प्रतिस्थापन (बीजगणित)

बीजगणित में प्रतिस्थापन के संचालन को विभिन्न संदर्भों में प्रयुक्त किया जा सकता है जिसमें औपचारिक वस्तुएं सम्मिलित होती हैं जिनमें चिन्हों होते हैं (अधिकांशतः चर (गणित) या अनिश्चित (चर) कहा जाता है); समीकरण में दिए गए मान द्वारा किसी चिन्हों की घटनाओं को व्यवस्थित रूप से बदलना सम्मिलित है।

प्रतिस्थापन कंप्यूटर बीजगणित का बुनियादी संचालन है। इसे सामान्यतः कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में उप कहा जाता है।

प्रतिस्थापन के एक सामान्य मामले में बहुपद शामिल होते हैं, जहां उस मूल्य पर बहुपद का मूल्यांकन करने के लिए एक (अविभाजित) बहुपद राशि के अनिश्चित के लिए एक संख्यात्मक मान का प्रतिस्थापन होता है। वास्तव में, यह संक्रिया इतनी बार-बार होती है कि बहुपदों के लिए अंकन अक्सर इसके अनुकूल हो जाता है; पी जैसे नाम से एक बहुपद को नामित करने के बजाय, जैसा कि कोई अन्य गणितीय वस्तुओं के लिए करेगा, कोई भी परिभाषित कर सकता है

$P(X)=X^{5}-3X^{2}+5X-17$

ताकि X के लिए प्रतिस्थापन P(X) के अंदर प्रतिस्थापन द्वारा नामित किया जा सके, कहें

$P(2)=13$

या

$P(X+1)=X^{5}+5X^{4}+10X^{3}+7X^{2}+4X-14.$

हालाँकि प्रतिस्थापन चिन्होंों से निर्मित अन्य प्रकार की औपचारिक वस्तुओं पर भी लागू किया जा सकता है, उदाहरण के लिए मुक्त समूहों के तत्व। प्रतिस्थापन को परिभाषित करने के लिए, एक उपयुक्त सार्वभौमिक संपत्ति के साथ एक बीजगणितीय संरचना की आवश्यकता होती है, जो अद्वितीय समरूपता के अस्तित्व पर जोर देती है जो विशिष्ट मानों को अनिश्चित भेजती है; प्रतिस्थापन तब ऐसी समरूपता के तहत छवि को खोजने के लिए होता है।

प्रतिस्थापन संबंधित है, लेकिन फ़ंक्शन संरचना के समान नहीं है; यह लैम्ब्डा कैलकुलस में β-कमी से भी निकटता से संबंधित है। इन धारणाओं के विपरीत, हालांकि, बीजगणित में जोर प्रतिस्थापन संचालन द्वारा बीजगणितीय संरचना के संरक्षण पर है, तथ्य यह है कि प्रतिस्थापन हाथ में संरचना के लिए एक समरूपता देता है (बहुपदों के मामले में, अंगूठी (गणित) संरचना) .

यह भी देखें

• प्रतिस्थापन (तर्क) — प्रतिस्थापन के एक औपचारिक उपचार के बारे में
• प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण
• त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन