सेमीप्राइम: Difference between revisions

Revision as of 22:53, 21 April 2023

गणित में,सेमीप्राइम एक प्राकृतिक संख्या है जो दो अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है। गुणनफल में दो अभाज्य संख्याएँ एक दूसरे के समान हो सकती हैं, इसलिए सेमिप्राइम संख्याओं में अभाज्य संख्याओं की वर्ग संख्या सम्मिलित होते है।क्योंकि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं,और अपरिमित रूप से अनेक सेमिप्राइम संख्याएँ भी हैं। सेमीप्राइम्स को बाइप्राइम्स भी कहा जाता है।^[1]

उदाहरण और विविधताएं

100 से न्यूनतम के संख्या सेमीप्राइम हैं:

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, एवं 95 (OEIS में अनुक्रम A006881)

सेमीप्राइम्स जो वर्ग संख्या नहीं हैं, असतत, विशिष्ट, या स्क्वायरफ्री सेमीप्राइम्स कहलाते हैं:

6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, ... (OIES में अनुक्रम A006881)

सेमीप्राइम स्थिति $k=2$ के $k$ -लगभग अभाज्य संख्याएँ हैं, तथा सटीक संख्याएँ $k$ का प्रधान कारक है। यद्यपि, कुछ स्रोत संख्याओं के एक बड़े समूह को संदर्भित करने के लिए "सेमीप्राइम" का उपयोग करते हैं, संख्याएँ अधिकतम दो प्रमुख कारकों (यूनिट (1), प्राइम्स और सेमीप्राइम्स सहित) के सापेक्ष होती हैं।^[2] ये संख्याये निम्न हैं :-

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 46, 47, 49, ... (OEIS में अनुक्रम A006881)

सेमीप्राइम्स की संख्या के लिए सूत्र

2005 में ई. नोएल और जी. पैनोस द्वारा एक सेमीप्राइम काउंटिंग विधि खोजी गयी थी। मान लीजिए $\pi _{2}(n)$ n से न्यूनतम या उसके समान सेमीप्राइम्स की संख्या को निरूपित करें। तब

\pi _{2}(n)=\sum _{k=1}^{\pi ({\sqrt {n}})}[\pi (n/p_{k})-k+1]

जहाँ

\pi (x)

प्राइम-काउंटिंग फलन है और

p_{k}

kth अभाज्य को दर्शाता है।^[3]

गुण

सेमीप्राइम संख्याओं में स्वयं के अतिरिक्त अन्य कारकों के रूप में कोई समग्र संख्या नहीं होती है।^[4] उदाहरण के लिए, संख्या 26 सेमीप्राइम है और इसके केवल कारक 1, 2, 13 और 26 हैं, जिनमें से केवल 26 समग्र संख्या हैं।

वर्गमुक्त सेमीप्राइम के लिए $n=pq$ (सापेक्ष $p\neq q$ ) यूलर के कुल फलन का मान $\varphi (n)$ (सकारात्मक पूर्णांकों की संख्या इससे न्यूनतम या इसके समान $n$ हैं, जो सापेक्षतः अभाज्य $n$ संख्या हैं ) सरल रूप लेता है

\varphi (n)=(p-1)(q-1)=n-(p+q)+1.

यह गणना आरएसए क्रिप्टोसिस्टम में सेमीप्राइम्स के अनुप्रयोग का एक महत्वपूर्ण खंड है।^[5]एक वर्ग सेमीप्राइम के लिए

n=p^{2}

सूत्र पुनः से सरल है:^[5]

\varphi (n)=p(p-1)=n-p.

अनुप्रयोग

अरेसीबो संदेश

सेमिप्राइम्स क्रिप्टोग्राफी और संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में अत्यधिक उपयोगी हैं, विशेष रूप से सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी में, जहां उनका उपयोग आरएसए और छद्म यादृच्छिक संख्या जनरेटर जैसे ब्लम ब्लम शुब के द्वारा उपयोग किया जाता है। ये विधियाँ इस तथ्य पर निर्भर करती हैं कि दो बड़ी अभाज्य संख्याएँ ढूँढ़ना और उन्हें एक सापेक्ष गुणा करना न्यूनतम कम्प्यूटेशनल रूप से सरल है, जबकि पूर्णांक गुणनखंड करना कठिन प्रतीत होता है। आरएसए फैक्टरिंग चैलेंज में, आरएसए सिक्योरिटी ने विशिष्ट बड़े सेमीप्राइम्स की फैक्टरिंग के लिए पुरस्कारों की प्रस्तुति की और कई पुरस्कार प्रदान किए गए। मूल आरएसए फैक्टरिंग चैलेंज 1991 में जारी किया गया था, और 2001 में न्यू आरएसए फैक्टरिंग चैलेंज द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था, जिसे 2007 के उपरांत में वापस ले लिया गया था।^[6]

