मार्कोव स्पेक्ट्रम

गणित में, एंड्री मार्कोव द्वारा तैयार किया गया मार्कोव स्पेक्ट्रम मार्कोव संख्या में उत्पन्न होने वाली वास्तविक संख्याओं का एक जटिल समूह है और डायोफैंटाइन सन्निकटन के सिद्धांत में भी है।

ऐसे अनुक्रम के लिए, जिसके लिए c सर्वोत्तम संभव (अधिकतम) मान है। ऐसा 1/सी 'लैग्रेंज स्पेक्ट्रम' एल बनाता है, कम से कम वास्तविक संख्याओं का एक सेट √5 (जो स्पेक्ट्रम का सबसे छोटा मान है)। पारस्परिक के साथ सूत्रीकरण अजीब है, लेकिन पारंपरिक परिभाषा इसे आमंत्रित करती है; इसके बजाय c के सेट को देखने से श्रेष्ठ को सीमित करो और निम्न को सीमित करो के माध्यम से एक परिभाषा की अनुमति मिलती है। उसके लिए, विचार करें

द्विघात रूप लक्षण वर्णन

f(x,y) = ax द्वारा दिए गए द्विघात रूप पर विचार करें² + बीएक्सवाई + साइ² और मान लें कि इसका विविक्तकर#द्विघात रूप निश्चित है, मान लीजिए -1/4 के बराबर है। दूसरे शब्दों में, बी² − 4ac = 1.

कोई न्यूनतम मूल्य प्राप्त करने के लिए कह सकता है $\left\vert f(x,y)\right\vert$ जब इसका मूल्यांकन ग्रिड के गैर-शून्य वैक्टरों पर किया जाता है $\mathbb {Z} ^{2}$, और यदि यह न्यूनतम मौजूद नहीं है, तो निम्नतम और उच्चतम के लिए।

मार्कोव स्पेक्ट्रम एम इस खोज को अलग-अलग द्विघात रूपों के साथ दोहराकर प्राप्त किया गया सेट है जिसमें विभेदक -1/4 तय किया गया है:

$$M=\left\{\left(\inf _{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}|f(x,y)|\right)^{-1}:f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\ b^{2}-4ac=1\right\}$$

लैग्रेंज स्पेक्ट्रम

Further information: Lagrange number

हूरविट्ज़ के प्रमेय (संख्या सिद्धांत) से शुरू | डायोफैंटाइन सन्निकटन पर हर्विट्ज के प्रमेय, कि कोई भी वास्तविक संख्या $\xi$ इसके साथ चल रहे तर्कसंगत सन्निकटन m/n का एक क्रम है

$\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}},$

1/c के प्रत्येक मान को 1/c ≥ के साथ पूछना संभव है √5 कुछ के अस्तित्व के बारे में $\xi$ जिसके लिए

$\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {c}{n^{2}}}$

ऐसे अनुक्रम के लिए, जिसके लिए c सर्वोत्तम संभव (अधिकतम) मान है। ऐसा 1/सी 'लैग्रेंज स्पेक्ट्रम' एल बनाता है, कम से कम वास्तविक संख्याओं का एक सेट √5 (जो स्पेक्ट्रम का सबसे छोटा मान है)। पारस्परिक के साथ सूत्रीकरण अजीब है, लेकिन पारंपरिक परिभाषा इसे आमंत्रित करती है; इसके बजाय c के सेट को देखने से श्रेष्ठ को सीमित करो और निम्न को सीमित करो के माध्यम से एक परिभाषा की अनुमति मिलती है। उसके लिए, विचार करें

$\liminf _{n\to \infty }n^{2}\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|,$

जहाँ m को n के पूर्णांक फलन के रूप में चुना जाता है ताकि अंतर को न्यूनतम किया जा सके। यह का एक कार्य है $\xi$, और लैग्रेंज स्पेक्ट्रम का व्युत्क्रम, अपरिमेय संख्याओं पर लगने वाले मानों की श्रेणी है।

मार्कोव स्पेक्ट्रम के साथ संबंध

लैग्रेंज स्पेक्ट्रम का प्रारंभिक भाग, अर्थात् अंतराल में स्थित भाग [√5, 3), मार्कोव स्पेक्ट्रम के बराबर है। पहले कुछ मान हैं √5, √8, √221/5, √1517/13, ... और इस अनुक्रम की nवीं संख्या (अर्थात, nवीं लग्रेंज संख्या) की गणना सूत्र द्वारा nवीं मार्कोव संख्या से की जा सकती है

$$L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.$$

लैग्रेंज स्पेक्ट्रम में अंतिम अंतराल के अंत को फ्रीमैन स्थिरांक नाम दिया गया है, अर्थात्:

$F={\frac {2\,221\,564\,096+283\,748{\sqrt {462}}}{491\,993\,569}}=4.5278295661\dots$ (sequence A118472 in the OEIS).

F से बड़ी वास्तविक संख्याएँ भी मार्कोव स्पेक्ट्रम की सदस्य हैं। इसके अलावा, यह साबित करना संभव है कि एल सख्ती से एम में समाहित है।

मार्कोव और लाग्रेंज स्पेक्ट्रम की ज्यामिति

एक ओर, अंतराल में पड़े मार्कोव और लैग्रेंज स्पेक्ट्रम का प्रारंभिक भाग [√5, 3) दोनों बराबर हैं और वे एक असतत सेट हैं। दूसरी ओर, फ्रीमैन के स्थिरांक के बाद पड़े इन सेटों का अंतिम भाग भी बराबर है, लेकिन एक निरंतर सेट है। प्रारंभिक भाग और अंतिम भाग के बीच के हिस्से की ज्यामिति में भग्न संरचना होती है, और इसे असतत प्रारंभिक भाग और निरंतर अंतिम भाग के बीच एक ज्यामितीय संक्रमण के रूप में देखा जा सकता है। यह अगले प्रमेय में सटीक रूप से कहा गया है:

Theorem — Given $t\in \mathbb {R}$, the Hausdorff dimension of $L\cap (-\infty ,t)$ is equal to the Hausdorff dimension of $M\cap (-\infty ,t)$. Moreover, if d is the function defined as $d(t):=\dim _{H}(M\cap (-\infty ,t))$, where dim_H denotes the Hausdorff dimension, then d is continuous and maps R onto [0,1].

यह भी देखें

• मार्कोव संख्या

अग्रिम पठन

• Aigner, Martin (2013). Markov's theorem and 100 years of the uniqueness conjecture : a mathematical journey from irrational numbers to perfect matchings. New York: Springer. ISBN 978-3-319-00887-5. OCLC 853659945.
• Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 188–189, 1996.
• Cusick, T. W. and Flahive, M. E. The Markov and Lagrange Spectra. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1989.
• Cassels, J.W.S. (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press. Zbl 0077.04801.

बाहरी संबंध

• "Markov spectrum problem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]