मॉड्युली स्पेस: Difference between revisions

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गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में, एक मॉड्युली समष्टि एक ज्यामितीय समष्टि सामान्य रूप से एक योजना (गणित) या एक बीजगणितीय चित्ति होता है, जिसके बिंदु कुछ निश्चित प्रकार के बीजगणितीय-ज्यामितीय वस्तुओं या ऐसी वस्तुओं के समरूपता वर्गो का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऐसे समष्टि प्रायः वर्गीकरण समस्याओं के समाधान के रूप में उत्पन्न होते हैं: यदि कोई यह दिखा सकता है कि रोचक वस्तुओं का समुच्चय (उदाहरण के लिए, एक निश्चित प्रजाति के सरल बीजगणितीय वक्र) को एक ज्यामितीय समष्टि की संरचना दी जा सकती है, तो परिणामी समष्टि पर निर्देशांक प्रस्तुत करके ऐसी वस्तुओं को पैरामीट्रिज किया जा सकता है। इस संदर्भ में, मापांक शब्द का प्रयोग पैरामीटर के पर्याय के रूप में किया जाता है; मॉडुलि समष्टि को पहले वस्तुओं के समष्टि के अतिरिक्त मापदंडों के समष्टि के रूप में समझा गया था। मॉड्यूलि समष्टि का एक प्रकार औपचारिक मोडुली है। बर्नहार्ड रीमैन ने पहली बार 1857 में मोडुली शब्द का उपयोग किया था।^[1]

प्रेरणा

मॉड्यूलि समष्टि ज्यामितीय वर्गीकरण समस्याओं के समाधान के समष्टि हैं। अर्थात, मॉड्यूलि समष्टि के अंक ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के अनुरूप हैं। यहां अलग-अलग समाधानों की पहचान की जाती है यदि वे समरूपी हैं, अर्थात ज्यामितीय रूप से समान होते है। मॉडुलि समष्टि को समस्या के लिए मापदंडों का एक सार्वभौमिक समष्टि देने के बारे में सोचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन तल में सभी वृत्तों को सर्वांगसमता तक खोजने की समस्या पर विचार करें। किसी भी वृत्त को तीन बिंदु देकर विशिष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है, लेकिन तीन बिंदुओं के कई अलग-अलग समुच्चय एक ही वृत्त देते हैं अर्थात समानता एक से अनेक है। हालाँकि, वृत्तों को उनके केंद्र और त्रिज्या देकर विशिष्ट रूप से परिचालित किया जाता है, यह दो वास्तविक पैरामीटर और एक धनात्मक वास्तविक पैरामीटर है। चूँकि हम केवल सर्वांगसमता तक के वृत्तों में रुचि रखते हैं, इसलिए हम ऐसे वृत्तों की पहचान करते हैं जिनके केंद्र अलग-अलग हों, लेकिन एक ही त्रिज्या हो, और इसलिए केवल त्रिज्या ही भाग के समुच्चय को पैरामीटर करने के लिए पर्याप्त है। इसलिए मॉड्यूलि समष्टि धनात्मक वास्तविक संख्या है।

मोडुली समष्टि प्रायः प्राकृतिक ज्यामितीय और सांस्थितिकीय संरचनाओं को भी ले जाते हैं। वृत्तों के उदाहरण में, उदाहरण के लिए, मोडुली समष्टि केवल एक अमूर्त समुच्चय नहीं है, लेकिन त्रिज्या के अंतर का पूर्ण मूल्य एक आव्यूह (गणित) को परिभाषित करता है, यह निर्धारित करने के लिए कि जब दो वृत्त समीप होते हैं। मॉड्यूलि समष्टि की ज्यामितीय संरचना स्थानीय रूप से हमें बताती है कि ज्यामितीय वर्गीकरण समस्या के दो समाधान समीप हैं, लेकिन सामान्य रूप से मोडुली समष्टि में एक जटिल वैश्विक संरचना भी होती है।

उदाहरण के लिए, विचार करें कि R² में रेखाओं के समुच्चय का वर्णन कैसे किया जाए जो मूल बिंदु को प्रतिच्छेद करती है। हम इस वर्ग की प्रत्येक रेखा L को एक मात्रा निर्दिष्ट करना चाहते हैं जो विशिष्ट रूप से इसे एक मापांक की पहचान कर सके। ऐसी मात्रा का एक उदाहरण 0 ≤ θ < π रेडियन के साथ धनात्मक कोण θ(L) है। L रेखाओ का समुच्चय इसलिए पैरामीटर युक्त को P¹(R) के रूप में जाना जाता है और इसे वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा कहा जाता है।

हम R² में रेखाओं के समुच्चय का भी वर्णन कर सकते हैं जो एक सांस्थितिकीय निर्माण के माध्यम से मूल को प्रतिच्छेद करता है। अतः S¹ ⊂ R² पर विचार करने के लिए और ध्यान दें कि प्रत्येक बिंदु s ∈ S¹ समुच्चय में एक रेखा L(s) देता है जो मूल बिंदु और s को जोड़ता है। हालाँकि, यह नक्शा दो से एक है, इसलिए हम P¹(R) ≅ S¹/~ उत्पन्न करने के लिए s ~ −s की पहचान करना चाहते हैं, जहां इस समष्टि पर सांस्थिति भागफल मानचित्र S¹ → P¹(R) द्वारा प्रेरित भागफल सांस्थिति है।

इस प्रकार, जब हम P¹(R) पर विचार करते हैं, रेखाओं की मॉड्यूलि समष्टि के रूप में जो R² में मूल बिन्दु को प्रतिच्छेद करती है, हम उन तरीकों को अभिग्रहण करते हैं जिनमें वर्ग के इकाई (इस स्थिति में रेखा) 0 ≤ θ < π को निरंतर बदलते हुए संशोधित कर सकते हैं।

सामान्य उदाहरण

प्रक्षेपीय समष्‍टि और ग्रासमैनियन

वास्तविक प्रक्षेपीय समष्‍टि Pⁿ एक मोडुली समष्‍टि है जो Rⁿ⁺¹ में रेखाओ की स्थान को पैरामीट्रिज करता है जो मूल के माध्यम से गुजरता है। इसी प्रकार, जटिल प्रक्षेपीय समष्‍टि Cⁿ⁺¹ में मूल बिन्दु के माध्यम से गुजरने वाली सभी जटिल रेखाओं का स्थान है।

अधिक सामान्य रूप से, क्षेत्र F पर सदिश समष्टि V का ग्रासमानियन 'G'(k, V), V के सभी k-विमीय रैखिक उपसमष्टि का मॉडुलि समष्टि होता है।

विश्व स्तर पर उत्पन्न वर्गों के साथ वृहत रेखा भाग के मॉड्यूल के रूप में प्रक्षेपीय समष्‍टि

सार्वभौमिक प्रक्षेप्य समष्टि $\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$ में जब भी किसी योजना $X$ का अन्तः स्थापन होता है ,^[2]^[3] तो अन्तः स्थापन एक रेखा समूह ${\mathcal {L}}\to X$ द्वारा दी गई है, और $n+1$ भाग $s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})$ जो सभी समान समय में शून्य नहीं होते हैं। इसका तात्पर्य है, एक बिंदु दिया गया है

$x:{\text{Spec}}(R)\to X$

एक संबद्ध बिंदु है

${\hat {x}}:{\text{Spec}}(R)\to \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$

रचनाओं द्वारा प्रदान किया गया

$[s_{0}:\cdots :s_{n}]\circ x=[s_{0}(x):\cdots :s_{n}(x)]\in \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(R)$

फिर, अनुभागों के साथ दो रेखा बहुत ज़्यादा समतुल्य हैं

$({\mathcal {L}},(s_{0},\ldots ,s_{n}))\sim ({\mathcal {L}}',(s_{0}',\ldots ,s_{n}'))$

EDIT यदि कोई तुल्याकारिता है $\phi :{\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}'$ ऐसा है कि $\phi (s_{i})=s_{i}'$ . इसका तात्पर्य है संबंधित मोडुली फ़ैक्टर <ब्लॉककोट>

$\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}:{\text{Sch}}\to {\text{Sets}}$ स्कीम भेजता है $X$ समुच्चय पर <ब्लॉककोट> $\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(X)=\left\{({\mathcal {L}},s_{0},\ldots ,s_{n}):{\begin{matrix}{\mathcal {L}}\to X{\text{ is a line bundle}}\\s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})\\{\text{ form a basis of global sections}}\end{matrix}}\right\}/\sim$ यह दिखाना सत्य है जिसे पुनरुक्ति की एक श्रृंखला के माध्यम से चलाया जा सकता है: कोई भी प्रक्षेपी अन्तः स्थापन $i:X\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$ विश्व स्तर पर उत्पन्न शीफ देता है $i^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}(1)$ वर्गों के साथ $i^{*}x_{0},\ldots ,i^{*}x_{n}$ . इसके विपरीत, एक पर्याप्त लाइन बंडल दिया गया ${\mathcal {L}}\to X$ वैश्विक रूप से उत्पन्न $n+1$ अनुभाग ऊपर के रूप में एक अन्तः स्थापन देता है।

चाउ किस्म

चाउ रिंग चाउ (डी, पी³) एक प्रक्षेपी बीजगणितीय किस्म है जो 'P' में डिग्री d वक्रों को पैरामीट्रिज करती है^{3</उप>। इसका निर्माण निम्नानुसार किया गया है। C को 'P' में डिग्री d का वक्र होने दें³, तो P की सभी पंक्तियों पर विचार करें³ जो वक्र C को प्रतिच्छेद करता है। यह एक डिग्री d भाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) D है_C'जी' (2, 4) में, 'पी' में लाइनों का ग्रासमानियन^{3</उप>। जब C भिन्न होता है, C को D से जोड़कर_C, हम ग्रासमानियन के डिग्री डी विभाजकों के समष्टि के सबसेट के रूप में डिग्री डी वक्र का एक पैरामीटर समष्टि प्राप्त करते हैं: 'चाउ' (डी, 'पी'³).}}

हिल्बर्ट योजना

हिल्बर्ट स्कीम हिल्ब(X) एक मोडुली स्कीम है। Hilb(X) का प्रत्येक बंद बिंदु एक निश्चित योजना X की एक बंद उपयोजना से अनुरूप है, और प्रत्येक बंद उपयोजना को ऐसे बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। हिल्बर्ट स्कीम का एक सरल उदाहरण है हिल्बर्ट स्कीम पैरामीटराइज़िंग डिग्री $d$ प्रक्षेपीय समष्‍टि की हाइपरसर्फफेस $\mathbb {P} ^{n}$ . यह प्रक्षेपी बंडल <ब्लॉककोट> द्वारा दिया गया है ${\mathcal {Hilb}}_{d}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))$ सार्वभौमिक परिवार के साथ

द्वारा दिया गया ${\mathcal {U}}=\{(V(f),f):f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))\}$

कहाँ $V(f)$ डिग्री के लिए संबद्ध प्रक्षेप्य योजना है $d$ सजातीय बहुपद $f$ .

