अनुबंधित स्थान: Difference between revisions
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[[File:Contractibility figure.png|right|thumb|कुछ अनुबंधित और गैर-संविदात्मक स्थानों का चित्रण। रिक्त स्थान A, B और C सिकुड़ने योग्य हैं; रिक्त स्थान D, E और F नहीं हैं।]]गणित में, एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] | [[File:Contractibility figure.png|right|thumb|कुछ अनुबंधित और गैर-संविदात्मक स्थानों का चित्रण। रिक्त स्थान A, B और C सिकुड़ने योग्य हैं; रिक्त स्थान D, E और F नहीं हैं।]]गणित में, एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक समष्टि]] ''X'' संकुचित होती है यदि ''X'' पर तत्समक प्रतिचित्र शून्य-[[होमोटोपिक|समस्थेयतिक]] है, अर्थात यदि यह किसी स्थिर प्रतिचित्र के लिए समस्थेयतिक है।<ref>{{cite book | last=Munkres | first=James R. | authorlink=James Munkres | title=टोपोलॉजी| edition=2nd | publisher=[[Prentice Hall]] | year=2000 | isbn=0-13-181629-2}}</ref><ref>{{cite book | last=Hatcher | first=Allen | authorlink=Allen Hatcher | title=बीजगणितीय टोपोलॉजी| publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2002 | isbn=0-521-79540-0 | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html}}</ref> सहज रूप से, संकुचित समष्टि वह है जिसे उस समष्टि के भीतर निरंतर एक बिंदु तक संकुचन किया जा सकता है। | ||
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एक | एक संकुचित समष्टि ठीक एक बिंदु के समस्थेयता प्रकार के साथ होता है। यह इस प्रकार है कि संकुचित समष्टि के सभी समस्थेयता समूह क्षुद्र हैं। इसलिए अक्षुद्र समस्थेयता समूह के साथ कोई भी समष्टि संकुचित नहीं हो सकता। इसी प्रकार, चूंकि विचित्र सजातीय एक समस्थेयता निश्चर है, एक संकुचित समष्टि के [[कम समरूपता|लघुकृत सजातीय]] समूह सभी क्षुद्र हैं। | ||
एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए निम्नलिखित सभी समतुल्य हैं: | एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए निम्नलिखित सभी समतुल्य हैं: | ||
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*X | *X एक बिंदु समष्टि के समस्थेयता समतुल्य है। | ||
* | * X विरूपण एक बिंदु पर अस्वीकार करता है। (यद्यपि, यहां संकुचित समष्टि हैं जो एक बिंदु पर दृढ़ता से विरूपण नहीं करते हैं।) | ||
* किसी भी पथ | * किसी भी पथ संयोजित समष्टि Y के लिए कोई भी दो प्रतिचित्र f, g: Y → X समस्थेयतिक है। | ||
* किसी भी | * किसी भी समष्टि Y के लिए, कोई भी प्रतिचित्र f: Y → X शून्य-समस्थेयतिक है। | ||
एक | एक समष्टि X पर [[शंकु (टोपोलॉजी)]] सदैव संकुचित होता है। इसलिए किसी भी समष्टि को एक संकुचित समष्टि में अंत:स्थापित किया जा सकता है (जो यह भी दर्शाता है कि संकुचित समष्टि के उप-समष्टियों को संकुचित करने की आवश्यकता नहीं है)। | ||
इसके | इसके अतिरिक्त, X संकुचित है यदि केवल X के शंकु से X तक एक प्रतिकर्षण उपस्थित है। | ||