1974 में अरेकिबो संदेश एक स्टार क्लस्टर के उद्देश्य से एक रेडियो सिग्नल के सापेक्ष भेजा गया था। इसमें $1679$ द्विआधारी अंक को $23\times 73$ बिटमैप चित्र के रूप में व्याख्या करने का उद्देश्य सम्मिलित है । जो नंबर $1679=23\cdot 73$ चुना गया था क्योंकि यह एक सेमीप्राइम है और इसलिए इसे केवल दो भिन्न-भिन्न विधियों द्वारा 23 पंक्तियों और 73 कॉलम, या 73 पंक्तियों और 23 कॉलम में एक आयताकार छवि में व्यवस्थित किया जा सकता है।^[7]

यह भी देखें

चेन की प्रमेय

संदर्भ

↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A001358". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
↑ Stewart, Ian (2010). गणितीय जिज्ञासाओं के प्रोफेसर स्टीवर्ट की कैबिनेट. Profile Books. p. 154. ISBN 9781847651280.
↑ Ishmukhametov, Sh. T.; Sharifullina, F. F. (2014). "On distribution of semiprime numbers". Russian Mathematics. 58 (8): 43–48. doi:10.3103/S1066369X14080052. MR 3306238. S2CID 122410656.
↑ French, John Homer (1889). माध्यमिक विद्यालयों के लिए उन्नत अंकगणित. New York: Harper & Brothers. p. 53.
↑ ^5.0 ^5.1 Cozzens, Margaret; Miller, Steven J. (2013). The Mathematics of Encryption: An Elementary Introduction. Mathematical World. Vol. 29. American Mathematical Society. p. 237. ISBN 9780821883211.
↑ "आरएसए फैक्टरिंग चैलेंज अब सक्रिय नहीं है". RSA Laboratories. Archived from the original on 2013-07-27.
↑ du Sautoy, Marcus (2011). The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life. St. Martin's Press. p. 19. ISBN 9780230120280.

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Semiprime". MathWorld.

[1] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A001358". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[2] Stewart, Ian (2010). गणितीय जिज्ञासाओं के प्रोफेसर स्टीवर्ट की कैबिनेट. Profile Books. p. 154. ISBN 9781847651280.

[3] Ishmukhametov, Sh. T.; Sharifullina, F. F. (2014). "On distribution of semiprime numbers". Russian Mathematics. 58 (8): 43–48. doi:10.3103/S1066369X14080052. MR 3306238. S2CID 122410656.

[4] French, John Homer (1889). माध्यमिक विद्यालयों के लिए उन्नत अंकगणित. New York: Harper & Brothers. p. 53.

[moe-5] 5.0 ^5.1 Cozzens, Margaret; Miller, Steven J. (2013). The Mathematics of Encryption: An Elementary Introduction. Mathematical World. Vol. 29. American Mathematical Society. p. 237. ISBN 9780821883211.

[6] "आरएसए फैक्टरिंग चैलेंज अब सक्रिय नहीं है". RSA Laboratories. Archived from the original on 2013-07-27.

[7] u Sautoy, Marcus (2011). The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life. St. Martin's Press. p. 19. ISBN 9780230120280.

