ध्रुवीय अपघटन

गणित में, एक वर्ग वास्तविक संख्या या जटिल संख्या आव्यूह (गणित) का ध्रुवीय अपघटन $A$ प्रपत्र का एक आव्यूह अपघटन $A=UP$ है , जहाँ $U$ एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है और $P$ एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित सममित आव्यूह है ($U$ एक एकात्मक आव्यूह है और $P$ एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह है, जटिल स्थिति में सकारात्मक अर्ध-निश्चित हर्मिटियन आव्यूह), वर्ग और समान आकार दोनों है। सहज रूप से, यदि एक वास्तविक $n\times n$ आव्यूह $A$ के रैखिक परिवर्तन के रूप में व्याख्या की जाती है $n$-आयामी कार्तीय स्थान $\mathbb {R} ^{n}$, ध्रुवीय अपघटन इसे घूर्णन (ज्यामिति) या प्रतिबिंब (ज्यामिति) में अलग करता है $U$ का $\mathbb {R} ^{n}$, और एक सेट के साथ अंतरिक्ष का एक स्केलिंग (ज्यामिति)। $n$ ऑर्थोगोनल कुल्हाड़ियों।

एक वर्ग आव्यूह का ध्रुवीय अपघटन $A$ सदैव उपस्थित है। यदि $A$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, अपघटन अद्वितीय है, और कारक $P$ है सकारात्मक-निश्चित आव्यूह होगा सकारात्मक-निश्चित। उस स्थिति में $A$, विशिष्ट रूप से $A=Ue^{X}$ लिखा जा सकता है, जहाँ $U$ एकात्मक है और $X$ आव्यूह के एक आव्यूह का अद्वितीय स्व-संलग्न लघुगणक $P$ है। यह अपघटन (आव्यूह) लाई समूह के मौलिक समूह की गणना करने में उपयोगी है।

ध्रुवीय अपघटन को $A=P'U$ इस रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ $P'=UPU^{-1}$ के रूप में एक ही आइजनमान ​​​​के साथ एक सममित सकारात्मक-निश्चित आव्यूह $P$ है लेकिन विभिन्न eigenvectors।

एक आव्यूह के ध्रुवीय अपघटन को जटिल संख्या के आव्यूह एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है#एक जटिल संख्या के ध्रुवीय रूप $z$ जैसा $z=ur$, जहाँ $r$ इसका पूर्ण मान है # जटिल संख्याएं (एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या), और $u$ इकाई मानदंड (वृत्त समूह का एक तत्व) के साथ एक सम्मिश्र संख्या है।

मानहानि $A=UP$ आयताकार मेट्रिसेस तक बढ़ाया जा सकता है $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ आवश्यकता से $U\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह होना | सेमी-यूनिटरी आव्यूह और $P\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ सकारात्मक-अर्ध-परिमित हर्मिटियन आव्यूह होना। अपघटन सदैव उपस्थित है और $P$ सदैव अनूठा होता है। गणित का प्रश्न $U$ अद्वितीय है यदि और केवल यदि $A$ पूरी रैंक है।

सहज व्याख्या

एक वास्तविक वर्ग $m\times m$ आव्यूह $A$ के रैखिक परिवर्तन के रूप में व्याख्या की जा सकती है $\mathbb {R} ^{m}$ जो एक कॉलम वेक्टर लेता है $x$ को $Ax$. फिर, ध्रुवीय अपघटन में $A=RP$, कारण $R$ एक $m\times m$ वास्तविक ऑर्थोनॉर्मल आव्यूह। ध्रुवीय अपघटन तब द्वारा परिभाषित रैखिक परिवर्तन को व्यक्त करने के रूप में देखा जा सकता है $A$ अंतरिक्ष के स्केलिंग (ज्यामिति) में $\mathbb {R} ^{m}$ प्रत्येक eigenvector के साथ $e_{i}$ का $A$ पैमाने कारक द्वारा $\sigma _{i}$ (की क्रिया $P$), जिसके बाद एक ही घुमाव या प्रतिबिंब होता है $\mathbb {R} ^{m}$ (की क्रिया $R$).

