ध्य $\lambda$ ऊर्जा के फोटॉन के रूप में $E=h\nu =hc/\lambda$, शरीर का द्रव्यमान कम हो जाता है $E/c^{2}=h/\lambda c$, जो कुछ उत्सर्जित फोटॉन के आपेक्षिकीय द्रव्यमान के रूप में व्याख्या करें क्योंकि यह फोटॉन#भौतिक गुणधर्म भी है $p=m_{\text{rel}}c=h/\lambda$. हालांकि कुछ लेखक सापेक्षतावादी द्रव्यमान को सिद्धांत की एक मौलिक अवधारणा के रूप में प्रस्तुत करते हैं, यह तर्क दिया गया है कि यह गलत है क्योंकि सिद्धांत के मूल तत्व अंतरिक्ष-समय से संबंधित हैं। इस बात पर असहमति है कि क्या अवधारणा शैक्षणिक रूप से उपयोगी है। यह सरल और मात्रात्मक रूप से व्याख्या करता है कि एक निरंतर त्वरण के अधीन एक शरीर प्रकाश की गति तक क्यों नहीं पहुंच सकता है, और फोटॉन उत्सर्जित करने वाली प्रणाली का द्रव्यमान क्यों घटता है।आपेक्षिकीय क्वांटम रसायन शास्त्र#गुणात्मक उपचार में, भारी तत्वों में इलेक्ट्रॉन कक्षीय संकुचन की व्याख्या करने के लिए आपेक्षिक द्रव्यमान का उपयोग किया जाता है। न्यूटोनियन यांत्रिकी से किसी वस्तु की संपत्ति के रूप में द्रव्यमान की धारणा सापेक्षता में अवधारणा के लिए एक सटीक संबंध नहीं रखती है। हालांकि यह अभी भी लोकप्रियकरण में प्रचलित है।

यदि एक स्थिर बॉक्स में कई कण होते हैं, तो इसका वजन उसके बाकी फ्रेम में अधिक होता है, कण तेजी से आगे बढ़ रहे हैं। बॉक्स में कोई भी ऊर्जा (कणों की गतिज ऊर्जा सहित) द्रव्यमान में जुड़ जाती है, जिससे कणों की सापेक्ष गति बॉक्स के द्रव्यमान में योगदान करती है। लेकिन अगर बॉक्स खुद चल रहा है (इसका द्रव्यमान का केंद्र चल रहा है), तो यह सवाल बना रहता है कि क्या समग्र गति की गतिज ऊर्जा को सिस्टम के द्रव्यमान में शामिल किया जाना चाहिए। अपरिवर्तनीय द्रव्यमान की गणना समग्र रूप से सिस्टम की गतिज ऊर्जा को छोड़कर की जाती है (बॉक्स के एकल वेग का उपयोग करके गणना की जाती है, जिसे बॉक्स के द्रव्यमान के केंद्र के वेग का कहना है), जबकि सापेक्ष द्रव्यमान की गणना अपरिवर्तनीय द्रव्यमान के साथ की जाती है प्रणाली की गतिज ऊर्जा जिसकी गणना द्रव्यमान के केंद्र के वेग से की जाती है।

आपेक्षिक बनाम शेष द्रव्यमान

आपेक्षिक द्रव्यमान और विराम द्रव्यमान दोनों भौतिकी में पारंपरिक अवधारणाएं हैं, लेकिन सापेक्षतावादी द्रव्यमान कुल ऊर्जा से मेल खाता है। सापेक्षतावादी द्रव्यमान प्रणाली का द्रव्यमान है क्योंकि इसे एक पैमाने पर मापा जाएगा, लेकिन कुछ मामलों में (जैसे कि ऊपर का बॉक्स) यह तथ्य केवल इसलिए सही रहता है क्योंकि औसतन प्रणाली को तौला जाना चाहिए (यह होना चाहिए) शून्य शुद्ध गति, जो कहना है, माप गति फ्रेम के केंद्र में है)। उदाहरण के लिए, यदि एक साइक्लोट्रॉन में एक इलेक्ट्रॉन एक सापेक्ष वेग के साथ हलकों में घूम रहा है, तो साइक्लोट्रॉन + इलेक्ट्रॉन प्रणाली का द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन के सापेक्षिक द्रव्यमान से बढ़ जाता है, न कि इलेक्ट्रॉन के शेष द्रव्यमान से। लेकिन यह किसी भी बंद प्रणाली के बारे में भी सच है, जैसे इलेक्ट्रॉन-एंड-बॉक्स, अगर इलेक्ट्रॉन बॉक्स के अंदर उच्च गति से उछलता है। यह केवल सिस्टम में कुल संवेग की कमी है (सिस्टम संवेग का योग शून्य है) जो इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा को तौलने की अनुमति देता है। यदि इलेक्ट्रॉन को रोका जाता है और तौला जाता है, या पैमाने को किसी तरह उसके बाद भेजा जाता है, तो यह पैमाने के संबंध में आगे नहीं बढ़ेगा, और फिर से सापेक्षतावादी और शेष द्रव्यमान एकल इलेक्ट्रॉन के लिए समान होंगे (और छोटे होंगे)। सामान्य तौर पर, सापेक्षतावादी और बाकी द्रव्यमान केवल उन प्रणालियों में समान होते हैं जिनमें कोई शुद्ध संवेग नहीं होता है और द्रव्यमान का प्रणाली केंद्र आराम पर होता है; अन्यथा वे भिन्न हो सकते हैं।

