रचना श्रृंखला: Difference between revisions

Revision as of 14:20, 23 April 2023

सार बीजगणित में, रचना श्रृंखला एक बीजगणितीय संरचना है जो समूह (गणित) या मॉड्यूल (गणित) को सरल टुकड़ों में विभाजित करने का एक तरीका प्रदान करती है। मॉड्यूल के संदर्भ में रचना श्रृंखला पर विचार करने की आवश्यकता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि कई स्वाभाविक रूप से होने वाले मॉड्यूल अर्ध-सरल मॉड्यूल नहीं होते हैं, इसलिए उन्हें सरल मॉड्यूल के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग में विघटित नहीं किया जा सकता है। मॉड्यूल 'एम' की एक रचना श्रृंखला सबमॉड्यूल द्वारा 'एम' का एक परिमित बढ़ता हुआ निस्पंदन (सार बीजगणित) है, जैसे कि क्रमिक भागफल सरल (सार बीजगणित) होते हैं और एम के प्रत्यक्ष योग अपघटन के सरल घटकों में प्रतिस्थापन के रूप में कार्य करते हैं।

एक रचना श्रृंखला मौजूद नहीं हो सकती है, और जब यह होती है, तो यह अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है। फिर भी, सामान्य नाम जॉर्डन-होल्डर प्रमेय के तहत ज्ञात परिणामों का समूह दावा करता है कि जब भी रचना श्रृंखला मौजूद होती है, तो सरल टुकड़ों के समरूपता वर्ग (हालांकि, शायद, रचना श्रृंखला में उनका स्थान नहीं होता है) ) और उनकी बहुलता विशिष्ट रूप से निर्धारित होती है। रचना श्रृंखला इस प्रकार परिमित समूहों और आर्टिनियन मॉड्यूल के इनवेरिएंट को परिभाषित करने के लिए उपयोग की जा सकती है।

एक संबंधित लेकिन विशिष्ट अवधारणा एक मुख्य श्रृंखला है: रचना श्रृंखला एक अधिकतम असामान्य श्रृंखला है|उपसामान्य श्रृंखला, जबकि एक मुख्य श्रृंखला एक अधिकतम सामान्य श्रृंखला है।

मॉड्यूल 'एम' की रचना श्रृंखला सबमॉड्यूल द्वारा 'एम' का एक परिमित बढ़ता हुआ निस्पंदन (सार बीजगणित) है, जैसे कि क्रमिक भागफल सरल (सार

समूहों के लिए

यदि समूह G का सामान्य उपसमूह N है, तो कारक समूह G/N का गठन किया जा सकता है, और G की संरचना के अध्ययन के कुछ पहलुओं को छोटे समूहों G/N और N का अध्ययन करके तोड़ा जा सकता है। यदि G के पास है कोई सामान्य उपसमूह नहीं है जो G से और तुच्छ समूह से अलग है, तो G एक साधारण समूह है। अन्यथा, स्वाभाविक रूप से यह प्रश्न उठता है कि क्या G को सरल टुकड़ों में घटाया जा सकता है, और यदि हां, तो क्या इसे करने के तरीके की कोई अनूठी विशेषताएं हैं?

अधिक औपचारिक रूप से, समूह (गणित) G की एक 'रचना श्रृंखला' परिमित लंबाई की असामान्य श्रृंखला है

1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,

सख्त समावेशन के साथ, जैसे कि प्रत्येक H_i H_i+1 का अधिकतम उपसमूह उचित सामान्य उपसमूह है. सामान्यतः, संरचना श्रृंखला एक असामान्य श्रृंखला है जैसे कि प्रत्येक कारक समूह H_i+1 / H_i साधारण समूह है। कारक समूहों को रचना कारक कहा जाता है।

असामान्य श्रृंखला एक संरचना श्रृंखला है अगर और केवल अगर यह अधिकतम लंबाई का है। अर्थात्, कोई अतिरिक्त उपसमूह नहीं हैं जिन्हें रचना श्रृंखला में सम्मिलित किया जा सकता है। श्रृंखला की लंबाई n को रचना की लंबाई कहा जाता है।