वैकल्पिक रूप से, अपघटन $A=PR$ द्वारा परिभाषित परिवर्तन को व्यक्त करता है $A$ रोटेशन के रूप में ($R$) एक स्केलिंग के बाद ($P$) कुछ ऑर्थोगोनल दिशाओं के साथ। पैमाना कारक समान हैं, लेकिन दिशाएं अलग हैं।

गुण

जटिल संयुग्म का ध्रुवीय अपघटन $A$ द्वारा ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}$ दिया गया है। ध्यान दें कि

$$\det A=\det U\det P=e^{i\theta }r$$

A के निर्धारक के संगत ध्रुवीय अपघटन देता है, क्योंकि $\det U=e^{i\theta }$ और $\det P=r=\left|\det A\right|$। विशेष रूप से, यदि $A$ निर्धारक 1 है तो दोनों $U$ और $P$ निर्धारक 1 है।

सकारात्मक-अर्ध-परिमित आव्यूह P सदैव अद्वितीय होता है, तथापि A एकवचन आव्यूह हो, और इसे इस रूप में निरूपित किया जाता है

$$P=\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},$$

जहाँ $A^{*}$ के संयुग्मी स्थानान्तरण को $A$ दर्शाता है। P की विशिष्टता यह सुनिश्चित करती है कि यह अभिव्यक्ति अच्छी तरह से परिभाषित है। विशिष्टता इस तथ्य से सुनिश्चित है कि $A^{*}A$ एक सकारात्मक-अर्ध-सीमित हर्मिटियन आव्यूह है और इसलिए, एक आव्यूह का एक अद्वितीय सकारात्मक-अर्ध-अर्ध-सीमित हर्मिटियन वर्गमूल है। यदि A व्युत्क्रमणीय है, तो P धनात्मक-निश्चित है, इस प्रकार भी व्युत्क्रमणीय है और आव्यूह U विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है

$$U=AP^{-1}.$$

एसवीडी से संबंध

एकवचन मान अपघटन (एसवीडी) के संदर्भ में $A$, $A=W\Sigma V^{*}$, किसी के पास

$${\begin{aligned}P&=V\Sigma V^{*}\\U&=WV^{*}\end{aligned}}$$

जहाँ $U$, $V$, और $W$ एकात्मक आव्यूह हैं (यदि क्षेत्र वास्तविक है तो ऑर्थोगोनल आव्यूह कहा जाता है $\mathbb {R}$)। इससे इस बात की पुष्टि होती है कि $P$ सकारात्मक-निश्चित है और $U$ एकात्मक है। इस प्रकार, एसवीडी का अस्तित्व ध्रुवीय अपघटन के अस्तित्व के बराबर है।

कोई विघटित भी हो सकता है $A$ प्रपत्र में

$$A=P'U$$

यहाँ $U$ पहले जैसा ही है और $P'$ द्वारा दिया गया है

$$P'=UPU^{-1}=\left(AA^{*}\right)^{\frac {1}{2}}=W\Sigma W^{*}.$$

इसे बाएं ध्रुवीय अपघटन के रूप में जाना जाता है, जबकि पिछले अपघटन को सही ध्रुवीय अपघटन के रूप में जाना जाता है। वाम ध्रुवीय अपघटन को विपरीत ध्रुवीय अपघटन के रूप में भी जाना जाता है।

वर्ग उलटा वास्तविक आव्यूह का ध्रुवीय अपघटन $A$ स्वरूप का है

$$A=|A|R$$

जहाँ $|A|=\left(AA^{\textsf {T}}\right)^{\frac {1}{2}}$ एक सकारात्मक-अर्ध-परिमित आव्यूह है। सकारात्मक-निश्चित हर्मिटियन आव्यूह और $R=|A|^{-1}A$ एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है।

सामान्य आव्यूह से संबंध

गणित का प्रश्न $A$ ध्रुवीय अपघटन के साथ $A=UP$ सामान्य आव्यूह है यदि और केवल $U$ और $P$ कम्यूटिंग मेट्रिसेस: $UP=PU$, या समकक्ष रूप से, वे विकर्णीय आव्यूह एक साथ विकर्णकरण हैं।

निर्माण और अस्तित्व के प्रमाण

ध्रुवीय अपघटन के निर्माण के पीछे मुख्य विचार वही है जो एकवचन-मान अपघटन की गणना के लिए उपयोग किया जाता है।

सामान्य आव्यूह के लिए व्युत्पत्ति

यदि $A$ सामान्य आव्यूह है, तो यह एक विकर्ण आव्यूह के समान रूप से $A=V\Lambda V^{*}$ समतुल्य है: कुछ एकात्मक आव्यूह के लिए $V$ और कुछ विकर्ण आव्यूह के लिए $\Lambda$। यह इसके ध्रुवीय अपघटन की व्युत्पत्ति को विशेष रूप से सीधा बनाता है, जैसा कि हम तब लिख सकते हैं

$$A=V\Phi _{\Lambda }|\Lambda |V^{*}=\underbrace {\left(V\Phi _{\Lambda }V^{*}\right)} _{\equiv U}\underbrace {\left(V|\Lambda |V^{*}\right)} _{\equiv P},$$