अपरिवर्तनीय द्रव्यमान एक संदर्भ फ्रेम में कुल ऊर्जा के मूल्य के समानुपाती होता है, वह फ्रेम जहां संपूर्ण वस्तु आराम पर होती है (जैसा कि द्रव्यमान के केंद्र के संदर्भ में नीचे परिभाषित किया गया है)। यही कारण है कि अपरिवर्तनीय द्रव्यमान एकल कणों के लिए शेष द्रव्यमान के समान होता है। हालांकि, अपरिवर्तनीय द्रव्यमान भी मापा द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है जब द्रव्यमान का केंद्र कई कणों की प्रणालियों के लिए आराम पर होता है। यह विशेष फ्रेम जहां ऐसा होता है उसे संवेग फ्रेम का केंद्र भी कहा जाता है, और इसे जड़त्वीय फ्रेम के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें वस्तु के द्रव्यमान का केंद्र आराम पर होता है (यह कहने का दूसरा तरीका यह है कि यह वह फ्रेम है जिसमें संवेग सिस्टम के पुर्जों का योग शून्य हो जाता है)। यौगिक वस्तुओं के लिए (कई छोटी वस्तुओं से बना है, जिनमें से कुछ गतिमान हो सकती हैं) और अनबाउंड ऑब्जेक्ट्स के सेट (जिनमें से कुछ गतिमान भी हो सकते हैं), केवल सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र को वस्तु के लिए आराम की आवश्यकता होती है आपेक्षिक द्रव्यमान अपने विराम द्रव्यमान के बराबर होना चाहिए।

एक तथाकथित द्रव्यमान रहित कण (जैसे एक फोटॉन, या एक सैद्धांतिक गुरुत्वाकर्षण) संदर्भ के प्रत्येक फ्रेम में प्रकाश की गति से चलता है। इस मामले में कोई परिवर्तन नहीं होता है जो कण को ​​आराम में लाएगा। ऐसे कणों की कुल ऊर्जा फ्रेम में छोटी और छोटी होती जाती है जो एक ही दिशा में तेजी से और तेजी से आगे बढ़ते हैं। जैसे, उनके पास कोई विश्राम द्रव्यमान नहीं है, क्योंकि उन्हें कभी भी उस फ्रेम में नहीं मापा जा सकता है जहां वे आराम पर हैं। कोई विराम द्रव्यमान न होने का यह गुण इन कणों को द्रव्यमान रहित कहलाने का कारण बनता है। हालांकि, द्रव्यमान रहित कणों में भी एक सापेक्ष द्रव्यमान होता है, जो संदर्भ के विभिन्न फ्रेमों में उनकी देखी गई ऊर्जा के साथ भिन्न होता है।

अपरिवर्तनीय द्रव्यमान

अपरिवर्तनीय द्रव्यमान चार-गति (शास्त्रीय त्रि-आयामी गति के चार-आयामी सामान्यीकरण) का अनुपात चार-वेग है:

$$p^{\mu }=mv^{\mu }$$

और शेष द्रव्यमान स्थिर होने पर चार-त्वरण से चार-बल का अनुपात भी है। न्यूटन के द्वितीय नियम का चतुर्विमीय रूप है:

$$F^{\mu }=mA^{\mu }.$$

सापेक्षतावादी ऊर्जा–संवेग समीकरण

427x427पीएक्स

के लिए सापेक्ष भाव E और p सापेक्षतावादी ऊर्जा-संवेग संबंध का पालन करें:

$$E^{2}-(pc)^{2}=\left(mc^{2}\right)^{2}$$

जहां m रेस्ट मास है, या सिस्टम के लिए इनवेरिएंट मास है, और E कुल ऊर्जा है।

समीकरण फोटॉनों के लिए भी मान्य है, जिनके पास है m = 0:

$$E^{2}-(pc)^{2}=0$$

और इसीलिए

$$E=pc$$

एक फोटॉन का संवेग उसकी ऊर्जा का एक कार्य है, लेकिन यह वेग के समानुपाती नहीं है, जो हमेशा होता है c.

किसी वस्तु के आराम के लिए, संवेग p शून्य है, इसलिए

$$E=mc^{2}.$$

ध्यान दें कि सूत्र केवल शून्य गति वाले कणों या प्रणालियों के लिए सही है।

बाकी द्रव्यमान वस्तु के बाकी फ्रेम में कुल ऊर्जा के समानुपाती होता है।

जब वस्तु गतिमान होती है, तो कुल ऊर्जा किसके द्वारा दी जाती है?