यदि किसी समूह G के लिए कोई रचना श्रृंखला मौजूद है, तो G की किसी भी उपसामान्य श्रृंखला को रचना श्रृंखला के लिए परिष्कृत किया जा सकता है, अनौपचारिक रूप से, उपसमूहों को अधिकतमता तक श्रृंखला में सम्मिलित करके। प्रत्येक परिमित समूह की एक रचना श्रृंखला होती है, लेकिन प्रत्येक अनंत समूह में एक नहीं होती है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {Z}$ कोई रचना श्रृंखला नहीं है।

विशिष्टता: जॉर्डन-होल्डर प्रमेय

एक समूह में एक से अधिक रचना श्रृंखला हो सकती है। हालांकि, जॉर्डन-होल्डर प्रमेय (केमिली जॉर्डन और ओटो होल्डर के नाम पर) में कहा गया है कि किसी दिए गए समूह की कोई भी दो रचना श्रृंखला समकक्ष हैं। यही है, उनके पास समान रचना लंबाई और समान रचना कारक हैं, क्रमपरिवर्तन और समरूपता तक। इस प्रमेय को श्रेयर शोधन प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। जॉर्डन-होल्डर प्रमेय ट्रांसफिनिट इंडक्शन आरोही रचना श्रृंखला के लिए भी सही है, लेकिन ट्रांसफिनिट अवरोही रचना श्रृंखला नहीं (Birkhoff 1934).

Baumslag (2006) जॉर्डन-होल्डर प्रमेय का एक संक्षिप्त प्रमाण देता है जिसमें एक सबनॉर्मल सीरीज़ में अन्य सीरीज़ के शब्दों को इंटरसेक्ट किया जाता है।

उदाहरण

क्रम n के एक चक्रीय समूह के लिए, संरचना श्रृंखला n के क्रमित प्रमुख गुणनखंडों के अनुरूप होती है, और वास्तव में अंकगणित के मौलिक प्रमेय का प्रमाण देती है।

उदाहरण के लिए, चक्रीय समूह $C_{12}$ है $C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12},\ \,C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12},$ और $C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}$ तीन अलग-अलग रचना श्रृंखला के रूप में। संबंधित मामलों में प्राप्त रचना कारकों के क्रम हैं $C_{2},C_{3},C_{2},\ \,C_{2},C_{2},C_{3},$ और $C_{3},C_{2},C_{2}.$ है |

मॉड्यूल के लिए

मॉड्यूल के लिए रचना श्रृंखला की परिभाषा सबमॉड्यूल पर सभी का ध्यान केंद्रित करती है, सभी योगात्मक उपसमूहों की अनदेखी करती है जो सबमॉड्यूल नहीं हैं। रिंग आर और आर-मॉड्यूल एम को देखते हुए, एम के लिए एक रचना श्रृंखला सबमॉड्यूल की एक श्रृंखला है

\{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M

जहां सभी समावेशन सख्त हैं और J_k प्रत्येक के लिए J_k+1 का अधिकतम सबमॉड्यूल है।जहां तक समूहों की बात है, यदि एम के पास कोई रचना श्रृंखला है, तो एम के सबमॉड्यूल्स की किसी भी परिमित रूप से बढ़ती हुई श्रृंखला को रचना श्रृंखला में परिष्कृत किया जा सकता है, और एम के लिए कोई भी दो संयोजन श्रृंखला समतुल्य हैं। उस स्थिति में, (सरल) भागफल मॉड्यूल J_k+1/J_k एम के संघटन कारकों के रूप में जाने जाते हैं और जॉर्डन-होल्डर प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि संरचना कारक के रूप में सरल आर-मॉड्यूल के प्रत्येक समरूपता प्रकार की घटनाओं की संख्या पसंद पर निर्भर नहीं करती है रचना श्रृंखला की।