जहाँ $\Phi _{\Lambda }$ के तत्वों के चरणों से युक्त एक विकर्ण आव्यूह $\Lambda$ है, वह $(\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|$ है, जब $\Lambda _{ii}\neq 0$, और $(\Phi _{\Lambda })_{ii}=0$ जब $\Lambda _{ii}=0$।

ध्रुवीय अपघटन $A=UP$ इस प्रकार है, साथ $U$ और $P$ के ईजेनबेसिस में विकर्ण $A$ और उन के चरणों और पूर्ण मानों के बराबर आइजन मान ​​​​होना $A$, क्रमश।

व्युत्क्रमणीय आव्यूह के लिए

एकवचन-मान अपघटन से, यह दिखाया जा सकता है कि एक आव्यूह $A$ उलटा है यदि और केवल यदि $A^{*}A$ (समान रूप से, $AA^{*}$) है। इसके अतिरिक्त, यह सच है यदि और केवल यदि $A^{*}A$ के सभी आइजन मान शून्य नहीं हैं।

इस स्थिति में, ध्रुवीय अपघटन सीधे लिखकर प्राप्त किया जाता है

$$A=A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},$$

और यह देखते हुए कि $A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ एकात्मक है। इसे देखने के लिए, हम $A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=AVD^{-{\frac {1}{2}}}V^{*}$ लिखने के लिए $A^{*}A$ के वर्णक्रमीय अपघटन का लाभ उठा सकते हैं।

इस अभिव्यक्ति में, $V^{*}$ एकात्मक है क्योंकि $V$ है। यह दिखाने के लिए कि $AVD^{-{\frac {1}{2}}}$ एकात्मक है, हम $A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}$ लिखने के लिए एकवचन-मान अपघटन का उपयोग कर सकते हैं, जिससे

$$AVD^{-{\frac {1}{2}}}=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}VD^{-{\frac {1}{2}}}=W,$$

जहाँ पुनः $W$ निर्माण द्वारा एकात्मक है।

फिर भी $A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ की इकाई को सीधे दर्शाने की एक और विधि यह ध्यान रखनी है कि, रैंक -1 आव्यूह के संदर्भ में $A$ का एसवीडी ${\textstyle A=\sum _{k}s_{k}v_{k}w_{k}^{*}}$ लिखना, जहाँ $s_{k}$, $A$ के एकवचन मान हैं, अपने पास

$$A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=\left(\sum _{j}\lambda _{j}v_{j}w_{j}^{*}\right)\left(\sum _{k}|\lambda _{k}|^{-1}w_{k}w_{k}^{*}\right)=\sum _{k}{\frac {\lambda _{k}}{|\lambda _{k}|}}v_{k}w_{k}^{*},$$

जिसका सीधा तात्पर्य $A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ की एकता से है, क्योंकि एक आव्यूह एकात्मक है यदि और केवल यदि इसके एकवचन मानों में एकात्मक निरपेक्ष मान है।

ध्यान दें कि कैसे, उपरोक्त निर्माण से, यह इस प्रकार है कि एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह के ध्रुवीय अपघटन में एकात्मक आव्यूह विशिष्ट रूप से परिभाषित है।

सामान्य व्युत्पत्ति

एक चुकता आव्यूह का एसवीडी $A$ पढ़ता $A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}$, साथ $W,V$ एकात्मक आव्यूह, और $D$ एक विकर्ण, सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह। बस की एक अतिरिक्त जोड़ी डालने से $W$एस या $V$एस, हम ध्रुवीय अपघटन के दो रूपों को प्राप्त करते हैं $A$:

$$A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}=\underbrace {\left(WD^{\frac {1}{2}}W^{*}\right)} _{P}\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}=\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}\underbrace {\left(VD^{\frac {1}{2}}V^{*}\right)} _{P'}.$$

