व्रेथ गुणनफल: Difference between revisions

Revision as of 10:04, 2 May 2023

समूह सिद्धांत में, पुष्पांजलि उत्पाद अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद पर आधारित दो समूह (गणित) का एक विशेष संयोजन है। यह एक समूह की क्रिया (समूह सिद्धांत) द्वारा दूसरे समूह की कई प्रतियों पर बनता है, जो कुछ हद तक घातांक के अनुरूप होता है। पुष्पांजलि उत्पादों का उपयोग क्रमचय समूहों के वर्गीकरण में किया जाता है और समूहों के रोचक उदाहरणों के निर्माण का एक तरीका भी प्रदान करता है।

$A$ और $H$ दो समूह दिए गए हैं (कभी-कभी नीचे और ऊपर के रूप में जाना जाता है^[1]), पुष्पांजलि उत्पाद के दो रूप उपस्थित हैं: अप्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद $A{\text{ Wr }}H$ और प्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद $A{\text{ wr }}H$ । सामान्य रूप, जिसे क्रमशः $A{\text{ Wr}}_{\Omega }H$ या $A{\text{ wr}}_{\Omega }H$ द्वारा निरूपित किया जाता है उनके लिए आवश्यक है कि $H$ कुछ सम्मुच्चय $\Omega$ पर समूह क्रिया (गणित) करे। जब अनिर्दिष्ट होता है, सामान्यतः $\Omega =H$ (एक नियमित पुष्पांजलि उत्पाद), हालांकि एक अलग $\Omega$ कभी-कभी निहित होता है। जब $A$ , $H$ , और $\Omega$ सभी परिमित होते हैं, तब दो भिन्नताएं मेल खाती हैं। अन्यतर भिन्नता को $A\wr H$ (लाटेक्स प्रतीक के लिए \wr के साथ) या $A\wr H$ (एकल कूट U+2240) के रूप में भी दर्शाया जाता है।

यह धारणा अर्धसमूहों के लिए सामान्यीकृत है और परिमित अर्धसमूहों क्रोह्न-रोड्स सिद्धांत में एक केंद्रीय निर्माण है।

परिभाषा

मान लीजिये A एक समूह है और H को एक सम्मुच्चय पर कार्य करने वाला समूह $\Omega$ है। समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद $A^{\Omega }$ का $A$ साथ ही द्वारा अनुक्रमित $\Omega$ क्रमों का समुच्चय है ${\overline {a}}=(a_{\omega })_{\omega \in \Omega }$ में $A$ द्वारा अनुक्रमित $\Omega$ बिंदुवार गुणन द्वारा दिए गए समूह संचालन के साथ। की क्रिया $H$ पर $\Omega$ पर कार्रवाई के लिए बढ़ाया जा सकता है $A^{\Omega }$ रीइंडेक्सिंग द्वारा, अर्थात् परिभाषित करके $A$ $H$

h\cdot (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }:=(a_{h^{-1}\cdot \omega })_{\omega \in \Omega }

सभी के लिए $h\in H$ और सभी $(a_{\omega })_{\omega \in \Omega }\in A^{\Omega }$ .

फिर अप्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद $A{\text{ Wr}}_{\Omega }H$ का $A$ द्वारा $H$ अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है $A^{\Omega }\rtimes H$ की क्रिया के साथ $H$ पर $A^{\Omega }$ ऊपर दिया गया है। उपसमूह $A^{\Omega }$ का $A^{\Omega }\rtimes H$ पुष्पांजलि उत्पाद का आधार कहा जाता है।

प्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद $A{\text{ wr}}_{\Omega }H$ अप्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद के रूप में उसी तरह बनाया गया है, सिवाय इसके कि पुष्पांजलि उत्पाद के आधार के रूप में समूहों के प्रत्यक्ष योग का उपयोग किया जाता है। इस मामले में, आधार में सभी अनुक्रम होते हैं $A$ बारीक-कई गैर-पहचान तत्व प्रविष्टियों के साथ।

