सहसंबंध फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)

For other uses, see सहसंबंध फलन (बहुविकल्पी).

ऊपर और नीचे दोनों लोहचुंबकीय और प्रतिलौहचुम्बकीय पदार्थ के लिए योजनाबद्ध समान-समय प्रचक्रण सहसंबंध फलन $T_{\text{Curie}}$ सहसंबंध लंबाई द्वारा सामान्यीकृत दूरी सभी स्थितियों में सहसंबंध मूल के निकटतम सबसे जटिल होते हैं यह दर्शाता है कि प्रचक्रण का निकटतम पदार्थ पर सबसे अधिक प्रभाव पड़ता है जैसे-जैसे उद्गम स्थल पर प्रचक्रण से दूरी बढ़ती जाती है, वैसे-वैसे सभी सहसंबंध धीरे-धीरे क्षीण होते जाते हैं क्यूरी तापमान के ऊपर प्रचक्रण के बीच का संबंध शून्य हो जाता है क्योंकि प्रचक्रण के बीच की दूरी बहुत अधिक हो जाती है इसके विपरीत, $T_{\text{Curie}}$ के नीचे प्रचक्रण के बीच सहसंबंध बड़ी दूरी पर शून्य की ओर नहीं जाता है बल्कि इसके अतिरिक्त प्रणाली के लंबी दूरी के क्रम के अनुरूप एक स्तर तक घट जाता है इन क्षय व्यवहारों में अंतर जहां सूक्ष्म यादृच्छिक चर के बीच सहसंबंध बड़ी दूरी पर शून्य से गैर-शून्य हो जाते हैं यह लघु दूरी के क्रम को परिभाषित करने का एक तरीका है।

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, सहसंबंध फलन गणितीय सहसंबंध फलन की विशेषता के रूप में एक प्रणाली में अनुक्रमों का अनुप्रयोग है जैसे सहसंबंध फलन वर्णन करते हैं कि सूक्ष्म चर घूर्णन और घनत्व विभिन्न पदों पर कैसे संबंधित हैं अधिक विशेष रूप से, सहसंबंध फलन यह निर्धारित करते हैं कि कैसे सूक्ष्म चर अवस्था और समय में औसतन एक दूसरे के साथ सह-भिन्न होते हैं इस प्रकार के स्थानिक सहसंबंधों का एक उत्कृष्ट उदाहरण लोहचुंबकीय और प्रतिलोहचुंबकीय पदार्थों में है जहां घूर्णन क्रमशः अपने निकटतम मान के साथ समानांतर और प्रतिसमांतर मान को संरेखित करते हैं ऐसी पदार्थों में घूर्णन के बीच स्थानिक सहसंबंध को चित्र में दाईं ओर दिखाया गया है।

परिभाषाएँ

सहसंबंध फलन की सबसे सामान्य परिभाषा दो यादृच्छिक चर $s_{1}$ और $s_{2}$ के पदों $R$ और $R+r$ और समय $t$ और $t+\tau$ के अदिश उत्पाद का विहित समुदाय (ऊष्मीय) औसत है:

$$C(r,\tau )=\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle \,.$$

यहाँ कोष्ठक $\langle \cdot \rangle$ ऊपर बताए गए तापीय औसत को दर्शाते हैं कि यह एक प्रारम्भिक स्थिति है जिसमे $s_{1}$ और $s_{2}$, $\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle$ सहसंबद्ध उत्पाद से $\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle$ क्षेत्रों के बीच अलग-अलग फलन के साथ सहसंबंध फलनों का सबसे सामान्य उपयोग होता है जिसमे $s_{1}$ और $s_{2}$ एक ही चर का वर्णन करते है जैसे घूर्णन सहसंबंध फलन या एक मौलिक तरल या ठोस में कण स्थिति-स्थिति सहसंबंध फलन (प्रायः रेडियल वितरण फलन या युग्म सहसंबंध फलन कहा जाता है) एक ही यादृच्छिक चर के बीच सहसंबंध फलन स्वसंबंध फलन होते हैं हालाँकि सांख्यिकीय यांत्रिकी में सभी सहसंबंध फलन स्वतःसंबंध फलन नहीं होते हैं उदाहरण के लिए बहुघटक संघनित चरणों में विभिन्न तत्वों के बीच युग्म सहसंबंध फलन होता है इस प्रकार के मिश्रित-तत्व युग्म सहसंबंध फलन व्यतिसहसंबंध फलन का एक उदाहरण हैं क्योंकि यादृच्छिक चर $s_{1}$ और $s_{2}$ दो अलग-अलग तत्वों के लिए फलन स्थिति के रूप में घनत्व औसत भिन्नता का प्रतिनिधित्व करते हैं।