परिभाषाएँ

चीजों की कई संबंधित धारणाएं हैं जिन्हें हम मोडुली समष्टि कह सकते हैं। इनमें से प्रत्येक परिभाषा ज्यामितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए समष्टि एम के बिंदुओं के लिए इसका क्या अर्थ है, इसकी एक अलग धारणा को औपचारिक रूप देती है।

ठीक मोडुलि समष्टि

यह मानक अवधारणा है। ह्यूरिस्टिक रूप से, यदि हमारे पास एक समष्टि एम है जिसके लिए प्रत्येक बिंदु एम ∊ एम बीजगणित-ज्यामितीय वस्तु यू से अनुरूप है_m, तो हम इन वस्तुओं को एम पर एक टॉटोलॉजिकल बंडल परिवार यू में इकट्ठा कर सकते हैं। (उदाहरण के लिए, ग्रासमैनियन 'जी' (के, वी) रैंक के बंडल को ले जाता है जिसका फाइबर किसी भी बिंदु पर [एल] ∊ 'जी' (के, V) केवल रैखिक उपसमष्टि L ⊂ V है।) M को परिवार U का 'आधार समष्टि' कहा जाता है। हम कहते हैं कि सार्वभौमिक बंडल 'सार्वभौमिक' है यदि बीजगणित-ज्यामितीय वस्तुओं का कोई परिवार किसी आधार समष्टि B पर T है। यू का पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) एक अद्वितीय मानचित्र बी → एम के साथ। एक सूक्ष्म मोडुलि समष्टि एक समष्टि एम है जो एक सार्वभौमिक परिवार का आधार है।

अधिक सटीक रूप से, मान लीजिए कि हमारे पास योजनाओं से लेकर समुच्चय तक एक फ़ैक्टर एफ है, जो एक योजना बी को आधार बी के साथ वस्तुओं के सभी उपयुक्त परिवारों के समुच्चय को असाइन करता है। एक समष्टि एम, फ़ंक्टर एफ के लिए एक 'ठीक मोडुली समष्टि' है यदि एम प्रतिनिधित्व योग्य है functor F, यानी एक प्राकृतिक समरूपता है τ : F → 'होम' (-, एम), जहां 'होम' (-, एम) बिंदुओं का फ़ैक्टर है। इसका तात्पर्य है कि एम एक सार्वभौमिक परिवार रखता है; यह परिवार पहचान मानचित्र '1' के अनुरूप एम पर परिवार है_M ∊ होम(म, म)।

मोटे मॉडुलि समष्टि

बारीक मोडुली समष्टि वांछनीय हैं, लेकिन वे हमेशा मौजूद नहीं होते हैं और प्रायः निर्माण करना मुश्किल होता है, इसलिए गणितज्ञ कभी-कभी एक कमजोर धारणा का उपयोग करते हैं, मोटे मोडुली समष्टि का विचार। यदि कोई प्राकृतिक रूपांतरण τ मौजूद है तो एक समष्टि M, क्रियाकलाप F के लिए एक 'स्थूल मोडुलि समष्टि' है: F → 'होम' (-, M) और τ ऐसे प्राकृतिक परिवर्तनों के बीच सार्वभौमिक है। अधिक ठोस रूप से, M, F के लिए एक मोटे मोडुली समष्टि है यदि कोई परिवार T आधार B पर एक मानचित्र φ को जन्म देता है_T : बी → एम और कोई भी दो वस्तुएं वी और डब्ल्यू (एक बिंदु पर परिवारों के रूप में माना जाता है) एम के एक ही बिंदु के अनुरूप हैं यदि और केवल अगर वी और डब्ल्यू आइसोमोर्फिक हैं। इस प्रकार, एम एक ऐसा समष्टि है जिसमें प्रत्येक वस्तु के लिए एक बिंदु होता है जो एक परिवार में प्रकट हो सकता है, और जिसकी ज्यामिति परिवारों में वस्तुओं के भिन्न होने के तरीकों को दर्शाती है। ध्यान दें, हालांकि, एक मोटे मोडुली समष्टि में आवश्यक रूप से उपयुक्त वस्तुओं का कोई परिवार नहीं होता है, केवल एक सार्वभौमिक होने दें।

दूसरे शब्दों में, एक फाइन मॉडुलि समष्टि में बेस समष्टि M और यूनिवर्सल फैमिली U → M दोनों शामिल होते हैं, जबकि मोटे मॉड्यूलि समष्टि में केवल बेस समष्टि M होता है।

मोडुली चित्ति

प्रायः ऐसा होता है कि दिलचस्प ज्यामितीय वस्तुएं कई प्राकृतिक automorphism से सुसज्जित होती हैं। यह विशेष रूप से एक सूक्ष्म मोडुली समष्टि के अस्तित्व को असंभव बनाता है (सहजता से, विचार यह है कि यदि एल कुछ ज्यामितीय वस्तु है, तो तुच्छ परिवार L × [0,1] को सर्कल 'एस' पर एक मुड़ परिवार में बनाया जा सकता है।¹ एल × {0} को एल × {1} के साथ एक गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म के माध्यम से पहचान कर। अब यदि सूक्ष्म मॉडुलि समष्टि X अस्तित्व में है, तो मानचित्र 'S'¹ → X को स्थिर नहीं होना चाहिए, लेकिन तुच्छता से किसी भी उचित खुले समुच्चय पर स्थिर होना चाहिए), फिर भी कभी-कभी मोटे मोडुली समष्टि प्राप्त कर सकते हैं। हालांकि, यह दृष्टिकोण आदर्श नहीं है, क्योंकि ऐसे स्थानों के अस्तित्व की गारंटी नहीं है, जब वे मौजूद होते हैं तो वे प्रायः एकवचन होते हैं, और उन वस्तुओं के कुछ गैर-तुच्छ परिवारों के बारे में विवरण याद करते हैं जिन्हें वे वर्गीकृत करते हैं।

समरूपताओं को याद करके वर्गीकरण को समृद्ध करने के लिए एक अधिक परिष्कृत दृष्टिकोण है। अधिक सटीक रूप से, किसी भी आधार पर बी बी पर परिवारों की श्रेणी पर विचार कर सकता है, जिसमें परिवारों के बीच केवल समरूपता के रूप में लिया जाता है। एक तब रेशेदार श्रेणी पर विचार करता है जो किसी भी समष्टि बी को बी से अधिक परिवारों के समूह को निर्दिष्ट करता है। मॉड्यूलि समस्या का वर्णन करने के लिए ग्रुपोइड्स में फाइबर की गई इन श्रेणियों का उपयोग ग्रोथेंडिक (1960/61) तक जाता है। सामान्य तौर पर, उन्हें योजनाओं या बीजगणितीय समष्टि द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, लेकिन कई मामलों में, उनके पास बीजगणितीय चित्ति की प्राकृतिक संरचना होती है।

Deligne-Mumford (1969) में बीजगणितीय चित्ति और मॉडुलि समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए उनका उपयोग एक दिए गए प्रजाति के बीजगणितीय वक्र के (मोटे) मोडुली की इरेड्यूसबिलिटी को साबित करने के लिए एक उपकरण के रूप में दिखाई दिया। बीजगणितीय चित्ति की भाषा अनिवार्य रूप से रेशेदार श्रेणी को देखने के लिए एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करती है जो एक समष्टि के रूप में मोडुली समस्या का गठन करती है, और 'मॉड्यूली चित्ति' कई मॉडुलि समस्याओं में से अधिकांश संबंधित मोटे मॉडुलि समष्टि की तुलना में बेहतर व्यवहार (जैसे सरल) है।

अन्य उदाहरण

वक्रों का मापांक

मोडुली चित्ति ${\mathcal {M}}_{g}$ प्रजाति जी के चिकने प्रोजेक्टिव कर्व्स के परिवारों को उनके समरूपताओं के साथ वर्गीकृत करता है। जब g > 1, इस चित्ति को नई सीमा बिंदुओं को जोड़कर संकुचित किया जा सकता है जो स्थिर नोडल वक्रों (उनके समरूपताओं के साथ) के अनुरूप होता है। एक वक्र स्थिर होता है यदि इसमें केवल ऑटोमोर्फिज्म का परिमित समूह होता है। परिणामी चित्ति को दर्शाया गया है ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ . दोनों मोडुली चित्ति वक्रों के सार्वभौमिक परिवारों को ले जाते हैं। चिकने या स्थिर वक्रों के समरूपता वर्गों का प्रतिनिधित्व करने वाले मोटे मोडुली समष्टि को भी परिभाषित किया जा सकता है। मोडुली चित्ति की धारणा का आविष्कार करने से पहले इन मोटे मॉडुलि समष्टि का वास्तव में अध्ययन किया गया था। वास्तव में, मोडुली चित्ति के विचार का आविष्कार डेलिग्ने और ममफोर्ड द्वारा किया गया था ताकि मोटे मॉडुलि समष्टि की प्रोजेक्टिविटी को साबित करने का प्रयास किया जा सके। हाल के वर्षों में, यह स्पष्ट हो गया है कि वक्रों का चित्ति वास्तव में अधिक मौलिक वस्तु है।

ऊपर के दोनों चित्ति का आयाम 3g−3 है; इसलिए एक स्थिर नोडल वक्र को पूरी तरह से 3g−3 मापदंडों के मूल्यों को चुनकर निर्दिष्ट किया जा सकता है, जब g> 1. निचले प्रजाति में, किसी को ऑटोमोर्फिज्म के चिकने परिवारों की उपस्थिति के लिए उनकी संख्या घटाकर हिसाब देना चाहिए। प्रजाति ज़ीरो का बिल्कुल एक जटिल वक्र है, रीमैन स्फेयर, और इसके समरूपता का समूह पीजीएल (2) है। इसलिए, का आयाम ${\mathcal {M}}_{0}$ है

डिम (प्रजाति जीरो कर्व्स का समष्टि) - डिम (ऑटोमोर्फिज्म का समूह) = 0 - डिम (पीजीएल (2)) = -3।

इसी तरह, प्रजाति 1 में, वक्र का एक आयामी समष्टि है, लेकिन इस तरह के प्रत्येक वक्र में ऑटोमोर्फिज्म का एक आयामी समूह होता है। इसलिए, चित्ति ${\mathcal {M}}_{1}$ आयाम 0 है। जी > 1 होने पर स्थूल मॉडुलि समष्टि का आयाम 3g−3 होता है, क्योंकि प्रजाति g > 1 के साथ वक्र केवल एक परिमित समूह होता है, जैसे कि मंद (ऑटोमोर्फिज्म का एक समूह) = 0। आखिरकार, में प्रजाति ज़ीरो, मोटे मोडुलि समष्टि का डायमेंशन ज़ीरो है, और प्रजाति वन में इसका डायमेंशन वन है।

एन चिह्नित बिंदुओं के साथ प्रजाति जी नोडल कर्व्स के मोडुली चित्ति पर विचार करके भी समस्या को समृद्ध किया जा सकता है। इस तरह के चिह्नित वक्रों को स्थिर कहा जाता है यदि वक्र ऑटोमोर्फिज्म का उपसमूह जो चिह्नित बिंदुओं को ठीक करता है, परिमित है। एन-चिन्हित बिंदुओं के साथ चिकने (या स्थिर) प्रजाति जी कर्व्स के परिणामी मोडुली चित्ति को निरूपित किया जाता है ${\mathcal {M}}_{g,n}$ (या ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ ), और आयाम 3g − 3 + n है।

मॉड्यूली चित्ति विशेष रुचि का मामला है ${\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}$ एक चिह्नित बिंदु के साथ प्रजाति 1 वक्र है। यह अण्डाकार वक्रों का चित्ति है, और बहुत अध्ययन किए गए मॉड्यूलर रूपों का प्राकृतिक घर है, जो इस चित्ति पर भाग के मेरोमोर्फिक खंड हैं।