सबसे आम मामले में, $\Omega =H$ , और $H$ बाएं गुणन द्वारा स्वयं पर कार्य करता है। इस मामले में, अप्रतिबंधित और प्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद द्वारा निरूपित किया जा सकता है $A{\text{ Wr }}H$ और $A{\text{ wr }}H$ क्रमश। इसे नियमित पुष्पांजलि उत्पाद कहा जाता है।

अंकन और परंपराएँ

एच द्वारा ए के माल्यार्पण उत्पाद की संरचना एच-सम्मुच्चय Ω पर निर्भर करती है और मामले में Ω अनंत है, यह इस बात पर भी निर्भर करता है कि कोई प्रतिबंधित या अप्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद का उपयोग करता है या नहीं। हालाँकि, साहित्य में प्रयुक्त संकेतन में कमी हो सकती है और परिस्थितियों पर ध्यान देने की आवश्यकता है।

साहित्य में ए≀_ΩH अप्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद A Wr के लिए खड़ा हो सकता है_Ωएच या प्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद A wr_Ωएच।
इसी तरह, A≀H अप्रतिबंधित नियमित पुष्पांजलि उत्पाद A Wr H या प्रतिबंधित नियमित पुष्पांजलि उत्पाद A wr H के लिए खड़ा हो सकता है।
साहित्य में एच-सम्मुच्चय Ω को अंकन से छोड़ा जा सकता है भले ही Ω ≠ H।
विशेष मामले में कि एच = एस_n डिग्री n का सममित समूह है साहित्य में यह मान लेना आम है कि Ω = {1,...,n} (एस की प्राकृतिक क्रिया के साथ_n) और फिर Ω को अंकन से हटा दें। यानी ए≀एस_n सामान्यतः A≀ को दर्शाता है_{1,...,n}S_n नियमित माल्यार्पण उत्पाद A≀ के बजाय_{S_n</उप>एस_n. पहले मामले में आधार समूह ए की एन प्रतियों का उत्पाद है, बाद में यह फैक्टोरियल का उत्पाद है। एन! ए की प्रतियां।}

गुण

=== परिमित Ω === पर अप्रतिबंधित और प्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद का समझौता चूँकि परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद समूहों के परिमित प्रत्यक्ष योग के समान है, यह इस प्रकार है कि अप्रतिबंधित A Wr_ΩH और प्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद A wr_Ωएच सहमत है अगर एच-सम्मुच्चय Ω परिमित है। विशेष रूप से यह तब सत्य होता है जब Ω = H परिमित होता है।

उपसमूह

ए WR_ΩH हमेशा A Wr का उपसमूह होता है_Ωएच।

कार्डिनैलिटी

यदि A, H और Ω परिमित हैं, तो

|ए≀_Ωएच| = |ए|^|ओह||एच|.^[2]

यूनिवर्सल एम्बेडिंग प्रमेय

यूनिवर्सल एम्बेडिंग प्रमेय: यदि G, H द्वारा A का एक समूह विस्तार है, तो अप्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद A≀H का एक उपसमूह मौजूद है जो G के लिए आइसोमोर्फिक है।^[3] इसे क्रास्नर-कलौजिनिन एम्बेडिंग प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है। क्रोहन-रोड्स प्रमेय में वह शामिल है जो मूल रूप से इसके समतुल्य अर्धसमूह है।^[4]

पुष्पांजलि उत्पादों की विहित क्रियाएं

यदि समूह A एक सम्मुच्चय Λ पर कार्य करता है तो Ω और Λ से सम्मुच्चय बनाने के दो विहित तरीके हैं जिन पर A Wr_Ωएच (और इसलिए ए WR_Ωएच) कार्य कर सकता है।

Λ × Ω पर पुष्पांजलि उत्पाद कार्रवाई।
अगर ((a_ω),h) ∈ A Wr_Ω H और (λ,ω′) ∈ Λ × Ω, तब
$((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda ,\omega '):=(a_{h(\omega ')}\lambda ,h\omega ').$
Λ पर आदिम पुष्पांजलि उत्पाद क्रिया^ओह।
एल में एक तत्व^Ω एक क्रम है (l_ω) एच-सम्मुच्चय Ω द्वारा अनुक्रमित। एक तत्व दिया ((a_ω), h) ∈ A Wr_Ω H इसका संचालन (λ_ω) ∈ एल^Ω द्वारा दिया गया है
$((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda _{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega }\lambda _{h^{-1}\omega }).$