$$E={\sqrt {\left(mc^{2}\right)^{2}+(pc)^{2}}}$$

वेग के फलन के रूप में संवेग और ऊर्जा का रूप ज्ञात करने के लिए यह ध्यान दिया जा सकता है कि चार-वेग, जो समानुपाती है $\left(c,{\vec {v}}\right)$, कण की गति से जुड़ा एकमात्र चार-वेक्टर है, ताकि अगर कोई संरक्षित चार-संवेग हो $\left(E,{\vec {p}}c\right)$, यह वेक्टर के समानुपाती होना चाहिए। यह ऊर्जा के अनुपात को गति के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है

$$pc=E{\frac {v}{c}},$$

के बीच एक संबंध उत्पन्न हुआ E और v:

$$E^{2}=\left(mc^{2}\right)^{2}+E^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}},$$

इस में यह परिणाम

$$E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$$

और

$$p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.$$

इन भावों को इस रूप में लिखा जा सकता है

$${\begin{aligned}E_{0}&=mc^{2},\\E&=\gamma mc^{2},\\p&=mv\gamma ,\end{aligned}}$$

जहां कारक ${\textstyle \gamma ={1}/{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}$ इकाइयों की प्रणाली में काम करते समय जहां c = 1, जिसे प्राकृतिक इकाई प्रणाली के रूप में जाना जाता है, सभी सापेक्ष समीकरणों को सरल किया जाता है और मात्राएँ ऊर्जा , संवेग और द्रव्यमान का एक ही प्राकृतिक आयाम होता है:

$$m^{2}=E^{2}-p^{2}.$$

अंतर के कारण समीकरण को अक्सर इस तरह लिखा जाता है $E^{2}-p^{2}$ ऊर्जा 4-गति |मोमेंटम फोर-वेक्टर की सापेक्षिक लंबाई है, एक लंबाई जो सिस्टम में बाकी द्रव्यमान या अपरिवर्तनीय द्रव्यमान से जुड़ी होती है। कहां m > 0 और p = 0, यह समीकरण फिर से द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता को व्यक्त करता है E = m.

समग्र प्रणालियों का द्रव्यमान

एक समग्र प्रणाली का शेष द्रव्यमान भागों के बाकी द्रव्यमानों का योग नहीं है, जब तक कि सभी भाग आराम पर न हों। एक समग्र प्रणाली के कुल द्रव्यमान में प्रणाली में गतिज ऊर्जा और क्षेत्र ऊर्जा शामिल होती है।

कुल ऊर्जा E एक समग्र प्रणाली का निर्धारण उसके घटकों की ऊर्जाओं के योग को एक साथ जोड़कर किया जा सकता है। कुल गति ${\vec {p}}$ सिस्टम की एक सदिश मात्रा की गणना इसके सभी घटकों के संवेगों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है। कुल ऊर्जा को देखते हुए E और लंबाई (परिमाण) p कुल संवेग वेक्टर का ${\vec {p}}$, अपरिवर्तनीय द्रव्यमान द्वारा दिया गया है:

$$m={\frac {\sqrt {E^{2}-(pc)^{2}}}{c^{2}}}$$

प्राकृतिक इकाइयों की प्रणाली में जहां c = 1, कणों की प्रणालियों के लिए (चाहे बाउंड या अनबाउंड हो) कुल सिस्टम इनवेरिएंट मास निम्नलिखित द्वारा समान रूप से दिया गया है:

$$m^{2}=\left(\sum E\right)^{2}-\left\|\sum {\vec {p}}\ \right\|^{2}$$

कहाँ, फिर से, कण संवेग ${\vec {p}}$ पहले सदिशों के रूप में अभिव्यक्त किया जाता है, और फिर उनके परिणामी कुल परिमाण (यूक्लिडियन मानदंड ) के वर्ग का उपयोग किया जाता है। इसका परिणाम एक अदिश संख्या में होता है, जिसे कुल ऊर्जा के वर्ग के अदिश मान से घटाया जाता है।

ऐसी प्रणाली के लिए, संवेग फ्रेम के विशेष केंद्र में जहां संवेग का योग शून्य होता है, फिर से सिस्टम द्रव्यमान (जिसे अपरिवर्तनीय द्रव्यमान कहा जाता है) कुल सिस्टम ऊर्जा से मेल खाता है या इकाइयों में जहां c = 1, उसके समान है। एक प्रणाली के लिए यह अपरिवर्तनीय द्रव्यमान किसी भी जड़त्वीय फ्रेम में समान मात्रा में रहता है, हालांकि प्रणाली की कुल ऊर्जा और कुल संवेग चुने गए विशेष जड़त्वीय फ्रेम के कार्य हैं, और जड़त्वीय फ्रेम के बीच इस तरह से भिन्न होंगे जैसे कि अपरिवर्तनीय द्रव्यमान सभी पर्यवेक्षकों के लिए समान। अपरिवर्तनीय द्रव्यमान इस प्रकार उसी क्षमता में कणों की प्रणालियों के लिए कार्य करता है जैसे शेष द्रव्यमान एकल कणों के लिए करता है।