किस्मों का मोडुली

उच्च आयामों में, बीजगणितीय किस्मों के मॉड्यूल का निर्माण और अध्ययन करना अधिक कठिन होता है। उदाहरण के लिए, ऊपर चर्चित अण्डाकार वक्रों के मॉडुलि समष्टि का उच्च-आयामी एनालॉग एबेलियन किस्मों का मोडुली समष्टि है, जैसे कि सीगल मॉड्यूलर किस्म। यह सील मॉड्यूलर रूप थ्योरी की अंतर्निहित समस्या है। शिमुरा किस्म भी देखें।

न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम से उत्पन्न होने वाली तकनीकों का उपयोग करते हुए, जेनोस कोल्लार और निकोलस शेफर्ड-बैरन द्वारा सामान्य प्रकार की किस्मों के मोडुली समष्टि का निर्माण किया गया, जिसे अब केएसबी मोडुली समष्टि के रूप में जाना जाता है।^[4] डिफरेंशियल ज्योमेट्री और बाइरेशनल ज्योमेट्री से एक साथ उत्पन्न होने वाली तकनीकों का उपयोग करते हुए, फैनो किस्मों के मोडुली समष्टि का निर्माण फैनो किस्मों के के-स्थिरता के एक विशेष वर्ग तक सीमित करके हासिल किया गया है। के-स्थिर किस्में। इस सेटिंग में कौचर बिरकर द्वारा सिद्ध की गई फ़ानो किस्मों की सीमा के बारे में महत्वपूर्ण परिणामों का उपयोग किया जाता है, जिसके लिए उन्हें 2018 फील्ड मेडल से सम्मानित किया गया था।

कैलाबी-यौ किस्मों के मॉडुलि समष्टि का निर्माण एक महत्वपूर्ण खुली समस्या है, और केवल विशेष मामले जैसे कि K3 सतह या एबेलियन किस्मों के मोडुली समष्टि को समझा जाता है।^[5]

वेक्टर बंडलों का मॉड्यूल

एक अन्य महत्वपूर्ण मोडुली समस्या मोडुली चित्ति वेक्ट की ज्यामिति (विभिन्न सबस्टैक) को समझना है_n(X) एक निश्चित बीजगणितीय किस्म X पर रैंक n वेक्टर बंडलों का।^[6] इस चित्ति का सबसे अधिक अध्ययन तब किया गया है जब X एक-आयामी है, और विशेष रूप से जब n एक के बराबर है। इस मामले में, मोटे मोडुली समष्टि पिकार्ड योजना है, जो वक्रों के मोडुली समष्टि की तरह चित्ति का आविष्कार करने से पहले अध्ययन किया गया था। जब बंडलों की रैंक 1 और डिग्री शून्य होती है, मोटे मॉड्यूलि समष्टि का अध्ययन जैकोबियन किस्म का अध्ययन होता है।

भौतिकी के अनुप्रयोगों में, सदिश बंडलों के मापांकों की संख्या और फाइबर बंडलों के मापांकों की संख्या की निकटता से संबंधित समस्या। मुख्य जी-बंडलों को गेज सिद्धांत में महत्वपूर्ण पाया गया है।^{[citation needed]}

मॉड्युली समष्टि का आयतन

सरल जियोडेसिक्स और वील-पीटरसन वॉल्यूम्स ऑफ़ मोडुली स्पेसेस बॉर्डर वाली रीमैन सतहें।

मोडुली समष्टि बनाने की विधियाँ

मोडुली समस्याओं का आधुनिक सूत्रीकरण और मोडुली फंक्शनलर्स (या अधिक सामान्यतः ग्रुपोइड्स में रेशेदार श्रेणी) के संदर्भ में मोडुली समष्टि की परिभाषा, और समष्टि (लगभग) उनका प्रतिनिधित्व करते हुए, ग्रोथेंडिक (1960/61) में वापस आते हैं, जिसमें उन्होंने वर्णित किया एक उदाहरण के रूप में जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति में Teichmüller समष्टि का उपयोग करके सामान्य रूपरेखा, दृष्टिकोण और मुख्य समस्याएं। वार्ता, विशेष रूप से, मॉडुलि समष्टि के निर्माण की सामान्य विधि का वर्णन करती है, जो पहले विचाराधीन मोडुली समस्या को कठोर करती है।

अधिक सटीक रूप से, वर्गीकृत की जा रही वस्तुओं के गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज़्म का अस्तित्व एक ठीक मोडुली समष्टि को असंभव बना देता है। हालांकि, मूल वस्तुओं को अतिरिक्त डेटा के साथ वर्गीकृत करने की एक संशोधित मोडुली समस्या पर विचार करना प्रायः संभव होता है, इस तरह से चयन किया जाता है कि पहचान ही एकमात्र ऑटोमोर्फिज्म है जो अतिरिक्त डेटा का भी सम्मान करता है। कठोर डेटा के उपयुक्त विकल्प के साथ, संशोधित मोडुली समस्या में एक (ठीक) मोडुली समष्टि टी होगा, जिसे प्रायः एक उपयुक्त हिल्बर्ट स्कीम या कोट स्कीम की उपयोजना के रूप में वर्णित किया जाता है। कठोर डेटा को इसके अलावा चयन किया जाता है ताकि यह एक बीजगणितीय संरचना समूह G के साथ एक प्रमुख बंडल से अनुरूप हो। इस प्रकार कोई G की क्रिया द्वारा भागफल लेकर कठोर समस्या से मूल तक वापस जा सकता है, और मॉड्यूलि समष्टि के निर्माण की समस्या एक योजना (या अधिक सामान्य समष्टि) खोजने का बन जाता है जो (एक उपयुक्त मजबूत अर्थ में) जी की कार्रवाई से टी का भागफल टी/जी है। अंतिम समस्या, सामान्य रूप से, समाधान स्वीकार नहीं करती है; हालाँकि, इसे 1965 में डेविड ममफोर्ड द्वारा विकसित ग्राउंडब्रेकिंग ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत (GIT) द्वारा संबोधित किया गया है, जो दर्शाता है कि उपयुक्त परिस्थितियों में भागफल वास्तव में मौजूद है।

यह देखने के लिए कि यह कैसे काम कर सकता है, प्रजाति जी> 2 के सरल वक्र पैरामीट्रिजिंग की समस्या पर विचार करें। डिग्री डी> 2 जी की एक पूर्ण रैखिक प्रणाली के साथ एक सरल वक्र प्रक्षेपीय समष्‍टि 'पी' के बंद एक आयामी उप-योजना के बराबर है।^{डी−जी}. नतीजतन, चिकने वक्र और रैखिक प्रणालियों (कुछ मानदंडों को पूरा करने वाले) के मोडुली समष्टि को पर्याप्त उच्च-आयामी प्रक्षेपी समष्टि की हिल्बर्ट योजना में एम्बेड किया जा सकता है। हिल्बर्ट योजना में इस लोकस एच में पीजीएल (एन) की क्रिया है जो रैखिक प्रणाली के तत्वों को मिलाती है; नतीजतन, सरल वक्र के मॉड्युली समष्टि को प्रक्षेप्य सामान्य रैखिक समूह द्वारा H के भागफल के रूप में पुनर्प्राप्त किया जाता है।

एक अन्य सामान्य दृष्टिकोण मुख्य रूप से माइकल आर्टिन के साथ जुड़ा हुआ है। यहाँ विचार यह है कि जिस तरह की वस्तु को वर्गीकृत किया जाना है, उसके साथ प्रारंभ किया जाए और उसके विरूपण सिद्धांत का अध्ययन किया जाए। इसका अर्थ है कि पहले अतिसूक्ष्म विकृति का निर्माण करना, फिर 'पूर्व-प्रतिनिधित्व' प्रमेय को एक औपचारिक योजना आधार पर एक वस्तु में एक साथ रखने की अपील करना। इसके बाद, अलेक्जेंड्रे ग्रोथेंडिक के लिए एक अपील | ग्रोथेंडिक की ग्रोथेंडिक अस्तित्व प्रमेय एक आधार पर वांछित प्रकार की एक वस्तु प्रदान करती है जो एक पूर्ण स्थानीय रिंग है। इस वस्तु को आर्टिन के सन्निकटन प्रमेय के माध्यम से अनुमानित रूप से उत्पन्न वलय पर परिभाषित वस्तु द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। इस बाद वाली वलय की एक वलय के स्पेक्ट्रम को वांछित मोडुली समष्टि पर एक प्रकार का समन्वय चार्ट देने के रूप में देखा जा सकता है। इन चार्टों को पर्याप्त रूप से एक साथ जोड़कर, हम समष्टि को कवर कर सकते हैं, लेकिन हमारे स्पेक्ट्रा के मिलन से मॉड्यूलि समष्टि तक का नक्शा सामान्य रूप से एक से कई होगा। इसलिए, हम पूर्व पर एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करते हैं; अनिवार्य रूप से, दो बिंदु समतुल्य होते हैं यदि प्रत्येक के ऊपर की वस्तुएं समरूपी हों। यह एक योजना और एक तुल्यता संबंध देता है, जो एक बीजगणितीय समष्टि को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है (वास्तव में एक बीजगणितीय चित्ति अगर हम सावधान रहें) यदि हमेशा एक योजना नहीं है।

भौतिकी में

मॉडुलि समष्टि शब्द का प्रयोग कभी-कभी भौतिक विज्ञान में अदिश क्षेत्र के एक समुच्चय के वैक्यूम अपेक्षा मूल्यों के मोडुली समष्टि या संभावित स्ट्रिंग पृष्ठभूमि के मोडुली समष्टि के लिए विशेष रूप से संदर्भित करने के लिए किया जाता है।

मॉडुलि समष्टि भौतिकी में टोपोलॉजिकल क्षेत्र सिद्धांत में भी दिखाई देते हैं, जहां कोई विभिन्न बीजगणितीय मोडुली समष्टि के प्रतिच्छेदन संख्या की गणना करने के लिए फेनमैन पथ अभिन्न का उपयोग कर सकता है।

यह भी देखें

निर्माण उपकरण

हिल्बर्ट योजना
भाव योजना
विरूपण सिद्धांत
जीआईटी भागफल
आर्टिन की कसौटी, मोडुली फ़ैक्टरों से बीजगणितीय चित्ति के रूप में मोडुली समष्टि के निर्माण के लिए सामान्य मानदंड

मोडुली समष्टि

बीजगणितीय वक्रों का मापांक
अण्डाकार वक्रों का मोडुली चित्ति
फ़ानो किस्मों की के-स्थिरता| के-स्थिर फ़ानो किस्मों के मोडुली समष्टि
मॉड्यूलर वक्र
पिकार्ड फ़ैक्टर
कोट स्कीम# एक कर्व पर सेमीटेबल वेक्टर बंडल
Kontsevich समष्टि मॉड्यूल
सेमीस्टेबल शीशों का मोडुली

संदर्भ

↑ Chan, Melody. "Moduli Spaces of Curves: Classical and Tropical" (PDF). AMS.
↑ "Lemma 27.13.1 (01NE)—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2020-09-12.
↑ "algebraic geometry - What does projective space classify?". Mathematics Stack Exchange. Retrieved 2020-09-12.
↑ J. Kollar. Moduli of varieties of general type, Handbook of moduli. Vol. II, 2013, pp. 131–157.
↑ Huybrechts, D., 2016. Lectures on K3 surfaces (Vol. 158). Cambridge University Press.
↑ "वेक्टर बंडलों के बीजगणितीय ढेर और मोडुली" (PDF).{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

अनुसंधान लेख

मौलिक कागजात

Grothendieck, Alexander (1960–1961). "विश्लेषणात्मक ज्यामिति में निर्माण तकनीक। I. Teichmüller के स्थान और इसके प्रकारों का स्वयंसिद्ध विवरण।" (PDF). Séminaire Henri Cartan 13 No. 1, Exposés No. 7 and 8. Paris.