उदाहरण

लैम्पलाइटर समूह प्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद ℤ है₂≀ℤ.
$ℤ m ≀ S n$ (सामान्यीकृत सममित समूह)।

इस पुष्पांजलि उत्पाद का आधार n-गुना प्रत्यक्ष उत्पाद है

ℤ_m^{एन</सुप> = ℤ_m × ... × ℤ_m}

ℤ की प्रतियों का_m जहां क्रिया φ : S_n → ऑट (ℤ_mⁿ) सममित समूह S का_n डिग्री n द्वारा दिया गया है

एफ (एस) (ए₁,..., ए_n) := (अ_σ(1),..., ए_σ(n)).^[5]

एस₂≀S_n (हाइपरऑक्टाहेड्रल समूह)।

एस की कार्रवाई_n {1,...,n} पर ऊपर जैसा है। चूँकि सममित समूह S₂ डिग्री 2 का समूह समरूपता ℤ है₂ हाइपरऑक्टाहेड्रल समूह सामान्यीकृत सममित समूह का एक विशेष मामला है।^[6]

सबसे छोटा गैर-तुच्छ माल्यार्पण उत्पाद ℤ है₂≀ℤ₂, जो उपरोक्त हाइपरऑक्टाहेड्रल समूह का द्वि-आयामी मामला है। यह वर्ग का सममिति समूह है, जिसे डीह भी कहते हैं₄, ऑर्डर 8 का डायहेड्रल समूह।
मान लीजिए p एक अभाज्य संख्या है और मान लीजिए n≥1। पी को एक साइलो प्रमेय होने दें | सममित समूह एस के साइलो पी-उपसमूह_pⁿ. फिर पी पुनरावृत्त नियमित पुष्पांजलि उत्पाद डब्ल्यू के लिए समूह समरूपता है_n = ℤ_p ≀ ℤ_p≀...≀ℤ_p ℤ की एन प्रतियों की_p. यहां डब्ल्यू₁ := ℤ_p और डब्ल्यू_k :=व_k−1≀ℤ_p सबके लिए क ≥ 2.^[7]^[8] उदाहरण के लिए, एस का साइलो 2-उपसमूह₄ उपरोक्त ℤ है₂≀ℤ₂ समूह।

रुबिक का घन समूह पुष्पांजलि उत्पादों के उत्पाद में सूचकांक 12 का एक उपसमूह है, (ℤ₃≀S₈) × (ℤ₂≀S₁₂), 8 कोनों और 12 किनारों की समरूपता के अनुरूप कारक।

सुडोकू का गणित # सुडोकू समरूपता समूह | सुडोकू वैधता संरक्षण परिवर्तन (वीपीटी) समूह में डबल पुष्पांजलि उत्पाद (एस) शामिल है₃ ≀ एस₃) ≀ एस₂, जहां कारक 3-पंक्ति या 3-स्तंभ बैंड या ढेर (एस) के भीतर पंक्तियों/स्तंभों का क्रमचय है₃), बैंड/स्टैक का क्रमपरिवर्तन स्वयं (एस₃) और ट्रांसपोजिशन, जो बैंड और स्टैक को इंटरचेंज करता है (एस₂). यहां, सूचकांक सम्मुच्चय Ω बैंड (प्रतिक्रिया ढेर) (| Ω | = 3) और सम्मुच्चय {बैंड, ढेर} (| Ω | = 2) का सम्मुच्चय है। तदनुसार, |एस₃ ≀ एस₃| = |एस₃|³|एस₃| = (3!)⁴ और |(एस₃ ≀ एस₃) ≀ एस₂| = |एस₃ ≀ एस₃|²|एस₂| = (3!)⁸ × 2।
पुष्पांजलि उत्पाद स्वाभाविक रूप से पूर्ण जड़ वाले वृक्ष (डेटा संरचना) और उनके ग्राफ (असतत गणित) के समरूपता समूह में उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, बार-बार (पुनरावृत्त) पुष्पांजलि उत्पाद एस₂ ≀ एस₂ ≀... ≀ एस₂ एक पूर्ण बाइनरी ट्री का ऑटोमोर्फिज्म समूह है।