अधिक सामान्यतः, यदि $A$ कुछ आयताकार है $n\times m$ आव्यूह, इसके एसवीडी के रूप में लिखा जा सकता है $A=WD^{1/2}V^{*}$ जहाँ हैं $W$ और $V$ आयामों के साथ आइसोमेट्री हैं $n\times r$ और $m\times r$, क्रमशः, जहाँ $r\equiv \operatorname {rank} (A)$, और $D$ आयामों के साथ फिर से एक विकर्ण सकारात्मक अर्ध-निश्चित वर्ग आव्यूह है $r\times r$. अब हम लिखने के लिए उपरोक्त समीकरण में उपयोग किए गए समान तर्क को लागू कर सकते हैं $A=PU=UP'$, पर अब $U\equiv WV^{*}$ सामान्य एकात्मक नहीं है। फिर भी, $U$ के समान समर्थन और सीमा है $A$, और यह संतुष्ट करता है $U^{*}U=VV^{*}$ और $UU^{*}=WW^{*}$. यह बनाता है $U$ एक आइसोमेट्री में जब इसकी क्रिया के समर्थन पर प्रतिबंधित होती है $A$, अर्थात् इसका अर्थ है $U$ आंशिक आइसोमेट्री है।

इस अधिक सामान्य स्थिति के स्पष्ट उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित आव्यूह के एसवीडी पर विचार करें:

$$A\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\2&-2\\0&0\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}} _{\equiv W}\underbrace {\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\0&{\sqrt {8}}\end{pmatrix}} _{\sqrt {D}}\underbrace {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}} _{V^{\dagger }}.$$

हमारे पास तब है

$$WV^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\0&0\end{pmatrix}}$$

जो एक आइसोमेट्री है, लेकिन एकात्मक नहीं है। दूसरी ओर, यदि हम के अपघटन पर विचार करें

$$A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},$$

हम देखतें है

$$WV^{\dagger }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},$$

जो आंशिक आइसोमेट्री है (लेकिन आइसोमेट्री नहीं)।

हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर बंधे हुए ऑपरेटर

जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच किसी भी बंधे हुए रैखिक ऑपरेटर ए का ध्रुवीय अपघटन एक आंशिक आइसोमेट्री और एक गैर-नकारात्मक ऑपरेटर के उत्पाद के रूप में एक विहित गुणनखंड है।

मेट्रिसेस के लिए ध्रुवीय अपघटन निम्नानुसार सामान्य करता है: यदि ए एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर है तो उत्पाद ए = यूपी जहां यू के रूप में ए का एक अनूठा गुणनखंड है। एक आंशिक आइसोमेट्री है, पी एक गैर-नकारात्मक स्व-आसन्न संकारक है और यू का प्रारंभिक स्थान पी की सीमा का बंद होना है।

ऑपरेटर 'यू' को निम्नलिखित मुद्दों के कारण एकात्मक के बजाय आंशिक आइसोमेट्री के लिए कमजोर होना चाहिए। यदि ए शिफ्ट ऑपरेटर है|'एल' पर एकतरफा शिफ्ट²(एन), फिर |ए| = {ए^*A}^1/2 = I. तो यदि A = U |A|, U को A होना चाहिए, जो एकात्मक नहीं है।

ध्रुवीय अपघटन का अस्तित्व डगलस लेम्मा का परिणाम है:

Lemma — If A, B are bounded operators on a Hilbert space H, and A^*A ≤ B^*B, then there exists a contraction C such that A = CB. Furthermore, C is unique if Ker(B^*) ⊂ Ker(C).

संकारक C को C(Bh) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है := H में सभी h के लिए आह, Ran(B) के बंद होने तक निरंतरता द्वारा विस्तारित, और सभी H के ऑर्थोगोनल पूरक पर शून्य द्वारा। लेम्मा तब A के बाद से अनुसरण करता है।^*ए ≤ बी^*B का तात्पर्य Ker(B) ⊂ Ker(A) से है।

विशेष रूप से। यदि एक^*ए = बी^*बी, तो सी आंशिक आइसोमेट्री है, जो अद्वितीय है यदि केर (बी^*) ⊂ केर (सी)। सामान्य तौर पर, किसी भी बाध्य ऑपरेटर ए के लिए,

$$A^{*}A=\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}}\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},$$

जहाँ एक^*ए)^1/2 A का अद्वितीय धनात्मक वर्गमूल है^* सामान्य क्रियात्मक कलन द्वारा दिया गया। तो लेम्मा द्वारा, हमारे पास है

$$A=U\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}}$$

कुछ आंशिक आइसोमेट्री यू के लिए, जो अद्वितीय है यदि केर (ए^*) ⊂ केर (यू)। P को लीजिए (A^*ए)^1/2 और एक ध्रुवीय अपघटन A = UP प्राप्त करता है। ध्यान दें कि A = P'U दिखाने के लिए एक समरूप तर्क का उपयोग किया जा सकता है', जहां P' धनात्मक है और U' आंशिक आइसोमेट्री।