डेविड ममफोर्ड|ममफोर्ड, डेविड, ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत। गणित और उनके सीमावर्ती क्षेत्रों के परिणाम, नई श्रृंखला, वॉल्यूम 34 स्प्रिंगर-वर्लग, बर्लिन-न्यूयॉर्क 1965 vi+145 पीपी MR0214602
ममफोर्ड, डेविड; फोगार्टी, जे.; किरवान, एफ। ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत। तीसरा संस्करण। गणित और संबंधित क्षेत्रों में परिणाम (2) (गणित और संबंधित क्षेत्रों में परिणाम (2)), 34. स्प्रिंगर-वेरलाग, बर्लिन, 1994. xiv+292 पीपी। MR1304906 ISBN 3-540-56963-4

प्रारंभिक अनुप्रयोग

Deligne, Pierre; Mumford, David (1969). "दिए गए जीनस के वक्रों के स्थान की इर्रेड्यूबिलिटी" (PDF). Publications Mathématiques de l'IHÉS. 36: 75–109. CiteSeerX 10.1.1.589.288. doi:10.1007/bf02684599.
Faltings, Gerd; Chai, Ching-Li (1990). एबेलियन किस्मों का पतन. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 22. With an appendix by David Mumford. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02632-8. ISBN 978-3-540-52015-3. MR 1083353.
Katz, Nicholas M; Mazur, Barry (1985). अण्डाकार वक्रों का अंकगणितीय मोडुली. Annals of Mathematics Studies. Vol. 108. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08352-0. MR 0772569.

अन्य संदर्भ

पापड़ोपोलोस, अथानेसे, संस्करण। (2007), टेचमुलर सिद्धांत की पुस्तिका। वॉल्यूम। मैं, गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में आईआरएमए व्याख्यान, 11, यूरोपीय गणितीय सोसायटी (ईएमएस), ज्यूरिख, doi:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, MR2284826
पापड़ोपोलोस, अथानेसे, संस्करण। (2009), टेचमुलर थ्योरी की हैंडबुक। वॉल्यूम। द्वितीय, गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में आईआरएमए व्याख्यान, 13, यूरोपीय गणितीय सोसायटी (ईएमएस), ज्यूरिख, doi:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, MR2524085
पापड़ोपोलोस, अथानेसे, संस्करण। (2012), टेचमुलर थ्योरी की हैंडबुक। वॉल्यूम। III, गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में IRMA व्याख्यान, 17, यूरोपीय गणितीय सोसायटी (EMS), ज्यूरिख, doi:10.4171/103, ISBN 978-3-03719-103-3.

अन्य लेख और स्रोत

Harris, Joe; Morrison, Ian (1998). वक्रों का मोडुली. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 187. New York: Springer Verlag. doi:10.1007/b98867. ISBN 978-0-387-98429-2. MR 1631825.

Viehweg, Eckart (1995). पोलराइज़्ड मैनिफोल्ड्स के लिए क्वैसी-प्रोजेक्टिव मोडुली (PDF). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-59255-6.

Simpson, Carlos (1994). "एक चिकनी प्रोजेक्टिव विविधता I के मौलिक समूह के प्रतिनिधित्व के मॉड्यूली" (PDF). Publications Mathématiques de l'IHÉS. 79: 47–129. doi:10.1007/bf02698887.
मरयम मिर्जाखनी (2007) बॉर्डर वाली रीमैन सतहों के मोडुली समष्टि के सिंपल जियोडेसिक और वेल-पीटर्सन वॉल्यूम गणितीय खोजें

बाहरी संबंध

Lurie, J. (2011). "Moduli Problems for Ring Spectra". Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2010 (ICM 2010). pp. 1099–1125. doi:10.1142/9789814324359_0088.

[1] Chan, Melody. "Moduli Spaces of Curves: Classical and Tropical" (PDF). AMS.

[2] "Lemma 27.13.1 (01NE)—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2020-09-12.

[3] "algebraic geometry - What does projective space classify?". Mathematics Stack Exchange. Retrieved 2020-09-12.

[4] J. Kollar. Moduli of varieties of general type, Handbook of moduli. Vol. II, 2013, pp. 131–157.

[5] Huybrechts, D., 2016. Lectures on K3 surfaces (Vol. 158). Cambridge University Press.

[6] "वेक्टर बंडलों के बीजगणितीय ढेर और मोडुली" (PDF).{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

