बिंदु से समतल की दूरी

यूक्लिडियन स्पेस में, समतल से एक बिंदु की दूरी समतल पर दिए गए बिंदु और उसके ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के बीच की दूरी है, जो समतल पर निकटतम बिंदु के लिए लंबवत दूरी है।

यह उन चरों के परिवर्तन से शुरू किया जा सकता है जो मूल को दिए गए बिंदु के साथ मेल खाने के लिए ले जाते हैं, फिर स्थानांतरित समतल पर बिंदु को ढूंढते हुए $ax+by+cz=d$ जो मूल के सबसे निकट है। परिणामी बिंदु में कार्टेशियन निर्देशांक $(x,y,z)$ हैं:

$\displaystyle x={\frac {ad}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle z={\frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$.

मूल और बिंदु $(x,y,z)$ के बीच की दूरी ${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ है।

सामान्य समस्या को मूल समस्या से दूरी में परिवर्तित करना

मान लीजिए कि हम समतल पर बिंदु $X_{0},Y_{0},Z_{0}$ के निकटतम बिंदु को अन्वेषण करना चाहते हैं, जहाँ तल को $aX+bY+cZ=D$ द्वारा दिया गया है। हम $x=X-X_{0}$, को परिभाषित करते हैं। $y=Y-Y_{0}$, $z=Z-Z_{0}$, और $d=D-aX_{0}-bY_{0}-cZ_{0}$, $ax+by+cz=d$ को समतल के रूप में प्राप्त करने के लिए परिवर्तित चरों के रूप में व्यक्त किया गया। अब समस्या इस तल पर मूल बिंदु के निकटतम बिंदु और मूल बिंदु से इसकी दूरी को अन्वेषण करने की हो गई है। मूल निर्देशांक के संदर्भ में समतल पर बिंदु इस बिंदु से $x$ और $X$ के बीच, $y$ और $Y$ के बीच, और $z$ और $Z$ के बीच उपरोक्त संबंधों का उपयोग करके पाया जा सकता है; मूल निर्देशांकों के संदर्भ में दूरी वही है जो संशोधित निर्देशांकों के संदर्भ में दूरी है।

रैखिक बीजगणित का प्रयोग करते हुए पुनर्कथन

मूल के निकटतम बिंदु के सूत्र को रैखिक बीजगणित से संकेतन का उपयोग करके अधिक संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है। समतल की परिभाषा में व्यंजक $ax+by+cz$ डॉट गुणनफल $(a,b,c)\cdot (x,y,z)$ है, और व्यंजक $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ दिख रहा है समाधान में वर्ग मानदंड है | $|(a,b,c)|^{2}$ इस प्रकार, यदि $\mathbf {v} =(a,b,c)$ दिया हुआ सदिश है, तो समतल को सदिशों के समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसके लिए $\mathbf {w}$ $\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =d$ और पर निकटतम बिंदु मूल के लिए यह समतल सदिश है

$\mathbf {p} ={\frac {\mathbf {v} d}{|\mathbf {v} |^{2}}}$.

मूल बिंदु से तल तक की यूक्लिडियन दूरी इस बिंदु का मानक है,

${\frac {|d|}{|\mathbf {v} |}}={\frac {|d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.

यह निकटतम बिंदु क्यों है

या तो समन्वय या सदिश योगों में, एक बिंदु को समतल के समीकरण में प्लग करके, यह सत्यापित किया जा सकता है कि दिया गया बिंदु किसी दिए गए समतल पर स्थित है।

यह देखने के लिए कि यह तल पर मूल बिंदु का निकटतम बिंदु है, निरीक्षण करें कि $\mathbf {p}$ समतल को परिभाषित करने वाले सदिश $\mathbf {v}$ का अदिश गुणक है, और इसलिए तल के लिए ऑर्थोगोनल है। इस प्रकार, यदि $\mathbf {q}$ स्वयं $\mathbf {p}$ के अलावा समतल पर कोई बिंदु है, तो मूल से $\mathbf {p}$ तक और $\mathbf {p}$ से $\mathbf {q}$ तक के रेखा खंड एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, और पाइथागोरस प्रमेय द्वारा मूल से $q$ तक की दूरी है

${\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+|\mathbf {p} -\mathbf {q} |^{2}}}$.

चूंकि $|\mathbf {p} -\mathbf {q} |^{2}$ धनात्मक संख्या होनी चाहिए, यह दूरी $|\mathbf {p} |$ से अधिक है, मूल बिंदु से $\mathbf {p}$ तक की दूरी है 

वैकल्पिक रूप से, $\mathbf {v}$ के साथ मूल डॉट उत्पाद के स्थान पर डॉट उत्पादों का उपयोग करके समतल के समीकरण को फिर से लिखना संभव है (क्योंकि ये दो वैक्टर एक दूसरे के स्केलर गुणक हैं) जिसके बाद यह तथ्य कि $\mathbf {p}$ निकटतम बिंदु है, कॉची-श्वार्ज असमानता का तात्कालिक परिणाम बन जाता है।

हाइपरप्लेन और मनमाने बिंदु के लिए निकटतम बिंदु और दूरी

सामान्य सदिश $\mathbf {a} \neq \mathbf {0}$ के साथ बिंदु $\mathbf {p}$ के माध्यम से $n$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{n}$ में हाइपरप्लेन के लिए सदिश समीकरण है $(\mathbf {x} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} =0$ या $\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =d$ जहां $d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a}$ है।

संबंधित कार्टेशियन रूप $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=d$ है जहां $d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a} =a_{1}p_{1}+a_{2}p_{2}+\cdots a_{n}p_{n}$

इस हाइपरप्लेन पर अनियमित बिंदु $\mathbf {y}$ का निकटतम बिंदु है

$\mathbf {x} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a}$

और $\mathbf {y}$ से हाइपरप्लेन तक की दूरी है

$\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|=\left\|\left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} \right\|={\dfrac {\left|(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} \right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\dfrac {\left|\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d\right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}$.

कार्टेशियन रूप में लिखा गया, निकटतम बिंदु $x_{i}=y_{i}-ka_{i}$द्वारा $1\leq i\leq n$ के लिए दिया गया है, जहां

$k={\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\dfrac {a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots a_{n}^{2}}}$,

और $\mathbf {y}$ से हाइपरप्लेन तक की दूरी है

${\dfrac {\left|a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d\right|}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots a_{n}^{2}}}}$.

इस प्रकार $\mathbb {R} ^{3}$ में समतल पर बिंदु $ax+by+cz=d$ अनियमित बिंदु $(x_{1},y_{1},z_{1})$ के सबसे निकट $(x,y,z)$ द्वारा दिया गया है

$\left.{\begin{array}{l}x=x_{1}-ka\\y=y_{1}-kb\\z=z_{1}-kc\end{array}}\right\}$

जहाँ

$k={\dfrac {ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$,

और बिंदु से समतल की दूरी है

${\dfrac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.

यह भी देखें

• बिंदु से रेखा तक की दूरी
• हेसे सामान्य रूप
• विकर्ण रेखाएँ # दूरी