सार अवकल समीकरण

गणित में, एक सार अंतर समीकरण एक अंतर समीकरण है जिसमें अज्ञात कार्य (गणित) और इसके व्युत्पन्न कुछ सामान्य अमूर्त स्थान (एक हिल्बर्ट स्पेस, एक बानाच स्पेस, आदि) में मान लेते हैं। इस तरह के समीकरण उत्पन्न होते हैं उदा आंशिक अवकल समीकरणों के अध्ययन में: यदि किसी एक चर को विशेषाधिकार प्राप्त स्थिति दी जाती है (उदाहरण के लिए, ऊष्मा समीकरण या तरंग समीकरण समीकरणों में) और अन्य सभी को एक साथ रखा जाता है, तो चर के संबंध में एक साधारण अंतर समीकरण जो था प्रमाण में प्राप्त होता है। कुछ सुविधाजनक कार्य रिक्त स्थान में समाधान पर विचार करने के संदर्भ में सीमा नियमो को जोड़ना अधिकांशतः अनुवादित किया जा सकता है।

मौलिक सार अंतर समीकरण जो सबसे अधिक बार सामना किया जाता है वह समीकरण है

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au+f$

जहां अज्ञात कार्य $u=u(t)$ कुछ कार्य स्थान $X$ के अंतर्गत आता है , $0\leq t\leq T\leq \infty$ और $A:X\to X$ इस स्थान पर कार्यरत एक संचालिका (गणित) (सामान्यतः एक रैखिक ऑपरेटर) है। एक स्थिर संचालिका के साथ सजातीय ($f=0$) स्थिर का एक विस्तृत उपचार C0-अर्धसमूह के सिद्धांत द्वारा दिया गया है बहुत बार, इस समीकरण के अध्ययन के लिए अन्य अमूर्त अंतर समीकरणों के अध्ययन (उदाहरण के लिए पहले क्रम के समीकरणों के एक स्थिति में कमी) है ।

सार विभेदक समीकरण के सिद्धांत की स्थापना एइनर हिले ने कई पेपर्स और अपनी किताब कार्यात्मक विश्लेषण और अर्ध-समूह में की है। अन्य मुख्य योगदानकर्ता थे कोसाकु योसिदा, राल्फ एस. फिलिप्स, इसाओ मियादेरा, और सेलिम ग्रिगोरिविच क्रेन थे ।

सार कॉची समस्या

परिभाषा

मान लें कि $A$ और $B$ दो रैखिक संचालिका हैं, जिनमें डोमेन $D(A)$ और {$D(B)$ हैं, जो Banach स्पेस $X$ में काम कर रहे हैं।. एक कार्य $u(t):[0,T]\to X$ कहा जाता है कि बिंदु $t_{0}$ पर शक्तिशाली व्युत्पन्न (या फ्रीचेट विभेदक या साधारण विभेदक होने के लिए) है, यदि कोई तत्व उपस्थित है $y\in X$ ऐसा है

$\lim _{h\to 0}\left\|{\frac {u(t_{0}+h)-u(t_{0})}{h}}-y\right\|=0$

और इसका व्युत्पन्न है $u'(t_{0})=y$.

समीकरण का हल

$B{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au$

एक कार्य $u(t):[0,\infty )\to D(A)\cap D(B)$ ऐसा है कि:

• $(Bu)(t)\in C([0,\infty );X),$
• शक्तिशाली व्युत्पन्न $u'(t)$ उपस्थित $\forall t\in [0,\infty )$ और $u'(t)\in D(B)$ ऐसे किसी के लिए $t$, और
• पिछली समानता $\forall t\in [0,\infty )$ रखती है

कॉची समस्या में प्रारंभिक स्थिति $u(0)=u_{0}\in D(A)\cap D(B)$ को संतुष्ट करने वाले समीकरण का हल खोजना सम्मिलित है .