ये सब जानते हैं^[1] कि एक मॉड्यूल में एक सीमित संरचना श्रृंखला होती है यदि और केवल अगर यह आर्टिनियन मॉड्यूल और नोथेरियन मॉड्यूल दोनों है। यदि R एक आर्टिनियन वलय है, तो प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न R-मॉड्यूल आर्टिनियन रिंग नोथेरियन है, और इस प्रकार इसकी परिमित रचना श्रृंखला है। विशेष रूप से, किसी भी क्षेत्र K के लिए, K पर परिमित-विमीय बीजगणित के लिए किसी भी परिमित-आयामी मॉड्यूल की एक संरचना श्रृंखला होती है, जो तुल्यता तक अद्वितीय होती है।

सामान्यीकरण

ऑपरेटरों के साथ समूह समूह क्रियाओं का सामान्यीकरण करता है और समूह पर क्रियाओं को रिंग करता है। समूहों और मॉड्यूल दोनों के लिए एकीकृत दृष्टिकोण का पालन किया जा सकता है (बोरबाकी 1974, Ch. 1) या (आइज़ैक 1994, Ch. 10), कुछ प्रदर्शनी को सरल बनाना। समूह G को सेट Ω से तत्वों (ऑपरेटरों) द्वारा क्रियान्वित होने के रूप में देखा जाता है। ध्यान पूरी तरह से Ω से तत्वों की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय उपसमूहों तक सीमित है, जिसे Ω-उपसमूह कहा जाता है। इस प्रकार Ω-संरचना श्रृंखला को केवल Ω-उपसमूहों का उपयोग करना चाहिए, और Ω-रचना कारकों को केवल Ω-सरल होना चाहिए। उपरोक्त मानक परिणाम, जैसे कि जॉर्डन-होल्डर प्रमेय, लगभग समान प्रमाणों के साथ स्थापित किए गए हैं।

पुनर्प्राप्त किए गए विशेष मामलों में शामिल हैं जब Ω = G ताकि G स्वयं पर कार्य कर रहा हो। इसका एक महत्वपूर्ण उदाहरण है जब G के तत्व संयुग्मन द्वारा कार्य करते हैं, जिससे ऑपरेटरों के सेट में आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म होते हैं। इस क्रिया के तहत रचना श्रृंखला बिल्कुल मुख्य श्रृंखला है। मॉड्यूल संरचनाएं Ω-क्रियाओं का मामला है जहां Ω एक वलय है और कुछ अतिरिक्त अभिगृहीत संतुष्ट हैं।

एबेलियन श्रेणी में वस्तुओं के लिए

एबेलियन श्रेणी में एक वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) ए की एक रचना श्रृंखला उप-वस्तुओं का एक क्रम है

A=X_{0}\supsetneq X_{1}\supsetneq \dots \supsetneq X_{n}=0

ऐसा है कि प्रत्येक भागफल वस्तु X_i/X_i+1 सरल है (0 ≤ i < n के लिए). यदि A की रचना श्रृंखला है, तो पूर्णांक n केवल A पर निर्भर करता है और इसे A की वस्तु की लंबाई कहा जाता है।^[2]

यह भी देखें

क्रोहन-रोड्स सिद्धांत, एक सेमीग्रुप एनालॉग है |
श्रेयर शोधन प्रमेय, किसी भी दो समतुल्य उपसामान्य श्रृंखला में समतुल्य रचना श्रृंखला शोधन है |
ज़सेनहॉस लेम्मा, श्रेयर शोधन प्रमेय को सिद्ध करने के लिए प्रयोग किया जाता है |

संदर्भ

Birkhoff, Garrett (1934), "Transfinite subgroup series", Bulletin of the American Mathematical Society, 40 (12): 847–850, doi:10.1090/S0002-9904-1934-05982-2
Baumslag, Benjamin (2006), "A simple way of proving the Jordan-Hölder-Schreier theorem", American Mathematical Monthly, 113 (10): 933–935, doi:10.2307/27642092
Bourbaki, N. (1974), Algebra, Hermann, Paris; Addison-Wesley Publishing Co., Reading Mass.
Isaacs, I. Martin (1994), Algebra: A Graduate Course, Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-19002-6
Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), Categories and sheaves

[FOOTNOTEIsaacs1994p.146-1] Isaacs 1994, p.146.

