मार्कोव स्पेक्ट्रम: Difference between revisions

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गणित में, [[एंड्री मार्कोव]] द्वारा तैयार किया गया मार्कोव स्पेक्ट्रम [[मार्कोव संख्या]] में उत्पन्न होने वाली वास्तविक संख्याओं का  जटिल समूह है और [[डायोफैंटाइन सन्निकटन]] के सिद्धांत में भी है।
गणित में, [[एंड्री मार्कोव]] द्वारा तैयार किया गया मार्कोव स्पेक्ट्रम [[मार्कोव संख्या|मार्कोव]] [[डायोफैंटाइन सन्निकटन|डायोफैंटाइन समीकरण]]  में उत्पन्न होने वाली वास्तविक संख्याओं का  जटिल समूह है और डायोफैंटाइन समीकरण के सिद्धांत में भी है।


'''ऐसे अनुक्रम के लिए, जिसके लिए c सर्वोत्तम संभव (अधिकतम) मान है। ऐसा 1/सी 'लैग्रेंज स्पेक्ट्रम' एल बनाता है, कम से कम वास्तविक संख्याओं का  सेट {{radic|5}} (जो स्पेक्ट्रम का सबसे छोटा मान है)। पारस्परिक के साथ सूत्रीकरण अजीब है, लेकिन पारंपरिक परिभाषा इसे आमंत्रित करती है;'''


== [[द्विघात रूप]] लक्षण वर्णन ==
'''ऐसे अनुक्रम के लिए, जिसके लिए c सर्वोत्तम संभव (अधिकतम) मान है। ऐसा 1/सी 'लैग्रेंज स्पेक्ट्रम' एल बनाता है, कम से कम वास्तविक संख्याओं का  समुच्चय {{radic|5}} (जो स्पेक्ट्रम का सबसे छोटा मान है)। पारस्परिक के साथ सूत्रीकरण अलग है, किन्तु पारंपरिक परिभाषा इसे आमंत्रित करती है;'''
f(x,y) = ax द्वारा दिए गए द्विघात रूप पर विचार करें<sup>2</sup> + बीएक्सवाई + साइ<sup>2</sup> और मान लें कि इसका विविक्तकर#द्विघात रूप निश्चित है, मान लीजिए -1/4 के बराबर है। दूसरे शब्दों में, बी<sup>2</sup> − 4ac = 1.


कोई न्यूनतम मूल्य प्राप्त करने के लिए कह सकता है <math> \left\vert f(x,y) \right\vert </math> जब इसका मूल्यांकन ग्रिड के गैर-शून्य वैक्टरों पर किया जाता है <math>\mathbb{Z}^2</math>, और यदि यह न्यूनतम मौजूद नहीं है, तो [[निम्नतम और उच्चतम]] के लिए।
== [[द्विघात रूप]] विशेषता ==
f(x,y) = ax<sup>2</sup> + bxy + cy<sup>2</sup> द्वारा दिए गए द्विघात रूप पर विचार करें और मान लें कि इसका विविक्तकर द्विघात रूप निश्चित है, मान लीजिए -1/4 के सामान है। दूसरे शब्दों में, b<sup>2</sup> − 4ac = 1.होता है |


मार्कोव स्पेक्ट्रम एम इस खोज को अलग-अलग द्विघात रूपों के साथ दोहराकर प्राप्त किया गया सेट है जिसमें विभेदक -1/4 तय किया गया है:<math display="block">M = \left\{ \left(\inf_{(x,y)\in \Z^2 \setminus \{(0,0)\}} |f(x,y)| \right)^{-1} : f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2,\ b^2- 4ac = 1 \right\}</math>
<math> \left\vert f(x,y) \right\vert </math>द्वारा मिले न्यूनतम मूल्य प्राप्त करने के लिए कह सकता है  जब इसका मूल्यांकन ग्रिड के गैर-शून्य सदिशो <math>\mathbb{Z}^2</math> पर किया जाता है और यदि यह [[निम्नतम और उच्चतम]] के लिए उपस्थित नहीं है,|
 