[1]

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[4]

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 {{Short description|Product of two prime numbers}}
-गणित में, एक सेमीप्राइम एक [[प्राकृतिक संख्या]] है जो ठीक दो [[अभाज्य संख्या]]ओं का गुणनफल (गणित) है। गुणनफल में दो अभाज्य संख्याएँ एक दूसरे के बराबर हो सकती हैं, इसलिए अर्ध अभाज्य संख्याओं में अभाज्य संख्याओं की [[वर्ग संख्या]] शामिल होती है।
+गणित में,सेमीप्राइम एक [[प्राकृतिक संख्या]] है जो दो [[अभाज्य संख्या]]ओं का गुणनफल है। गुणनफल में दो अभाज्य संख्याएँ एक दूसरे के समान हो सकती हैं, इसलिए सेमिप्राइम संख्याओं में अभाज्य संख्याओं की [[वर्ग संख्या]] सम्मिलित होते है।क्योंकि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं,और अपरिमित रूप से अनेक सेमिप्राइम संख्याएँ भी हैं। सेमीप्राइम्स को बाइप्राइम्स भी कहा जाता है।<ref>{{cite OEIS|A001358}}</ref>
-क्योंकि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं, अपरिमित रूप से अनेक अर्ध अभाज्य संख्याएँ भी हैं। सेमीप्राइम्स को बाइप्राइम्स भी कहा जाता है।<ref>{{cite OEIS|A001358}}</ref>
 == उदाहरण और विविधताएं ==
-से कम के सेमीप्राइम हैं:
+से न्यूनतम के संख्या सेमीप्राइम हैं:
-{{bi|left=1.6|4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, and 95 {{OEIS|A001358}}}}
+{{bi|left=1.6|4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, एवं 95 (OEIS में अनुक्रम A006881)}}
 सेमीप्राइम्स जो वर्ग संख्या नहीं हैं, असतत, विशिष्ट, या स्क्वायरफ्री सेमीप्राइम्स कहलाते हैं:
-{{bi|left=1.6|6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, ... {{OEIS|A006881}}}}
+{{bi|left=1.6|6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, ... (OIES में अनुक्रम A006881)}}
-सेमीप्रिम्स मामला है <math>k=2</math> की <math>k</math>-लगभग अभाज्य संख्याएँ, सटीक संख्याएँ <math>k</math> प्रधान कारण। हालाँकि, कुछ स्रोत सेमीप्राइम का उपयोग संख्याओं के एक बड़े सेट को संदर्भित करने के लिए करते हैं, संख्याएँ अधिकतम दो प्रमुख कारकों (यूनिट (1), प्राइम्स और सेमीप्राइम्स सहित) के साथ।<ref>{{cite book|title=गणितीय जिज्ञासाओं के प्रोफेसर स्टीवर्ट की कैबिनेट|first=Ian|last=Stewart|publisher=Profile Books|year=2010|isbn=9781847651280|page=154|url=https://books.google.com/books?id=Y0Jggtb7DB0C&pg=PA154}}</ref> ये:
+सेमीप्राइम स्थिति <math>k=2</math> के <math>k</math>-लगभग अभाज्य संख्याएँ हैं, तथा सटीक संख्याएँ <math>k</math>  का प्रधान कारक  है। यद्यपि, कुछ स्रोत संख्याओं के एक बड़े समूह को संदर्भित करने के लिए "सेमीप्राइम" का उपयोग करते हैं, संख्याएँ अधिकतम दो प्रमुख कारकों (यूनिट (1), प्राइम्स और सेमीप्राइम्स सहित) के सापेक्ष होती हैं।<ref>{{cite book|title=गणितीय जिज्ञासाओं के प्रोफेसर स्टीवर्ट की कैबिनेट|first=Ian|last=Stewart|publisher=Profile Books|year=2010|isbn=9781847651280|page=154|url=https://books.google.com/books?id=Y0Jggtb7DB0C&pg=PA154}}</ref> ये संख्याये निम्न हैं :-
-{{bi|left=1.6|1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 46, 47, 49, ... {{OEIS|A037143}}}}
+{{bi|left=1.6|1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 46, 47, 49, ... (OEIS में अनुक्रम A006881)}}
 == सेमीप्राइम्स की संख्या के लिए सूत्र ==
-में ई. नोएल और जी. पैनोस द्वारा एक सेमीप्राइम काउंटिंग फॉर्मूला खोजा गया था। मान लीजिए <math>\pi_2(n)</math> n से कम या उसके बराबर सेमीप्राइम्स की संख्या को निरूपित करें। तब
+में ई. नोएल और जी. पैनोस द्वारा एक सेमीप्राइम काउंटिंग विधि खोजी गयी थी। मान लीजिए <math>\pi_2(n)</math> n से न्यूनतम या उसके समान सेमीप्राइम्स की संख्या को निरूपित करें। तब
 <math display=block>\pi_2(n) = \sum_{k=1}^{\pi (\sqrt n) } [\pi(n/p_k) - k + 1 ]</math>