[2] Kashiwara & Schapira 2006, exercise 8.20

[1]

[2]

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-[[सार बीजगणित]] में, एक रचना श्रृंखला एक [[बीजगणितीय संरचना]], जैसे एक [[समूह (गणित)]] या एक [[मॉड्यूल (गणित)]] को सरल टुकड़ों में विभाजित करने का एक तरीका प्रदान करती है। मॉड्यूल के संदर्भ में रचना श्रृंखला पर विचार करने की आवश्यकता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि कई स्वाभाविक रूप से होने वाले मॉड्यूल अर्ध-[[सरल मॉड्यूल]] नहीं होते हैं, इसलिए उन्हें सरल मॉड्यूल के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग में विघटित नहीं किया जा सकता है। एक मॉड्यूल 'एम' की एक रचना श्रृंखला [[submodule]] द्वारा 'एम' का एक परिमित बढ़ता हुआ [[निस्पंदन (सार बीजगणित)]] है, जैसे कि क्रमिक भागफल [[सरल (सार बीजगणित)]] होते हैं और एम के प्रत्यक्ष योग अपघटन के सरल घटकों में प्रतिस्थापन के रूप में कार्य करते हैं।
+[[सार बीजगणित]] में, रचना श्रृंखला एक [[बीजगणितीय संरचना]] है जो  [[समूह (गणित)]] या  [[मॉड्यूल (गणित)]] को सरल टुकड़ों में विभाजित करने का एक तरीका प्रदान करती है। मॉड्यूल के संदर्भ में रचना श्रृंखला पर विचार करने की आवश्यकता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि कई स्वाभाविक रूप से होने वाले मॉड्यूल अर्ध-[[सरल मॉड्यूल]] नहीं होते हैं, इसलिए उन्हें सरल मॉड्यूल के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग में विघटित नहीं किया जा सकता है।  मॉड्यूल 'एम' की एक रचना श्रृंखला [[submodule|सबमॉड्यूल]] द्वारा 'एम' का एक परिमित बढ़ता हुआ [[निस्पंदन (सार बीजगणित)]] है, जैसे कि क्रमिक भागफल [[सरल (सार बीजगणित)]] होते हैं और एम के प्रत्यक्ष योग अपघटन के सरल घटकों में प्रतिस्थापन के रूप में कार्य करते हैं।
-एक रचना श्रृंखला मौजूद नहीं हो सकती है, और जब यह होती है, तो यह अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है। फिर भी, सामान्य नाम जॉर्डन-होल्डर प्रमेय के तहत ज्ञात परिणामों का एक समूह दावा करता है कि जब भी रचना श्रृंखला मौजूद होती है, तो सरल टुकड़ों के ''[[समरूपता वर्ग]]'' (हालांकि, शायद, रचना श्रृंखला में उनका ''स्थान'' नहीं होता है) ) और उनकी बहुलता विशिष्ट रूप से निर्धारित होती है। रचना श्रृंखला इस प्रकार [[परिमित समूह]]ों और [[आर्टिनियन मॉड्यूल]] के इनवेरिएंट को परिभाषित करने के लिए उपयोग की जा सकती है।
+एक रचना श्रृंखला मौजूद नहीं हो सकती है, और जब यह होती है, तो यह अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है। फिर भी, सामान्य नाम जॉर्डन-होल्डर प्रमेय के तहत ज्ञात परिणामों का  समूह दावा करता है कि जब भी रचना श्रृंखला मौजूद होती है, तो सरल टुकड़ों के ''[[समरूपता वर्ग]]'' (हालांकि, शायद, रचना श्रृंखला में उनका ''स्थान'' नहीं होता है) ) और उनकी बहुलता विशिष्ट रूप से निर्धारित होती है। रचना श्रृंखला इस प्रकार [[परिमित समूह]]ों और [[आर्टिनियन मॉड्यूल]] के इनवेरिएंट को परिभाषित करने के लिए उपयोग की जा सकती है।