संदर्भ

↑ Bhattacharjee, Meenaxi; Macpherson, Dugald; Möller, Rögnvaldur G.; Neumann, Peter M. (1998), "Wreath products", Notes on Infinite Permutation Groups, Lecture Notes in Mathematics (in English), Berlin, Heidelberg: Springer, pp. 67–76, doi:10.1007/bfb0092558, ISBN 978-3-540-49813-1, retrieved 2021-05-12
↑ Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 172 (1995)
↑ M. Krasner and L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", Acta Sci. Math. 14, pp. 69–82 (1951)
↑ J D P Meldrum (1995). समूहों और अर्धसमूहों के पुष्पांजलि उत्पाद. Longman [UK] / Wiley [US]. p. ix. ISBN 978-0-582-02693-3.
↑ J. W. Davies and A. O. Morris, "The Schur Multiplier of the Generalized Symmetric Group", J. London Math. Soc. (2), 8, (1974), pp. 615–620
↑ P. Graczyk, G. Letac and H. Massam, "The Hyperoctahedral Group, Symmetric Group Representations and the Moments of the Real Wishart Distribution", J. Theoret. Probab. 18 (2005), no. 1, 1–42.
↑ Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 176 (1995)
↑ L. Kaloujnine, "La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série 65, pp. 239–276 (1948)

बाहरी संबंध

Wreath product in Encyclopedia of Mathematics.
Some Applications of the Wreath Product Construction. Archived 21 February 2014 at the Wayback Machine

[1] Bhattacharjee, Meenaxi; Macpherson, Dugald; Möller, Rögnvaldur G.; Neumann, Peter M. (1998), "Wreath products", Notes on Infinite Permutation Groups, Lecture Notes in Mathematics (in English), Berlin, Heidelberg: Springer, pp. 67–76, doi:10.1007/bfb0092558, ISBN 978-3-540-49813-1, retrieved 2021-05-12

[2] Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 172 (1995)

[3] M. Krasner and L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", Acta Sci. Math. 14, pp. 69–82 (1951)

[Meldrum1995-4] J D P Meldrum (1995). समूहों और अर्धसमूहों के पुष्पांजलि उत्पाद. Longman [UK] / Wiley [US]. p. ix. ISBN 978-0-582-02693-3.

[5] J. W. Davies and A. O. Morris, "The Schur Multiplier of the Generalized Symmetric Group", J. London Math. Soc. (2), 8, (1974), pp. 615–620

[6] P. Graczyk, G. Letac and H. Massam, "The Hyperoctahedral Group, Symmetric Group Representations and the Moments of the Real Wishart Distribution", J. Theoret. Probab. 18 (2005), no. 1, 1–42.

[7] Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 176 (1995)

[8] L. Kaloujnine, "La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série 65, pp. 239–276 (1948)