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 {{short description|Geometric space whose points represent algebro-geometric objects of some fixed kind}}
-गणित में, विशेष रूप से [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, एक  मॉड्युली समष्टि एक ज्यामितीय समष्टि सामान्य रूप से एक [[योजना (गणित)]] या एक बीजगणितीय चित्ति होता है, जिसके बिंदु कुछ निश्चित प्रकार के बीजगणितीय-ज्यामितीय वस्तुओं या ऐसी वस्तुओं के [[समरूपता वर्ग|समरूपता वर्गो]]  का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऐसे समष्टि प्रायः वर्गीकरण समस्याओं के समाधान के रूप में उत्पन्न होते हैं: यदि कोई यह दिखा सकता है कि रोचक वस्तुओं का संग्रह (उदाहरण के लिए, एक निश्चित प्रजाति के सरल बीजगणितीय वक्र) को एक ज्यामितीय समष्टि की संरचना दी जा सकती है, तो परिणामी समष्टि पर निर्देशांक प्रस्तुत करके ऐसी वस्तुओं को पैरामीट्रिज किया जा सकता है। इस संदर्भ में, मापांक शब्द का प्रयोग पैरामीटर के पर्याय के रूप में किया जाता है; मॉडुलि समष्टि को पहले वस्तुओं के समष्टि के अतिरिक्त मापदंडों के समष्टि के रूप में समझा गया था। मॉड्यूलि समष्टि का एक प्रकार [[औपचारिक मोडुली]] है। [[बर्नहार्ड रीमैन]] ने पहली बार 1857 में मोडुली शब्द का उपयोग किया था।<ref>{{cite web |last1=Chan |first1=Melody |title=Moduli Spaces of Curves: Classical and Tropical |url=https://www.ams.org/journals/notices/202110/rnoti-p1700.pdf |website=AMS}}</ref>
+गणित में, विशेष रूप से [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, एक  मॉड्युली समष्टि एक ज्यामितीय समष्टि सामान्य रूप से एक [[योजना (गणित)]] या एक बीजगणितीय चित्ति होता है, जिसके बिंदु कुछ निश्चित प्रकार के बीजगणितीय-ज्यामितीय वस्तुओं या ऐसी वस्तुओं के [[समरूपता वर्ग|समरूपता वर्गो]]  का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऐसे समष्टि प्रायः वर्गीकरण समस्याओं के समाधान के रूप में उत्पन्न होते हैं: यदि कोई यह दिखा सकता है कि रोचक वस्तुओं का समुच्चय (उदाहरण के लिए, एक निश्चित प्रजाति के सरल बीजगणितीय वक्र) को एक ज्यामितीय समष्टि की संरचना दी जा सकती है, तो परिणामी समष्टि पर निर्देशांक प्रस्तुत करके ऐसी वस्तुओं को पैरामीट्रिज किया जा सकता है। इस संदर्भ में, मापांक शब्द का प्रयोग पैरामीटर के पर्याय के रूप में किया जाता है; मॉडुलि समष्टि को पहले वस्तुओं के समष्टि के अतिरिक्त मापदंडों के समष्टि के रूप में समझा गया था। मॉड्यूलि समष्टि का एक प्रकार [[औपचारिक मोडुली]] है। [[बर्नहार्ड रीमैन]] ने पहली बार 1857 में मोडुली शब्द का उपयोग किया था।<ref>{{cite web |last1=Chan |first1=Melody |title=Moduli Spaces of Curves: Classical and Tropical |url=https://www.ams.org/journals/notices/202110/rnoti-p1700.pdf |website=AMS}}</ref>
 == प्रेरणा ==
-मॉड्यूलि रिक्त समष्टि ज्यामितीय वर्गीकरण समस्याओं के समाधान के समष्टि हैं। यही है, मॉड्यूलि समष्टि के अंक ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के अनुरूप हैं। यहां अलग-अलग समाधानों की पहचान की जाती है यदि वे आइसोमॉर्फिक हैं (अर्थात, ज्यामितीय रूप से समान)। मॉडुलि रिक्त समष्टि को समस्या के लिए मापदंडों का एक सार्वभौमिक समष्टि देने के बारे में सोचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, सर्वांगसमता तक यूक्लिडियन तल में सभी वृत्तों को खोजने की समस्या पर विचार करें। किसी भी वृत्त को तीन बिंदु देकर विशिष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है, लेकिन तीन बिंदुओं के कई अलग-अलग समुच्चय एक ही वृत्त देते हैं: पत्राचार कई-से-एक है। हालाँकि, मंडलियों को उनके केंद्र और त्रिज्या देकर विशिष्ट रूप से परिचालित किया जाता है: यह दो वास्तविक पैरामीटर और एक सकारात्मक वास्तविक पैरामीटर है। चूँकि हम केवल सर्वांगसमता तक के वृत्तों में रुचि रखते हैं, इसलिए हम ऐसे वृत्तों की पहचान करते हैं जिनके केंद्र अलग-अलग हों, लेकिन एक ही त्रिज्या हो, और इसलिए केवल त्रिज्या ही रुचि के समुच्चय को पैरामीटर करने के लिए पर्याप्त है। इसलिए मॉड्यूलि समष्टि धनात्मक वास्तविक संख्या है।
+मॉड्यूलि  समष्टि ज्यामितीय वर्गीकरण समस्याओं के समाधान के समष्टि हैं। अर्थात, मॉड्यूलि समष्टि के अंक ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के अनुरूप हैं। यहां अलग-अलग समाधानों की पहचान की जाती है यदि वे समरूपी हैं, अर्थात ज्यामितीय रूप से समान होते है। मॉडुलि समष्टि को समस्या के लिए मापदंडों का एक सार्वभौमिक समष्टि देने के बारे में सोचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन तल में सभी वृत्तों को सर्वांगसमता तक खोजने की समस्या पर विचार करें। किसी भी वृत्त को तीन बिंदु देकर विशिष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है, लेकिन तीन बिंदुओं के कई अलग-अलग समुच्चय एक ही वृत्त देते हैं अर्थात समानता एक से अनेक है। हालाँकि, वृत्तों को उनके केंद्र और त्रिज्या देकर विशिष्ट रूप से परिचालित किया जाता है, यह दो वास्तविक पैरामीटर और एक धनात्मक वास्तविक पैरामीटर है। चूँकि हम केवल सर्वांगसमता तक के वृत्तों में रुचि रखते हैं, इसलिए हम ऐसे वृत्तों की पहचान करते हैं जिनके केंद्र अलग-अलग हों, लेकिन एक ही त्रिज्या हो, और इसलिए केवल त्रिज्या ही भाग के समुच्चय को पैरामीटर करने के लिए पर्याप्त है। इसलिए मॉड्यूलि समष्टि धनात्मक वास्तविक संख्या है।
-मोडुली रिक्त समष्टि प्रायः प्राकृतिक ज्यामितीय और स्थलीय संरचनाओं को भी ले जाते हैं। मंडलियों के उदाहरण में, उदाहरण के लिए, मोडुली समष्टि केवल एक अमूर्त समुच्चय नहीं है, लेकिन रेडी के अंतर का पूर्ण मूल्य एक [[मीट्रिक (गणित)]] को परिभाषित करता है, यह निर्धारित करने के लिए कि दो सर्किल कब करीब हैं। मॉड्यूलि रिक्त समष्टि की ज्यामितीय संरचना स्थानीय रूप से हमें बताती है कि ज्यामितीय वर्गीकरण समस्या के दो समाधान करीब हैं, लेकिन आम तौर पर मोडुली रिक्त समष्टि में एक जटिल वैश्विक संरचना भी होती है।
+मोडुली समष्टि प्रायः प्राकृतिक ज्यामितीय और सांस्थितिकीय संरचनाओं को भी ले जाते हैं। वृत्तों के उदाहरण में, उदाहरण के लिए, मोडुली समष्टि केवल एक अमूर्त समुच्चय नहीं है, लेकिन त्रिज्या के अंतर का पूर्ण मूल्य एक [[मीट्रिक (गणित)|आव्यूह (गणित)]] को परिभाषित करता है, यह निर्धारित करने के लिए कि जब दो वृत्त समीप होते हैं। मॉड्यूलि  समष्टि की ज्यामितीय संरचना स्थानीय रूप से हमें बताती है कि ज्यामितीय वर्गीकरण समस्या के दो समाधान समीप हैं, लेकिन सामान्य रूप से मोडुली समष्टि में एक जटिल वैश्विक संरचना भी होती है।
-फ़ाइल: रियल प्रोजेक्टिव लाइन मोडुली समष्टि example.pdf|thumb|P का निर्माण<sup>1</sup>(R) 0 ≤ θ < π या S के भागफल समष्टि के रूप में भिन्न करके<sup>1</उप>।
+उदाहरण के लिए, विचार करें कि  '''R'''<sup>2</sup> में रेखाओं के समुच्चय का वर्णन कैसे किया जाए जो मूल बिंदु को प्रतिच्छेद करती है। हम इस वर्ग की प्रत्येक रेखा L को एक मात्रा निर्दिष्ट करना चाहते हैं जो विशिष्ट रूप से इसे एक मापांक की पहचान कर सके। ऐसी मात्रा का एक उदाहरण 0 ≤ θ < π रेडियन के साथ धनात्मक कोण θ(L) है। L रेखाओ का समुच्चय इसलिए पैरामीटर युक्त को '''P'''<sup>1</sup>('''R''') के रूप में जाना जाता है और इसे वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा कहा जाता है।
-उदाहरण के लिए, आर में लाइनों के संग्रह का वर्णन करने के तरीके पर विचार करें<sup>2</sup> जो मूल बिंदु को काटता है। हम इस परिवार की प्रत्येक पंक्ति L को एक मात्रा निर्दिष्ट करना चाहते हैं जो इसे विशिष्ट रूप से पहचान सके - एक मापांक। ऐसी मात्रा का एक उदाहरण 0 ≤ θ < π रेडियन के साथ सकारात्मक कोण θ(L) है। एल लाइनों का समुच्चय इसलिए पैरामीट्रिज्ड 'पी' के रूप में जाना जाता है<sup>1</sup>(R) और वास्तविक प्रक्षेपी रेखा कहलाती है।
+हम '''R'''<sup>2</sup> में रेखाओं के समुच्चय का भी वर्णन कर सकते हैं जो एक सांस्थितिकीय निर्माण के माध्यम से मूल को प्रतिच्छेद करता है। अतः  '''S'''<sup>1</sup> ⊂ '''R'''<sup>2</sup> पर विचार करने के लिए और ध्यान दें कि प्रत्येक बिंदु ''s'' ∈ '''S'''<sup>1</sup> समुच्चय में एक रेखा L(s) देता है जो मूल बिंदु और s को जोड़ता है। हालाँकि, यह नक्शा दो से एक है, इसलिए हम '''P'''<sup>1</sup>('''R''') ≅ '''S'''<sup>1</sup>/~ उत्पन्न करने के लिए s ~ −s की पहचान करना चाहते हैं, जहां इस समष्टि पर सांस्थिति भागफल मानचित्र '''S'''<sup>1</sup> → '''P'''<sup>1</sup>('''R''') द्वारा प्रेरित भागफल सांस्थिति है।
-हम R में रेखाओं के संग्रह का भी वर्णन कर सकते हैं<sup>2</sup> जो एक स्थलाकृतिक निर्माण के माध्यम से मूल को प्रतिच्छेद करता है। बुद्धि के लिए: एस पर विचार करें<sup>1</sup> ⊂ आर<sup>2</sup> और ध्यान दें कि प्रत्येक बिंदु ∈ 'S'<sup>1</sup> संग्रह में एक रेखा L(s) देता है (जो मूल और s को जोड़ता है)। हालाँकि, यह मानचित्र टू-टू-वन है, इसलिए हम 'P' प्राप्त करने के लिए s ~ −s की पहचान करना चाहते हैं<sup>1</sup>(आर) ≅ एस<sup>1</sup>/~ जहां इस समष्टि पर टोपोलॉजी भागफल मानचित्र S द्वारा प्रेरित [[भागफल टोपोलॉजी]] है<sup>1</sup> → पी<sup>1</sup>(आर).
+इस प्रकार, जब हम '''P'''<sup>1</sup>('''R''') पर विचार करते हैं, रेखाओं की मॉड्यूलि समष्टि के रूप में जो '''R'''<sup>2</sup> में मूल बिन्दु को प्रतिच्छेद करती है, हम उन तरीकों को अभिग्रहण करते हैं जिनमें वर्ग के इकाई (इस स्थिति में रेखा) 0 ≤ θ < π को निरंतर बदलते हुए संशोधित कर सकते हैं।
-इस प्रकार, जब हम पी पर विचार करते हैं<sup>1</sup>(R) रेखाओं की मॉड्यूलि समष्टि के रूप में जो आर में मूल को काटती है<sup>2</sup>, हम उन तरीकों को कैप्चर करते हैं जिनमें परिवार के सदस्य (इस मामले में पंक्तियां) 0 ≤ θ < π को निरंतर बदलते हुए संशोधित कर सकते हैं।
+== सामान्य उदाहरण ==
-== मूल उदाहरण ==
+===प्रक्षेपीय समष्‍टि और ग्रासमैनियन ===
+वास्तविक प्रक्षेपीय समष्‍टि '''P'''<sup>''n''</sup>  एक मोडुली समष्‍टि है जो '''R'''<sup>''n''+1</sup> में रेखाओ की स्थान को पैरामीट्रिज करता है जो मूल के माध्यम से गुजरता है। इसी प्रकार, जटिल प्रक्षेपीय समष्‍टि '''C'''<sup>''n''+1</sup>  में मूल बिन्दु के माध्यम से गुजरने वाली सभी जटिल रेखाओं का स्थान है।
-===प्रोजेक्टिव समष्टि और ग्रासमैनियन ===
+अधिक सामान्य रूप से, क्षेत्र F पर सदिश समष्टि V का [[ ग्रासमानियन ]] 'G'(k, V), V के सभी k-विमीय रैखिक उपसमष्टि का मॉडुलि समष्टि होता है।
-वास्तविक [[वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान]]<sup>n</sup> एक मोडुली समष्टि है जो 'R' में लाइनों के समष्टि को पैरामीट्रिज करता है<sup>n+1</sup> जो मूल बिंदु से होकर गुजरता है। इसी तरह, जटिल प्रक्षेपी समष्टि 'सी' में सभी जटिल रेखाओं का समष्टि है<sup>n+1</sup> मूल बिंदु से गुजर रहा है।
-अधिक आम तौर पर, फ़ील्ड F पर सदिश समष्टि V का [[ ग्रासमानियन ]] 'G'(k, V) V के सभी k-विमीय रैखिक उपसमष्टि का मॉडुलि समष्टि होता है।
+==== विश्व स्तर पर उत्पन्न वर्गों के साथ वृहत रेखा भाग के मॉड्यूल के रूप में प्रक्षेपीय समष्‍टि ====
+सार्वभौमिक प्रक्षेप्य समष्टि  <math>\mathbf{P}^n_\mathbb{Z}</math> में जब भी किसी योजना  <math>X</math> का अन्तः स्थापन होता है ,<ref>{{Cite web|title=Lemma 27.13.1 (01NE)—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/01NE|access-date=2020-09-12|website=stacks.math.columbia.edu}}</ref><ref>{{Cite web|title=algebraic geometry - What does projective space classify?|url=https://math.stackexchange.com/questions/296217/what-does-projective-space-classify|access-date=2020-09-12|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref> तो अन्तः स्थापन एक रेखा समूह  <math>\mathcal{L} \to X</math> द्वारा दी गई है, और <math>n+1</math> भाग <math>s_0,\ldots,s_n\in\Gamma(X,\mathcal{L})</math> जो सभी समान  समय में शून्य नहीं होते हैं। इसका तात्पर्य है, एक बिंदु  दिया गया है<blockquote>
+<math>x:\text{Spec}(R) \to X</math></blockquote>
+एक संबद्ध बिंदु है<blockquote><math>\hat{x}:\text{Spec}(R) \to \mathbf{P}^n_\mathbb{Z}</math></blockquote>रचनाओं द्वारा प्रदान किया गया<blockquote><math>[s_0:\cdots:s_n]\circ x = [s_0(x):\cdots:s_n(x)] \in \mathbf{P}^n_\mathbb{Z}(R) </math></blockquote>फिर, अनुभागों के साथ दो रेखा  बहुत ज़्यादा समतुल्य हैं<blockquote><math>(\mathcal{L},(s_0,\ldots,s_n))\sim (\mathcal{L}',(s_0',\ldots,s_n'))</math></blockquote>'''EDIT''' यदि कोई तुल्याकारिता है <math>\phi:\mathcal{L} \to \mathcal{L}'</math> ऐसा है कि <math>\phi(s_i) = s_i'</math>. इसका तात्पर्य है संबंधित मोडुली फ़ैक्टर <ब्लॉककोट>