-एक संबंधित लेकिन विशिष्ट अवधारणा एक मुख्य श्रृंखला है: एक रचना श्रृंखला एक अधिकतम अ[[सामान्य श्रृंखला]] है|''उपसामान्य'' श्रृंखला, जबकि एक मुख्य श्रृंखला एक अधिकतम ''सामान्य श्रृंखला'' है।
+एक संबंधित लेकिन विशिष्ट अवधारणा एक मुख्य श्रृंखला है:  रचना श्रृंखला एक अधिकतम अ[[सामान्य श्रृंखला]] है|''उपसामान्य'' श्रृंखला, जबकि एक मुख्य श्रृंखला एक अधिकतम ''सामान्य श्रृंखला'' है।
-'''एक मॉड्यूल 'एम' की एक रचना श्रृंखला [[submodule]] द्वारा 'एम' का एक परिमित बढ़ता हुआ [[निस्पंदन (सार बीजगणित)]] है, जैसे कि क्रमिक भागफल [[सरल (सार बीजगणित)]] होते हैं और प्रत्यक्ष योग अपघटन के प्रतिस्थापन के रूप में कार्य करते हैं 'एम' अपने सरल घटकों में।'''
+'''मॉड्यूल 'एम' की रचना श्रृंखला [[submodule|सबमॉड्यूल]] द्वारा 'एम' का एक परिमित बढ़ता हुआ [[निस्पंदन (सार बीजगणित)]] है, जैसे कि क्रमिक भागफल [[सरल (सार बीजगणित)|सरल (सार]]'''
 == समूहों के लिए ==
-यदि एक समूह G का एक [[सामान्य उपसमूह]] N है, तो कारक समूह G/N का गठन किया जा सकता है, और G की संरचना के अध्ययन के कुछ पहलुओं को छोटे समूहों G/N और N का अध्ययन करके तोड़ा जा सकता है। यदि G के पास है कोई सामान्य उपसमूह नहीं है जो G से और तुच्छ समूह से अलग है, तो G एक [[साधारण समूह]] है। अन्यथा, स्वाभाविक रूप से यह प्रश्न उठता है कि क्या G को सरल टुकड़ों में घटाया जा सकता है, और यदि हां, तो क्या इसे करने के तरीके की कोई अनूठी विशेषताएं हैं?
+यदि  समूह G का  [[सामान्य उपसमूह]] N है, तो कारक समूह G/N का गठन किया जा सकता है, और G की संरचना के अध्ययन के कुछ पहलुओं को छोटे समूहों G/N और N का अध्ययन करके तोड़ा जा सकता है। यदि G के पास है कोई सामान्य उपसमूह नहीं है जो G से और तुच्छ समूह से अलग है, तो G एक [[साधारण समूह]] है। अन्यथा, स्वाभाविक रूप से यह प्रश्न उठता है कि क्या G को सरल टुकड़ों में घटाया जा सकता है, और यदि हां, तो क्या इसे करने के तरीके की कोई अनूठी विशेषताएं हैं?
+अधिक औपचारिक रूप से, समूह (गणित) G की एक 'रचना श्रृंखला' परिमित लंबाई की  [[असामान्य श्रृंखला]] है
-अधिक औपचारिक रूप से, समूह (गणित) G की एक 'रचना श्रृंखला' परिमित लंबाई की एक [[असामान्य श्रृंखला]] है
 :<math>1 = H_0\triangleleft H_1\triangleleft \cdots \triangleleft H_n = G,</math>
-सख्त समावेशन के साथ, जैसे कि प्रत्येक H<sub>''i''</sub> H<sub>''i''+1</sub> का एक [[अधिकतम उपसमूह]] उचित सामान्य उपसमूह है. समतुल्य रूप से, एक संरचना श्रृंखला एक असामान्य श्रृंखला है जैसे कि प्रत्येक कारक समूह H<sub>''i''+1</sub> / H<sub>''i''</sub> साधारण समूह है। कारक समूहों को रचना कारक कहा जाता है।