ध्यान दें कि एक पृथक प्रणाली का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान (अर्थात, द्रव्यमान और ऊर्जा दोनों के लिए बंद) भी पर्यवेक्षक या जड़त्वीय फ्रेम से स्वतंत्र है, और पृथक प्रणालियों और एकल पर्यवेक्षकों के लिए एक स्थिर, संरक्षित मात्रा है, यहां तक ​​कि रासायनिक और परमाणु प्रतिक्रियाओं के दौरान भी। कण भौतिकी में अपरिवर्तनीय द्रव्यमान की अवधारणा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि एक कण के क्षय उत्पादों का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान उसके शेष द्रव्यमान के बराबर होता है। इसका उपयोग z कण या शीर्ष क्वार्क जैसे कणों के द्रव्यमान का मापन करने के लिए किया जाता है।

विशेष सापेक्षता में द्रव्यमान का संरक्षण बनाम निश्चरता

कुल ऊर्जा एक योगात्मक संरक्षित मात्रा है (एकल पर्यवेक्षकों के लिए) सिस्टम में और कणों के बीच प्रतिक्रियाओं में, लेकिन बाकी द्रव्यमान (कण बाकी द्रव्यमानों के योग होने के अर्थ में) एक घटना के माध्यम से संरक्षित नहीं किया जा सकता है जिसमें कणों के बाकी द्रव्यमान हैं अन्य प्रकार की ऊर्जा में परिवर्तित, जैसे गतिज ऊर्जा। अलग-अलग कण शेष द्रव्यमानों का योग खोजने के लिए कई पर्यवेक्षकों की आवश्यकता होगी, प्रत्येक कण जड़त्वीय फ्रेम के लिए एक, और ये पर्यवेक्षक व्यक्तिगत कण गतिज ऊर्जा की उपेक्षा करते हैं। संरक्षण कानूनों के लिए एक एकल पर्यवेक्षक और एक जड़त्वीय फ्रेम की आवश्यकता होती है।

सामान्य तौर पर, पृथक प्रणालियों और एकल पर्यवेक्षकों के लिए, सापेक्षतावादी द्रव्यमान संरक्षित होता है (प्रत्येक पर्यवेक्षक इसे समय के साथ स्थिर देखता है), लेकिन अपरिवर्तनीय नहीं है (अर्थात, अलग-अलग पर्यवेक्षक अलग-अलग मान देखते हैं)। अपरिवर्तनीय द्रव्यमान, हालांकि, संरक्षित और अपरिवर्तनीय दोनों है (सभी एकल पर्यवेक्षकों को समान मान दिखाई देता है, जो समय के साथ नहीं बदलता है)।

सापेक्षतावादी द्रव्यमान ऊर्जा से मेल खाता है, इसलिए ऊर्जा के संरक्षण का स्वचालित रूप से मतलब है कि किसी दिए गए पर्यवेक्षक और जड़त्वीय फ्रेम के लिए सापेक्ष द्रव्यमान संरक्षित है। हालाँकि, यह मात्रा, कण की कुल ऊर्जा की तरह, अपरिवर्तनीय नहीं है। इसका मतलब यह है कि, भले ही यह प्रतिक्रिया के दौरान किसी भी पर्यवेक्षक के लिए संरक्षित है, पर्यवेक्षक के फ्रेम के साथ और अलग-अलग पर्यवेक्षकों के लिए अलग-अलग फ्रेम में इसका पूर्ण मूल्य बदल जाएगा।

इसके विपरीत, सिस्टम और कणों के बाकी द्रव्यमान और अपरिवर्तनीय द्रव्यमान हैं both संरक्षित and अपरिवर्तनीय भी। उदाहरण के लिए: गैस के एक बंद कंटेनर (ऊर्जा के लिए भी बंद) में सिस्टम रेस्ट मास इस अर्थ में होता है कि इसे रेस्टिंग स्केल पर तौला जा सकता है, भले ही इसमें मूविंग कंपोनेंट्स हों। यह द्रव्यमान अपरिवर्तनीय द्रव्यमान है, जो कंटेनर की कुल सापेक्ष ऊर्जा (गैस की गतिज ऊर्जा सहित) के बराबर होता है, जब इसे संवेग फ्रेम के केंद्र में मापा जाता है। जैसा कि एकल कणों के मामले में होता है, गैस के ऐसे कंटेनर का परिकलित विराम द्रव्यमान गति में होने पर नहीं बदलता है, हालांकि इसका सापेक्ष द्रव्यमान बदलता है।

कंटेनर को एक बल के अधीन भी किया जा सकता है जो इसे एक समग्र वेग देता है, या फिर (समतुल्य रूप से) इसे जड़त्वीय फ्रेम से देखा जा सकता है जिसमें इसका समग्र वेग होता है (अर्थात, तकनीकी रूप से, एक फ्रेम जिसमें द्रव्यमान का केंद्र होता है) वेग है)। इस मामले में, इसका कुल सापेक्ष द्रव्यमान और ऊर्जा बढ़ जाती है। हालांकि, ऐसी स्थिति में, हालांकि कंटेनर की कुल सापेक्ष ऊर्जा और कुल गति में वृद्धि होती है, इन ऊर्जा और गति में वृद्धि अपरिवर्तनीय द्रव्यमान परिभाषा में घट जाती है, जिससे चलती कंटेनर के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान की गणना उसी मान के रूप में की जाएगी जैसे कि इसे मापा गया था। आराम से, पैमाने पर।

