पूर्णांक आव्यूह: Difference between revisions

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गणित में, एक [[पूर्णांक]] मैट्रिक्स एक [[मैट्रिक्स (गणित)]] है जिसकी प्रविष्टियाँ सभी पूर्णांक हैं। उदाहरणों में [[बाइनरी मैट्रिक्स]], [[शून्य मैट्रिक्स]], [[लोगों का मैट्रिक्स]], पहचान मैट्रिक्स और ग्राफ़ सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले आसन्न मैट्रिक्स, कई अन्य शामिल हैं। [[साहचर्य]] में पूर्णांक मैट्रिसेस का लगातार उपयोग होता है।
गणित में, [[पूर्णांक]] आव्यूह एक [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] है जिसकी सभी प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं। उदाहरणों में [[बाइनरी मैट्रिक्स|द्विआधारी आव्यूह]], [[शून्य मैट्रिक्स|शून्य आव्यूह]], [[लोगों का मैट्रिक्स|एक आव्यूह]], तत्समक आव्यूह और आरेख सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले आसन्न आव्यूह आदि तथा इनके साथ साथ कई अन्य आव्यूह भी सम्मिलित हैं। [[साहचर्य]] में पूर्णांक आव्यूहों का उपयोग अत्यधिक होता है।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
:<math>\left(\begin{array}{cccr} 5 & 2 & 6 & 0\\ 4 & 7 & 3 & 8\\ 5 & 9 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 0 & \!\!\!-3\\ 9 & 0 & 2 & 1\end{array}\right)</math>और <math>\left(\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 0\\ 0 & 9 & 2\\ 1 & 7 & 3\end{array}\right)</math>
:<math>\left(\begin{array}{cccr} 5 & 2 & 6 & 0\\ 4 & 7 & 3 & 8\\ 5 & 9 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 0 & \!\!\!-3\\ 9 & 0 & 2 & 1\end{array}\right)</math>और <math>\left(\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 0\\ 0 & 9 & 2\\ 1 & 7 & 3\end{array}\right)</math>
पूर्णांक मैट्रिसेस के दोनों उदाहरण हैं।
पूर्णांक आव्यूह के दोनों उदाहरण हैं।


== गुण ==
== गुण ==
पूर्णांक मैट्रिसेस का व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स गैर-पूर्णांक मैट्रिक्स की तुलना में सामान्य रूप से अधिक संख्यात्मक रूप से स्थिर होता है। एक पूर्णांक मैट्रिक्स का निर्धारक स्वयं एक पूर्णांक होता है, इस प्रकार एक व्युत्क्रमणीय पूर्णांक मैट्रिक्स के निर्धारक का संख्यात्मक रूप से सबसे छोटा संभव परिमाण एक होता है, इसलिए जहां व्युत्क्रम मौजूद होते हैं वे अत्यधिक बड़े नहीं होते हैं (स्थिति संख्या देखें)। मैट्रिक्स (गणित) से प्रमेय जो निर्धारकों से गुणों का अनुमान लगाते हैं, इस प्रकार बीमार-वातानुकूलित मैट्रिक्स (''लगभग '' शून्य निर्धारक) [[वास्तविक संख्या]] या [[ तैरनेवाला स्थल ]] वैल्यू मैट्रिसेस द्वारा प्रेरित जाल से बचते हैं।
पूर्णांक आव्यूहों का व्युत्क्रमणीय आव्यूह गैर-पूर्णांक आव्यूह की तुलना में सामान्यतः संख्यात्मक रूप से अधिक स्थिर होता है। किसी पूर्णांक आव्यूह का डिटर्मिनेंट स्वयं एक पूर्णांक होता है, इस प्रकार एक व्युत्क्रमणीय पूर्णांक आव्यूह के डिटर्मिनेंट का संख्यात्मक रूप से सबसे छोटा संभव परिमाण एक होता है, इसलिए जहां व्युत्क्रम उपलब्ध होते हैं वे अत्यधिक बड़े नहीं होते हैं। आव्यूह से प्रमेय, जो डिटर्मिनेंट से गुणों का अनुमान लगाते हैं, इस प्रकार दोषपूर्ण आव्यूह [[वास्तविक संख्या]] या [[ तैरनेवाला स्थल |चर]] मान आव्यूहों द्वारा प्रेरित लैटिस से बचते हैं।


एक पूर्णांक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम <math>M</math> फिर से एक पूर्णांक मैट्रिक्स है अगर और केवल अगर का निर्धारक <math>M</math> के बराबर होती है <math>1</math> या <math>-1</math>. निर्धारक के पूर्णांक मैट्रिक्स <math>1</math> समूह बनाना (गणित) <math>\mathrm{SL}_n(\mathbf{Z})</math>, जिसके अंकगणित और [[ज्यामिति]] में दूरगामी अनुप्रयोग हैं। के लिए <math>n=2</math>, यह [[मॉड्यूलर समूह]] से निकटता से संबंधित है।
यदि किसी पूर्णाङ्क आव्यूह M का डिटर्मिनेंट 1 या -1 होता है तो आव्यूह M का अधिलेख पुनः एक पूर्णाङ्क आव्यूह होता है। डिटर्मिनेंट 1 के पूर्णाङ्क आव्यूह <math>\mathrm{SL}_n(\mathbf{Z})</math> समूह का गठन करते हैं, जिसके अंकगणित और [[ज्यामिति]] में दूरगामी अनुप्रयोग हैं। <math>n=2</math> के लिए यह [[मॉड्यूलर समूह|प्रतिरूपक क्रमादेशन समूह]] से निकटता से संबंधित है।