+सख्त समावेशन के साथ, जैसे कि प्रत्येक H<sub>''i''</sub> H<sub>''i''+1</sub> का  [[अधिकतम उपसमूह]] उचित सामान्य उपसमूह है. सामान्यतः,  संरचना श्रृंखला एक असामान्य श्रृंखला है जैसे कि प्रत्येक कारक समूह H<sub>''i''+1</sub> / H<sub>''i''</sub> साधारण समूह है। कारक समूहों को रचना कारक कहा जाता है।
-एक असामान्य श्रृंखला एक संरचना श्रृंखला है [[अगर और केवल अगर]] यह अधिकतम लंबाई का है। अर्थात्, कोई अतिरिक्त उपसमूह नहीं हैं जिन्हें एक रचना श्रृंखला में सम्मिलित किया जा सकता है। श्रृंखला की लंबाई '' n '' को रचना की लंबाई कहा जाता है।
+असामान्य श्रृंखला एक संरचना श्रृंखला है [[अगर और केवल अगर]] यह अधिकतम लंबाई का है। अर्थात्, कोई अतिरिक्त उपसमूह नहीं हैं जिन्हें  रचना श्रृंखला में सम्मिलित किया जा सकता है। श्रृंखला की लंबाई '' n '' को रचना की लंबाई कहा जाता है।
-यदि किसी समूह ''G'' के लिए कोई रचना श्रृंखला मौजूद है, तो ''G'' की किसी भी उपसामान्य श्रृंखला को एक रचना श्रृंखला के लिए ''परिष्कृत'' किया जा सकता है, अनौपचारिक रूप से, उपसमूहों को अधिकतमता तक श्रृंखला में सम्मिलित करके। प्रत्येक परिमित समूह की एक रचना श्रृंखला होती है, लेकिन प्रत्येक [[अनंत समूह]] में एक नहीं होती है। उदाहरण के लिए, <math>\mathbb{Z}</math> कोई रचना श्रृंखला नहीं है।
+यदि किसी समूह ''G'' के लिए कोई रचना श्रृंखला मौजूद है, तो ''G'' की किसी भी उपसामान्य श्रृंखला को  रचना श्रृंखला के लिए ''परिष्कृत'' किया जा सकता है, अनौपचारिक रूप से, उपसमूहों को अधिकतमता तक श्रृंखला में सम्मिलित करके। प्रत्येक परिमित समूह की एक रचना श्रृंखला होती है, लेकिन प्रत्येक [[अनंत समूह]] में एक नहीं होती है। उदाहरण के लिए, <math>\mathbb{Z}</math> कोई रचना श्रृंखला नहीं है।
 === विशिष्टता: जॉर्डन-होल्डर प्रमेय ===
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 == मॉड्यूल के लिए ==
 {{see also|मॉड्यूल की लंबाई}}
-मॉड्यूल के लिए रचना श्रृंखला की परिभाषा सबमॉड्यूल पर सभी का ध्यान केंद्रित करती है, सभी योगात्मक उपसमूहों की अनदेखी करती है जो सबमॉड्यूल नहीं हैं। एक रिंग आर और एक आर-मॉड्यूल एम को देखते हुए, एम के लिए एक रचना श्रृंखला सबमॉड्यूल की एक श्रृंखला है
+मॉड्यूल के लिए रचना श्रृंखला की परिभाषा सबमॉड्यूल पर सभी का ध्यान केंद्रित करती है, सभी योगात्मक उपसमूहों की अनदेखी करती है जो सबमॉड्यूल नहीं हैं।  रिंग आर और  आर-मॉड्यूल एम को देखते हुए, एम के लिए एक रचना श्रृंखला सबमॉड्यूल की एक श्रृंखला है
 :<math>\{0\} = J_0 \subset \cdots \subset J_n = M</math>
-जहां सभी समावेशन सख्त हैं और J<sub>''k''</sub> प्रत्येक के लिए J<sub>''k''+1</sub> का एक अधिकतम सबमॉड्यूल है।जहां तक समूहों की बात है, यदि एम के पास कोई रचना श्रृंखला है, तो एम के सबमॉड्यूल्स की किसी भी परिमित रूप से बढ़ती हुई श्रृंखला को रचना श्रृंखला में परिष्कृत किया जा सकता है, और एम के लिए कोई भी दो संयोजन श्रृंखला समतुल्य हैं। उस स्थिति में, (सरल) भागफल मॉड्यूल J<sub>''k''+1</sub>/J<sub>''k''</sub> ''एम'' के संघटन कारकों के रूप में जाने जाते हैं और जॉर्डन-होल्डर प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि संरचना कारक के रूप में सरल ''आर''-मॉड्यूल के प्रत्येक समरूपता प्रकार की घटनाओं की संख्या पसंद पर निर्भर नहीं करती है रचना श्रृंखला की।
