पहला मौलिक रूप: Difference between revisions

Revision as of 10:48, 24 April 2023

विभेदक ज्यामिति में, प्रथम मूलभूत रूप त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में [[सतह (अंतर ज्यामिति)]] के स्पर्शरेखा स्थान पर आंतरिक उत्पाद है, जो $R 3$ डॉट उत्पाद से विहित रूप से प्रेरित होता है। यह सतह की वक्रता एवं मीट्रिक गुणों की गणना की अनुमति देता है जैसे कि लंबाई एवं क्षेत्रफल परिवेशी स्थान के अनुरूप प्रथम मौलिक रूप रोमन अंक $I$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

\mathrm {I} (x,y)=\langle x,y\rangle .

परिभाषा

होने देना $X (u, v)$ एक पैरामीट्रिक सतह हो। फिर दो स्पर्शरेखा सदिशों का आंतरिक उत्पाद है।

{\begin{aligned}&{}\quad \mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\&=ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\&=Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}

कहाँ

E

,

F

, एवं

G

पहले मौलिक रूप के गुणांक हैं।

पहले मौलिक रूप को सममित मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता है।

\mathrm {I} (x,y)=x^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}y

आगे का अंकन

जब प्रथम मौलिक रूप केवल एक तर्क के साथ लिखा जाता है, तो यह उस सदिश के आंतरिक उत्पाद को स्वयं के साथ दर्शाता है।

\mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}

प्रथम मौलिक रूप अक्सर मीट्रिक टेंसर के आधुनिक अंकन में लिखा जाता है। गुणांक तब के रूप में लिखा जा सकता है

g ij

:

\left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}

इस टेन्सर के घटकों की गणना स्पर्शरेखा सदिशों के अदिश गुणनफल के रूप में की जाती है

X 1

एवं

X 2

:

g_{ij}=X_{i}\cdot X_{j}

के लिए

i, j = 1, 2

. नीचे उदाहरण देखें।

लंबाई एवं क्षेत्रफल की गणना करना

प्रथम मौलिक रूप पूरी तरह से सतह के मीट्रिक गुणों का वर्णन करता है। इस प्रकार, यह सतह पर वक्रों की लंबाई एवं सतह पर क्षेत्रों के क्षेत्रों की गणना करने में सक्षम बनाता है। रेखा तत्व $ds$ को पहले मौलिक रूप के गुणांकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,.

शास्त्रीय क्षेत्र तत्व द्वारा दिया गया

dA = | X u \times X v | du dv

लैग्रेंज की पहचान की सहायता से पहले मौलिक रूप के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है,

dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\left\langle X_{u},X_{v}\right\rangle ^{2}}}\,du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.

उदाहरण: एक गोले पर वक्र

में इकाई क्षेत्र पर एक गोलाकार वक्र $R 3$ के रूप में parametrized हो सकता है

X(u,v)={\begin{bmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{bmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ].

फर्क

X (u, v)

इसके संबंध में

u

एवं

v

पैदावार

{\begin{aligned}X_{u}&={\begin{bmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{bmatrix}},\\X_{v}&={\begin{bmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

आंशिक डेरिवेटिव के डॉट उत्पाद को लेकर पहले मौलिक रूप के गुणांक पाए जा सकते हैं।

{\begin{aligned}E&=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v\\F&=X_{u}\cdot X_{v}=0\\G&=X_{v}\cdot X_{v}=1\end{aligned}}

इसलिए:

{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin ^{2}v&0\\0&1\end{bmatrix}}.

गोले पर वक्र की लंबाई

इकाई क्षेत्र का भूमध्य रेखा द्वारा दिया गया एक पैरामीट्रिज्ड वक्र है

(u(t),v(t))=(t,{\tfrac {\pi }{2}})

साथ

t

0 से 2 तक

π

. इस वक्र की लंबाई की गणना करने के लिए रेखा तत्व का उपयोग किया जा सकता है।

\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left|\sin v\right|dt=2\pi \sin {\tfrac {\pi }{2}}=2\pi

गोले पर एक क्षेत्र का क्षेत्रफल

क्षेत्र तत्व का उपयोग इकाई क्षेत्र के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi \left[-\cos v\right]_{0}^{\pi }=4\pi

गाऊसी वक्रता

किसी सतह की गॉसियन वक्रता किसके द्वारा दी जाती है

 $K={\frac {\det \mathrm {I\!I} }{\det \mathrm {I} }}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},$