-==== विश्व स्तर पर उत्पन्न वर्गों के साथ बहुत पर्याप्त लाइन बंडलों के मॉड्यूल के रूप में प्रोजेक्टिव समष्टि ====
+<math>\mathbf{P}^n_\mathbb{Z}:\text{Sch}\to \text{Sets}</math>स्कीम भेजता है <math>X</math> समुच्चय पर <ब्लॉककोट><math>\mathbf{P}^n_\mathbb{Z}(X) =\left\{
-जब भी किसी योजना का एम्बेडिंग होता है <math>X</math> सार्वभौमिक प्रक्षेप्य समष्टि में <math>\mathbf{P}^n_\mathbb{Z}</math>,<ref>{{Cite web|title=Lemma 27.13.1 (01NE)—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/01NE|access-date=2020-09-12|website=stacks.math.columbia.edu}}</ref><ref>{{Cite web|title=algebraic geometry - What does projective space classify?|url=https://math.stackexchange.com/questions/296217/what-does-projective-space-classify|access-date=2020-09-12|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref> एम्बेडिंग एक लाइन बंडल द्वारा दी गई है <math>\mathcal{L} \to X</math> और <math>n+1</math> धारा <math>s_0,\ldots,s_n\in\Gamma(X,\mathcal{L})</math> जो सभी एक ही समय में गायब नहीं होते हैं। इसका मतलब है, एक बिंदु <ब्लॉककोट> दिया गया है<math>x:\text{Spec}(R) \to X</math>एक संबद्ध बिंदु है<blockquote><math>\hat{x}:\text{Spec}(R) \to \mathbf{P}^n_\mathbb{Z}</math></blockquote>रचनाओं द्वारा दिया गया<blockquote><math>[s_0:\cdots:s_n]\circ x = [s_0(x):\cdots:s_n(x)] \in \mathbf{P}^n_\mathbb{Z}(R) </math></blockquote>फिर, अनुभागों के साथ दो लाइन बंडल समतुल्य हैं<blockquote><math>(\mathcal{L},(s_0,\ldots,s_n))\sim (\mathcal{L}',(s_0',\ldots,s_n'))</math></blockquote>यदि कोई तुल्याकारिता है <math>\phi:\mathcal{L} \to \mathcal{L}'</math> ऐसा है कि <math>\phi(s_i) = s_i'</math>. इसका मतलब है संबंधित मोडुली फ़ैक्टर <ब्लॉककोट><math>\mathbf{P}^n_\mathbb{Z}:\text{Sch}\to \text{Sets}</math>स्कीम भेजता है <math>X</math> समुच्चय पर <ब्लॉककोट><math>\mathbf{P}^n_\mathbb{Z}(X) =\left\{
 (\mathcal{L},s_0,\ldots,s_n) : \begin{matrix}
 \mathcal{L} \to X \text{ is a line bundle} \\
@@ Line 30: / Line 32: @@
 \text{ form a basis of global sections}
 \end{matrix}
-\right\} / \sim </math>यह दिखाना सत्य है जिसे पुनरुक्ति की एक श्रृंखला के माध्यम से चलाया जा सकता है: कोई भी प्रक्षेपी एम्बेडिंग <math>i:X \to \mathbb{P}^n_\mathbb{Z}</math> विश्व स्तर पर उत्पन्न शीफ देता है <math>i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_\mathbb{Z}}(1)</math> वर्गों के साथ <math>i^*x_0,\ldots,i^*x_n</math>. इसके विपरीत, एक पर्याप्त लाइन बंडल दिया गया <math>\mathcal{L} \to X</math> वैश्विक रूप से उत्पन्न <math>n+1</math> अनुभाग ऊपर के रूप में एक एम्बेडिंग देता है।
+\right\} / \sim </math>यह दिखाना सत्य है जिसे पुनरुक्ति की एक श्रृंखला के माध्यम से चलाया जा सकता है: कोई भी प्रक्षेपी अन्तः स्थापन <math>i:X \to \mathbb{P}^n_\mathbb{Z}</math> विश्व स्तर पर उत्पन्न शीफ देता है <math>i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_\mathbb{Z}}(1)</math> वर्गों के साथ <math>i^*x_0,\ldots,i^*x_n</math>. इसके विपरीत, एक पर्याप्त लाइन बंडल दिया गया <math>\mathcal{L} \to X</math> वैश्विक रूप से उत्पन्न <math>n+1</math> अनुभाग ऊपर के रूप में एक अन्तः स्थापन देता है।
 === चाउ किस्म ===
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 === [[हिल्बर्ट योजना]] ===
-हिल्बर्ट स्कीम हिल्ब(''X'') एक मोडुली स्कीम है। Hilb(''X'') का प्रत्येक बंद बिंदु एक निश्चित योजना ''X'' की एक बंद उपयोजना से अनुरूप है, और प्रत्येक बंद उपयोजना को ऐसे बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। हिल्बर्ट स्कीम का एक सरल उदाहरण है हिल्बर्ट स्कीम पैरामीटराइज़िंग डिग्री <math>d</math> प्रोजेक्टिव समष्टि की हाइपरसर्फफेस <math>\mathbb{P}^n</math>. यह प्रक्षेपी बंडल <ब्लॉककोट> द्वारा दिया गया है<math>\mathcal{Hilb}_d(\mathbb{P}^n) = \mathbb{P}(\Gamma(\mathcal{O}(d)))</math>सार्वभौमिक परिवार के साथ <blockquote> द्वारा दिया गया<math>\mathcal{U} = \{ (V(f), f) : f \in \Gamma(\mathcal{O}(d)) \}</math></blockquote>कहाँ <math>V(f)</math> डिग्री के लिए संबद्ध प्रक्षेप्य योजना है <math>d</math> सजातीय बहुपद <math>f</math>.
+हिल्बर्ट स्कीम हिल्ब(''X'') एक मोडुली स्कीम है। Hilb(''X'') का प्रत्येक बंद बिंदु एक निश्चित योजना ''X'' की एक बंद उपयोजना से अनुरूप है, और प्रत्येक बंद उपयोजना को ऐसे बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। हिल्बर्ट स्कीम का एक सरल उदाहरण है हिल्बर्ट स्कीम पैरामीटराइज़िंग डिग्री <math>d</math> प्रक्षेपीय समष्‍टि की हाइपरसर्फफेस <math>\mathbb{P}^n</math>. यह प्रक्षेपी बंडल <ब्लॉककोट> द्वारा दिया गया है<math>\mathcal{Hilb}_d(\mathbb{P}^n) = \mathbb{P}(\Gamma(\mathcal{O}(d)))</math>सार्वभौमिक परिवार के साथ <blockquote> द्वारा दिया गया<math>\mathcal{U} = \{ (V(f), f) : f \in \Gamma(\mathcal{O}(d)) \}</math></blockquote>कहाँ <math>V(f)</math> डिग्री के लिए संबद्ध प्रक्षेप्य योजना है <math>d</math> सजातीय बहुपद <math>f</math>.
 == परिभाषाएँ ==
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 दूसरे शब्दों में, एक फाइन मॉडुलि समष्टि में बेस समष्टि M और यूनिवर्सल फैमिली U → M दोनों शामिल होते हैं, जबकि मोटे मॉड्यूलि समष्टि में केवल बेस समष्टि M होता है।
-=== मोडुली चित्ति<!--'Moduli stack' redirects here-->===
+=== मोडुली चित्ति===
 प्रायः ऐसा होता है कि दिलचस्प ज्यामितीय वस्तुएं कई प्राकृतिक [[automorphism]] से सुसज्जित होती हैं। यह विशेष रूप से एक सूक्ष्म मोडुली समष्टि के अस्तित्व को असंभव बनाता है (सहजता से, विचार यह है कि यदि एल कुछ ज्यामितीय वस्तु है, तो तुच्छ परिवार L × [0,1] को सर्कल 'एस' पर एक मुड़ परिवार में बनाया जा सकता है।<sup>1</sup> एल × {0} को एल × {1} के साथ एक गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म के माध्यम से पहचान कर। अब यदि सूक्ष्म मॉडुलि समष्टि X अस्तित्व में है, तो मानचित्र 'S'<sup>1</sup> → X को स्थिर नहीं होना चाहिए, लेकिन तुच्छता से किसी भी उचित खुले समुच्चय पर स्थिर होना चाहिए), फिर भी कभी-कभी मोटे मोडुली समष्टि प्राप्त कर सकते हैं। हालांकि, यह दृष्टिकोण आदर्श नहीं है, क्योंकि ऐसे स्थानों के अस्तित्व की गारंटी नहीं है, जब वे मौजूद होते हैं तो वे प्रायः एकवचन होते हैं, और उन वस्तुओं के कुछ गैर-तुच्छ परिवारों के बारे में विवरण याद करते हैं जिन्हें वे वर्गीकृत करते हैं।
-समरूपताओं को याद करके वर्गीकरण को समृद्ध करने के लिए एक अधिक परिष्कृत दृष्टिकोण है। अधिक सटीक रूप से, किसी भी आधार पर बी बी पर परिवारों की श्रेणी पर विचार कर सकता है, जिसमें परिवारों के बीच केवल समरूपता के रूप में लिया जाता है। एक तब [[रेशेदार श्रेणी]] पर विचार करता है जो किसी भी समष्टि बी को बी से अधिक परिवारों के समूह को निर्दिष्ट करता है। मॉड्यूलि समस्या का वर्णन करने के लिए ग्रुपोइड्स में फाइबर की गई इन श्रेणियों का उपयोग ग्रोथेंडिक (1960/61) तक जाता है। सामान्य तौर पर, उन्हें योजनाओं या बीजगणितीय रिक्त समष्टि द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, लेकिन कई मामलों में, उनके पास बीजगणितीय चित्ति की प्राकृतिक संरचना होती है।
+समरूपताओं को याद करके वर्गीकरण को समृद्ध करने के लिए एक अधिक परिष्कृत दृष्टिकोण है। अधिक सटीक रूप से, किसी भी आधार पर बी बी पर परिवारों की श्रेणी पर विचार कर सकता है, जिसमें परिवारों के बीच केवल समरूपता के रूप में लिया जाता है। एक तब [[रेशेदार श्रेणी]] पर विचार करता है जो किसी भी समष्टि बी को बी से अधिक परिवारों के समूह को निर्दिष्ट करता है। मॉड्यूलि समस्या का वर्णन करने के लिए ग्रुपोइड्स में फाइबर की गई इन श्रेणियों का उपयोग ग्रोथेंडिक (1960/61) तक जाता है। सामान्य तौर पर, उन्हें योजनाओं या बीजगणितीय  समष्टि द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, लेकिन कई मामलों में, उनके पास बीजगणितीय चित्ति की प्राकृतिक संरचना होती है।
 Deligne-Mumford (1969) में बीजगणितीय चित्ति और मॉडुलि समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए उनका उपयोग एक दिए गए प्रजाति के बीजगणितीय वक्र के (मोटे) मोडुली की इरेड्यूसबिलिटी को साबित करने के लिए एक उपकरण के रूप में दिखाई दिया। बीजगणितीय चित्ति की भाषा अनिवार्य रूप से रेशेदार श्रेणी को देखने के लिए एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करती है जो एक समष्टि के रूप में मोडुली समस्या का गठन करती है, और 'मॉड्यूली चित्ति'<!--boldface per WP:R#PLA--> कई मॉडुलि समस्याओं में से अधिकांश संबंधित मोटे मॉडुलि समष्टि की तुलना में बेहतर व्यवहार (जैसे सरल) है।
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 {{details|Moduli of algebraic curves}}
-मोडुली चित्ति <math>\mathcal{M}_{g}</math> प्रजाति जी के चिकने प्रोजेक्टिव कर्व्स के परिवारों को उनके समरूपताओं के साथ वर्गीकृत करता है। जब g > 1, इस चित्ति को नई सीमा बिंदुओं को जोड़कर संकुचित किया जा सकता है जो स्थिर नोडल वक्रों (उनके समरूपताओं के साथ) के अनुरूप होता है। एक वक्र स्थिर होता है यदि इसमें केवल ऑटोमोर्फिज्म का परिमित समूह होता है। परिणामी चित्ति को दर्शाया गया है <math>\overline{\mathcal{M}}_{g}</math>. दोनों मोडुली चित्ति वक्रों के सार्वभौमिक परिवारों को ले जाते हैं। चिकने या स्थिर वक्रों के समरूपता वर्गों का प्रतिनिधित्व करने वाले मोटे मोडुली रिक्त समष्टि को भी परिभाषित किया जा सकता है। मोडुली चित्ति की धारणा का आविष्कार करने से पहले इन मोटे मॉडुलि रिक्त समष्टि का वास्तव में अध्ययन किया गया था। वास्तव में, मोडुली चित्ति के विचार का आविष्कार डेलिग्ने और ममफोर्ड द्वारा किया गया था ताकि मोटे मॉडुलि रिक्त समष्टि की प्रोजेक्टिविटी को साबित करने का प्रयास किया जा सके। हाल के वर्षों में, यह स्पष्ट हो गया है कि वक्रों का चित्ति वास्तव में अधिक मौलिक वस्तु है।
+मोडुली चित्ति <math>\mathcal{M}_{g}</math> प्रजाति जी के चिकने प्रोजेक्टिव कर्व्स के परिवारों को उनके समरूपताओं के साथ वर्गीकृत करता है। जब g > 1, इस चित्ति को नई सीमा बिंदुओं को जोड़कर संकुचित किया जा सकता है जो स्थिर नोडल वक्रों (उनके समरूपताओं के साथ) के अनुरूप होता है। एक वक्र स्थिर होता है यदि इसमें केवल ऑटोमोर्फिज्म का परिमित समूह होता है। परिणामी चित्ति को दर्शाया गया है <math>\overline{\mathcal{M}}_{g}</math>. दोनों मोडुली चित्ति वक्रों के सार्वभौमिक परिवारों को ले जाते हैं। चिकने या स्थिर वक्रों के समरूपता वर्गों का प्रतिनिधित्व करने वाले मोटे मोडुली  समष्टि को भी परिभाषित किया जा सकता है। मोडुली चित्ति की धारणा का आविष्कार करने से पहले इन मोटे मॉडुलि  समष्टि का वास्तव में अध्ययन किया गया था। वास्तव में, मोडुली चित्ति के विचार का आविष्कार डेलिग्ने और ममफोर्ड द्वारा किया गया था ताकि मोटे मॉडुलि  समष्टि की प्रोजेक्टिविटी को साबित करने का प्रयास किया जा सके। हाल के वर्षों में, यह स्पष्ट हो गया है कि वक्रों का चित्ति वास्तव में अधिक मौलिक वस्तु है।
 ऊपर के दोनों चित्ति का आयाम 3g−3 है; इसलिए एक स्थिर नोडल वक्र को पूरी तरह से 3g−3 मापदंडों के मूल्यों को चुनकर निर्दिष्ट किया जा सकता है, जब g> 1. निचले प्रजाति में, किसी को ऑटोमोर्फिज्म के चिकने परिवारों की उपस्थिति के लिए उनकी संख्या घटाकर हिसाब देना चाहिए। प्रजाति ज़ीरो का बिल्कुल एक जटिल वक्र है, रीमैन स्फेयर, और इसके समरूपता का समूह पीजीएल (2) है। इसलिए, का आयाम <math>\mathcal{M}_0</math> है
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 : डिम (प्रजाति जीरो कर्व्स का समष्टि) - डिम (ऑटोमोर्फिज्म का समूह) = 0 - डिम (पीजीएल (2)) = -3।
-इसी तरह, प्रजाति 1 में, वक्र का एक आयामी समष्टि है, लेकिन इस तरह के प्रत्येक वक्र में ऑटोमोर्फिज्म का एक आयामी समूह होता है। इसलिए, चित्ति <math>\mathcal{M}_1</math> आयाम 0 है। जी > 1 होने पर स्थूल मॉडुलि रिक्त समष्टि का आयाम 3g−3 होता है, क्योंकि प्रजाति g > 1 के साथ वक्र केवल एक परिमित समूह होता है, जैसे कि मंद (ऑटोमोर्फिज्म का एक समूह) = 0। आखिरकार, में प्रजाति ज़ीरो, मोटे मोडुलि समष्टि का डायमेंशन ज़ीरो है, और प्रजाति वन में इसका डायमेंशन वन है।