मार्कोव स्पेक्ट्रम एम इस खोज को अलग-अलग द्विघात रूपों के साथ दोहराकर प्राप्त किया गया समुच्चय है जिसमें विभेदक -1/4 तय किया गया है:
 
<math display="block">M = \left\{ \left(\inf_{(x,y)\in \Z^2 \setminus \{(0,0)\}} |f(x,y)| \right)^{-1} : f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2,\ b^2- 4ac = 1 \right\}</math>




== लैग्रेंज स्पेक्ट्रम ==
== लैग्रेंज स्पेक्ट्रम ==
{{details|Lagrange number}}
{{details|लाग्रेंज संख्या}}
हूरविट्ज़ के प्रमेय (संख्या सिद्धांत) से शुरू | डायोफैंटाइन सन्निकटन पर हर्विट्ज के प्रमेय, कि कोई भी वास्तविक संख्या <math>\xi</math> इसके साथ चल रहे तर्कसंगत सन्निकटन m/n का  क्रम है
 
डायोफैंटाइन सन्निकटन पर हूरविट्ज़ के प्रमेय (संख्या सिद्धांत) से प्रारंभ करते हुए कि कोई भी वास्तविक संख्या <math>\xi</math> परिमेय सन्निकटन m/n का  क्रम होता है | जो इसके साथ व्यवहार करता है |


:<math>\left |\xi-\frac{m}{n}\right |<\frac{1}{\sqrt{5}\, n^2},</math>
:<math>\left |\xi-\frac{m}{n}\right |<\frac{1}{\sqrt{5}\, n^2},</math>
1/c के प्रत्येक मान को 1/c ≥ के साथ पूछना संभव है {{radic|5}} कुछ के अस्तित्व के बारे में <math>\xi</math> जिसके लिए
कुछ 1/c के अस्तित्व के बारे में 1/c ≥{{radic|5}} के साथ 1/c के प्रत्येक मान  <math>\xi</math> के साथ पूछना संभव है |


:<math>\left |\xi-\frac{m}{n}\right |<\frac{c} {n^2}</math>
:<math>\left |\xi-\frac{m}{n}\right |<\frac{c} {n^2}</math>
ऐसे अनुक्रम के लिए, जिसके लिए c सर्वोत्तम संभव (अधिकतम) मान है। ऐसा 1/सी 'लैग्रेंज स्पेक्ट्रम' एल बनाता है, कम से कम वास्तविक संख्याओं का  सेट {{radic|5}} (जो स्पेक्ट्रम का सबसे छोटा मान है)। पारस्परिक के साथ सूत्रीकरण अजीब है, लेकिन पारंपरिक परिभाषा इसे आमंत्रित करती है; इसके बजाय c के सेट को देखने से [[श्रेष्ठ को सीमित करो और निम्न को सीमित करो]] के माध्यम से  परिभाषा की अनुमति मिलती है। उसके लिए, विचार करें
ऐसे अनुक्रम के लिए, जिसके लिए c सर्वोत्तम संभव (अधिकतम) मान है। ऐसा 1/सी 'लैग्रेंज स्पेक्ट्रम' एल कम से कम {{radic|5}} (जो स्पेक्ट्रम का सबसे छोटा मान है) वास्तविक संख्याओं का  समुच्चय बनाता है । पारस्परिक के साथ सूत्रीकरण अलग है, किन्तु पारंपरिक परिभाषा इसे आमंत्रित करती है; इसके अतिरिक्त c के समुच्चय को देखने से [[श्रेष्ठ को सीमित करो और निम्न को सीमित करो]] के माध्यम से  परिभाषा की अनुमति मिलती है। उसके लिए, विचार करें
:<math>\liminf_{n \to \infty}n^2\left |\xi-\frac{m}{n}\right |,</math>
:<math>\liminf_{n \to \infty}n^2\left |\xi-\frac{m}{n}\right |,</math>
जहाँ m को n के पूर्णांक फलन के रूप में चुना जाता है ताकि अंतर को न्यूनतम किया जा सके। यह का  कार्य है <math>\xi</math>, और लैग्रेंज स्पेक्ट्रम का व्युत्क्रम, अपरिमेय संख्याओं पर लगने वाले मानों की श्रेणी है।
जहाँ m को n के पूर्णांक फलन के रूप में प्रयुक्त किया जाता है जिससे अंतर को न्यूनतम किया जा सके। यह <math>\xi</math> का  कार्य है , और लैग्रेंज स्पेक्ट्रम का व्युत्क्रम, अपरिमेय संख्याओं पर लगने वाले मानों की श्रेणी है।