बंद (मतलब पूरी तरह से अलग) सिस्टम

विशेष सापेक्षता (ऊर्जा, द्रव्यमान और संवेग के लिए) में सभी संरक्षण कानूनों के लिए पृथक प्रणालियों की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि ऐसी प्रणालियाँ जो पूरी तरह से पृथक हैं, जिनमें समय के साथ-साथ द्रव्यमान-ऊर्जा की अनुमति नहीं है। यदि एक प्रणाली को अलग किया जाता है, तो सिस्टम में कुल ऊर्जा और कुल गति दोनों किसी भी जड़त्वीय फ्रेम में किसी भी पर्यवेक्षक के लिए समय के साथ संरक्षित होते हैं, हालांकि अलग-अलग जड़त्वीय फ्रेम में अलग-अलग पर्यवेक्षकों के अनुसार उनके पूर्ण मूल्य अलग-अलग होंगे। सिस्टम का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान भी संरक्षित है, लेकिन विभिन्न पर्यवेक्षकों के साथ नहीं बदलता है। यह एकल कणों के साथ परिचित स्थिति भी है: सभी पर्यवेक्षक एक ही कण शेष द्रव्यमान (अपरिवर्तनीय द्रव्यमान का एक विशेष मामला) की गणना करते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वे कैसे चलते हैं (वे किस जड़त्वीय फ्रेम को चुनते हैं), लेकिन अलग-अलग पर्यवेक्षक अलग-अलग कुल ऊर्जा और संवेग देखते हैं वही कण।

अपरिवर्तनीय द्रव्यमान के संरक्षण के लिए भी सिस्टम को संलग्न करने की आवश्यकता होती है ताकि कोई गर्मी और विकिरण (और इस प्रकार अपरिवर्तनीय द्रव्यमान) बच न सके। जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में, भौतिक रूप से बंद या बाध्य प्रणाली को अपने द्रव्यमान को स्थिर रखने के लिए बाहरी ताकतों से पूरी तरह अलग होने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि बाध्य प्रणालियों के लिए ये केवल प्रणाली या पर्यवेक्षक के जड़त्वीय फ्रेम को बदलने के लिए कार्य करते हैं। हालांकि इस तरह की कार्रवाइयाँ बाध्य प्रणाली की कुल ऊर्जा या गति को बदल सकती हैं, ये दो परिवर्तन रद्द हो जाते हैं, जिससे सिस्टम के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान में कोई परिवर्तन नहीं होता है। यह एकल कणों के समान ही परिणाम है: उनका परिकलित विराम द्रव्यमान भी स्थिर रहता है, चाहे वे कितनी भी तेजी से चलते हों, या कोई प्रेक्षक उन्हें कितनी तेजी से चलता हुआ देखता हो।

दूसरी ओर, उन प्रणालियों के लिए जो अनबाउंड हैं, सिस्टम के बंद होने को एक आदर्श सतह द्वारा लागू किया जा सकता है, क्योंकि कोई द्रव्यमान-ऊर्जा समय के साथ टेस्ट-वॉल्यूम में या बाहर की अनुमति नहीं दी जा सकती है, अगर सिस्टम अपरिवर्तनीय द्रव्यमान का संरक्षण उस दौरान रखना है। यदि किसी बल को इस तरह के एक अनबाउंड सिस्टम के केवल एक हिस्से पर कार्य करने की अनुमति दी जाती है, तो यह ऊर्जा को सिस्टम में या बाहर जाने की अनुमति देने के बराबर है, और द्रव्यमान-ऊर्जा (कुल अलगाव) के बंद होने की स्थिति का उल्लंघन होता है . इस मामले में, सिस्टम के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान का संरक्षण भी अब नहीं रहेगा। सिस्टम में रेस्ट मास का ऐसा नुकसान जब ऊर्जा को हटा दिया जाता है, के अनुसार E = mc² कहां E ऊर्जा हटा दी गई है, और m विश्राम द्रव्यमान में परिवर्तन है, ऊर्जा के संचलन से जुड़े द्रव्यमान के परिवर्तनों को दर्शाता है, द्रव्यमान को ऊर्जा में परिवर्तित नहीं करता है।

सिस्टम इनवेरिएंट मास बनाम सिस्टम के हिस्सों के अलग-अलग रेस्ट मास

फिर से, विशेष सापेक्षता में, सिस्टम के बाकी द्रव्यमान को भागों के बाकी द्रव्यमानों के योग के बराबर होने की आवश्यकता नहीं है (एक ऐसी स्थिति जो रसायन विज्ञान में सकल द्रव्यमान-संरक्षण के अनुरूप होगी)। उदाहरण के लिए, एक विशाल कण फोटॉनों में क्षय हो सकता है, जिसमें व्यक्तिगत रूप से कोई द्रव्यमान नहीं होता है, लेकिन जो (एक प्रणाली के रूप में) उस कण के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान को संरक्षित करता है जिसने उन्हें उत्पन्न किया। साथ ही गैर-अंतःक्रियात्मक कणों (जैसे, फोटॉन, या एक आदर्श गैस) के एक बॉक्स में कणों के बाकी द्रव्यमानों के योग की तुलना में एक बड़ा अपरिवर्तनीय द्रव्यमान होगा जो इसे बनाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक प्रणाली में सभी कणों और क्षेत्रों की कुल ऊर्जा का योग होना चाहिए, और यह मात्रा, जैसा कि संवेग फ्रेम के केंद्र में देखा गया है, और द्वारा विभाजित c², सिस्टम का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान है।