संतुलन समान-समय (स्थानिक) सहसंबंध फलन

प्रायः किसी दिए गए यादृच्छिक चर के स्थानिक प्रभाव में रुचि होती है बाद के समय पर विचार किए बिना अपने स्थानीय पर्यावरण पर घूर्णन की दिशा $\tau$ को इस स्थिति में हम प्रणाली के समय के विकास की उपेक्षा करते हैं इसलिए उपरोक्त परिभाषा $\tau =0$ के साथ पुनः लिखी गई है यह समान-समय के सहसंबंध फलन $C(r,0)$ को परिभाषित करता है इसे इस प्रकार लिखा गया है:

$$C(r,0)=\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2}} (R+r,t)\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R+r,t)\rangle \,.$$

प्रायः यह संदर्भ समय $t$ और संदर्भ त्रिज्या $R$ को संतुलन मे मानकर (इस प्रकार का समय व्युत्क्रम) और सभी प्रतिरूप पदों को औसत उपज द्वारा विभाजित कर देता है:

$$C(r)=\langle \mathbf {s_{1}} (0)\cdot \mathbf {s_{2}} (r)\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (0)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (r)\rangle$$

जहां फिर से असंबद्ध चरों को घटाना है या नहीं, इसका विकल्प क्षेत्रों के बीच भिन्न होता है रेडियल वितरण फलन एक समान समय के सहसंबंध फलन का एक उदाहरण है जहां असंबद्ध संदर्भ सामान्यतः घटाया नहीं जाता है अन्य समान समय प्रचक्रण सहसंबंध फलन इस पृष्ठ पर विभिन्न सामग्रियों और स्थितियों के लिए दिखाए जाते हैं।

संतुलन समान-स्थिति (लौकिक) सहसंबंध फलन

सूक्ष्म चरों के अस्थायी विकास में भी रुचि हो सकती है दूसरे शब्दों में किसी दिए गए समय $t$ और त्रिज्या $R$ पर एक सूक्ष्म चर का मान उसी सूक्ष्म चर के मान के बाद के समय $t+\tau$ (और सामान्यतः उसी स्थिति में) पर कैसे प्रभावित करता है इस प्रकार के लौकिक सहसंबंधों को समान-स्थिति सहसंबंध फलन $C(0,\tau )$ के माध्यम से परिमाणित किया जाता है उन्हें समान समय के सहसंबंध फलन के ऊपर समान रूप से परिभाषित किया गया है लेकिन अब हम $r=0$ की स्थानिक निर्भरताओं की उपेक्षा करते हैं:

$$C(0,\tau )=\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2}} (R,t+\tau )\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R,t+\tau )\rangle \,.$$

यह मानते हुए कि संतुलन (और इस प्रकार के फलन का समय व्युत्क्रम) और प्रतिरूप में सभी स्थितियों पर औसत समान स्थिति सहसंबंध फलन के लिए समान समय सहसंबंध फलन के लिए एक सरल अभिव्यक्ति देता है:

$$C(\tau )=\langle \mathbf {s_{1}} (0)\cdot \mathbf {s_{2}} (\tau )\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (0)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (\tau )\rangle \,.$$