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 {{Group theory sidebar |Basics}}
-[[समूह सिद्धांत]] में, पुष्पांजलि उत्पाद [[अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद]] पर आधारित दो [[समूह (गणित)]] का एक विशेष संयोजन है। यह एक समूह की [[क्रिया (समूह सिद्धांत)]] द्वारा दूसरे समूह की कई प्रतियों पर बनता है, जो कुछ हद तक [[घातांक]] के अनुरूप होता है। पुष्पांजलि उत्पादों का उपयोग क्रमचय समूहों के वर्गीकरण में किया जाता है और समूहों के दिलचस्प उदाहरणों के निर्माण का एक तरीका भी प्रदान करता है।
+[[समूह सिद्धांत]] में, पुष्पांजलि उत्पाद [[अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद]] पर आधारित दो [[समूह (गणित)]] का एक विशेष संयोजन है। यह एक समूह की [[क्रिया (समूह सिद्धांत)]] द्वारा दूसरे समूह की कई प्रतियों पर बनता है, जो कुछ हद तक [[घातांक]] के अनुरूप होता है। पुष्पांजलि उत्पादों का उपयोग क्रमचय समूहों के वर्गीकरण में किया जाता है और समूहों के रोचक उदाहरणों के निर्माण का एक तरीका भी प्रदान करता है।
-दो समूह दिए <math>A</math> और <math>H</math> (कभी-कभी नीचे और ऊपर के रूप में जाना जाता है<ref>{{Citation|last=Bhattacharjee|first=Meenaxi|title=Wreath products|date=1998|url=https://doi.org/10.1007/BFb0092558|work=Notes on Infinite Permutation Groups|pages=67–76|series=Lecture Notes in Mathematics|place=Berlin, Heidelberg|publisher=Springer|language=en|doi=10.1007/bfb0092558|isbn=978-3-540-49813-1|access-date=2021-05-12|last2=Macpherson|first2=Dugald|last3=Möller|first3=Rögnvaldur G.|last4=Neumann|first4=Peter M.}}</ref>), पुष्पांजलि उत्पाद के दो रूप मौजूद हैं: अप्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद <math>A \text{ Wr } H</math> और प्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद <math>A \text{ wr } H</math>. सामान्य रूप, द्वारा निरूपित <math>A \text{ Wr}_{\Omega} H</math> या <math>A \text{ wr}_{\Omega} H</math> क्रमशः इसकी आवश्यकता है <math>H</math> कुछ सेट पर [[समूह क्रिया (गणित)]]। <math>\Omega</math>; जब अनिर्दिष्ट, आमतौर पर <math>\Omega = H</math> (एक नियमित पुष्पांजलि उत्पाद), हालांकि एक अलग <math>\Omega</math> कभी-कभी निहित होता है। दो भिन्नताएं कब मेल खाती हैं <math>A</math>, <math>H</math>, और <math>\Omega</math> सभी परिमित हैं। या तो भिन्नता को भी निरूपित किया जाता है <math>A \wr H</math> (LaTeX प्रतीक के लिए \wr के साथ) या ''A'' ≀ ''H'' ([[यूनिकोड]] U+2240)।
+<math>A</math> और <math>H</math> दो समूह दिए गए हैं (कभी-कभी नीचे और ऊपर के रूप में जाना जाता है<ref>{{Citation|last=Bhattacharjee|first=Meenaxi|title=Wreath products|date=1998|url=https://doi.org/10.1007/BFb0092558|work=Notes on Infinite Permutation Groups|pages=67–76|series=Lecture Notes in Mathematics|place=Berlin, Heidelberg|publisher=Springer|language=en|doi=10.1007/bfb0092558|isbn=978-3-540-49813-1|access-date=2021-05-12|last2=Macpherson|first2=Dugald|last3=Möller|first3=Rögnvaldur G.|last4=Neumann|first4=Peter M.}}</ref>), पुष्पांजलि उत्पाद के दो रूप उपस्थित हैं: अप्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद <math>A \text{ Wr } H</math> और प्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद <math>A \text{ wr } H</math>। सामान्य रूप, जिसे क्रमशः <math>A \text{ Wr}_{\Omega} H</math> या <math>A \text{ wr}_{\Omega} H</math> द्वारा निरूपित किया जाता है उनके लिए आवश्यक है कि <math>H</math> कुछ सम्मुच्चय <math>\Omega</math> पर समूह क्रिया (गणित) करे। जब अनिर्दिष्ट होता है, सामान्यतः <math>\Omega = H</math> (एक नियमित पुष्पांजलि उत्पाद), हालांकि एक अलग <math>\Omega</math> कभी-कभी निहित होता है। जब <math>A</math>, <math>H</math>, और <math>\Omega</math> सभी परिमित होते हैं, तब दो भिन्नताएं मेल खाती हैं। अन्यतर  भिन्नता को <math>A \wr H</math>  (लाटेक्स प्रतीक के लिए \wr के साथ) या <math>A \wr H</math> (एकल कूट U+2240) के रूप में भी दर्शाया जाता है।
-यह धारणा अर्धसमूहों के लिए सामान्यीकृत है और क्रोह्न-रोड्स सिद्धांत में एक केंद्रीय निर्माण है | परिमित अर्धसमूहों का क्रोहन-रोड्स संरचना सिद्धांत।
+यह धारणा अर्धसमूहों के लिए सामान्यीकृत है और परिमित अर्धसमूहों  क्रोह्न-रोड्स सिद्धांत में एक केंद्रीय निर्माण है।
 == परिभाषा ==
-होने देना <math>A</math> एक समूह बनो और चलो <math>H</math> एक सेट पर समूह समूह क्रिया (गणित) हो <math>\Omega</math> (बाईं तरफ)। [[समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद]] <math>A^{\Omega}</math> का <math>A</math> साथ ही द्वारा अनुक्रमित <math>\Omega</math> क्रमों का समुच्चय है <math>\overline{a} = (a_{\omega})_{\omega \in \Omega}</math> में <math>A</math> द्वारा अनुक्रमित <math>\Omega</math>बिंदुवार गुणन द्वारा दिए गए समूह संचालन के साथ। की क्रिया <math>H</math> पर <math>\Omega</math> पर कार्रवाई के लिए बढ़ाया जा सकता है <math>A^{\Omega}</math> रीइंडेक्सिंग द्वारा, अर्थात् परिभाषित करके
+मान लीजिये A एक समूह है और H को एक सम्मुच्चय पर कार्य करने वाला समूह <math>\Omega</math> है। [[समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद]] <math>A^{\Omega}</math> का <math>A</math> साथ ही द्वारा अनुक्रमित <math>\Omega</math> क्रमों का समुच्चय है <math>\overline{a} = (a_{\omega})_{\omega \in \Omega}</math> में <math>A</math> द्वारा अनुक्रमित <math>\Omega</math>बिंदुवार गुणन द्वारा दिए गए समूह संचालन के साथ। की क्रिया <math>H</math> पर <math>\Omega</math> पर कार्रवाई के लिए बढ़ाया जा सकता है <math>A^{\Omega}</math> रीइंडेक्सिंग द्वारा, अर्थात् परिभाषित करके<math>A</math><math>H</math>
 : <math> h \cdot (a_{\omega})_{\omega \in \Omega} := (a_{h^{-1} \cdot \omega})_{\omega \in \Omega}</math>
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 == अंकन और परंपराएँ ==
-एच द्वारा ए के माल्यार्पण उत्पाद की संरचना एच-सेट Ω पर निर्भर करती है और मामले में Ω अनंत है, यह इस बात पर भी निर्भर करता है कि कोई प्रतिबंधित या अप्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद का उपयोग करता है या नहीं। हालाँकि, साहित्य में प्रयुक्त संकेतन में कमी हो सकती है और परिस्थितियों पर ध्यान देने की आवश्यकता है।
+एच द्वारा ए के माल्यार्पण उत्पाद की संरचना एच-सम्मुच्चय Ω पर निर्भर करती है और मामले में Ω अनंत है, यह इस बात पर भी निर्भर करता है कि कोई प्रतिबंधित या अप्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद का उपयोग करता है या नहीं। हालाँकि, साहित्य में प्रयुक्त संकेतन में कमी हो सकती है और परिस्थितियों पर ध्यान देने की आवश्यकता है।