विशेष सापेक्षता में, द्रव्यमान को ऊर्जा में परिवर्तित नहीं किया जाता है, क्योंकि सभी प्रकार की ऊर्जा अभी भी अपने संबद्ध द्रव्यमान को बनाए रखती है। विशेष सापेक्षता में न तो ऊर्जा और न ही अपरिवर्तनीय द्रव्यमान को नष्ट किया जा सकता है, और प्रत्येक बंद प्रणालियों में समय के साथ अलग-अलग संरक्षित होता है। इस प्रकार, एक प्रणाली का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान केवल इसलिए बदल सकता है क्योंकि अपरिवर्तनीय द्रव्यमान को प्रकाश या गर्मी के रूप में बचने की अनुमति है। इस प्रकार, जब प्रतिक्रियाएँ (चाहे रासायनिक या परमाणु) गर्मी और प्रकाश के रूप में ऊर्जा छोड़ती हैं, अगर गर्मी और प्रकाश को बाहर निकलने की अनुमति नहीं है (प्रणाली बंद और पृथक है), तो ऊर्जा प्रणाली के बाकी द्रव्यमान में योगदान देना जारी रखेगी , और सिस्टम द्रव्यमान नहीं बदलेगा। यदि ऊर्जा को पर्यावरण में छोड़ा जाता है तो ही द्रव्यमान नष्ट होगा; ऐसा इसलिए है क्योंकि संबंधित द्रव्यमान को सिस्टम से बाहर जाने दिया गया है, जहां यह आसपास के द्रव्यमान में योगदान देता है।

सापेक्षतावादी जन अवधारणा का इतिहास

अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य द्रव्यमान

Further information: Electromagnetic mass

ऐसी अवधारणाएं जो आज सापेक्षतावादी द्रव्यमान कहलाती हैं, के समान थीं, विशेष सापेक्षता के आगमन से पहले ही विकसित हो चुकी थीं। उदाहरण के लिए, 1881 में जे. जे. थॉमसन द्वारा यह माना गया था कि एक चार्ज किए गए शरीर को एक अपरिवर्तित शरीर की तुलना में गति में स्थापित करना कठिन होता है, जिसे ओलिवर हीविसाइड (1889) और जॉर्ज फ्रेडरिक चार्ल्स सियरल (1897) द्वारा अधिक विस्तार से काम किया गया था। तो इलेक्ट्रोस्टैटिक ऊर्जा किसी प्रकार के विद्युत चुम्बकीय द्रव्यमान के रूप में व्यवहार करती है ${\textstyle m_{\text{em}}={\frac {4}{3}}E_{\text{em}}/c^{2}}$, जो निकायों के सामान्य यांत्रिक द्रव्यमान को बढ़ा सकता है। फिर, थॉमसन और सियरल द्वारा यह बताया गया कि यह विद्युत चुम्बकीय द्रव्यमान भी वेग के साथ बढ़ता है। लोरेंत्ज़ ईथर सिद्धांत के ढांचे में हेंड्रिक लोरेंत्ज़ (1899, 1904) द्वारा इसे और विस्तृत किया गया था। उन्होंने द्रव्यमान को त्वरण के बल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया, न कि गति के वेग के अनुपात के रूप में, इसलिए उन्हें द्रव्यमान के बीच अंतर करने की आवश्यकता थी $m_{\text{L}}=\gamma ^{3}m$ गति और द्रव्यमान की दिशा के समानांतर $m_{\text{T}}=\gamma m$ गति की दिशा के लंबवत (जहाँ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ लोरेंत्ज़ कारक है, v ईथर और वस्तु के बीच सापेक्ष वेग है, और c प्रकाश की गति है)। केवल जब बल वेग के लम्बवत् होता है, लोरेंत्ज़ का द्रव्यमान उस द्रव्यमान के बराबर होता है जिसे अब आपेक्षिक द्रव्यमान कहा जाता है। मैक्स अब्राहम (1902) ने कॉल किया $m_{\text{L}}$ अनुदैर्ध्य द्रव्यमान और $m_{\text{T}}$ अनुप्रस्थ द्रव्यमान (हालांकि इब्राहीम ने लोरेंत्ज़ के सापेक्षवादी लोगों की तुलना में अधिक जटिल अभिव्यक्तियों का उपयोग किया)। इसलिए, लोरेंत्ज़ के सिद्धांत के अनुसार कोई भी पिंड प्रकाश की गति तक नहीं पहुँच सकता क्योंकि इस वेग पर द्रव्यमान असीम रूप से बड़ा हो जाता है। अल्बर्ट आइंस्टीन ने भी शुरू में अपने 1905 के इलेक्ट्रोडायनामिक्स पेपर में अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ द्रव्यमान की अवधारणाओं का इस्तेमाल किया था (लोरेंत्ज़ के समान, लेकिन एक अलग $m_{\text{T}}$ एक दुर्भाग्यपूर्ण बल परिभाषा द्वारा, जिसे बाद में सुधारा गया था), और 1906 में एक अन्य पेपर में। हालांकि, बाद में उन्होंने वेग पर निर्भर द्रव्यमान अवधारणाओं को छोड़ दिया (#Relativistic mass के अंत में उद्धरण देखें)।