+जहां सभी समावेशन सख्त हैं और J<sub>''k''</sub> प्रत्येक के लिए J<sub>''k''+1</sub> का  अधिकतम सबमॉड्यूल है।जहां तक समूहों की बात है, यदि एम के पास कोई रचना श्रृंखला है, तो एम के सबमॉड्यूल्स की किसी भी परिमित रूप से बढ़ती हुई श्रृंखला को रचना श्रृंखला में परिष्कृत किया जा सकता है, और एम के लिए कोई भी दो संयोजन श्रृंखला समतुल्य हैं। उस स्थिति में, (सरल) भागफल मॉड्यूल J<sub>''k''+1</sub>/J<sub>''k''</sub> ''एम'' के संघटन कारकों के रूप में जाने जाते हैं और जॉर्डन-होल्डर प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि संरचना कारक के रूप में सरल ''आर''-मॉड्यूल के प्रत्येक समरूपता प्रकार की घटनाओं की संख्या पसंद पर निर्भर नहीं करती है रचना श्रृंखला की।
-ये सब जानते हैं{{sfn|Isaacs|1994|loc=p.146}} कि एक मॉड्यूल में एक सीमित संरचना श्रृंखला होती है यदि और केवल अगर यह एक आर्टिनियन मॉड्यूल और [[नोथेरियन मॉड्यूल]] दोनों है। यदि R एक आर्टिनियन वलय है, तो प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न R-मॉड्यूल [[आर्टिनियन रिंग]] नोथेरियन है, और इस प्रकार इसकी एक परिमित रचना श्रृंखला है। विशेष रूप से, किसी भी क्षेत्र K के लिए, K पर परिमित-विमीय बीजगणित के लिए किसी भी परिमित-आयामी मॉड्यूल की एक संरचना श्रृंखला होती है, जो तुल्यता तक अद्वितीय होती है।
+ये सब जानते हैं{{sfn|Isaacs|1994|loc=p.146}} कि एक मॉड्यूल में एक सीमित संरचना श्रृंखला होती है यदि और केवल अगर यह  आर्टिनियन मॉड्यूल और [[नोथेरियन मॉड्यूल]] दोनों है। यदि R एक आर्टिनियन वलय है, तो प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न R-मॉड्यूल [[आर्टिनियन रिंग]] नोथेरियन है, और इस प्रकार इसकी  परिमित रचना श्रृंखला है। विशेष रूप से, किसी भी क्षेत्र K के लिए, K पर परिमित-विमीय बीजगणित के लिए किसी भी परिमित-आयामी मॉड्यूल की एक संरचना श्रृंखला होती है, जो तुल्यता तक अद्वितीय होती है।
 == सामान्यीकरण ==
-[[ऑपरेटरों के साथ समूह]] समूह क्रियाओं का सामान्यीकरण करता है और समूह पर क्रियाओं को रिंग करता है। समूहों और मॉड्यूल दोनों के लिए एक एकीकृत दृष्टिकोण का पालन किया जा सकता है {{harv|बोरबाकी|1974|loc=Ch. 1}} या {{harv|आइज़ैक|1994|loc=Ch. 10}}, कुछ प्रदर्शनी को सरल बनाना। समूह G को सेट Ω से तत्वों (ऑपरेटरों) द्वारा क्रियान्वित होने के रूप में देखा जाता है। ध्यान पूरी तरह से Ω से तत्वों की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय उपसमूहों तक सीमित है, जिसे Ω-उपसमूह कहा जाता है। इस प्रकार Ω-संरचना श्रृंखला को केवल Ω-उपसमूहों का उपयोग करना चाहिए, और Ω-रचना कारकों को केवल Ω-सरल होना चाहिए। उपरोक्त मानक परिणाम, जैसे कि जॉर्डन-होल्डर प्रमेय, लगभग समान प्रमाणों के साथ स्थापित किए गए हैं।