उपरोक्त धारणा पहली बार में गैर-सहज ज्ञान युक्त प्रतीत हो सकती है एक समूह जो समय व्युत्क्रम है और एक गैर समान लौकिक सहसंबंध फलन कैसे कर सकता है? अस्थायी सहसंबंध संतुलन प्रणालियों के विषय में क्रिया करने के लिए प्रासंगिक बने हुए हैं क्योंकि एक समय व्युत्क्रम स्थूलदर्शित समूह अभी भी गैर-तुच्छ लौकिक गतिकी मे सूक्ष्म रूप से हो सकता है एक उदाहरण प्रसार में है और संतुलन पर एकल-चरण प्रणाली में स्थूलदर्शित रूप से एक सजातीय संरचना होती है हालांकि, यदि कोई प्रत्येक परमाणु के सूक्ष्म अनुप्रयोग को देखता है तो अलग-अलग परमाणुओं द्वारा किए गए अर्ध-यादृच्छिक संचालन के कारण संरचना में उतार-चढ़ाव निरंतर होते है सांख्यिकीय यांत्रिकी किसी को संतुलन प्रणालियों के ऐसे उतार-चढ़ाव के लौकिक व्यवहार के विषय में व्यावहारिक प्रमाण देने की स्वीकृत देता है यह सहसंबंध फलनों के अस्थायी विकास और ऑनसेजर की प्रतिगमन परिकल्पना पर अनुभाग में नीचे चर्चा की गई है।

संतुलन सहसंबंध फलनों मे सामान्यीकरण

उपरोक्त सभी सहसंबंध फलनों को संतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी के संदर्भ में परिभाषित किया गया है हालांकि संतुलन से दूर प्रणालियों के लिए सहसंबंध फलनों को परिभाषित करना संभव है सहसंबंध फलन $C(r,\tau )$ की सामान्य परिभाषा की जांच करते हुए, यह स्पष्ट है कि कोई भी इन सहसंबंध फलनों में प्रयुक्त यादृच्छिक चर को परिभाषित कर सकता है जैसे कि परमाणु स्थिति और घूर्णन, संतुलन से दूर उनके अदिश उत्पाद संतुलन से दूर अपेक्षाकृत अच्छी तरह से परिभाषित है संक्रिया जो अब संतुलन से दूर अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है संतुलन प्रणाली पर औसत है गैर-संतुलन प्रणाली के लिए यह औसत प्रक्रिया सामान्यतः पूरे प्रतिरूप में अदिश उत्पाद के औसत से परिवर्तित की जाती है यह प्रकीर्णन प्रयोगों और कंप्यूटर अनुरूपण में विशिष्ट है और जिसको प्रायः चश्मे के रेडियल वितरण फलन को मापने के लिए उपयोग किया जाता है।

संतुलन से अपेक्षाकृत भिन्न प्रणाली के लिए किसी भी स्थिति पर औसत परिभाषित कर सकते है उदाहरण के लिए, http://xbeams.chem.yale.edu/~batista/vaa/node56.html देखें।

सहसंबंध फलनों को मापना

सहसंबंध फलनों को सामान्यतः विस्तृत प्रयोगों से मापा जाता है उदाहरण के लिए एक्स-रे प्रकीर्णन प्रयोग प्रत्यक्ष इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन समान समय के सहसंबंधों को मापते हैं। तात्विक संरचना कारकों की जानकारी से तात्विक युग्म सहसंबंध फलनों को भी माप सकते हैं अधिक जानकारी के लिए रेडियल वितरण फलन देखें। एक्स-रे प्रकीर्णन के विपरीत समान-समय प्रचक्रण -प्रचक्रण सहसंबंध फलनों को न्यूट्रॉन प्रकीर्णन के साथ मापा जाता है न्यूट्रॉन प्रकीर्णन से युग्म सहसंबंधों के विषय में भी जानकारी प्राप्त हो सकती है लगभग एक माइक्रोमीटर से बड़े कणों से बनी प्रणालियों के लिए प्रकाशीय सूक्ष्मदर्शिकी का उपयोग समान-समय और समान-स्थिति सहसंबंध फलनों दोनों को मापने के लिए किया जा सकता है प्रकाशीय सूक्ष्मदर्शिकी इस प्रकार विशेष रूप से दो आयामों में कोलाइडयन निलंबन के लिए सामान्य है।

