Line 9:
Line 9: === कार्तीय निर्देशांक === के लिए
=== कार्तीय निर्देशांक === के लिए
====ध्रुवीय निर्देशांक से ====
====ध्रुवीय निर्देशांक ====
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
x &= r\cos\theta \\
x &= r\cos\theta \\
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Line 21: ==== लॉग-पोलर निर्देशांक से ====
==== लॉग-पोलर निर्देशांक ====
{{Main|अभिलेख-ध्रुवीय निर्देशांक}}
{{Main|अभिलेख-ध्रुवीय निर्देशांक}}
Line 32:
Line 32: यह जटिल घातीय कार्य द्वारा दिया जाता है।
यह जटिल घातीय कार्य द्वारा दिया जाता है।
==== द्विध्रुवीय निर्देशांक से ====
==== द्विध्रुवीय निर्देशांक ====
{{Main|द्विध्रुवीय निर्देशांक}}
{{Main|द्विध्रुवीय निर्देशांक}}
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 40:
Line 40: ==== 2-केंद्र द्विध्रुवी निर्देशांक से ====
==== 2-केंद्र द्विध्रुवी निर्देशांक ====
{{Main|दो-केंद्र द्विध्रुवी निर्देशांक}}
{{Main|दो-केंद्र द्विध्रुवी निर्देशांक}}
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 48:
Line 48: ==== सिजेरो समीकरण से ====
==== सिजेरो समीकरण ====
{{Main|सिजेरो समीकरण}}
{{Main|सिजेरो समीकरण}}
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
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Line 56: === ध्रुवीय निर्देशांक के लिए ===
=== ध्रुवीय निर्देशांक ===
==== कार्तीय निर्देशांक से ====
==== कार्तीय निर्देशांक ====
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
r &= \sqrt{x^2 + y^2} \\
r &= \sqrt{x^2 + y^2} \\
Line 73:
Line 73: *For <math>\theta'</math>in QIV:
*For <math>\theta'</math>in QIV:
*:<math>\theta = 2\pi - \theta' </math>
*:<math>\theta = 2\pi - \theta' </math>
के लिए मूल्य <math>\theta</math> के लिए इस तरीके से हल किया जाना चाहिए क्योंकि सभी मूल्यों के लिए <math>\theta</math>, <math>\tan\theta</math> के लिए ही परिभाषित किया गया है <math display="inline">-\frac{\pi}{2}<\theta<+\frac{\pi}{2}</math>, और आवधिक है (अवधि के साथ <math>\pi</math>). इसका अर्थ है कि व्युत्क्रम फलन केवल फलन के क्षेत्र में मान देगा, लेकिन एक अवधि तक ही सीमित रहेगा। इसलिए, व्युत्क्रम फलन की सीमा केवल आधा पूर्ण वृत्त है।
मूल्य <math>\theta</math> के लिए इस नियम से हल किया जाना चाहिए चूंकि सभी मूल्यों के लिए <math>\theta</math>, <math>\tan\theta</math> के लिए ही परिभाषित किया गया है <math display="inline">-\frac{\pi}{2}<\theta<+\frac{\pi}{2}</math>, और अवधि के साथ <math>\pi</math> इसका अर्थ है कि व्युत्क्रम फलन केवल फलन के क्षेत्र में मान देगा, परंतु एक अवधि तक ही सीमित रहेगा। इसलिए, व्युत्क्रम फलन की सीमा केवल आधा पूर्ण वृत्त है।
ध्यान दें कि कोई भी उपयोग कर सकता है
ध्यान दें कि कोई भी उपयोग कर सकता है
Line 82:
Line 82: ==== 2-केंद्र द्विध्रुवी निर्देशांक से ====
==== 2-केंद्र द्विध्रुवी निर्देशांक ====
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
r &= \sqrt{\frac{r_1^2 + r_2^2 - 2c^2}{2}} \\
r &= \sqrt{\frac{r_1^2 + r_2^2 - 2c^2}{2}} \\
Line 89:
Line 89: जहाँ 2c ध्रुवों के बीच की दूरी है।
जहाँ 2c ध्रुवों के बीच की दूरी है।
=== कार्टेशियन निर्देशांक से लॉग-पोलर निर्देशांक === के लिए
=== कार्तीय निर्देशांक से लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक === के लिए
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
\rho &= \log\sqrt{x^2 + y^2}, \\
\rho &= \log\sqrt{x^2 + y^2}, \\
Line 98:
Line 98: === चाप-लंबाई और वक्रता ===
=== चाप-लंबाई और वक्रता ===
==== कार्तीय निर्देशांक में ====
==== कार्तीय निर्देशांक ====
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
\kappa &= \frac{x'y'' - y'x''}{({x'}^2 + {y'}^2)^\frac{3}{2}} \\
\kappa &= \frac{x'y'' - y'x''}{({x'}^2 + {y'}^2)^\frac{3}{2}} \\
Line 105:
Line 105: ==== ध्रुवीय निर्देशांक में ====