 * साहित्य में ए≀<sub>Ω</sub>H अप्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद A Wr के लिए खड़ा हो सकता है<sub>Ω</sub>एच या प्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद A wr<sub>Ω</sub>एच।
 * इसी तरह, A≀H अप्रतिबंधित नियमित पुष्पांजलि उत्पाद A Wr H या प्रतिबंधित नियमित पुष्पांजलि उत्पाद A wr H के लिए खड़ा हो सकता है।
-* साहित्य में एच-सेट Ω को अंकन से छोड़ा जा सकता है भले ही Ω ≠ H।
+* साहित्य में एच-सम्मुच्चय Ω को अंकन से छोड़ा जा सकता है भले ही Ω ≠ H।
-* विशेष मामले में कि एच = एस<sub>''n''</sub> डिग्री n का [[सममित समूह]] है साहित्य में यह मान लेना आम है कि Ω = {1,...,n} (एस की प्राकृतिक क्रिया के साथ<sub>''n''</sub>) और फिर Ω को अंकन से हटा दें। यानी ए≀एस<sub>''n''</sub> आमतौर पर A≀ को दर्शाता है<sub>{1,...,''n''}</sub>S<sub>''n''</sub> नियमित माल्यार्पण उत्पाद A≀ के बजाय<sub>''S''<sub>''n''</sub></उप>एस<sub>''n''</sub>. पहले मामले में आधार समूह ए की एन प्रतियों का उत्पाद है, बाद में यह फैक्टोरियल का उत्पाद है। एन! ए की प्रतियां।
+* विशेष मामले में कि एच = एस<sub>''n''</sub> डिग्री n का [[सममित समूह]] है साहित्य में यह मान लेना आम है कि Ω = {1,...,n} (एस की प्राकृतिक क्रिया के साथ<sub>''n''</sub>) और फिर Ω को अंकन से हटा दें। यानी ए≀एस<sub>''n''</sub> सामान्यतः A≀ को दर्शाता है<sub>{1,...,''n''}</sub>S<sub>''n''</sub> नियमित माल्यार्पण उत्पाद A≀ के बजाय<sub>''S''<sub>''n''</sub></उप>एस<sub>''n''</sub>. पहले मामले में आधार समूह ए की एन प्रतियों का उत्पाद है, बाद में यह फैक्टोरियल का उत्पाद है। एन! ए की प्रतियां।
 == गुण ==
 === परिमित Ω === पर अप्रतिबंधित और प्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद का समझौता
-चूँकि परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद समूहों के परिमित प्रत्यक्ष योग के समान है, यह इस प्रकार है कि अप्रतिबंधित A Wr<sub>Ω</sub>H और प्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद A wr<sub>Ω</sub>एच सहमत है अगर एच-सेट Ω परिमित है। विशेष रूप से यह तब सत्य होता है जब Ω = H परिमित होता है।
+चूँकि परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद समूहों के परिमित प्रत्यक्ष योग के समान है, यह इस प्रकार है कि अप्रतिबंधित A Wr<sub>Ω</sub>H और प्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद A wr<sub>Ω</sub>एच सहमत है अगर एच-सम्मुच्चय Ω परिमित है। विशेष रूप से यह तब सत्य होता है जब Ω = H परिमित होता है।
 === उपसमूह ===
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 == पुष्पांजलि उत्पादों की विहित क्रियाएं ==
-यदि समूह A एक सेट Λ पर कार्य करता है तो Ω और Λ से सेट बनाने के दो विहित तरीके हैं जिन पर A Wr<sub>Ω</sub>एच (और इसलिए ए WR<sub>Ω</sub>एच) कार्य कर सकता है।
+यदि समूह A एक सम्मुच्चय Λ पर कार्य करता है तो Ω और Λ से सम्मुच्चय बनाने के दो विहित तरीके हैं जिन पर A Wr<sub>Ω</sub>एच (और इसलिए ए WR<sub>Ω</sub>एच) कार्य कर सकता है।
 * Λ × Ω पर पुष्पांजलि उत्पाद कार्रवाई।
@@ Line 56: / Line 56: @@