सहसंबंध फलनों का समय-विकास

1931 में, लार्स ऑनसेगर ने प्रस्तावित किया कि संतुलन पर सूक्ष्म तापीय उतार-चढ़ाव का प्रतिगमन छोटे गैर-संतुलन की छूट के सूक्ष्मदर्शिकी नियम का अनुसरण करता है। इसे ऑनसेजर प्रतिगमन परिकल्पना के रूप में जाना जाता है सूक्ष्म चर के मानों के रूप में बड़े समय मानों द्वारा अलग किए गए ऊष्मागतिकीय संतुलन से हम जो अपेक्षा करेंगे उससे असंबद्ध होना चाहिए, सहसंबंध फलन के समय विकास को एक भौतिक दृष्टिकोण से देखा जा सकता है क्योंकि प्रणाली धीरे-धीरे कुछ सूक्ष्मदर्शी के विनिर्देश के माध्यम से उस पर रखी गई जो प्रारंभिक स्थितियों को 'भूल' रही है चर सहसंबंध फलनों के समय विकास और सूक्ष्मदर्शिकी प्रणाली के समय के विकास के बीच वास्तव में एक सहज संबंध है औसतन, सहसंबंध फलन उसी प्रकार समय में विकसित होता है जैसे कि एक प्रणाली सहसंबंध फलन के प्रारंभिक मान द्वारा निर्दिष्ट शर्तों में तैयार की गई थी और विकसित होने की स्वीकृति दी गई थी।

प्रणाली के संतुलन में उच्चावचन क्षय प्रमेय के माध्यम से बाहरी कमी के प्रति अपनी प्रतिक्रिया से संबंधित हो सकते हैं।

प्रावस्था संक्रमण और सहसंबंध फलनों के बीच संबंध

समान-समय सहसंबंध फलन, $C(r,\tau =0)$, इसके क्रांतिक तापमान पर ऊपर और नीचे एक लोहचुंबकीय प्रचक्रण प्रणाली के लिए त्रिज्या के फलन के रूप में $T_{C}$ के ऊपर $T_{C}$, $C(r,\tau =0)$ दूरी पर एक संयुक्त घातीय और तापीय नियम $C(r,\tau =0)\propto r^{-\vartheta }e^{-r/\xi (T)}$ निर्भरता प्रदर्शित करता है सहसंबंध फलन की लंबाई के सापेक्ष कम दूरी पर तापीय नियन की $\xi$ निर्भरता अधिक होती है जबकि घातीय निर्भरता बड़ी सापेक्ष दूरी पर $\xi$ से अधिक होती है $T_{C}$ सहसंबंध की लंबाई $\xi (T_{C})=\infty$ से अलग हो जाती है जिसके परिणामस्वरूप केवल तापीय नियम $C(r,\tau =0)\propto r^{-(d-2+\eta )}$ के समान होता है और $T_{C}$ लंबी दूरी के अनुक्रम के बिना प्रासंगिक क्रम पैरामीटर के सूक्ष्म मानों के बीच स्थानिक सहसंबंधों की प्रावस्था गैर-स्थानीयता से अलग है नीचे $T_{C}$ प्रचक्रण स्वतःसहसंबंध क्रम अर्थात लंबी दूरी के क्रम और अनंत सहसंबंध लंबाई को प्रदर्शित करते हैं। निरंतर क्रम-विकार संक्रमण को सहसंबंध की लंबाई की प्रक्रिया $\xi$ के रूप में समझा जा सकता है निम्न-तापमान, आदेशित अवस्था में अनंत होने से क्रांतिक बिंदु पर अनंत तक और उच्च तापमान अव्यवस्थित अवस्था में परिमित होता है।