==== ध्रुवीय निर्देशांक ====
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
\kappa &= \frac{r^2 + 2{r'}^2 - rr''}{(r^2 + {r'}^2)^\frac{3}{2}} \\
\kappa &= \frac{r^2 + 2{r'}^2 - rr''}{(r^2 + {r'}^2)^\frac{3}{2}} \\
यह सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कुछ समन्वय परिवर्तनों की सूची है।
द्वि-आयामी मान लीजिए (x, y) मानक कार्तीय निर्देशांक हैं, और (r, θ) मानक ध्रुवीय निर्देशांक हैं।
=== कार्तीय निर्देशांक === के लिए
ध्रुवीय निर्देशांक x = r cos θ y = r sin θ ∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = [ cos θ − r sin θ sin θ r cos θ ] Jacobian = det ∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = r {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\[5pt]{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}\\[5pt]{\text{Jacobian}}=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&=r\end{aligned}}}
लॉग-पोलर निर्देशांक x = e ρ cos θ , y = e ρ sin θ . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=e^{\rho }\cos \theta ,\\y&=e^{\rho }\sin \theta .\end{aligned}}} सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करके ( x , y ) = x + i y ′ {\displaystyle (x,y)=x+iy'}
x + i y = e ρ + i θ {\displaystyle x+iy=e^{\rho +i\theta }} यह जटिल घातीय कार्य द्वारा दिया जाता है।
द्विध्रुवीय निर्देशांक x = a sinh τ cosh τ − cos σ y = a sin σ cosh τ − cos σ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a{\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\\y&=a{\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\end{aligned}}}
2-केंद्र द्विध्रुवी निर्देशांक x = 1 4 c ( r 1 2 − r 2 2 ) y = ± 1 4 c 16 c 2 r 1 2 − ( r 1 2 − r 2 2 + 4 c 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{4c}}\left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\right)\\y&=\pm {\frac {1}{4c}}{\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})^{2}}}\end{aligned}}}
सिजेरो समीकरण x = ∫ cos [ ∫ κ ( s ) d s ] d s y = ∫ sin [ ∫ κ ( s ) d s ] d s {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds\\y&=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds\end{aligned}}}
ध्रुवीय निर्देशांक कार्तीय निर्देशांक r = x 2 + y 2 θ ′ = arctan | y x | {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta '&=\arctan \left|{\frac {y}{x}}\right|\end{aligned}}} नोट: के लिए हल करना θ ′ {\displaystyle \theta '} 0 < θ < π 2 {\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}} θ {\displaystyle \theta } θ {\displaystyle \theta } θ {\displaystyle \theta }
For θ ′ {\displaystyle \theta '} θ = θ ′ {\displaystyle \theta =\theta '}
For θ ′ {\displaystyle \theta '} θ = π − θ ′ {\displaystyle \theta =\pi -\theta '}
For θ ′ {\displaystyle \theta '} θ = π + θ ′ {\displaystyle \theta =\pi +\theta '}
For θ ′ {\displaystyle \theta '} θ = 2 π − θ ′ {\displaystyle \theta =2\pi -\theta '} मूल्य θ {\displaystyle \theta } θ {\displaystyle \theta } tan θ {\displaystyle \tan \theta } − π 2 < θ < + π 2 {\textstyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <+{\frac {\pi }{2}}} π {\displaystyle \pi }
ध्यान दें कि कोई भी उपयोग कर सकता है
r = x 2 + y 2 θ ′ = 2 arctan y x + r {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta '&=2\arctan {\frac {y}{x+r}}\end{aligned}}}
2-केंद्र द्विध्रुवी निर्देशांक r = r 1 2 + r 2 2 − 2 c 2 2 θ = arctan [ 8 c 2 ( r 1 2 + r 2 2 − 2 c 2 ) r 1 2 − r 2 2 − 1 ] {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}\\\theta &=\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]\end{aligned}}} जहाँ 2c ध्रुवों के बीच की दूरी है।
=== कार्तीय निर्देशांक से लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक === के लिए