अच्छी मुद्रा

जैक्स हैडमार्ड द्वारा अच्छी तरह से प्रस्तुत समस्या की परिभाषा के अनुसार, कॉची समस्या को $[0,\infty )$ पर अच्छी तरह से प्रस्तुत (या सही) कहा जाता है यदि :

• किसी के लिए $u_{0}\in D(A)\cap D(B)$ इसका एक अनूठा समाधान है, और
• यह समाधान प्रारंभिक डेटा पर इस अर्थ में निरंतर निर्भर करता है कि यदि $u_{n}(0)\to 0$ ($u_{n}(0)\in D(A)\cap D(B)$), तब $u_{n}(t)\to 0$ प्रत्येक $t\in [0,\infty ).$पर संबंधित समाधान के लिए

एक अच्छी तरह से प्रस्तुत की गई कॉची समस्या को समान रूप से अच्छी तरह से प्रस्तुत किया गया कहा जाता है यदि $u_{n}(0)\to 0$ का अर्थ है $t$, $u_{n}(t)\to 0$ समान रूप से प्रत्येक परिमित अंतराल पर $[0,T]$ है .

कॉची समस्या से जुड़े संचालिका का अर्धसमूह

एक सार कॉची समस्या के लिए संचालिका $U(t)$ के एक अर्धसमूह को संबद्ध कर सकते हैं, जिससे एक पैरामीटर $t$ , $0<t<\infty$ के आधार पर परिबद्ध रैखिक संचालिका का एक वर्ग ऐसा है कि

$U(t_{1}+t_{2})=U(t_{1})U(t_{2})\quad (0<t_{1},t_{2}<\infty ).$

संचालिका $U(t)$ पर विचार करें जो तत्व $u_{n}(0)\in D(A)\cap D(B)$ को कॉची समस्या के समाधान $u(t)$का मान प्रदान करता है ($u(0)=u_{0}$) समय $t>0$ पर। यदि कॉची समस्या अच्छी तरह से प्रस्तुत की गई है, तो संचालिका $U(t)$ को $D(A)\cap D(B)$ पर परिभाषित किया गया है और एक अर्धसमूह बनाता है।

इसके अतिरिक्त, यदि $D(A)\cap D(B)$ , $X$ में सघन है, तो संचालिका $U(t)$ को संपूर्ण स्थान $X$ पर परिभाषित सीमित रेखीय संचालिका तक बढ़ाया जा सकता है। इस स्थिति में कोई इससे संबद्ध हो सकता है किसी भी $x_{0}\in X$ कार्य $U(t)x_{0}$, किसी भी $t>0$ के लिए इस तरह के एक कार्य को कॉची समस्या का सामान्यीकृत समाधान कहा जाता है।

यदि $D(A)\cap D(B)$ $X$ में सघन है और कॉची समस्या समान रूप से अच्छी तरह से प्रस्तुत की गई है, तो संबंधित अर्धसमूह $U(t)$ $X$ में एक C₀-अर्धसमूह है, इसके विपरीत यदि $A$ अतिसूक्ष्म जनरेटर है एक C₀-अर्धसमूह A का एक C₀-अर्धसमूह $U(t)$ का अतिसूक्ष्म जनरेटर है, फिर कॉची समस्या

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au\quad u(0)=u_{0}\in D(A)$

समान रूप से अच्छी तरह से प्रस्तुत किया गया है और इसके द्वारा समाधान दिया गया है

$u(t)=U(t)u_{0}.$

विषम समस्या

कॉची समस्या

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au+f\quad u(0)=u_{0}\in D(A)$

$f:[0,\infty )\to X$ के साथ, $f(t)\neq 0$ पर गैर सजातीय कहा जाता है। निम्नलिखित प्रमेय समाधान के अस्तित्व के लिए कुछ पर्याप्त नियम देता है:

प्रमेय। यदि A, C₀-अर्धसमूह $T(t)$ का एक अतिसूक्ष्म जनित्र है और $f$ निरंतर अवकलनीय है, तो फलन