=== मार्कोव स्पेक्ट्रम के साथ संबंध ===
=== मार्कोव स्पेक्ट्रम के साथ संबंध ===
लैग्रेंज स्पेक्ट्रम का प्रारंभिक भाग, अर्थात् अंतराल में स्थित भाग {{closed-open|{{radic|5}}, 3}}, मार्कोव स्पेक्ट्रम के बराबर है। पहले कुछ मान हैं {{radic|5}}, {{radic|8}}, {{radic|221}}/5, {{radic|1517}}/13, ...<ref>Cassels (1957) p.18</ref> और इस अनुक्रम की nवीं संख्या (अर्थात, nवीं लग्रेंज संख्या) की गणना सूत्र द्वारा nवीं मार्कोव संख्या से की जा सकती है<math display="block">L_n = \sqrt{9 - {4 \over {m_n}^2}}.</math>लैग्रेंज स्पेक्ट्रम में अंतिम अंतराल के अंत को फ्रीमैन स्थिरांक नाम दिया गया है, अर्थात्:
लैग्रेंज स्पेक्ट्रम का प्रारंभिक भाग, अर्थात् अंतराल {{closed-open|{{radic|5}}, 3}} में स्थित भाग , मार्कोव स्पेक्ट्रम के सामान है। पहले कुछ मान हैं {{radic|5}}, {{radic|8}}, {{radic|221}}/5, {{radic|1517}}/13, ...<ref>Cassels (1957) p.18</ref> और इस अनुक्रम की nवीं संख्या (अर्थात, nवीं लग्रेंज संख्या) की गणना सूत्र द्वारा nवीं मार्कोव संख्या से की जा सकती है<math display="block">L_n = \sqrt{9 - {4 \over {m_n}^2}}.</math>लैग्रेंज स्पेक्ट्रम में अंतिम अंतराल के अंत को फ्रीमैन स्थिरांक नाम दिया गया है, अर्थात्:


: <math> F = \frac{2\,221\,564\,096 + 283\,748\sqrt{462}}{491\, 993\, 569} = 4.5278295661\dots</math> {{OEIS|A118472}}.
: <math> F = \frac{2\,221\,564\,096 + 283\,748\sqrt{462}}{491\, 993\, 569} = 4.5278295661\dots</math> {{OEIS|A118472}}.