-कहाँ <math>\pi(x)</math> [[प्राइम-काउंटिंग फंक्शन]] है और <math>p_k</math> kth प्राइम को दर्शाता है।<ref>{{cite journal
+जहाँ <math>\pi(x)</math> [[प्राइम-काउंटिंग फंक्शन|प्राइम-काउंटिंग फलन]]  है और <math>p_k</math> kth अभाज्य को दर्शाता है।<ref>{{cite journal
   | last1 = Ishmukhametov | first1 = Sh. T.
   | last2 = Sharifullina | first2 = F. F.
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 == गुण ==
-सेमीप्राइम संख्याओं में स्वयं के अलावा अन्य कारकों के रूप में कोई [[समग्र संख्या]] नहीं होती है।<ref>{{cite book|page=53|url=https://archive.org/stream/advancedarithme00frengoog#page/n58/mode/2up|title=माध्यमिक विद्यालयों के लिए उन्नत अंकगणित|first=John Homer|last=French|year=1889|publisher=Harper & Brothers|location=New York}}</ref> उदाहरण के लिए, संख्या 26 सेमीप्राइम है और इसके केवल कारक 1, 2, 13 और 26 हैं, जिनमें से केवल 26 संयुक्त हैं।
+सेमीप्राइम संख्याओं में स्वयं के अतिरिक्त अन्य कारकों के रूप में कोई [[समग्र संख्या]] नहीं होती है।<ref>{{cite book|page=53|url=https://archive.org/stream/advancedarithme00frengoog#page/n58/mode/2up|title=माध्यमिक विद्यालयों के लिए उन्नत अंकगणित|first=John Homer|last=French|year=1889|publisher=Harper & Brothers|location=New York}}</ref> उदाहरण के लिए, संख्या 26 सेमीप्राइम है और इसके केवल कारक 1, 2, 13 और 26 हैं, जिनमें से केवल 26 [[समग्र संख्या]] हैं।
-वर्गमुक्त सेमीप्राइम के लिए <math>n=pq</math> (साथ <math>p\ne q</math>)
+वर्गमुक्त सेमीप्राइम के लिए <math>n=pq</math> (सापेक्ष <math>p\ne q</math>) यूलर के कुल फलन का मान <math>\varphi(n)</math> (सकारात्मक पूर्णांकों की संख्या इससे न्यूनतम या इसके समान <math>n</math> हैं, जो सापेक्षतः अभाज्य <math>n</math> संख्या हैं ) सरल रूप लेता है
-यूलर के कुल फलन का मान <math>\varphi(n)</math> (सकारात्मक पूर्णांकों की संख्या इससे कम या इसके बराबर <math>n</math> जो अपेक्षाकृत प्रमुख हैं <math>n</math>) सरल रूप लेता है
 <math display=block>\varphi(n)=(p-1)(q-1)=n-(p+q)+1.</math>
-यह गणना [[आरएसए क्रिप्टोसिस्टम]] में सेमीप्राइम्स के अनुप्रयोग का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।<ref name=moe>{{cite book|title=The Mathematics of Encryption: An Elementary Introduction|volume=29|series=Mathematical World|first1=Margaret|last1=Cozzens|first2=Steven J.|last2=Miller|publisher=American Mathematical Society|year=2013|isbn=9780821883211|page=237|url=https://books.google.com/books?id=GbKyAAAAQBAJ&pg=PA237}}</ref>
+यह गणना [[आरएसए क्रिप्टोसिस्टम]] में सेमीप्राइम्स के अनुप्रयोग का एक महत्वपूर्ण खंड है।<ref name=moe>{{cite book|title=The Mathematics of Encryption: An Elementary Introduction|volume=29|series=Mathematical World|first1=Margaret|last1=Cozzens|first2=Steven J.|last2=Miller|publisher=American Mathematical Society|year=2013|isbn=9780821883211|page=237|url=https://books.google.com/books?id=GbKyAAAAQBAJ&pg=PA237}}</ref>एक वर्ग सेमीप्राइम के लिए <math>n=p^2</math>सूत्र पुनः से सरल है:<ref name=moe/>
-एक वर्ग सेमीप्राइम के लिए <math>n=p^2</math>सूत्र फिर से सरल है:<ref name=moe/>
 <math display=block>\varphi(n)=p(p-1)=n-p.</math>
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 == अनुप्रयोग ==