ρ = log x 2 + y 2 , θ = arctan y x . {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {y}{x}}.\end{aligned}}}
चाप-लंबाई और वक्रता कार्तीय निर्देशांक κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 2 s = ∫ a t x ′ 2 + y ′ 2 d t {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {x'y''-y'x''}{({x'}^{2}+{y'}^{2})^{\frac {3}{2}}}}\\s&=\int _{a}^{t}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}\,dt\end{aligned}}}
ध्रुवीय निर्देशांक κ = r 2 + 2 r ′ 2 − r r ″ ( r 2 + r ′ 2 ) 3 2 s = ∫ a φ r 2 + r ′ 2 d φ {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {r^{2}+2{r'}^{2}-rr''}{(r^{2}+{r'}^{2})^{\frac {3}{2}}}}\\s&=\int _{a}^{\varphi }{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}}}\,d\varphi \end{aligned}}}
3-आयामी मान लीजिए (x, y, z) मानक कार्तीय निर्देशांक हैं, और (ρ, θ, φ) गोलीय निर्देशांक हैं, θ के कोण को +Z अक्ष से दूर मापा जाता है (जैसा विकि/File:3D_Spherical.svg , गोलीय निर्देशांक में परिपाटी देखें)। चूंकि φ की सीमा 360° होती है, ध्रुवीय (2 आयामी) निर्देशांकों में समान विचार तब लागू होते हैं जब इसकी एक चाप स्पर्शरेखा ली जाती है। θ की सीमा 180° है, जो 0° से 180° तक चलती है, और चापकोसाइन से परिकलित करने पर कोई समस्या उत्पन्न नहीं होती है, लेकिन चाप स्पर्शरेखा से सावधान रहें।
यदि, वैकल्पिक परिभाषा में, θ को -90° से +90° तक चलने के लिए चुना जाता है, तो पिछली परिभाषा के विपरीत दिशा में, इसे आर्क्सिन से विशिष्ट रूप से पाया जा सकता है, लेकिन आर्ककोटेजेंट से सावधान रहें। इस मामले में θ में सभी तर्कों के नीचे सभी सूत्रों में साइन और कोसाइन का आदान-प्रदान होना चाहिए, और व्युत्पन्न के रूप में प्लस और माइनस एक्सचेंज भी होना चाहिए।
मुख्य अक्षों में से एक के साथ दिशा होने के विशेष मामलों में शून्य परिणाम के सभी विभाजन और व्यवहार में अवलोकन द्वारा सबसे आसानी से हल किए जाते हैं।
कार्तीय निर्देशांक के लिए गोलाकार निर्देशांक से x = ρ sin θ cos φ y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos θ ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , θ , φ ) = ( sin θ cos φ ρ cos θ cos φ − ρ sin θ sin φ sin θ sin φ ρ cos θ sin φ ρ sin θ cos φ cos θ − ρ sin θ 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi \\y&=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi \\z&=\rho \,\cos \theta \\{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}&={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\end{aligned}}} तो मात्रा तत्व के लिए:
d x d y d z = det ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , θ , φ ) d ρ d θ d φ = ρ 2 sin θ d ρ d θ d φ {\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}d\rho \;d\theta \;d\varphi =\rho ^{2}\sin \theta \;d\rho \;d\theta \;d\varphi }
बेलनाकार निर्देशांक से x = r cos θ y = r sin θ z = z ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , z ) = ( cos θ − r sin θ 0 sin θ r cos θ 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\sin \theta \\z&=z\,\\{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}}&={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}} तो मात्रा तत्व के लिए:
d V = d x d y d z = det ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , z ) d r d θ d z = r d r d θ d z {\displaystyle dV=dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}}dr\;d\theta \;dz=r\;dr\;d\theta \;dz}