+[[ऑपरेटरों के साथ समूह]] समूह क्रियाओं का सामान्यीकरण करता है और समूह पर क्रियाओं को रिंग करता है। समूहों और मॉड्यूल दोनों के लिए  एकीकृत दृष्टिकोण का पालन किया जा सकता है {{harv|बोरबाकी|1974|loc=Ch. 1}} या {{harv|आइज़ैक|1994|loc=Ch. 10}}, कुछ प्रदर्शनी को सरल बनाना। समूह G को सेट Ω से तत्वों (ऑपरेटरों) द्वारा क्रियान्वित होने के रूप में देखा जाता है। ध्यान पूरी तरह से Ω से तत्वों की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय उपसमूहों तक सीमित है, जिसे Ω-उपसमूह कहा जाता है। इस प्रकार Ω-संरचना श्रृंखला को केवल Ω-उपसमूहों का उपयोग करना चाहिए, और Ω-रचना कारकों को केवल Ω-सरल होना चाहिए। उपरोक्त मानक परिणाम, जैसे कि जॉर्डन-होल्डर प्रमेय, लगभग समान प्रमाणों के साथ स्थापित किए गए हैं।
-पुनर्प्राप्त किए गए विशेष मामलों में शामिल हैं जब Ω = G ताकि G स्वयं पर कार्य कर रहा हो। इसका एक महत्वपूर्ण उदाहरण है जब G के तत्व संयुग्मन द्वारा कार्य करते हैं, जिससे ऑपरेटरों के सेट में [[आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म]] होते हैं। इस क्रिया के तहत एक रचना श्रृंखला बिल्कुल मुख्य श्रृंखला है। मॉड्यूल संरचनाएं Ω-क्रियाओं का एक मामला है जहां Ω एक वलय है और कुछ अतिरिक्त अभिगृहीत संतुष्ट हैं।
+पुनर्प्राप्त किए गए विशेष मामलों में शामिल हैं जब Ω = G ताकि G स्वयं पर कार्य कर रहा हो। इसका एक महत्वपूर्ण उदाहरण है जब G के तत्व संयुग्मन द्वारा कार्य करते हैं, जिससे ऑपरेटरों के सेट में [[आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म]] होते हैं। इस क्रिया के तहत  रचना श्रृंखला बिल्कुल मुख्य श्रृंखला है। मॉड्यूल संरचनाएं Ω-क्रियाओं का  मामला है जहां Ω एक वलय है और कुछ अतिरिक्त अभिगृहीत संतुष्ट हैं।
 == [[एबेलियन श्रेणी]] में वस्तुओं के लिए ==
-एक एबेलियन श्रेणी में एक [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] ''ए'' की एक रचना श्रृंखला उप-वस्तुओं का एक क्रम है
+एबेलियन श्रेणी में एक [[वस्तु (श्रेणी सिद्धांत)]] ''ए'' की एक रचना श्रृंखला उप-वस्तुओं का एक क्रम है
 :<math>A=X_0\supsetneq X_1\supsetneq \dots \supsetneq X_n=0</math>
 ऐसा है कि प्रत्येक [[भागफल वस्तु]] X<sub>i</sub>/X<sub>''i''+1</sub>  सरल  है ({{nowrap|0 ≤ ''i'' < ''n''}} के लिए). यदि A की रचना श्रृंखला है, तो [[पूर्णांक]] n केवल A पर निर्भर करता है और इसे A की वस्तु की लंबाई कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Kashiwara|Schapira|2006|loc=exercise 8.20}}</ref>

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एबेलियन श्रेणी में वस्तुओं के लिए

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समूहों के लिए

विशिष्टता: जॉर्डन-होल्डर प्रमेय

उदाहरण

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