 *:: <math>((a_\omega), h) \cdot (\lambda,\omega') := (a_{h(\omega')}\lambda, h\omega'). </math>
 * Λ पर आदिम पुष्पांजलि उत्पाद क्रिया<sup>ओह</sup>।
-*: एल में एक तत्व<sup>Ω</sup> एक क्रम है (l<sub>''ω''</sub>) एच-सेट Ω द्वारा अनुक्रमित। एक तत्व दिया {{nowrap|((''a''<sub>''ω''</sub>), ''h'') ∈ ''A'' Wr<sub>Ω</sub> ''H''}} इसका संचालन (λ<sub>''ω''</sub>) ∈ एल<sup>Ω</sup> द्वारा दिया गया है
+*: एल में एक तत्व<sup>Ω</sup> एक क्रम है (l<sub>''ω''</sub>) एच-सम्मुच्चय Ω द्वारा अनुक्रमित। एक तत्व दिया {{nowrap|((''a''<sub>''ω''</sub>), ''h'') ∈ ''A'' Wr<sub>Ω</sub> ''H''}} इसका संचालन (λ<sub>''ω''</sub>) ∈ एल<sup>Ω</sup> द्वारा दिया गया है
 *:: <math>((a_\omega), h) \cdot (\lambda_\omega) :=  (a_{h^{-1}\omega}\lambda_{h^{-1}\omega}).</math>
@@ Line 79: / Line 79: @@
 * रुबिक का घन समूह पुष्पांजलि उत्पादों के उत्पाद में सूचकांक 12 का एक उपसमूह है, (ℤ<sub>3</sub>≀S<sub>8</sub>) × (ℤ<sub>2</sub>≀S<sub>12</sub>), 8 कोनों और 12 किनारों की समरूपता के अनुरूप कारक।
-* सुडोकू का गणित # सुडोकू समरूपता समूह | सुडोकू वैधता संरक्षण परिवर्तन (वीपीटी) समूह में डबल पुष्पांजलि उत्पाद (एस) शामिल है<sub>3</sub> ≀ एस<sub>3</sub>) ≀ एस<sub>2</sub>, जहां कारक 3-पंक्ति या 3-स्तंभ बैंड या ढेर (एस) के भीतर पंक्तियों/स्तंभों का क्रमचय है<sub>3</sub>), बैंड/स्टैक का क्रमपरिवर्तन स्वयं (एस<sub>3</sub>) और ट्रांसपोजिशन, जो बैंड और स्टैक को इंटरचेंज करता है (एस<sub>2</sub>). यहां, सूचकांक सेट Ω बैंड (प्रतिक्रिया ढेर) (| Ω | = 3) और सेट {बैंड, ढेर} (| Ω | = 2) का सेट है। तदनुसार, |एस<sub>3</sub> ≀ एस<sub>3</sub>| = |एस<sub>3</sub>|<sup>3</sup>|एस<sub>3</sub>| = (3!)<sup>4</sup> और |(एस<sub>3</sub> ≀ एस<sub>3</sub>) ≀ एस<sub>2</sub>| = |एस<sub>3</sub> ≀ एस<sub>3</sub>|<sup>2</sup>|एस<sub>2</sub>| = (3!)<sup>8</sup> × 2।
+* सुडोकू का गणित # सुडोकू समरूपता समूह | सुडोकू वैधता संरक्षण परिवर्तन (वीपीटी) समूह में डबल पुष्पांजलि उत्पाद (एस) शामिल है<sub>3</sub> ≀ एस<sub>3</sub>) ≀ एस<sub>2</sub>, जहां कारक 3-पंक्ति या 3-स्तंभ बैंड या ढेर (एस) के भीतर पंक्तियों/स्तंभों का क्रमचय है<sub>3</sub>), बैंड/स्टैक का क्रमपरिवर्तन स्वयं (एस<sub>3</sub>) और ट्रांसपोजिशन, जो बैंड और स्टैक को इंटरचेंज करता है (एस<sub>2</sub>). यहां, सूचकांक सम्मुच्चय Ω बैंड (प्रतिक्रिया ढेर) (| Ω | = 3) और सम्मुच्चय {बैंड, ढेर} (| Ω | = 2) का सम्मुच्चय है। तदनुसार, |एस<sub>3</sub> ≀ एस<sub>3</sub>| = |एस<sub>3</sub>|<sup>3</sup>|एस<sub>3</sub>| = (3!)<sup>4</sup> और |(एस<sub>3</sub> ≀ एस<sub>3</sub>) ≀ एस<sub>2</sub>| = |एस<sub>3</sub> ≀ एस<sub>3</sub>|<sup>2</sup>|एस<sub>2</sub>| = (3!)<sup>8</sup> × 2।
 * पुष्पांजलि उत्पाद स्वाभाविक रूप से पूर्ण जड़ वाले [[वृक्ष (डेटा संरचना)]] और उनके [[ग्राफ (असतत गणित)]] के समरूपता समूह में उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, बार-बार (पुनरावृत्त) पुष्पांजलि उत्पाद एस<sub>2</sub> ≀ एस<sub>2</sub> ≀... ≀ एस<sub>2</sub> एक पूर्ण [[बाइनरी ट्री]] का ऑटोमोर्फिज्म समूह है।

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पुष्पांजलि उत्पादों की विहित क्रियाएं

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