-[[File:Arecibo message bw.svg|thumb|upright=0.4|अरेसीबो [[संदेश]]]]सेमिप्राइम्स [[क्रिप्टोग्राफी]] और [[संख्या सिद्धांत]] के क्षेत्र में अत्यधिक उपयोगी हैं, विशेष रूप से [[सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी]] में, जहां उनका उपयोग [[आरएसए (एल्गोरिदम)]] और [[छद्म यादृच्छिक संख्या जनरेटर]] जैसे [[ब्लम ब्लम शुब]] द्वारा किया जाता है। ये विधियाँ इस तथ्य पर निर्भर करती हैं कि दो बड़ी अभाज्य संख्याएँ ढूँढ़ना और उन्हें एक साथ गुणा करना (परिणामस्वरूप सेमीप्राइम) कम्प्यूटेशनल रूप से सरल है, जबकि पूर्णांक गुणनखंड करना कठिन प्रतीत होता है। RSA फैक्टरिंग चैलेंज में, RSA सिक्योरिटी ने विशिष्ट बड़े सेमीप्राइम्स की फैक्टरिंग के लिए पुरस्कारों की पेशकश की और कई पुरस्कार प्रदान किए गए। मूल [[आरएसए फैक्टरिंग चैलेंज]] 1991 में जारी किया गया था, और 2001 में न्यू आरएसए फैक्टरिंग चैलेंज द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था, जिसे बाद में 2007 में वापस ले लिया गया था।<ref>{{cite web|title=आरएसए फैक्टरिंग चैलेंज अब सक्रिय नहीं है|url=http://www.rsa.com/rsalabs/node.asp?id=2092|publisher=RSA Laboratories|archive-url=https://web.archive.org/web/20130727090515/http://www.rsa.com/rsalabs/node.asp?id=2092|archive-date=2013-07-27}}</ref>
+[[File:Arecibo message bw.svg|thumb|upright=0.4|अरेसीबो [[संदेश]]]]सेमिप्राइम्स [[क्रिप्टोग्राफी]] और [[संख्या सिद्धांत]] के क्षेत्र में अत्यधिक उपयोगी हैं, विशेष रूप से [[सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी]] में, जहां उनका उपयोग [[आरएसए (एल्गोरिदम)|आरएसए]] और [[छद्म यादृच्छिक संख्या जनरेटर]] जैसे [[ब्लम ब्लम शुब]] के द्वारा उपयोग किया जाता है। ये विधियाँ इस तथ्य पर निर्भर करती हैं कि दो बड़ी अभाज्य संख्याएँ ढूँढ़ना और उन्हें एक सापेक्ष गुणा करना न्यूनतम कम्प्यूटेशनल रूप से सरल है, जबकि पूर्णांक गुणनखंड करना कठिन प्रतीत होता है। आरएसए फैक्टरिंग चैलेंज में, आरएसए सिक्योरिटी ने विशिष्ट बड़े सेमीप्राइम्स की फैक्टरिंग के लिए पुरस्कारों की प्रस्तुति की और कई पुरस्कार प्रदान किए गए। मूल [[आरएसए फैक्टरिंग चैलेंज]] 1991 में जारी किया गया था, और 2001 में न्यू आरएसए फैक्टरिंग चैलेंज द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था, जिसे 2007 के उपरांत में वापस ले लिया गया था।<ref>{{cite web|title=आरएसए फैक्टरिंग चैलेंज अब सक्रिय नहीं है|url=http://www.rsa.com/rsalabs/node.asp?id=2092|publisher=RSA Laboratories|archive-url=https://web.archive.org/web/20130727090515/http://www.rsa.com/rsalabs/node.asp?id=2092|archive-date=2013-07-27}}</ref>
-में Arecibo संदेश एक [[स्टार क्लस्टर]] के उद्देश्य से एक रेडियो सिग्नल के साथ भेजा गया था। इसमें शामिल है <math>1679</math> द्विआधारी अंक एक के रूप में व्याख्या करने का इरादा है <math>23 \times 73</math> [[बिटमैप]] चित्र। जो नंबर <math>1679=23\cdot 73</math> चुना गया था क्योंकि यह एक सेमीप्राइम है और इसलिए इसे केवल दो अलग-अलग तरीकों (23 पंक्तियों और 73 कॉलम, या 73 पंक्तियों और 23 कॉलम) में एक आयताकार छवि में व्यवस्थित किया जा सकता है।<ref>{{cite book|title=The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life|first=Marcus|last=du Sautoy|author-link=Marcus du Sautoy|publisher=St. Martin's Press|year=2011|isbn=9780230120280|page=19|url=https://books.google.com/books?id=snaUbkIb8SEC&pg=PA19}}</ref>
+में  अरेकिबो संदेश एक [[स्टार क्लस्टर]] के उद्देश्य से एक रेडियो सिग्नल के सापेक्ष भेजा गया था। इसमें <math>1679</math> द्विआधारी अंक को <math>23 \times 73</math> [[बिटमैप]] चित्र के रूप में  व्याख्या करने का उद्देश्य सम्मिलित है । जो नंबर <math>1679=23\cdot 73</math> चुना गया था क्योंकि यह एक सेमीप्राइम है और इसलिए इसे केवल दो भिन्न-भिन्न विधियों द्वारा 23 पंक्तियों और 73 कॉलम, या 73 पंक्तियों और 23 कॉलम में एक आयताकार छवि में व्यवस्थित किया जा सकता है।<ref>{{cite book|title=The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life|first=Marcus|last=du Sautoy|author-link=Marcus du Sautoy|publisher=St. Martin's Press|year=2011|isbn=9780230120280|page=19|url=https://books.google.com/books?id=snaUbkIb8SEC&pg=PA19}}</ref>