निरंतर प्रावस्था संक्रमण जैसे धातु मिश्र धातुओं और लोह चुंबकीय- अनुचुंबकीय संक्रमण में व्यवस्थित अवस्था से अव्यवस्थित अवस्था में संक्रमण को सम्मिलित करता है सहसंबंध फलनों के संदर्भ में क्रांतिक तापमान के नीचे सभी जाली बिंदुओं के लिए समान समय सहसंबंध फलन गैर-शून्य है और क्रांतिक तापमान के ऊपर केवल अपेक्षाकृत छोटे त्रिज्या के लिए गैर नगण्य है। जैसा कि प्रावस्था संक्रमण निरंतर है जिस लंबाई पर सूक्ष्म चर सहसंबद्ध $\xi$ होते हैं पदार्थ को उसके क्रांतिक तापमान के माध्यम से गर्म होने पर अनंत से परिमित होने तक निरंतर संक्रमण करना चाहिए। यह क्रांतिक बिंदु पर दूरी के एक फलन के रूप में सहसंबंध फलन की ऊर्जा नियम निर्भरता को जन्म देता है यह लोहचुंबकीय पदार्थ की स्थिति में बाईं ओर के चित्र में दिखाया गया है जिसमें चुंबकत्व के अनुभाग में मात्रात्मक विवरण सूचीबद्ध हैं।

अनुप्रयोग

चुंबकत्व

प्रचक्रण (भौतिकी) प्रणाली में समान समय के सहसंबंध फलन का विशेष रूप से अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है यह सभी संभावित अनुक्रमों पर दो जाली बिंदुओं पर प्रचक्रण के अदिश उत्पाद के विहित समुदाय (ऊष्मीय) औसत$C(r)=\langle \mathbf {s} (R)\cdot \mathbf {s} (R+r)\rangle \ -\langle \mathbf {s} (R)\rangle \langle \mathbf {s} (R+r)\rangle \,$का वर्णन करता है यहाँ कोष्ठक का अर्थ उपर्युक्त तापीय औसत से है इस फलन के योजनाबद्ध प्लॉट बाईं ओर क्यूरी तापमान के नीचे-ऊपर और ऊपर एक लोहचुंबकीय पदार्थ के लिए दिखाए गए हैं।

यहां तक ​​​​कि एक चुंबकीय रूप से अव्यवस्थित प्रावस्था में विभिन्न पदों पर प्रचक्रण सहसंबद्ध होते हैं अर्थात यदि दूरी r बहुत छोटी है तब कुछ लंबाई के पैमाने की तुलना में $\xi$ की तुलना प्रचक्रण के बीच का पारस्परिक प्रभाव उन्हें सहसंबद्ध बनाता है संरेखण जो प्रचक्रण के बीच पारस्परिक प्रभाव के परिणाम स्वरूप स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है वह तापीय प्रभाव से नष्ट हो जाता है उच्च तापमान पर घातीय रूप से क्षयकारी सहसंबंध बढ़ती दूरी के साथ देखे जाते हैं जो साथ ही सहसंबंध फलन को उपगामितः (एसिम्प्टोटिक) रूप से निरूपित किए जाते है:

$C(r)\approx {\frac {1}{r^{\vartheta }}}\exp {\left(-{\frac {r}{d}}\right)}\,,$

जहां r प्रचक्रण के बीच की दूरी है, d प्रणाली का आयाम है और $\vartheta$ एक घातांक है जिसका मान इस विषय पर निर्भर करता है कि प्रणाली अव्यवस्थित प्रावस्था में है अर्थात क्रांतिक बिंदु से ऊपर या आदेशित प्रावस्था में अर्थात क्रांतिक बिंदु से नीचे है उच्च तापमान पर प्रचक्रण के बीच की दूरी के साथ सहसंबंध फलन तीव्रता से शून्य हो जाता है रेडियल दूरी के एक फलन के रूप में समान घातीय क्षय भी नीचे $T_{c}$ मे देखा गया है लेकिन बड़ी दूरी पर सीमा के साथ माध्य चुंबकत्व $\langle M^{2}\rangle$ होता है उपयुक्त रूप से क्रांतिक बिंदु पर एक बीजगणितीय समीकरण देखा जाता है:

$C(r)\approx {\frac {1}{r^{(d-2+\eta )}}}\,,$

जहाँ $\eta$ क्रांतिक घातांक है जिसका ऊपर प्रस्तुत किए गए गैर-क्रांतिक घातांक $\vartheta$ के साथ कोई सरल संबंध नहीं है उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी काल्पनिक मॉडल (लघु-श्रेणी वाले लोह चुंबकीय पारस्परिक प्रभाव के साथ) का शुद्ध समाधान क्रांतिक ताप $\eta ={\frac {1}{4}}$ पर शुद्ध रूप से देता है लेकिन आलोचनात्मकता से ऊपर $\vartheta ={\frac {1}{2}}$ और आलोचनात्मकता से नीचे $\vartheta =2$ देता है जैसे ही तापमान कम होता है तापीय विकार कम हो जाता है और एक निरंतर प्रावस्था संक्रमण में सहसंबंध की लंबाई अलग हो जाती है क्योंकि सहसंबंध की लंबाई को प्रावस्था संक्रमण के ऊपर एक परिमित मान से प्रावस्था संक्रमण के नीचे अनंत तक निरंतर संक्रमण करना आवश्यक होता है:

$\xi \propto |T-T_{c}|^{-\nu }\,,$

एक अन्य क्रांतिक प्रतिपादक $\nu$ के साथ इन परिवर्तनों में देखे जाने वाले अदिश के लिए यह ऊर्जा नियम सहसंबंध उत्तरदायी है जो उल्लिखित सभी घातांक तापमान से स्वतंत्र है वे वास्तव में सार्वभौमिक हैं अर्थात विभिन्न प्रकार की प्रणालियों में समान रूप से पाए जाते हैं।

रेडियल वितरण फलन

सामान्य सहसंबंध फलन एक रेडियल वितरण फलन है जिनको प्रायः सांख्यिकीय यांत्रिकी और द्रव यांत्रिकी में देखा जाता है क्वांटम व्युत्क्रम विधि और बेथ एनसैट्ज के माध्यम से सहसंबंध फलन की गणना समाधान करने योग्य मॉडल (एक-आयामी बोस गैस, प्रचक्रण शृंखला, हबर्ड मॉडल) में की जा सकती है एक समदैशिक XY मॉडल में समय और तापमान के सहसंबंधों का मूल्यांकन कोरेपिन, इज़रगिन और स्लावनोव के द्वारा किया गया था।

उच्च क्रम सहसंबंध फलन

उच्च-क्रम सहसंबंध फलनों में कई संदर्भ बिंदु सम्मिलित होते हैं जिनको दो से अधिक यादृच्छिक चर के उत्पाद के अपेक्षित मान को लेकर उपरोक्त सहसंबंध फलन के सामान्यीकरण के माध्यम से परिभाषित किया जाता है:

$C_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}(s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n})=\langle X_{i_{1}}(s_{1})X_{i_{2}}(s_{2})\cdots X_{i_{n}}(s_{n})\rangle .$

हालांकि इस प्रकार के उच्च क्रम सहसंबंध फलनों की व्याख्या करना और मापना अपेक्षाकृत जटिल होता है उदाहरण के लिए युग्म वितरण फलन के उच्च-क्रम के सदृशता को मापने के लिए, सुसंगत एक्स-रे स्रोतों की आवश्यकता होती है इस प्रकार के विश्लेषण के सिद्धांत और आवश्यक एक्स-रे सहसंबंध फलनों के प्रयोगात्मक माप दोनों सक्रिय अनुसंधान के क्षेत्र हैं।

अग्रिम पठन

• Sethna, James P. (2006). "Chapter 10: Correlations, response, and dissipation". Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity. Oxford University Press. ISBN 978-0198566779.
• Radial distribution function
• Yeomans, J. M. (1992). Statistical Mechanics of Phase Transitions. Oxford Science Publications. ISBN 978-0-19-851730-6.
• Fisher, M. E. (1974). "Renormalization Group in Theory of Critical Behavior". Reviews of Modern Physics. 46 (4): 597–616. Bibcode:1974RvMP...46..597F. doi:10.1103/RevModPhys.46.597.
• C. Domb, M.S. Green, J.L. Lebowitz editors, Phase Transitions and Critical Phenomena, vol. 1-20 (1972–2001), Academic Press.