$u(t)=T(t)u_{0}+\int _{0}^{t}T(t-s)f(s)\,ds,\quad t\geq 0$

(अमूर्त) असमांगी कॉची समस्या का अनूठा समाधान है।

दाईं ओर का समाकल बोचनर समाकल के रूप में अभिप्रेत है।

समय आधारित समस्या

प्रारंभिक मान समस्या का समाधान खोजने की समस्या

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=A(t)u+f\quad u(0)=u_{0}\in D(A),$

जहां अज्ञात एक कार्य है $u:[0,T]\to X$ $f:[0,T]\to X$ दिया गया है और, प्रत्येक $t\in [0,T]$ के लिए, $A(t)$ डोमेन $D[A(t)]=D$ के साथ $X$ में एक दिया हुआ, बंद, रैखिक संचालिका है। $t$ से स्वतंत्र और $X$ में सघन, समय-निर्भर कॉची समस्या कहलाती है।

एक संचालिका मूल्यवान कार्य $U(t,\tau )$ मानो के साथ $B(X)$ (से सभी बाउंडेड संचालिका का स्थान $X$ को $X$), परिभाषित और दृढ़ता से संयुक्त रूप से निरंतर $t,\tau$ के लिए $0\leq \tau \leq t\leq T$, को समय-निर्भर समस्या का मूलभूत समाधान कहा जाता है यदि:

• आंशिक व्युत्पन्न ${\frac {\mathrm {\delta } U(t,\tau )}{\mathrm {\delta } t}}$ के शक्तिशाली संचालिका टोपोलॉजी में उपस्थित है $X$, से संबंधित $B(X)$ के लिए $0\leq \tau \leq t\leq T$, और दृढ़ता से निरंतर है $t$ के लिए $0\leq \tau \leq t\leq T$;
• की सीमा $U(t,\tau )$ में है $D$;
• ${\frac {\mathrm {\delta } U(t,\tau )}{\mathrm {\delta } t}}+A(t)U(t,\tau )=0,\quad 0\leq \tau \leq t\leq T,$ और
• $U(\tau ,\tau )=I$.

$U(\tau ,\tau )$ इसे इवोल्यूशन ऑपरेटर, प्रोपेगेटर, सॉल्यूशन संचालिका या ग्रीन का कार्य भी कहा जाता है।

एक कार्य $u:[0,T]\to X$ समय-निर्भर समस्या का हल्का समाधान कहा जाता है यदि यह अभिन्न प्रतिनिधित्व को स्वीकार करता है

$u(t)=U(t,0)u_{0}+\int _{0}^{t}U(t,s)f(s)\,ds,\quad t\geq 0.$

विकास संचालक के अस्तित्व के लिए विभिन्न ज्ञात पर्याप्त नियम हैं $U(t,\tau )$. व्यावहारिक रूप से साहित्य में सभी मामलों पर विचार किया जाता है $-A(t)$ का अत्यल्प जनक माना जाता है C₀-अर्धसमूह ऑन $X$. सामान्यतः बोल रहा हूँ, यदि $-A(t)$ अर्धसंकुचन अर्धसमूह का अतिसूक्ष्म जनक है, समीकरण को अतिशयोक्तिपूर्ण प्रकार का कहा जाता है; यदि $-A(t)$ एक विश्लेषणात्मक अर्धसमूह का अतिसूक्ष्म जनरेटर है, समीकरण को परवलयिक प्रकार का कहा जाता है।

गैर रेखीय समस्या

दोनों का समाधान खोजने की समस्या

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=f(t,u)\quad u(0)=u_{0}\in X$

जहाँ $f:[0,T]\times X\to X$ दिया जाता है, या

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=A(t)u\quad u(0)=u_{0}\in D(A)$

जहाँ $A$ डोमेन के साथ एक गैर रेखीय संचालिका है $D(A)\in X$, अरैखिक कौशी समस्या कहलाती है।

यह भी देखें

• कॉची समस्या
• C0-अर्धसमूह