v t e पूर्णांक के विभाजन-आधारित सेट
अवलोकन	पूर्णांक कारक भाजक एकात्मक भाजक भाजक समारोह मुख्य कारक है अंकगणित का मौलिक प्रमेय
फैक्टराइजेशन फार्म	प्राइम समग्र सेमीप्रीम प्रोनिक Sphenic स्क्वायर-फ्री शक्तिशाली सही शक्ति Achilles चिकनी नियमित किसी न किसी असामान्य
विवश विभाजित रकम	परफेक्ट लगभग सही quasiperfect गुणा करें परफेक्ट हेमिपरफेक्ट हाइपरपरफेक्ट SuperPerFect एकात्मक पूर्ण सेमीपेरफेक्ट व्यावहारिक erdős -nynolas
कई विभाजकों के साथ	प्रचुर मात्रा में आदिम प्रचुर मात्रा में अत्यधिक प्रचुर मात्रा में सुपरबंडेंट colossally प्रचुर मात्रा में अत्यधिक समग्र बेहतर उच्च समग्र अजीब
विभाज्य अनुक्रम-संबंधित	अछूत सौहार्दपूर्ण ( ट्रिपल) मिलनसार बेटरोथेड
आधार-आश्रित	इक्विडिजिटल असाधारण मितव्ययी हर्षद पॉलीडिविबल स्मिथ
अन्य सेट	अंकगणित कमी फ्रेंडली एकान्त उदात्त हार्मोनिक डिविसर डेसकार्टेस Refactorable SuperPerFect