+इसी तरह, प्रजाति 1 में, वक्र का एक आयामी समष्टि है, लेकिन इस तरह के प्रत्येक वक्र में ऑटोमोर्फिज्म का एक आयामी समूह होता है। इसलिए, चित्ति <math>\mathcal{M}_1</math> आयाम 0 है। जी > 1 होने पर स्थूल मॉडुलि  समष्टि का आयाम 3g−3 होता है, क्योंकि प्रजाति g > 1 के साथ वक्र केवल एक परिमित समूह होता है, जैसे कि मंद (ऑटोमोर्फिज्म का एक समूह) = 0। आखिरकार, में प्रजाति ज़ीरो, मोटे मोडुलि समष्टि का डायमेंशन ज़ीरो है, और प्रजाति वन में इसका डायमेंशन वन है।
 एन चिह्नित बिंदुओं के साथ प्रजाति जी नोडल कर्व्स के मोडुली चित्ति पर विचार करके भी समस्या को समृद्ध किया जा सकता है। इस तरह के चिह्नित वक्रों को स्थिर कहा जाता है यदि वक्र ऑटोमोर्फिज्म का उपसमूह जो चिह्नित बिंदुओं को ठीक करता है, परिमित है। एन-चिन्हित बिंदुओं के साथ चिकने (या स्थिर) प्रजाति जी कर्व्स के परिणामी मोडुली चित्ति को निरूपित किया जाता है <math>\mathcal{M}_{g,n}</math> (या <math>\overline{\mathcal{M}}_{g,n}</math>), और आयाम 3g − 3 + n है।
-मॉड्यूली चित्ति विशेष रुचि का मामला है <math>\overline{\mathcal{M}}_{1,1}</math> एक चिह्नित बिंदु के साथ प्रजाति 1 वक्र है। यह [[अण्डाकार वक्र]]ों का चित्ति है, और बहुत अध्ययन किए गए [[मॉड्यूलर रूप]]ों का प्राकृतिक घर है, जो इस चित्ति पर बंडलों के मेरोमोर्फिक खंड हैं।
+मॉड्यूली चित्ति विशेष रुचि का मामला है <math>\overline{\mathcal{M}}_{1,1}</math> एक चिह्नित बिंदु के साथ प्रजाति 1 वक्र है। यह [[अण्डाकार वक्र]]ों का चित्ति है, और बहुत अध्ययन किए गए [[मॉड्यूलर रूप]]ों का प्राकृतिक घर है, जो इस चित्ति पर भाग के मेरोमोर्फिक खंड हैं।
 ===किस्मों का मोडुली===
 उच्च आयामों में, बीजगणितीय किस्मों के मॉड्यूल का निर्माण और अध्ययन करना अधिक कठिन होता है। उदाहरण के लिए, ऊपर चर्चित अण्डाकार वक्रों के मॉडुलि समष्टि का उच्च-आयामी एनालॉग एबेलियन किस्मों का मोडुली समष्टि है, जैसे कि [[सीगल मॉड्यूलर किस्म]]। यह [[सील मॉड्यूलर रूप]] थ्योरी की अंतर्निहित समस्या है। [[शिमुरा किस्म]] भी देखें।
-न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम से उत्पन्न होने वाली तकनीकों का उपयोग करते हुए, जेनोस कोल्लार और [[निकोलस शेफर्ड-बैरन]] द्वारा सामान्य प्रकार की किस्मों के मोडुली रिक्त समष्टि का निर्माण किया गया, जिसे अब केएसबी मोडुली समष्टि के रूप में जाना जाता है।<ref>J. Kollar. Moduli of varieties of general type, Handbook of moduli. Vol. II, 2013, pp. 131–157.</ref>
+न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम से उत्पन्न होने वाली तकनीकों का उपयोग करते हुए, जेनोस कोल्लार और [[निकोलस शेफर्ड-बैरन]] द्वारा सामान्य प्रकार की किस्मों के मोडुली  समष्टि का निर्माण किया गया, जिसे अब केएसबी मोडुली समष्टि के रूप में जाना जाता है।<ref>J. Kollar. Moduli of varieties of general type, Handbook of moduli. Vol. II, 2013, pp. 131–157.</ref>
 डिफरेंशियल ज्योमेट्री और बाइरेशनल ज्योमेट्री से एक साथ उत्पन्न होने वाली तकनीकों का उपयोग करते हुए, फैनो किस्मों के मोडुली समष्टि का निर्माण फैनो किस्मों के के-स्थिरता के एक विशेष वर्ग तक सीमित करके हासिल किया गया है। के-स्थिर किस्में। इस सेटिंग में [[ कौचर बिरकर ]] द्वारा सिद्ध की गई फ़ानो किस्मों की सीमा के बारे में महत्वपूर्ण परिणामों का उपयोग किया जाता है, जिसके लिए उन्हें 2018 [[ फील्ड मेडल ]] से सम्मानित किया गया था।
-कैलाबी-यौ किस्मों के मॉडुलि रिक्त समष्टि का निर्माण एक महत्वपूर्ण खुली समस्या है, और केवल विशेष मामले जैसे कि [[K3 सतह]] या एबेलियन किस्मों के मोडुली रिक्त समष्टि को समझा जाता है।<ref>Huybrechts, D., 2016. ''Lectures on K3 surfaces'' (Vol. 158). Cambridge University Press.</ref>
+कैलाबी-यौ किस्मों के मॉडुलि  समष्टि का निर्माण एक महत्वपूर्ण खुली समस्या है, और केवल विशेष मामले जैसे कि [[K3 सतह]] या एबेलियन किस्मों के मोडुली  समष्टि को समझा जाता है।<ref>Huybrechts, D., 2016. ''Lectures on K3 surfaces'' (Vol. 158). Cambridge University Press.</ref>
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 == मोडुली समष्टि बनाने की विधियाँ ==
-मोडुली समस्याओं का आधुनिक सूत्रीकरण और मोडुली फंक्शनलर्स (या अधिक सामान्यतः ग्रुपोइड्स में रेशेदार श्रेणी) के संदर्भ में मोडुली समष्टि की परिभाषा, और रिक्त समष्टि (लगभग) उनका प्रतिनिधित्व करते हुए, ग्रोथेंडिक (1960/61) में वापस आते हैं, जिसमें उन्होंने वर्णित किया एक उदाहरण के रूप में जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति में Teichmüller रिक्त समष्टि का उपयोग करके सामान्य रूपरेखा, दृष्टिकोण और मुख्य समस्याएं। वार्ता, विशेष रूप से, मॉडुलि रिक्त समष्टि के निर्माण की सामान्य विधि का वर्णन करती है, जो पहले विचाराधीन मोडुली समस्या को कठोर करती है।
+मोडुली समस्याओं का आधुनिक सूत्रीकरण और मोडुली फंक्शनलर्स (या अधिक सामान्यतः ग्रुपोइड्स में रेशेदार श्रेणी) के संदर्भ में मोडुली समष्टि की परिभाषा, और  समष्टि (लगभग) उनका प्रतिनिधित्व करते हुए, ग्रोथेंडिक (1960/61) में वापस आते हैं, जिसमें उन्होंने वर्णित किया एक उदाहरण के रूप में जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति में Teichmüller  समष्टि का उपयोग करके सामान्य रूपरेखा, दृष्टिकोण और मुख्य समस्याएं। वार्ता, विशेष रूप से, मॉडुलि  समष्टि के निर्माण की सामान्य विधि का वर्णन करती है, जो पहले विचाराधीन मोडुली समस्या को कठोर करती है।
 अधिक सटीक रूप से, वर्गीकृत की जा रही वस्तुओं के गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज़्म का अस्तित्व एक ठीक मोडुली समष्टि को असंभव बना देता है। हालांकि, मूल वस्तुओं को अतिरिक्त डेटा के साथ वर्गीकृत करने की एक संशोधित मोडुली समस्या पर विचार करना प्रायः संभव होता है, इस तरह से चयन किया जाता है कि पहचान ही एकमात्र ऑटोमोर्फिज्म है जो अतिरिक्त डेटा का भी सम्मान करता है। कठोर डेटा के उपयुक्त विकल्प के साथ, संशोधित मोडुली समस्या में एक (ठीक) मोडुली समष्टि टी होगा, जिसे प्रायः एक उपयुक्त हिल्बर्ट स्कीम या कोट स्कीम की उपयोजना के रूप में वर्णित किया जाता है। कठोर डेटा को इसके अलावा चयन किया जाता है ताकि यह एक बीजगणितीय संरचना समूह G के साथ एक प्रमुख बंडल से अनुरूप हो। इस प्रकार कोई G की क्रिया द्वारा भागफल लेकर कठोर समस्या से मूल तक वापस जा सकता है, और मॉड्यूलि समष्टि के निर्माण की समस्या एक योजना (या अधिक सामान्य समष्टि) खोजने का बन जाता है जो (एक उपयुक्त मजबूत अर्थ में) जी की कार्रवाई से टी का भागफल टी/जी है। अंतिम समस्या, सामान्य रूप से, समाधान स्वीकार नहीं करती है; हालाँकि, इसे 1965 में [[डेविड ममफोर्ड]] द्वारा विकसित ग्राउंडब्रेकिंग [[ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत]] (GIT) द्वारा संबोधित किया गया है, जो दर्शाता है कि उपयुक्त परिस्थितियों में भागफल वास्तव में मौजूद है।
-यह देखने के लिए कि यह कैसे काम कर सकता है, प्रजाति जी> 2 के सरल वक्र पैरामीट्रिजिंग की समस्या पर विचार करें। डिग्री डी> 2 जी की एक [[पूर्ण रैखिक प्रणाली]] के साथ एक सरल वक्र प्रोजेक्टिव समष्टि 'पी' के बंद एक आयामी उप-योजना के बराबर है।<sup>डी−जी</sup>. नतीजतन, चिकने वक्र और रैखिक प्रणालियों (कुछ मानदंडों को पूरा करने वाले) के मोडुली समष्टि को पर्याप्त उच्च-आयामी प्रक्षेपी समष्टि की हिल्बर्ट योजना में एम्बेड किया जा सकता है। हिल्बर्ट योजना में इस लोकस एच में पीजीएल (एन) की क्रिया है जो रैखिक प्रणाली के तत्वों को मिलाती है; नतीजतन, सरल वक्र के  मॉड्युली समष्टि को प्रक्षेप्य सामान्य रैखिक समूह द्वारा H के भागफल के रूप में पुनर्प्राप्त किया जाता है।
+यह देखने के लिए कि यह कैसे काम कर सकता है, प्रजाति जी> 2 के सरल वक्र पैरामीट्रिजिंग की समस्या पर विचार करें। डिग्री डी> 2 जी की एक [[पूर्ण रैखिक प्रणाली]] के साथ एक सरल वक्र प्रक्षेपीय समष्‍टि 'पी' के बंद एक आयामी उप-योजना के बराबर है।<sup>डी−जी</sup>. नतीजतन, चिकने वक्र और रैखिक प्रणालियों (कुछ मानदंडों को पूरा करने वाले) के मोडुली समष्टि को पर्याप्त उच्च-आयामी प्रक्षेपी समष्टि की हिल्बर्ट योजना में एम्बेड किया जा सकता है। हिल्बर्ट योजना में इस लोकस एच में पीजीएल (एन) की क्रिया है जो रैखिक प्रणाली के तत्वों को मिलाती है; नतीजतन, सरल वक्र के  मॉड्युली समष्टि को प्रक्षेप्य सामान्य रैखिक समूह द्वारा H के भागफल के रूप में पुनर्प्राप्त किया जाता है।
-एक अन्य सामान्य दृष्टिकोण मुख्य रूप से [[माइकल आर्टिन]] के साथ जुड़ा हुआ है। यहाँ विचार यह है कि जिस तरह की वस्तु को वर्गीकृत किया जाना है, उसके साथ प्रारंभ किया जाए और उसके [[विरूपण सिद्धांत]] का अध्ययन किया जाए। इसका अर्थ है कि पहले अतिसूक्ष्म विकृति का निर्माण करना, फिर 'पूर्व-प्रतिनिधित्व' प्रमेय को एक [[औपचारिक योजना]] आधार पर एक वस्तु में एक साथ रखने की अपील करना। इसके बाद, अलेक्जेंड्रे ग्रोथेंडिक के लिए एक अपील | ग्रोथेंडिक की [[ग्रोथेंडिक अस्तित्व प्रमेय]] एक आधार पर वांछित प्रकार की एक वस्तु प्रदान करती है जो एक पूर्ण स्थानीय रिंग है। इस वस्तु को आर्टिन के सन्निकटन प्रमेय के माध्यम से अनुमानित रूप से उत्पन्न वलय पर परिभाषित वस्तु द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। इस बाद वाली वलय की एक वलय के स्पेक्ट्रम को वांछित मोडुली समष्टि पर एक प्रकार का समन्वय चार्ट देने के रूप में देखा जा सकता है। इन चार्टों को पर्याप्त रूप से एक साथ जोड़कर, हम समष्टि को कवर कर सकते हैं, लेकिन हमारे स्पेक्ट्रा के मिलन से मॉड्यूलि समष्टि तक का नक्शा सामान्य रूप से एक से कई होगा। इसलिए, हम पूर्व पर एक [[तुल्यता संबंध]] को परिभाषित करते हैं; अनिवार्य रूप से, दो बिंदु समतुल्य होते हैं यदि प्रत्येक के ऊपर की वस्तुएं आइसोमॉर्फिक हों। यह एक योजना और एक तुल्यता संबंध देता है, जो एक बीजगणितीय समष्टि को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है (वास्तव में एक बीजगणितीय चित्ति अगर हम सावधान रहें) यदि हमेशा एक योजना नहीं है।
+एक अन्य सामान्य दृष्टिकोण मुख्य रूप से [[माइकल आर्टिन]] के साथ जुड़ा हुआ है। यहाँ विचार यह है कि जिस तरह की वस्तु को वर्गीकृत किया जाना है, उसके साथ प्रारंभ किया जाए और उसके [[विरूपण सिद्धांत]] का अध्ययन किया जाए। इसका अर्थ है कि पहले अतिसूक्ष्म विकृति का निर्माण करना, फिर 'पूर्व-प्रतिनिधित्व' प्रमेय को एक [[औपचारिक योजना]] आधार पर एक वस्तु में एक साथ रखने की अपील करना। इसके बाद, अलेक्जेंड्रे ग्रोथेंडिक के लिए एक अपील | ग्रोथेंडिक की [[ग्रोथेंडिक अस्तित्व प्रमेय]] एक आधार पर वांछित प्रकार की एक वस्तु प्रदान करती है जो एक पूर्ण स्थानीय रिंग है। इस वस्तु को आर्टिन के सन्निकटन प्रमेय के माध्यम से अनुमानित रूप से उत्पन्न वलय पर परिभाषित वस्तु द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। इस बाद वाली वलय की एक वलय के स्पेक्ट्रम को वांछित मोडुली समष्टि पर एक प्रकार का समन्वय चार्ट देने के रूप में देखा जा सकता है। इन चार्टों को पर्याप्त रूप से एक साथ जोड़कर, हम समष्टि को कवर कर सकते हैं, लेकिन हमारे स्पेक्ट्रा के मिलन से मॉड्यूलि समष्टि तक का नक्शा सामान्य रूप से एक से कई होगा। इसलिए, हम पूर्व पर एक [[तुल्यता संबंध]] को परिभाषित करते हैं; अनिवार्य रूप से, दो बिंदु समतुल्य होते हैं यदि प्रत्येक के ऊपर की वस्तुएं समरूपी हों। यह एक योजना और एक तुल्यता संबंध देता है, जो एक बीजगणितीय समष्टि को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है (वास्तव में एक बीजगणितीय चित्ति अगर हम सावधान रहें) यदि हमेशा एक योजना नहीं है।
 == भौतिकी में ==
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 मॉडुलि समष्टि शब्द का प्रयोग कभी-कभी भौतिक विज्ञान में [[अदिश क्षेत्र]] के एक समुच्चय के वैक्यूम अपेक्षा मूल्यों के मोडुली समष्टि या संभावित [[स्ट्रिंग पृष्ठभूमि]] के मोडुली समष्टि के लिए विशेष रूप से संदर्भित करने के लिए किया जाता है।
-मॉडुलि रिक्त समष्टि भौतिकी में [[टोपोलॉजिकल क्षेत्र सिद्धांत]] में भी दिखाई देते हैं, जहां कोई विभिन्न बीजगणितीय मोडुली समष्टि के प्रतिच्छेदन संख्या की गणना करने के लिए [[ फेनमैन पथ अभिन्न ]] का उपयोग कर सकता है।
+मॉडुलि  समष्टि भौतिकी में [[टोपोलॉजिकल क्षेत्र सिद्धांत]] में भी दिखाई देते हैं, जहां कोई विभिन्न बीजगणितीय मोडुली समष्टि के प्रतिच्छेदन संख्या की गणना करने के लिए [[ फेनमैन पथ अभिन्न ]] का उपयोग कर सकता है।
 == यह भी देखें ==
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 * विरूपण सिद्धांत
 * [[जीआईटी भागफल]]
-*आर्टिन की कसौटी, मोडुली फ़ैक्टरों से बीजगणितीय चित्ति के रूप में मोडुली रिक्त समष्टि के निर्माण के लिए सामान्य मानदंड
+*आर्टिन की कसौटी, मोडुली फ़ैक्टरों से बीजगणितीय चित्ति के रूप में मोडुली  समष्टि के निर्माण के लिए सामान्य मानदंड
 === मोडुली समष्टि ===