F से बड़ी वास्तविक संख्याएँ भी मार्कोव स्पेक्ट्रम की सदस्य हैं।<ref name=mathworld2>[http://mathworld.wolfram.com/FreimansConstant.html Freiman's Constant] Weisstein, Eric W. "Freiman's Constant." From MathWorld&mdash;A Wolfram Web Resource), accessed 26 August 2008</ref> इसके अलावा, यह साबित करना संभव है कि एल सख्ती से एम में समाहित है।<ref>{{Cite book|chapter=The Markoff and Lagrange spectra compared|last1=Cusick|first1=Thomas|last2=Flahive|first2=Mary|author2-link= Mary Flahive |pages=35–45|doi=10.1090/surv/030/03|title = द मार्कऑफ़ और लैग्रेंज स्पेक्ट्रा|volume = 30|series = Mathematical Surveys and Monographs|year = 1989|isbn = 9780821815311}}</ref>
F से बड़ी वास्तविक संख्याएँ भी मार्कोव स्पेक्ट्रम की सदस्य हैं। <ref name=mathworld2>[http://mathworld.wolfram.com/FreimansConstant.html Freiman's Constant] Weisstein, Eric W. "Freiman's Constant." From MathWorld&mdash;A Wolfram Web Resource), accessed 26 August 2008</ref> इसके अतिरिक्त, यह सिद्ध करना संभव है कि एल सख्ती से एम में समाहित है।<ref>{{Cite book|chapter=The Markoff and Lagrange spectra compared|last1=Cusick|first1=Thomas|last2=Flahive|first2=Mary|author2-link= Mary Flahive |pages=35–45|doi=10.1090/surv/030/03|title = द मार्कऑफ़ और लैग्रेंज स्पेक्ट्रा|volume = 30|series = Mathematical Surveys and Monographs|year = 1989|isbn = 9780821815311}}</ref>
 


== मार्कोव और लाग्रेंज स्पेक्ट्रम की ज्यामिति ==
== मार्कोव और लाग्रेंज स्पेक्ट्रम की ज्यामिति ==
एक ओर, अंतराल में पड़े मार्कोव और लैग्रेंज स्पेक्ट्रम का प्रारंभिक भाग [{{radic|5}}, 3) दोनों बराबर हैं और वे एक असतत सेट हैं। दूसरी ओर, फ्रीमैन के स्थिरांक के बाद पड़े इन सेटों का अंतिम भाग भी बराबर है, लेकिन एक निरंतर सेट है। प्रारंभिक भाग और अंतिम भाग के बीच के हिस्से की ज्यामिति में भग्न संरचना होती है, और इसे असतत प्रारंभिक भाग और निरंतर अंतिम भाग के बीच एक ज्यामितीय संक्रमण के रूप में देखा जा सकता है। यह अगले प्रमेय में सटीक रूप से कहा गया है:<ref>{{Cite journal|last=Moreira |first=Carlos Gustavo T. De A.|date=July 2018|title=मार्कोव और लैग्रेंज स्पेक्ट्रा के ज्यामितीय गुण|journal=Annals of Mathematics|volume=188|issue=1| pages=145–170 |doi=10.4007/annals.2018.188.1.3 |issn=0003-486X | arxiv=1612.05782| jstor=10.4007/annals.2018.188.1.3|s2cid=15513612 }}</ref>{{math theorem|Given <math>t \in \R</math>, the [[Hausdorff dimension]] of <math>L\cap(-\infty,t)</math> is equal to the Hausdorff dimension of <math>M\cap(-\infty,t)</math>. Moreover, if ''d'' is the function defined as <math>d(t):=\dim_{H}(M\cap(-\infty,t))</math>, where dim<sub>''H''</sub> denotes the Hausdorff dimension, then ''d'' is continuous and maps '''R''' onto [0,1].}}
एक ओर, अंतराल में पड़े मार्कोव और लैग्रेंज स्पेक्ट्रम का प्रारंभिक भाग [{{radic|5}}, 3) दोनों बराबर हैं और वे एक असतत समुच्चय हैं। दूसरी ओर, फ्रीमैन के स्थिरांक के बाद पड़े इन समुच्चय का अंतिम भाग भी बराबर है, लेकिन एक निरंतर समुच्चय है। प्रारंभिक भाग और अंतिम भाग के बीच के भाग की ज्यामिति में भग्न संरचना होती है, और इसे असतत प्रारंभिक भाग और निरंतर अंतिम भाग के बीच एक ज्यामितीय संक्रमण के रूप में देखा जा सकता है। यह अगले प्रमेय में स्पष्ट रूप से कहा गया है:<ref>{{Cite journal|last=Moreira |first=Carlos Gustavo T. De A.|date=July 2018|title=मार्कोव और लैग्रेंज स्पेक्ट्रा के ज्यामितीय गुण|journal=Annals of Mathematics|volume=188|issue=1| pages=145–170 |doi=10.4007/annals.2018.188.1.3 |issn=0003-486X | arxiv=1612.05782| jstor=10.4007/annals.2018.188.1.3|s2cid=15513612 }}</ref>{{math theorem|Given <math>t \in \R</math>, the [[Hausdorff dimension]] of <math>L\cap(-\infty,t)</math> is equal to the Hausdorff dimension of <math>M\cap(-\infty,t)</math>. Moreover, if ''d'' is the function defined as <math>d(t):=\dim_{H}(M\cap(-\infty,t))</math>, where dim<sub>''H''</sub> denotes the Hausdorff dimension, then ''d'' is continuous and maps '''R''' onto [0,1].}}