v t e प्राइम नंबर कक्षाएं
सूत्र द्वारा	[[Fermat संख्या \| fermat ( $2 2 n + 1$ )]] [[Mersenne Prime \| Mersenne ( $2 p - 1$ )]] [[डबल मर्सन नंबर \| डबल मर्सन ( $2 2 p -1 - 1$ 0]] [[Wagstaff Prime \| Wagstaff $(2 p + 1)/3$ ]] [[प्रोथ प्राइम \| प्रोथ ( $k \cdot2 n + 1$ )]] [[फैक्टरियल प्राइम \| फैक्टरियल ( $n! \pm 1$ )]] [[प्राइमोरियल प्राइम \| प्राइमोरियल ( $p n # \pm 1$ )]] [[यूक्लिड नंबर \| Euclid ( $p n # + 1$ )]] [[पाइथागोरियन प्राइम \| पाइथागोरियन ( $4 n + 1$ )]] [[पियरपॉन्ट प्राइम \| पियरपोंट ( $2 m \cdot3 n + 1$ )]] [[फौयन प्राइम \| क्वार्टन ( $x 4 + y 4$ )]] [[प्राइम सोलिनास \| सोलिनास ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ )]] [[कुलेन नंबर \| कुलेन ( $n \cdot2 n + 1$ )]] [[वुडल नंबर \| वुडल ( $n \cdot2 n - 1$ )]] [[क्यूबन प्राइम \| क्यूबन (क्यूबन () $x 3 - y 3)/(x - y$ ]] [[Leyland संख्या \| Leyland ( $x y + y x$ )]] [[Thabit संख्या \| thabit ( $3\cdot2 n - 1$ )]] [[विलियम्स नंबर \| विलियम्स ( $(b -1)\cdot b n - 1$ )]] [[मिल्स निरंतर \| मिल्स ( $⌊ A 3 n ⌋$ )]]
पूर्णांक अनुक्रम द्वारा	Fibonacci लुकास पेल न्यूमैन -शैंक्स -विलियम्स पेरिन विभाजन बेल Motzkin
संपत्ति से	Wieferich ( जोड़ी) वॉल -सन -सन वोल्स्टेनहोल्मे विल्सन भाग्यशाली भाग्यशाली रामानुजन पिल्लई नियमित मजबूत स्टर्न सुपरसिंगुलर (अण्डाकार वक्र) सुपरसिंगुलर (मूनशाइन थ्योरी) अच्छा सुपर हिग्स अत्यधिक cototient अद्वितीय
आधार-आश्रित	पालिंड्रोमिक एमिर्प [[Repunit \| repunit $(10 n - 1)/9$ ]] पारगम्य परिपत्र truncatable न्यूनतम नाजुक प्राइमवेल पूर्ण रेप्टेंड अद्वितीय [हैप्पी नंबर # हैप्पी प्राइम्स
पैटर्न्स	[[ट्विन प्राइम \| ट्विन ( $p, p + 2$ ]] [[पिंडली के पेट \| शिन पेट ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ]] [[प्राइम ट्रिपल \| ट्रिपल ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ]] [[प्राइम क्वाड्रुप्लेट \| क्वाड्रुलेट ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ]] k -tuple [[चचेरे भाई प्राइम \| चचेरे भाई ( $p, p + 4$ ]] [[सेक्सी प्राइम \| सेक्सी ( $p, p + 6$ ]] चेन [[सेफ एंड सोफी जर्मेन प्राइम्स \| सोफी जर्मेन/सेफ ( $p, 2 p + 1$ ]] [[कनिंघम श्रृंखला \| कनिंघम ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ]] [[अंकगणितीय प्रगति में primes \| अंकगणितीय प्रगति ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ]] [[संतुलित प्राइम \| संतुलित ( $consecutive p - n, p, p + n$ ]]
आकार से	मेगा(1,000,000+ अंक) सबसे बड़ा ज्ञात सूची
जटिल संख्या	Eisenstein Prime गाऊसी प्राइम
समग्र संख्या	स्यूडोप्राइम कैटलन अण्डाकार यूलर Euler -Jacobi Fermat फ्रोबेनियस लुकास सोमर -लुकास मजबूत कारमाइकल नंबर लगभग प्रमुख सेमीप्रीम इंटरप्राइम घबराहट
संबंधित विषय	संभावित प्राइम औद्योगिक-ग्रेड प्राइम अवैध प्राइम प्राइम्स के लिए सूत्र प्राइम गैप
पहला60अभाज्य	२ ३ ५ 7 ११ १३ 17 19 २३ २ ९ ३१ 37 ४१ ४३ 47 ५३ ५ ९ ६१ 67 71 73 79 83 89 97 १०१ १०३ 107 १० ९ ११३ 127 १३१ 137 १३ ९ १४ ९ १५१ 157 १६३ 167 173 179 181 १ ९ १ १ ९ ३ 197 199 211 २२३ 227 २२ ९ २३३ २३ ९ २४१ २५१ 257 २६३ 269 271 277 281
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