कहाँ $L$ , $M$ , एवं $N$ दूसरे मूलभूत रूप के गुणांक हैं।

कार्ल फ्रेडरिक गॉस के प्रमेय एग्रेगियम में कहा गया है कि सतह के गॉसियन वक्रता को केवल पहले मौलिक रूप एवं इसके डेरिवेटिव के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, ताकि $K$ वास्तव में सतह का आंतरिक अपरिवर्तनीय है। पहले मौलिक रूप के संदर्भ में गॉसियन वक्रता के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति गॉसियन वक्रता#Alternative_formulas द्वारा प्रदान की जाती है।

यह भी देखें

मीट्रिक टेंसर
दूसरा मौलिक रूप
तीसरा मौलिक रूप
टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म

बाहरी संबंध

First Fundamental Form — from Wolfram MathWorld

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Inner product of a surface in 3D, induced by the dot product}}
-विभेदक ज्यामिति में, पहला मूलभूत रूप त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में एक [[सतह ([[अंतर ज्यामिति]])]] के [[स्पर्शरेखा स्थान]] पर आंतरिक उत्पाद है जो [[डॉट उत्पाद]] से विहित रूप से प्रेरित होता है। {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}. यह एक सतह की [[वक्रता]] और मीट्रिक गुणों की गणना की अनुमति देता है जैसे कि लंबाई और क्षेत्रफल परिवेशी स्थान के अनुरूप। पहला मौलिक रूप रोमन अंक द्वारा निरूपित किया जाता है {{math|I}},
+विभेदक ज्यामिति में, प्रथम मूलभूत रूप त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में [[सतह ([[अंतर ज्यामिति]])]] के [[स्पर्शरेखा स्थान]] पर आंतरिक उत्पाद है, जो {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} [[डॉट उत्पाद]] से विहित रूप से प्रेरित होता है।  यह सतह की [[वक्रता]] एवं मीट्रिक गुणों की गणना की अनुमति देता है जैसे कि लंबाई एवं क्षेत्रफल परिवेशी स्थान के अनुरूप प्रथम मौलिक रूप रोमन अंक {{math|I}} द्वारा निरूपित किया जाता है।
 <math display="block">\mathrm{I}(x,y)= \langle x,y \rangle.</math>
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 == परिभाषा ==
-होने देना {{math|''X''(''u'', ''v'')}} एक [[पैरामीट्रिक सतह]] हो। फिर दो स्पर्शरेखा सदिशों का आंतरिक उत्पाद है
+होने देना {{math|''X''(''u'', ''v'')}} एक [[पैरामीट्रिक सतह]] हो। फिर दो स्पर्शरेखा सदिशों का आंतरिक उत्पाद है।
 <math display="block">
 \begin{align}
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 \end{align}
 </math>
-कहाँ {{mvar|E}}, {{mvar|F}}, और {{mvar|G}} पहले मौलिक रूप के गुणांक हैं।
+कहाँ {{mvar|E}}, {{mvar|F}}, एवं {{mvar|G}} पहले मौलिक रूप के गुणांक हैं।
 पहले मौलिक रूप को [[सममित मैट्रिक्स]] के रूप में दर्शाया जा सकता है।
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 == आगे का अंकन ==
-जब पहला मौलिक रूप केवल एक तर्क के साथ लिखा जाता है, तो यह उस सदिश के आंतरिक उत्पाद को स्वयं के साथ दर्शाता है।
+जब प्रथम मौलिक रूप केवल एक तर्क के साथ लिखा जाता है, तो यह उस सदिश के आंतरिक उत्पाद को स्वयं के साथ दर्शाता है।
 <math display="block">\mathrm{I}(v)= \langle v,v \rangle = |v|^2</math>
-पहला मौलिक रूप अक्सर [[मीट्रिक टेंसर]] के आधुनिक अंकन में लिखा जाता है। गुणांक तब के रूप में लिखा जा सकता है {{mvar|g<sub>ij</sub>}}:
+प्रथम मौलिक रूप अक्सर [[मीट्रिक टेंसर]] के आधुनिक अंकन में लिखा जाता है। गुणांक तब के रूप में लिखा जा सकता है {{mvar|g<sub>ij</sub>}}:
- <math display="block"> \left(g_{ij}\right) = \begin{pmatrix}
+<math display="block"> \left(g_{ij}\right) = \begin{pmatrix}
 g_{11} & g_{12} \\
 g_{21} & g_{22}
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 F & G
 \end{pmatrix}</math>
-इस टेन्सर के घटकों की गणना स्पर्शरेखा सदिशों के अदिश गुणनफल के रूप में की जाती है {{math|''X''<sub>1</sub>}} और {{math|''X''<sub>2</sub>}}:
+इस टेन्सर के घटकों की गणना स्पर्शरेखा सदिशों के अदिश गुणनफल के रूप में की जाती है {{math|''X''<sub>1</sub>}} एवं {{math|''X''<sub>2</sub>}}:
 <math display="block">g_{ij} = X_i \cdot X_j</math>
 के लिए {{math|1=''i'', ''j'' = 1, 2}}. नीचे उदाहरण देखें।
-== लंबाई और क्षेत्रफल की गणना करना ==