गोलाकार निर्देशांक के लिए कार्तीय निर्देशांक से ρ = x 2 + y 2 + z 2 θ = arctan ( x 2 + y 2 z ) = arccos ( z x 2 + y 2 + z 2 ) φ = arctan ( y x ) = arccos ( x x 2 + y 2 ) = arcsin ( y x 2 + y 2 ) ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( x , y , z ) = ( x ρ y ρ z ρ x z ρ 2 x 2 + y 2 y z ρ 2 x 2 + y 2 − x 2 + y 2 ρ 2 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)\\\varphi &=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)\\{\frac {\partial \left(\rho ,\theta ,\varphi \right)}{\partial \left(x,y,z\right)}}&={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\rho }}&{\frac {y}{\rho }}&{\frac {z}{\rho }}\\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\rho ^{2}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\\end{pmatrix}}\end{aligned}}} कुछ किनारे के मामलों को सुरुचिपूर्ण ढंग से कैसे संभालना है, इसके लिए atan2 पर लेख भी देखें।
तो तत्व के लिए:
d ρ d θ d φ = det ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( x , y , z ) d x d y d z = 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z {\displaystyle d\rho \ d\theta \ d\varphi =\det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}dx\ dy\ dz={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}dx\ dy\ dz}
बेलनाकार निर्देशांक से ρ = r 2 + h 2 θ = arctan r h φ = φ ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( r , h , φ ) = ( r r 2 + h 2 h r 2 + h 2 0 h r 2 + h 2 − r r 2 + h 2 0 0 0 1 ) det ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( r , h , φ ) = 1 r 2 + h 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\\\theta &=\arctan {\frac {r}{h}}\\\varphi &=\varphi \\{\frac {\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (r,h,\varphi )}}&={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&{\frac {h}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&0\\{\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}&{\frac {-r}{r^{2}+h^{2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\\\det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (r,h,\varphi )}}&={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}\end{aligned}}}
बेलनाकार निर्देशांक के लिए कार्तीय निर्देशांक से r = x 2 + y 2 θ = arctan ( y x ) z = z {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arctan {\left({\frac {y}{x}}\right)}\\z&=z\quad \end{aligned}}} ∂ ( r , θ , h ) ∂ ( x , y , z ) = ( x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 0 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
गोलाकार निर्देशांक से r = ρ sin φ h = ρ cos φ θ = θ ∂ ( r , h , θ ) ∂ ( ρ , φ , θ ) = ( sin φ ρ cos φ 0 cos φ − ρ sin φ 0 0 0 1 ) det ∂ ( r , h , θ ) ∂ ( ρ , φ , θ ) = − ρ {\displaystyle {\begin{aligned}r&=\rho \sin \varphi \\h&=\rho \cos \varphi \\\theta &=\theta \\{\frac {\partial (r,h,\theta )}{\partial (\rho ,\varphi ,\theta )}}&={\begin{pmatrix}\sin \varphi &\rho \cos \varphi &0\\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\\\det {\frac {\partial (r,h,\theta )}{\partial (\rho ,\varphi ,\theta )}}&=-\rho \end{aligned}}}
कार्तीय निर्देशांक से चाप-लंबाई, वक्रता और मरोड़ s = ∫ 0 t x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 d t κ = ( z ″ y ′ − y ″ z ′ ) 2 + ( x ″ z ′ − z ″ x ′ ) 2 + ( y ″ x ′ − x ″ y ′ ) 2 ( x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) 3 2 τ = x ‴ ( y ′ z ″ − y ″ z ′ ) + y ‴ ( x ″ z ′ − x ′ z ″ ) + z ‴ ( x ′ y ″ − x ″ y ′ ) ( x ′ y ″ − x ″ y ′ ) 2 + ( x ″ z ′ − x ′ z ″ ) 2 + ( y ′ z ″ − y ″ z ′ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{0}^{t}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,dt\\[3pt]\kappa &={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2})^{\frac {3}{2}}}}\\[3pt]\tau &={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''(x'y''-x''y')}{{(x'y''-x''y')}^{2}+{(x''z'-x'z'')}^{2}+{(y'z''-y''z')}^{2}}}\end{aligned}}}
यह भी देखें संदर्भ