जब एच परिमित-आयामी है, तो यू को एकात्मक ऑपरेटर तक बढ़ाया जा सकता है; यह सामान्य रूप से सत्य नहीं है (उपरोक्त उदाहरण देखें)। वैकल्पिक रूप से, ध्रुवीय अपघटन हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर एकवचन मान अपघटन # बाउंडेड ऑपरेटरों के ऑपरेटर संस्करण का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।

निरंतर कार्यात्मक कैलकुस की संपत्ति से, |ए| ए द्वारा उत्पन्न सी*-बीजगणित में है। आंशिक आइसोमेट्री के लिए एक समान लेकिन कमजोर बयान लागू होता है: यू ए द्वारा उत्पन्न वॉन न्यूमैन बीजगणित में है। यदि ए व्युत्क्रमणीय है, तो ध्रुवीय भाग यू सी*-बीजगणित में होगा भी।

असीमित ऑपरेटर

यदि ए जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच एक बंद, घनी परिभाषित असीमित ऑपरेटर है तो इसमें अभी भी एक (अद्वितीय) 'ध्रुवीय अपघटन' है

$$A=U|A|$$

जहां |ए| ए के समान डोमेन के साथ एक (संभवतः अबाधित) गैर-नकारात्मक स्वयं संलग्न ऑपरेटर है, और यू एक आंशिक आइसोमेट्री है जो रैन (| ए |) श्रेणी के ऑर्थोगोनल पूरक पर लुप्त हो रहा है।

सबूत उपरोक्त के समान लेम्मा का उपयोग करता है, जो सामान्य रूप से असीमित ऑपरेटरों के लिए जाता है। यदि डोम (ए{{sup|*}ए) = डोम (बी^* बी) और ए^* आह = बी^*बीएच सबके लिए एच ∈ डोम (ए^*ए), तो एक आंशिक आइसोमेट्री यू उपस्थित है जैसे कि ए = यूबी। यू अद्वितीय है यदि रैन (बी)^⊥ ⊂ केर (यू)। ऑपरेटर ए बंद होने और घनी परिभाषित होने से यह सुनिश्चित होता है कि ऑपरेटर ए^*ए स्व-संबद्ध है (घने डोमेन के साथ) और इसलिए किसी को परिभाषित करने की अनुमति देता है (ए^*ए)^1/2. लेम्मा लगाने से ध्रुवीय अपघटन होता है।

यदि एक असीमित ऑपरेटर ए वॉन न्यूमैन बीजगणित 'एम' के लिए संबद्ध ऑपरेटर है, और ए = यूपी इसका ध्रुवीय अपघटन है, तो यू 'एम' में है और इसी तरह पी, 1 का वर्णक्रमीय प्रक्षेपण है_B(पी), किसी भी बोरेल सेट बी के लिए [0, ∞).

चतुष्कोणीय ध्रुवीय अपघटन

चतुष्कोणों H का ध्रुवीय अपघटन इकाई 2-आयामी क्षेत्र पर निर्भर करता है $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ चतुष्कोण का#-1 का वर्गमूल। इस क्षेत्र पर किसी भी आर को देखते हुए, और एक कोण −π < a ≤ π, छंद $e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)$ एच के यूनिट 3-क्षेत्र पर है। ए = 0 और ए = π के लिए, छंद 1 या -1 है, चाहे जो भी आर चुना गया हो। मानदंड (गणित) t एक चतुष्कोण q का मूल से q तक यूक्लिडियन दूरी है। जब एक चतुष्कोण केवल एक वास्तविक संख्या नहीं है, तो एक अद्वितीय ध्रुवीय अपघटन होता है $q=te^{ar}.$

वैकल्पिक प्लानर अपघटन

कार्तीय तल में, वैकल्पिक तलीय वलय (गणित) अपघटन निम्नानुसार उत्पन्न होते हैं:

• यदि x ≠ 0, z = x(1 + ε(y/x)) दोहरी संख्या z = x + yε का ध्रुवीय अपघटन है, जहाँ ε² = 0 है; उदाहरण, ε निल्पोटेंट है। इस ध्रुवीय अपघटन में, इकाई वृत्त को रेखा x = 1 और ध्रुवीय कोण को ढलान y/x से परिवर्तित कर दिया गया है, और त्रिज्या x बाएं आधे समतल में ऋणात्मक है।
• यदि x² ≠ y², तब इकाई अतिपरवलय x² − y² = 1 और इसके संयुग्मी x² − y² = −1 (1, 0) के माध्यम से इकाई अतिपरवलय की शाखा के आधार पर एक ध्रुवीय अपघटन बनाने के लिए उपयोग किया जा सकता है। यह शाखा अतिपरवलय कोण a द्वारा पैरामीट्रिज्ड है और
  $$\cosh(a)+j\ \sinh(a)=\exp(aj)=e^{aj}$$
  लिखी गई है।

  जहाँ j² = +1 औरअंकगणित स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर का उपयोग किया जाता है। (−1, 0) की शाखा को −e^aj द्वारा ट्रेस किया गया है। चूँकि j से गुणा करने की संक्रिया y = x रेखा के पार एक बिंदु को दर्शाती है, दूसरे अतिपरवलय में je ^aj या −je^aj द्वारा अनुरेखित शाखाएँ होती हैं। इसलिए किसी एक चतुर्थांश में एक बिंदु का एक रूप में ध्रुवीय अपघटन होता है:

  $$re^{aj},-re^{aj},rje^{aj},-rje^{aj},\quad r>0$$
  समुच्चय {1, −1, j, −j } में ऐसे उत्पाद हैं जो इसे क्लेन चार-समूह के लिए समरूपी बनाते हैं। स्पष्ट रूप से इस स्थिति में ध्रुवीय अपघटन में उस समूह का एक तत्व सम्मिलित है।

आव्यूह ध्रुवीय अपघटन का संख्यात्मक निर्धारण

ध्रुवीय अपघटन A = UP के सन्निकटन की गणना करने के लिए, सामान्यतः एकात्मक कारक U का अनुमान लगाया जाता है। पुनरावृति 1 के वर्गमूल के लिए हीरोन की विधि पर आधारित है और से प्रारंभ करते हुए इसकी गणना करता है $U_{0}=A$, क्रम

$$U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(U_{k}+\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$$

व्युत्क्रम और हर्मिट संयुग्मन के संयोजन को चुना जाता है जिससे एकवचन मान अपघटन में, एकात्मक कारक समान रहें और पुनरावृत्ति एकवचन मानों पर हीरोन की विधि को कम कर दे।

प्रक्रिया को गति देने के लिए इस मूल पुनरावृत्ति को परिष्कृत किया जा सकता है:

• Every step or in regular intervals, the range of the singular values of $U_{k}$ is estimated and then the matrix is rescaled to $\gamma _{k}U_{k}$ to center the singular values around 1. The scaling factor $\gamma _{k}$ is computed using matrix norms of the matrix and its inverse. Examples of such scale estimates are:
  $$\gamma _{k}={\sqrt[{4}]{\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{1}\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{\infty }}{\left\|U_{k}\right\|_{1}\left\|U_{k}\right\|_{\infty }}}}$$
  using the row-sum and column-sum matrix norms or
  $$\gamma _{k}={\sqrt {\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{F}}{\left\|U_{k}\right\|_{F}}}}$$
  using the Frobenius norm. Including the scale factor, the iteration is now
  $$U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(\gamma _{k}U_{k}+{\frac {1}{\gamma _{k}}}\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$$
• The QR decomposition can be used in a preparation step to reduce a singular matrix A to a smaller regular matrix, and inside every step to speed up the computation of the inverse.
• Heron's method for computing roots of $x^{2}-1=0$ can be replaced by higher order methods, for instance based on Halley's method of third order, resulting in
  $$U_{k+1}=U_{k}\left(I+3U_{k}^{*}U_{k}\right)^{-1}\left(3I+U_{k}^{*}U_{k}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$$
  This iteration can again be combined with rescaling. This particular formula has the benefit that it is also applicable to singular or rectangular matrices A.

यह भी देखें

• कार्टन अपघटन
• बीजगणितीय ध्रुवीय अपघटन
• एक जटिल माप का ध्रुवीय अपघटन
• लाई समूह अपघटन

संदर्भ

• Conway, J.B.: A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer 1990
• Douglas, R.G.: On Majorization, Factorization, and Range Inclusion of Operators on Hilbert Space. Proc. Amer. Math. Soc. 17, 413-415 (1966)
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7