विशेषता समीकरण (कलन)

गणित में, विशेषता समीकरण (या सहायक समीकरण) एक बहुपद की घात n का बीजगणितीय समीकरण है, जिस पर दिए गए nवें क्रम के अवकल समीकरण या अंतर समीकरण का समाधान निर्भर करता है। विशेषता समीकरण तभी बन सकता है, इसी प्रकार जब अवकल या अंतर समीकरण रेखीय और सजातीय हो और स्थिर गुणांक रखता हो, ऐसा अवकल समीकरण, जिसमें y निर्भर चर है, और a_n, a_n − 1, ..., a₁, a₀ स्थिरांक के रूप में, सुपरस्क्रिप्ट (n) nth-अवकलज को दर्शाता है,

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,$

प्रपत्र का एक विशिष्ट समीकरण होता है,

$a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0$

इसी प्रकार जिनके समाधान r₁, r₂, ..., r_n वे मूल हैं जिनसे सामान्य विलयन बनाया जा सकता है। अनुरूपतः, एक रेखीय अंतर समीकरण का रूप,

$y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}$

विशेषता समीकरण है,

$r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,$

इसी प्रकार अधिक विस्तार से निरंतर गुणांक के साथ रैखिक पुनरावृत्ति पर सजातीय स्थिति के समाधान पर चर्चा की गई है।

विशेषता मूल (विशेषता समीकरण की एक बहुपद की मूल) चर के व्यवहार के बारे में गुणात्मक जानकारी भी प्रदान करती हैं जिसका विकास गतिशील समीकरण द्वारा वर्णित है। इस प्रकार समय पर परिचालित एक विभेदक समीकरण के लिए, चर का विकास स्थिर है यदि और केवल यदि प्रत्येक मूल का वास्तविक भाग नकारात्मक है, और केवल यदि प्रत्येक मूल का मापांक 1 से कम हो तो अंतर समीकरणों के लिए, स्थिरता होती है। दोनों प्रकार के समीकरणों के लिए, कम से कम एक जोड़ी सम्मिश्र मूलों के होने पर लगातार उतार-चढ़ाव होता है।

लियोनहार्ड यूलर द्वारा निरंतर गुणांक वाले रैखिक साधारण अंतर समीकरण को एकीकृत करने की विधि की खोज की गई, जिन्होंने उसमे पाया कि समाधान एक बीजगणितीय 'विशेषता' समीकरण पर निर्भर है। इसी प्रकार यूलर के विशिष्ट समीकरण के गुणों पर पश्चात में फ्रांसीसी गणितज्ञ ऑगस्टिन-लुई कॉची और गैसपार्ड मोंगे द्वारा अधिक विस्तार से विचार किया गया था।

व्युत्पत्ति

अचर गुणांक a_n, a_n − 1, ..., a₁, a₀ के साथ एक रेखीय सजातीय अवकल समीकरण से प्रारंभ करना,

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0,$

यह देखा जा सकता है कि यदि y(x) = e^rx है, तो प्रत्येक पद e^rx का एक स्थिर गुणक होता है। यह इस तथ्य से परिणामित होता है कि घातीय फलन e^rx का व्युत्पन्न स्वयं का गुणक है, इसलिए, y′ = re^rx, y″ = r²e^rx, और y⁽ⁿ⁾ = rⁿe^rx सभी गुणक हैं। इससे पता चलता है कि r के कुछ मान e^rx के गुणकों को शून्य करने की अनुमति देते है, इस प्रकार सजातीय अंतर समीकरण को समाधान करते है। r का समाधान करने के लिए, y = e^rx और इसके यौगिक को अंतर समीकरण में स्थानापन्न कर सकते हैं,

$a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0$

चूँकि e^rx कभी भी शून्य के बराबर नहीं हो सकता है, इसे विशेषता समीकरण देते हुए विभाजित किया जा सकता है,

$a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0.$

इस विशेषता समीकरण में, r के मूलों को समाधान करके, कोई भी अवकल समीकरण का सामान्य समाधान खोज सकता है। उदाहरण के लिए, यदि r के मूल 3, 11 और 40 के बराबर हैं, तो सामान्य समाधान होगा $y(x)=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{11x}+c_{3}e^{40x}$, जहाँ c1, c2 और c3 मनमाने स्थिरांक हैं जिन्हें सीमा और/या प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित करने की आवश्यकता है।

सामान्य समाधान का गठन

इसी प्रकार इसकी मूलों, r₁, ..., r_n के लिए विशेषता समीकरण को समाधान करने से, अवकल समीकरण का सामान्य समाधान ज्ञात किया जा सकता है। मूल वास्तविक या सम्मिश्र हो सकती हैं, साथ ही भिन्न या दोहराई जा सकती हैं। यदि एक विशेष समीकरण में विशिष्ट वास्तविक मूलों वाले भाग हैं, h दोहराए गए मूल, या k सम्मिश्र मूल y_D(x), y_R1(x), ..., y_Rh(x), और y_C1(x), ..., y_Ck(x), क्रमशः, तो अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है,