प्रत्येक | प्रत्येक संकुचित समष्टि पथ संयोजित और [[बस जुड़ा हुआ है|पूर्णतः संबद्ध है]]। इसके अतिरिक्त, चूंकि सभी उच्च [[होमोटॉपी समूह|समस्थेयता समूह]] लुप्त हो जाते हैं, इसलिए प्रत्येक संकुचित समष्टि सभी n ≥ 0 के लिए n-संबद्ध होते है। | ||
== स्थानीय रूप से अनुबंधित स्थान == | == स्थानीय रूप से अनुबंधित स्थान == | ||
Revision as of 19:59, 29 April 2023
गणित में, एक सांस्थितिक समष्टि X संकुचित होती है यदि X पर तत्समक प्रतिचित्र शून्य-समस्थेयतिक है, अर्थात यदि यह किसी स्थिर प्रतिचित्र के लिए समस्थेयतिक है।[1][2] सहज रूप से, संकुचित समष्टि वह है जिसे उस समष्टि के भीतर निरंतर एक बिंदु तक संकुचन किया जा सकता है।
गुणधर्म
एक संकुचित समष्टि ठीक एक बिंदु के समस्थेयता प्रकार के साथ होता है। यह इस प्रकार है कि संकुचित समष्टि के सभी समस्थेयता समूह क्षुद्र हैं। इसलिए अक्षुद्र समस्थेयता समूह के साथ कोई भी समष्टि संकुचित नहीं हो सकता। इसी प्रकार, चूंकि विचित्र सजातीय एक समस्थेयता निश्चर है, एक संकुचित समष्टि के लघुकृत सजातीय समूह सभी क्षुद्र हैं।
एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए निम्नलिखित सभी समतुल्य हैं:
- X संकुचित है (अर्थात् तत्समक प्रतिचित्र शून्य-समस्थेयतिक है)।
- X एक बिंदु समष्टि के समस्थेयता समतुल्य है।
- X विरूपण एक बिंदु पर अस्वीकार करता है। (यद्यपि, यहां संकुचित समष्टि हैं जो एक बिंदु पर दृढ़ता से विरूपण नहीं करते हैं।)
- किसी भी पथ संयोजित समष्टि Y के लिए कोई भी दो प्रतिचित्र f, g: Y → X समस्थेयतिक है।
- किसी भी समष्टि Y के लिए, कोई भी प्रतिचित्र f: Y → X शून्य-समस्थेयतिक है।
एक समष्टि X पर शंकु (टोपोलॉजी) सदैव संकुचित होता है। इसलिए किसी भी समष्टि को एक संकुचित समष्टि में अंत:स्थापित किया जा सकता है (जो यह भी दर्शाता है कि संकुचित समष्टि के उप-समष्टियों को संकुचित करने की आवश्यकता नहीं है)।
इसके अतिरिक्त, X संकुचित है यदि केवल X के शंकु से X तक एक प्रतिकर्षण उपस्थित है।
प्रत्येक संकुचित समष्टि पथ संयोजित और पूर्णतः संबद्ध है। इसके अतिरिक्त, चूंकि सभी उच्च समस्थेयता समूह लुप्त हो जाते हैं, इसलिए प्रत्येक संकुचित समष्टि सभी n ≥ 0 के लिए n-संबद्ध होते है।
स्थानीय रूप से अनुबंधित स्थान
एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स 'स्थानीय रूप से एक बिंदु पर अनुबंधित' x है यदि एक्स के प्रत्येक पड़ोस (टोपोलॉजी) यू के लिए यू में निहित एक्स का एक पड़ोस वी है जैसे कि वी का समावेश यू में नुलहोमोटोपिक है। एक स्थान 'स्थानीय रूप से अनुबंध योग्य है ' अगर यह हर बिंदु पर स्थानीय रूप से अनुबंधित है। इस परिभाषा को कभी-कभी ज्यामितीय टोपोलॉजिस्ट के स्थानीय रूप से संविदात्मक के रूप में संदर्भित किया जाता है, हालांकि यह शब्द का सबसे आम उपयोग है। एलन हैचर | हैचर के मानक बीजगणितीय टोपोलॉजी पाठ में, इस परिभाषा को कमजोर रूप से स्थानीय रूप से अनुबंधित कहा जाता है, हालांकि उस शब्द के अन्य उपयोग हैं।