+== लंबाई एवं क्षेत्रफल की गणना करना ==
-पहला मौलिक रूप पूरी तरह से सतह के मीट्रिक गुणों का वर्णन करता है। इस प्रकार, यह सतह पर वक्रों की लंबाई और सतह पर क्षेत्रों के क्षेत्रों की गणना करने में सक्षम बनाता है। [[रेखा तत्व]] {{math|''ds''}} को पहले मौलिक रूप के गुणांकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
+प्रथम मौलिक रूप पूरी तरह से सतह के मीट्रिक गुणों का वर्णन करता है। इस प्रकार, यह सतह पर वक्रों की लंबाई एवं सतह पर क्षेत्रों के क्षेत्रों की गणना करने में सक्षम बनाता है। [[रेखा तत्व]] {{math|''ds''}} को पहले मौलिक रूप के गुणांकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 <math display="block">ds^2 = E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2 \,.</math> शास्त्रीय क्षेत्र तत्व द्वारा दिया गया {{math|1=''dA'' = {{abs|''X<sub>u</sub>'' × ''X<sub>v</sub>''}} ''du'' ''dv''}} लैग्रेंज की पहचान की सहायता से पहले मौलिक रूप के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है,
 <math display="block">dA = |X_u \times X_v| \ du\, dv= \sqrt{ \langle X_u,X_u \rangle \langle X_v,X_v \rangle - \left\langle X_u,X_v \right\rangle^2 } \, du\, dv = \sqrt{EG-F^2} \, du\, dv.</math>
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 में [[इकाई क्षेत्र]] पर एक [[गोलाकार वक्र]] {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} के रूप में parametrized हो सकता है
 <math display="block">X(u,v) = \begin{bmatrix} \cos u \sin v \\ \sin u \sin v \\ \cos v \end{bmatrix},\ (u,v) \in [0,2\pi) \times [0,\pi].</math>
-फर्क {{math|''X''(''u'',''v'')}} इसके संबंध में {{mvar|u}} और {{mvar|v}} पैदावार
+फर्क {{math|''X''(''u'',''v'')}} इसके संबंध में {{mvar|u}} एवं {{mvar|v}} पैदावार
 <math display="block">\begin{align}
 X_u &= \begin{bmatrix} -\sin u \sin v \\ \cos u \sin v \\ 0 \end{bmatrix},\\
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 किसी सतह की [[गॉसियन वक्रता]] किसके द्वारा दी जाती है
   <math display="block"> K = \frac{\det \mathrm{I\!I}}{\det \mathrm{I}} = \frac{ LN-M^2}{EG-F^2 }, </math>
-कहाँ {{mvar|L}}, {{mvar|M}}, और {{mvar|N}} दूसरे मूलभूत रूप के गुणांक हैं।
+कहाँ {{mvar|L}}, {{mvar|M}}, एवं {{mvar|N}} दूसरे मूलभूत रूप के गुणांक हैं।
-[[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] के प्रमेय एग्रेगियम में कहा गया है कि सतह के गॉसियन वक्रता को केवल पहले मौलिक रूप और इसके डेरिवेटिव के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, ताकि {{mvar|K}} वास्तव में सतह का आंतरिक अपरिवर्तनीय है। पहले मौलिक रूप के संदर्भ में गॉसियन वक्रता के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति गॉसियन वक्रता#Alternative_formulas द्वारा प्रदान की जाती है।
+[[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] के प्रमेय एग्रेगियम में कहा गया है कि सतह के गॉसियन वक्रता को केवल पहले मौलिक रूप एवं इसके डेरिवेटिव के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, ताकि {{mvar|K}} वास्तव में सतह का आंतरिक अपरिवर्तनीय है। पहले मौलिक रूप के संदर्भ में गॉसियन वक्रता के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति गॉसियन वक्रता#Alternative_formulas द्वारा प्रदान की जाती है।
 == यह भी देखें ==

v t e Various notions of curvature defined in differential geometry
Differential geometry of curves	Curvature Torsion of a curve Frenet–Serret formulas Radius of curvature (applications) Affine curvature Total curvature Total absolute curvature
Differential geometry of surfaces	Principal curvatures Gaussian curvature Mean curvature Darboux frame Gauss–Codazzi equations First fundamental form Second fundamental form Third fundamental form
Riemannian geometry	Curvature of Riemannian manifolds Riemann curvature tensor Ricci curvature Scalar curvature Sectional curvature
Curvature of connections	Curvature form Torsion tensor Cocurvature Holonomy

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