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==

Revision as of 14:27, 26 April 2023

गणित में, एंड्री मार्कोव द्वारा तैयार किया गया मार्कोव स्पेक्ट्रम मार्कोव डायोफैंटाइन समीकरण में उत्पन्न होने वाली वास्तविक संख्याओं का जटिल समूह है और डायोफैंटाइन समीकरण के सिद्धांत में भी है।


ऐसे अनुक्रम के लिए, जिसके लिए c सर्वोत्तम संभव (अधिकतम) मान है। ऐसा 1/सी 'लैग्रेंज स्पेक्ट्रम' एल बनाता है, कम से कम वास्तविक संख्याओं का समुच्चय √5 (जो स्पेक्ट्रम का सबसे छोटा मान है)। पारस्परिक के साथ सूत्रीकरण अलग है, किन्तु पारंपरिक परिभाषा इसे आमंत्रित करती है;

द्विघात रूप विशेषता

f(x,y) = ax2 + bxy + cy2 द्वारा दिए गए द्विघात रूप पर विचार करें और मान लें कि इसका विविक्तकर द्विघात रूप निश्चित है, मान लीजिए -1/4 के सामान है। दूसरे शब्दों में, b2 − 4ac = 1.होता है |

द्वारा मिले न्यूनतम मूल्य प्राप्त करने के लिए कह सकता है जब इसका मूल्यांकन ग्रिड के गैर-शून्य सदिशो पर किया जाता है और यदि यह निम्नतम और उच्चतम के लिए उपस्थित नहीं है,|

मार्कोव स्पेक्ट्रम एम इस खोज को अलग-अलग द्विघात रूपों के साथ दोहराकर प्राप्त किया गया समुच्चय है जिसमें विभेदक -1/4 तय किया गया है:


लैग्रेंज स्पेक्ट्रम

Further information: लाग्रेंज संख्या

डायोफैंटाइन सन्निकटन पर हूरविट्ज़ के प्रमेय (संख्या सिद्धांत) से प्रारंभ करते हुए कि कोई भी वास्तविक संख्या परिमेय सन्निकटन m/n का क्रम होता है | जो इसके साथ व्यवहार करता है |

कुछ 1/c के अस्तित्व के बारे में 1/c ≥√5 के साथ 1/c के प्रत्येक मान के साथ पूछना संभव है |

ऐसे अनुक्रम के लिए, जिसके लिए c सर्वोत्तम संभव (अधिकतम) मान है। ऐसा 1/सी 'लैग्रेंज स्पेक्ट्रम' एल कम से कम √5 (जो स्पेक्ट्रम का सबसे छोटा मान है) वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बनाता है । पारस्परिक के साथ सूत्रीकरण अलग है, किन्तु पारंपरिक परिभाषा इसे आमंत्रित करती है; इसके अतिरिक्त c के समुच्चय को देखने से श्रेष्ठ को सीमित करो और निम्न को सीमित करो के माध्यम से परिभाषा की अनुमति मिलती है। उसके लिए, विचार करें