[[ऑर्थोगोनल समूह]] के साथ पूर्णांक मैट्रिसेस का प्रतिच्छेदन [[हस्ताक्षरित क्रमपरिवर्तन मैट्रिसेस]] का समूह है।
[[ऑर्थोगोनल समूह|लंबकोणीय समूह]] के साथ पूर्णांक आव्यूहों का प्रतिच्छेदन [[हस्ताक्षरित क्रमपरिवर्तन मैट्रिसेस|हस्ताक्षरित क्रमपरिवर्तन आव्यूहों]] का समूह है।


एक पूर्णांक मैट्रिक्स की [[विशेषता बहुपद]] में पूर्णांक गुणांक होते हैं। चूंकि एक मैट्रिक्स के [[eigenvalue]]s ​​​​इस बहुपद के [[एक समारोह की जड़]] हैं, एक पूर्णांक मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​[[बीजगणितीय पूर्णांक]] हैं। एबेल-रफ़िनी प्रमेय के आयाम में, वे इस प्रकार एनवें रूट द्वारा व्यक्त किए जा सकते हैं जिसमें पूर्णांक शामिल हैं।
किसी पूर्णांक आव्यूह की [[विशेषता बहुपद]] में पूर्णांक गुणांक होते हैं। चूंकि एक आव्यूह के [[eigenvalue|ऐगेन मान]] ​​​​इस बहुपद के फलन का समाधान हैं, एक पूर्णांक आव्यूह के [[eigenvalue|ऐगेन मान]] ​​​​[[बीजगणितीय पूर्णांक]] हैं। एबेल-रफ़िनी प्रमेय के आयाम में, वे इस प्रकार एनवें समाधान द्वारा व्यक्त किए जा सकते हैं जिसमें पूर्णांक सम्मिलित हैं।


पूर्णांक मैट्रिसेस को कभी-कभी इंटीग्रल मैट्रिसेस कहा जाता है, हालांकि इस प्रयोग को हतोत्साहित किया जाता है।
पूर्णांक आव्यूहों को कभी-कभी इंटीग्रल आव्यूह कहा जाता है, यद्यपि इस प्रयोग को प्रायः हतोत्साहित किया जाता है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[जीसीडी मैट्रिक्स]]
* [[जीसीडी मैट्रिक्स|जीसीडी आव्यूह]]
* [[यूनिमॉड्यूलर मैट्रिक्स]]
* [[यूनिमॉड्यूलर मैट्रिक्स|यूनिमॉड्यूलर आव्यूह]]
* [[विल्सन मैट्रिक्स]]
* [[विल्सन मैट्रिक्स|विल्सन आव्यूह]]


==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==

Revision as of 01:03, 23 April 2023

गणित में, पूर्णांक आव्यूह एक आव्यूह है जिसकी सभी प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं। उदाहरणों में द्विआधारी आव्यूह, शून्य आव्यूह, एक आव्यूह, तत्समक आव्यूह और आरेख सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले आसन्न आव्यूह आदि तथा इनके साथ साथ कई अन्य आव्यूह भी सम्मिलित हैं। साहचर्य में पूर्णांक आव्यूहों का उपयोग अत्यधिक होता है।

उदाहरण

और

पूर्णांक आव्यूह के दोनों उदाहरण हैं।

गुण

पूर्णांक आव्यूहों का व्युत्क्रमणीय आव्यूह गैर-पूर्णांक आव्यूह की तुलना में सामान्यतः संख्यात्मक रूप से अधिक स्थिर होता है। किसी पूर्णांक आव्यूह का डिटर्मिनेंट स्वयं एक पूर्णांक होता है, इस प्रकार एक व्युत्क्रमणीय पूर्णांक आव्यूह के डिटर्मिनेंट का संख्यात्मक रूप से सबसे छोटा संभव परिमाण एक होता है, इसलिए जहां व्युत्क्रम उपलब्ध होते हैं वे अत्यधिक बड़े नहीं होते हैं। आव्यूह से प्रमेय, जो डिटर्मिनेंट से गुणों का अनुमान लगाते हैं, इस प्रकार दोषपूर्ण आव्यूह वास्तविक संख्या या चर मान आव्यूहों द्वारा प्रेरित लैटिस से बचते हैं।

यदि किसी पूर्णाङ्क आव्यूह M का डिटर्मिनेंट 1 या -1 होता है तो आव्यूह M का अधिलेख पुनः एक पूर्णाङ्क आव्यूह होता है। डिटर्मिनेंट 1 के पूर्णाङ्क आव्यूह समूह का गठन करते हैं, जिसके अंकगणित और ज्यामिति में दूरगामी अनुप्रयोग हैं। के लिए यह प्रतिरूपक क्रमादेशन समूह से निकटता से संबंधित है।

लंबकोणीय समूह के साथ पूर्णांक आव्यूहों का प्रतिच्छेदन हस्ताक्षरित क्रमपरिवर्तन आव्यूहों का समूह है।

किसी पूर्णांक आव्यूह की विशेषता बहुपद में पूर्णांक गुणांक होते हैं। चूंकि एक आव्यूह के ऐगेन मान ​​​​इस बहुपद के फलन का समाधान हैं, एक पूर्णांक आव्यूह के ऐगेन मान ​​​​बीजगणितीय पूर्णांक हैं। एबेल-रफ़िनी प्रमेय के आयाम में, वे इस प्रकार एनवें समाधान द्वारा व्यक्त किए जा सकते हैं जिसमें पूर्णांक सम्मिलित हैं।

पूर्णांक आव्यूहों को कभी-कभी इंटीग्रल आव्यूह कहा जाता है, यद्यपि इस प्रयोग को प्रायः हतोत्साहित किया जाता है।

यह भी देखें

बाहरी संबंध