v t e String theory
Background	Strings Cosmic strings History of string theory First superstring revolution Second superstring revolution String theory landscape
Theory	Nambu–Goto action Polyakov action Bosonic string theory Superstring theory Type I string Type II string Type IIA string Type IIB string Heterotic string N=2 superstring F-theory String field theory Matrix string theory Non-critical string theory Non-linear sigma model Tachyon condensation RNS formalism GS formalism
String duality	T-duality S-duality U-duality Montonen–Olive duality
Particles and fields	Graviton Dilaton Tachyon Ramond–Ramond field Kalb–Ramond field Magnetic monopole Dual graviton Dual photon
Branes	D-brane NS5-brane M2-brane M5-brane S-brane Black brane Black holes Black string Brane cosmology Quiver diagram Hanany–Witten transition
Conformal field theory	Virasoro algebra Mirror symmetry Conformal anomaly Conformal algebra Superconformal algebra Vertex operator algebra Loop algebra Kac–Moody algebra Wess–Zumino–Witten model
Gauge theory	Anomalies Instantons Chern–Simons form Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound Exceptional Lie groups (G₂, F₄, E₆, E₇, E₈) ADE classification Dirac string p-form electrodynamics
Geometry	Worldsheet Kaluza–Klein theory Compactification Why 10 dimensions? Kähler manifold Ricci-flat manifold Calabi–Yau manifold Hyperkähler manifold K3 surface G₂ manifold Spin(7)-manifold Generalized complex manifold Orbifold Conifold Orientifold Moduli space Hořava–Witten theory K-theory (physics) Twisted K-theory
Supersymmetry	Supergravity Superspace Lie superalgebra Lie supergroup
Holography	Holographic principle AdS/CFT correspondence
M-theory	Matrix theory Introduction to M-theory
String theorists	Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Cleaver Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Dvali Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey 't Hooft Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach

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