गैर-शून्य शेष द्रव्यमान वाले कण के लिए सटीक सापेक्षतावादी अभिव्यक्ति (जो लोरेंत्ज़ के समतुल्य है) संबंधित बल और त्वरण $m$ x दिशा में वेग v और संबंधित लोरेंत्ज़ कारक के साथ आगे बढ़ रहा है $\gamma$ है

$${\begin{aligned}f_{\text{x}}&=m\gamma ^{3}a_{\text{x}}&=m_{\text{L}}a_{\text{x}},\\f_{\text{y}}&=m\gamma a_{\text{y}}&=m_{\text{T}}a_{\text{y}},\\f_{\text{z}}&=m\gamma a_{\text{z}}&=m_{\text{T}}a_{\text{z}}.\end{aligned}}$$

सापेक्ष द्रव्यमान

विशेष आपेक्षिकता में, शून्येतर विराम द्रव्यमान वाली वस्तु प्रकाश की गति से यात्रा नहीं कर सकती है। जैसे-जैसे वस्तु प्रकाश की गति के करीब आती है, वस्तु की ऊर्जा और गति बिना किसी सीमा के बढ़ती जाती है।

1905 के बाद के पहले वर्षों में, लोरेंत्ज़ और आइंस्टीन के बाद, अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ द्रव्यमान शब्द अभी भी उपयोग में थे। हालाँकि, उन अभिव्यक्तियों को सापेक्षतावादी द्रव्यमान की अवधारणा द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था, एक अभिव्यक्ति जिसे पहली बार 1909 में गिल्बर्ट एन. लुईस और रिचर्ड सी. टोलमैन द्वारा परिभाषित किया गया था। उन्होंने किसी पिंड की कुल ऊर्जा और द्रव्यमान को इस रूप में परिभाषित किया

$$m_{\text{rel}}={\frac {E}{c^{2}}},$$

और एक शरीर आराम पर है

$$m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}},$$

अनुपात के साथ

$${\frac {m_{\text{rel}}}{m_{0}}}=\gamma .$$

1912 में टॉल्मन ने इस अवधारणा पर और विस्तार किया, और कहा: अभिव्यक्ति एम₀(1 - वी²/सी²)^−1/2 गतिमान पिंड के द्रव्यमान के लिए सबसे उपयुक्त है। 1934 में, टॉल्मन ने तर्क दिया कि सापेक्षतावादी द्रव्यमान सूत्र $m_{\text{rel}}=E/c^{2}$ प्रकाश की गति से चलने वाले कणों सहित सभी कणों के लिए सूत्र धारण करता है $m_{\text{rel}}=\gamma m_{0}$ केवल एक धीमी-से-प्रकाश कण पर लागू होता है (एक गैर-शून्य शेष द्रव्यमान वाला कण)। टॉल्मन ने इस संबंध पर टिप्पणी की कि, इसके अलावा, हमारे पास निश्चित रूप से गतिमान इलेक्ट्रॉनों के मामले में अभिव्यक्ति का प्रायोगिक सत्यापन है ... इसलिए हमें गतिमान कण के द्रव्यमान के लिए अभिव्यक्ति को सामान्य रूप से सही मानने में कोई हिचकिचाहट नहीं होगी। जब सापेक्ष वेग शून्य होता है, $\gamma$ बस 1 के बराबर है, और आपेक्षिक द्रव्यमान को शेष द्रव्यमान तक कम कर दिया जाता है जैसा कि नीचे दिए गए अगले दो समीकरणों में देखा जा सकता है। जैसे-जैसे वेग प्रकाश की गति c की ओर बढ़ता है, दाहिनी ओर का भाजक शून्य की ओर बढ़ता है, और परिणामस्वरूप $\gamma$ अनंत तक पहुँचता है। जबकि न्यूटन के द्वितीय नियम के रूप में वैध रहता है

$$\mathbf {f} ={\frac {d(m_{\text{rel}}\mathbf {v} )}{dt}},$$

व्युत्पन्न रूप $\mathbf {f} =m_{\text{rel}}\mathbf {a}$ मान्य नहीं है क्योंकि $m_{\text{rel}}$ में ${d(m_{\text{rel}}\mathbf {v} )}$ आम तौर पर स्थिर नहीं होता है (अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य द्रव्यमान पर ऊपर अनुभाग देखें)।

भले ही आइंस्टीन ने शुरुआत में अपने पहले पेपर में अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ द्रव्यमान को दो पेपरों में इस्तेमाल किया था (#अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य द्रव्यमान देखें)। $E=mc^{2}$ (1905) उन्होंने इलाज किया m जिसे अब शेष द्रव्यमान कहा जाएगा।आइंस्टीन ने सापेक्षतावादी द्रव्यमान के लिए कभी कोई समीकरण नहीं बनाया, और बाद के वर्षों में उन्होंने इस विचार के प्रति अपनी नापसंदगी व्यक्त की:

It is not good to introduce the concept of the mass ${\textstyle M=m/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ of a moving body for which no clear definition can be given. It is better to introduce no other mass concept than the ’rest mass’ m. Instead of introducing M it is better to mention the expression for the momentum and energy of a body in motion.