जहाँ m को n के पूर्णांक फलन के रूप में प्रयुक्त किया जाता है जिससे अंतर को न्यूनतम किया जा सके। यह का कार्य है , और लैग्रेंज स्पेक्ट्रम का व्युत्क्रम, अपरिमेय संख्याओं पर लगने वाले मानों की श्रेणी है।

मार्कोव स्पेक्ट्रम के साथ संबंध

लैग्रेंज स्पेक्ट्रम का प्रारंभिक भाग, अर्थात् अंतराल [√5, 3) में स्थित भाग , मार्कोव स्पेक्ट्रम के सामान है। पहले कुछ मान हैं √5, √8, √221/5, √1517/13, ...[1] और इस अनुक्रम की nवीं संख्या (अर्थात, nवीं लग्रेंज संख्या) की गणना सूत्र द्वारा nवीं मार्कोव संख्या से की जा सकती है

लैग्रेंज स्पेक्ट्रम में अंतिम अंतराल के अंत को फ्रीमैन स्थिरांक नाम दिया गया है, अर्थात्:

(sequence A118472 in the OEIS).

F से बड़ी वास्तविक संख्याएँ भी मार्कोव स्पेक्ट्रम की सदस्य हैं। [2] इसके अतिरिक्त, यह सिद्ध करना संभव है कि एल सख्ती से एम में समाहित है।[3]

मार्कोव और लाग्रेंज स्पेक्ट्रम की ज्यामिति

एक ओर, अंतराल में पड़े मार्कोव और लैग्रेंज स्पेक्ट्रम का प्रारंभिक भाग [√5, 3) दोनों बराबर हैं और वे एक असतत समुच्चय हैं। दूसरी ओर, फ्रीमैन के स्थिरांक के बाद पड़े इन समुच्चय का अंतिम भाग भी बराबर है, लेकिन एक निरंतर समुच्चय है। प्रारंभिक भाग और अंतिम भाग के बीच के भाग की ज्यामिति में भग्न संरचना होती है, और इसे असतत प्रारंभिक भाग और निरंतर अंतिम भाग के बीच एक ज्यामितीय संक्रमण के रूप में देखा जा सकता है। यह अगले प्रमेय में स्पष्ट रूप से कहा गया है:[4]

Theorem — Given , the Hausdorff dimension of is equal to the Hausdorff dimension of . Moreover, if d is the function defined as , where dimH denotes the Hausdorff dimension, then d is continuous and maps R onto [0,1].

यह भी देखें

  • मार्कोव संख्या

संदर्भ

  1. ↑ Cassels (1957) p.18
  2. ↑ Freiman's Constant Weisstein, Eric W. "Freiman's Constant." From MathWorld—A Wolfram Web Resource), accessed 26 August 2008
  3. ↑ Cusick, Thomas; Flahive, Mary (1989). "The Markoff and Lagrange spectra compared". द मार्कऑफ़ और लैग्रेंज स्पेक्ट्रा. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 30. pp. 35–45. doi:10.1090/surv/030/03. ISBN 9780821815311.
  4. ↑ Moreira, Carlos Gustavo T. De A. (July 2018). "मार्कोव और लैग्रेंज स्पेक्ट्रा के ज्यामितीय गुण". Annals of Mathematics. 188 (1): 145–170. arXiv:1612.05782. doi:10.4007/annals.2018.188.1.3. ISSN 0003-486X. JSTOR 10.4007/annals.2018.188.1.3. S2CID 15513612.


अग्रिम पठन

  • Aigner, Martin (2013). Markov's theorem and 100 years of the uniqueness conjecture : a mathematical journey from irrational numbers to perfect matchings. New York: Springer. ISBN 978-3-319-00887-5. OCLC 853659945.
  • Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 188–189, 1996.
  • Cusick, T. W. and Flahive, M. E. The Markov and Lagrange Spectra. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1989.
  • Cassels, J.W.S. (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press. Zbl 0077.04801.


बाहरी संबंध

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