$y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)$

उदाहरण

स्थिर गुणांकों के साथ रेखीय सजातीय अवकल समीकरण

$y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0$

विशेषता समीकरण है,

$r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0$

गुणनखंडन द्वारा विशेषता समीकरण में

$(r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0$

कोई देख सकता है कि r के लिए समाधान विशिष्ट एकल मूल r₁ = 3 और डबल सम्मिश्र मूल r_2,3,4,5 = 1 ± i हैं। यह वास्तविक-मूल्यवान सामान्य समाधान के अनुरूप है,

$y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)$

स्थिरांक के साथ c₁, ..., c₅.

विशिष्ट वास्तविक मूल

इसी प्रकार रैखिक सजातीय अवकल समीकरणों के लिए सुपरपोज़िशन सिद्धांत कहता है कि यदि u₁, ..., u_n किसी विशेष अवकल समीकरण के n रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं, तो c₁u₁ + ⋯ + c_nu_n भी सभी मानों c₁, ..., c_n के लिए एक समाधान है। इसलिए, यदि विशेषता समीकरण के भिन्न वास्तविक मूल r₁, ..., r_n हों, तो एक व्यापक समाधान इस रूप का होता है,

$y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}$

पुनरावृत्त वास्तविक मूल

यदि विशेषता समीकरण का मूल r₁ है जिसे k बार दोहराया जाता है, तो यह स्पष्ट है कि y_p(x) = c₁e^r₁x कम से कम एक समाधान है। चूंकि, इसी प्रकार इस समाधान में अन्य k − 1 मूलों से रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का अभाव है। चूँकि r₁ की बहुलता k है, इसलिए अवकल समीकरण का गुणनखंड किया जा सकता है।

$\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0.$

तथ्य यह है कि y_p(x) = c₁e^r₁x एक समाधान है जो किसी को यह मानने की अनुमति देता है कि सामान्य समाधान y(x) = u(x)e^r₁x के रूप में हो सकता है, जहां u(x) निर्धारित किया जाने वाला एक फ़ंक्शन है। इसी प्रकार प्रतिस्थापन ue^r₁x देता है।

$\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)\!ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}$

जब k = 1, इस तथ्य को k बार लागू करने पर, यह अनुसरण करता है।

$\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0.$

e^r₁x को विभाजित करके, इसी प्रकार यह देखा जा सकता है,

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0.$

इसलिए, u(x) के लिए सामान्य स्थिति k − 1 घात का एक बहुपद है, जिससे कि u(x) = c₁ + c₂x + c₃x² + ⋯ + c_kx^k −1 चूँकि y(x) = ue^r₁x, r₁ के संगत सामान्य समाधान का भाग है।

$y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\!\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right).$

सम्मिश्र मूल

इस प्रकार यदि दूसरे क्रम के अवकल समीकरण में r₁ = a + bi और r₂ = a − bi के रूप की जटिल संयुग्मी मूलों वाला विशेषता समीकरण है, y(x) = c₁e^{(a + bi )x} + c₂e^{(a − bi )x} तो सामान्य समाधान तदनुसार, यूलर के सूत्र द्वारा, जो बताता है कि e^iθ = cos θ + i sin θ, इस समाधान को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

${\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}$

जहाँ c₁ और c₂ स्थिरांक हैं जो अवास्तविक हो सकते हैं और जो प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करते हैं। वास्तव में, चूंकि y(x) वास्तविक है,c₁ − c₂ काल्पनिक संख्या या शून्य होना चाहिए और c₁ + c₂ वास्तविक होना चाहिए, जिससे की अंतिम बराबर चिह्न के बाद दोनों शब्द वास्तविक हों जाते है।

उदाहरण के लिए, यदि c₁ = c₂ = 1/2, तो विशेष समाधान y₁(x) = e^ax cos bx बनता है। इसी प्रकार, यदि c₁ = 1/2i और c₂ = −1/2i, तो बनने वाला स्वतंत्र समाधान y₂(x) = e^ax sin bx है। इस प्रकार रेखीय सजातीय अवकल समीकरणों के लिए अध्यारोपण सिद्धांत द्वारा, जटिल मूल r = a ± bi वाले दूसरे क्रम के अवकल समीकरण का परिणाम निम्नलिखित सामान्य समाधान होगा:

$y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}(C_{1}\cos bx+C_{2}\sin bx)$

यह विश्लेषण एक उच्च-क्रम अंतर समीकरण के समाधान के भागों पर भी लागू होता है, जिसकी विशेषता समीकरण में गैर-वास्तविक जटिल संयुग्मी मूल सम्मलित होती हैं।

यह भी देखें

• विशेषता बहुपद