— Albert Einstein in letter to Lincoln Barnett, 19 June 1948 (quote from L.B. Okun (1989), p. 42)

लोकप्रिय विज्ञान और पाठ्यपुस्तकें

लोकप्रिय विज्ञान लेखन और हाई स्कूल और स्नातक पाठ्यपुस्तकों में सापेक्षतावादी द्रव्यमान की अवधारणा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। ओकुन और ए. बी. एरोन्स जैसे लेखकों ने इसके खिलाफ तर्क दिया है कि यह पुरातन और भ्रमित करने वाला है, और आधुनिक सापेक्षतावादी सिद्धांत के अनुरूप नहीं है।

एरोन्स ने लिखा:

कई वर्षों तक सापेक्षतावादी द्रव्यमान की व्युत्पत्ति के माध्यम से गतिशीलता की चर्चा में प्रवेश करना पारंपरिक था, जो कि द्रव्यमान-वेग संबंध है, और यह शायद अभी भी पाठ्यपुस्तकों में प्रमुख विधा है। हाल ही में, हालांकि, यह तेजी से मान्यता प्राप्त हुई है कि सापेक्षतावादी द्रव्यमान एक परेशानी और संदिग्ध अवधारणा है। [देखें, उदाहरण के लिए, ओकुन (1989)।]... सापेक्षतावादी गतिशीलता के लिए ध्वनि और कठोर दृष्टिकोण गति के लिए उस अभिव्यक्ति के प्रत्यक्ष विकास के माध्यम से है जो सभी फ्रेमों में गति के संरक्षण को सुनिश्चित करता है:

$$p={m_{0}v \over {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$$

सापेक्षतावादी द्रव्यमान के बजाय।

सी। एल्डर सापेक्षता में द्रव्यमान पर समान रूप से खारिज करने वाला रुख अपनाता है। उक्त विषय वस्तु पर लिखते हुए, वे कहते हैं कि विशेष सापेक्षता के सिद्धांत में इसका परिचय एक ऐतिहासिक दुर्घटना के रूप में था, जो व्यापक ज्ञान की ओर ध्यान दे रहा था। E = mc² और कैसे समीकरण की जनता की व्याख्या ने बड़े पैमाने पर सूचित किया है कि उच्च शिक्षा में इसे कैसे पढ़ाया जाता है। इसके बजाय वह मानता है कि आराम और सापेक्षतावादी द्रव्यमान के बीच का अंतर स्पष्ट रूप से सिखाया जाना चाहिए, ताकि छात्रों को पता चल सके कि जड़ता की अधिकांश चर्चाओं में द्रव्यमान को अपरिवर्तनीय क्यों माना जाना चाहिए।

कई समकालीन लेखक जैसे टेलर और व्हीलर सापेक्षतावादी द्रव्यमान की अवधारणा का पूरी तरह से उपयोग करने से बचते हैं:

The concept of "relativistic mass" is subject to misunderstanding. That's why we don't use it. First, it applies the name mass – belonging to the magnitude of a 4-vector – to a very different concept, the time component of a 4-vector. Second, it makes increase of energy of an object with velocity or momentum appear to be connected with some change in internal structure of the object. In reality, the increase of energy with velocity originates not in the object but in the geometric properties of spacetime itself.

जबकि अंतरिक्ष-समय में मिन्कोवस्की अंतरिक्ष की असीमित ज्यामिति है, वेग-अंतरिक्ष इससे घिरा हुआ है c और बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल की ज्यामिति है जहां सापेक्षवादी द्रव्यमान यूक्लिडियन ज्यामिति के बेरिकेंट्रिक निर्देशांक में न्यूटोनियन द्रव्यमान के अनुरूप भूमिका निभाता है। अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के वेग का संबंध 3-वेग-निर्भर सापेक्षतावादी द्रव्यमान को 4-वेग मिन्कोव्स्की औपचारिकता से संबंधित होने में सक्षम बनाता है।

यह भी देखें

• सापेक्षतावादी ऊर्जा और संवेग का परीक्षण

बाहरी कड़ियाँ

• Silagadze, Z. K. (2008), "Relativity without tears", Acta Physica Polonica B, 39 (4): 811–885, arXiv:0708.0929, Bibcode:2008AcPPB..39..811S
• Oas, Gary (2005), "On the Abuse and Use of Relativistic Mass", arXiv:physics/0504110
• Usenet Physics FAQ
  • "Does mass change with velocity?" by Philip Gibbs et al., 2002, retrieved August 10, 2006
  • "What is the mass of a photon?" by Matt Austern et al., 1998, retrieved June 27, 2007
• Max Jammer (1997), Concepts of Mass in Classical and Modern Physics, Courier Dover Publications, pp. 177–178, ISBN 978-0-486-29998-3
• Mass as a Variable Quantity