यदि प्रत्येक बिंदु का अनुबंध योग्य पड़ोस का स्थानीय आधार है, तो हम कहते हैं कि X 'दृढ़ता से स्थानीय रूप से अनुबंधित' है। अनुबंधित स्थान आवश्यक रूप से स्थानीय रूप से अनुबंधित नहीं होते हैं और न ही इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, कंघी स्थान सिकुड़ा हुआ है लेकिन स्थानीय रूप से अनुबंधित नहीं है (यदि ऐसा होता, तो यह स्थानीय रूप से जुड़ा होता जो यह नहीं है)। स्थानीय रूप से अनुबंधित स्थान सभी n ≥ 0 के लिए स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं। विशेष रूप से, वे स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं, स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं, और स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं। सर्कल (जोरदार) स्थानीय रूप से सिकुड़ा हुआ है लेकिन अनुबंध योग्य नहीं है।
मजबूत स्थानीय संविदात्मकता स्थानीय संविदात्मकता की तुलना में सख्ती से मजबूत संपत्ति है; प्रतिउदाहरण परिष्कृत हैं, सबसे पहले करोल बोरसुक और स्टीफ़न मज़ुर्कीविक्ज़ द्वारा अपने पेपर सुर लेस रिट्रेक्स एब्सोलस इंडेकोम्पोज़ेबल्स, सी.आर.. एकेड में दिए गए हैं। विज्ञान। पेरिस 199 (1934), 110-112)।
इस बारे में कुछ असहमति है कि कौन सी परिभाषा स्थानीय संविदात्मकता की मानक परिभाषा है; पहली परिभाषा अधिक सामान्यतः ज्यामितीय टोपोलॉजी में उपयोग की जाती है, विशेष रूप से ऐतिहासिक रूप से, जबकि दूसरी परिभाषा टोपोलॉजिकल गुणों के संबंध में स्थानीय शब्द के विशिष्ट उपयोग के साथ बेहतर होती है। इन गुणों के बारे में परिणामों की व्याख्या करते समय हमेशा परिभाषाओं के संबंध में सावधानी बरतनी चाहिए।
उदाहरण और प्रति उदाहरण
- कोई भी यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर किसी भी स्टार डोमेन के रूप में कोई भी यूक्लिडियन स्थान अनुबंधित है।
- व्हाइटहेड कई गुना संकुचन क्षम है।
- किसी परिमित आयाम के गोले संकुचन क्षम नहीं हैं।।
- हिल्बर्ट अंतरिक्ष में इकाई क्षेत्र की एक अनंत-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष संविदात्मकता में इकाई क्षेत्र।
- दो कमरों वाला घर एक ऐसे स्थान का एक मानक उदाहरण है जो सिकुड़ा हुआ है, लेकिन सहज रूप से ऐसा नहीं है।
- द डंस हैट (टोपोलॉजी) सिकुड़ा जा सकता है, लेकिन पतन (टोपोलॉजी) नहीं है।
- हवाईयन कान की बाली पर शंकु सिकुड़ा हुआ है (चूंकि यह एक शंकु है), लेकिन स्थानीय रूप से अनुबंधित नहीं है या यहां तक कि स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है।
- सभी मैनिफोल्ड और सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स स्थानीय रूप से अनुबंधित हैं, लेकिन सामान्य तौर पर अनुबंध योग्य नहीं हैं।
- (0,−1) और (1,sin(1)) को जोड़ने वाले चाप द्वारा टोपोलॉजिस्ट के ज्या वक्र को बंद करके वारसॉ सर्कल प्राप्त किया जाता है। यह एक आयामी सातत्यक है जिसके होमोटॉपी समूह सभी तुच्छ हैं, लेकिन यह संविदात्मक नहीं है।
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ Munkres, James R. (2000). टोपोलॉजी (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- ↑ Hatcher, Allen (2002). बीजगणितीय टोपोलॉजी. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
