निस्नेविच टोपोलॉजी: Difference between revisions

Revision as of 11:56, 7 May 2023

बीजगणितीय ज्यामिति में, निस्नेविच टोपोलॉजी, जिसे कभी-कभी पूरी तरह से विघटित टोपोलॉजी कहा जाता है। यह योजनाओं की श्रेणी पर ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी है जिसका उपयोग बीजगणितीय के-सिद्धांत, A¹ समरूपता सिद्धांत और प्रेरण के सिद्धांत में किया गया है। यह मूल रूप से येवेसी निस्नेविच द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जो एडेल के सिद्धांत से प्रेरित था।

परिभाषा

योजनाओं का एक आकारिता $f:Y\to X$ को "निस्नेविच आकारिता" कहा जाता है यदि यह एक ईटेल आकारिकी है जैसे कि प्रत्येक (संभवतः गैर-सवृत) बिंदु x ∈ X के लिए, फाइबर में एक बिंदु y ∈ Y सम्मिलित होता है। f⁻¹(x) ऐसा है कि अवशेष क्षेत्रों k(x) → k(y) का प्रेरित मानचित्र एक समरूपता है। समतुल्य रूप से, f समतल, असम्बद्ध, स्थानीय रूप से परिमित प्रस्तुति वाला होना चाहिए, और प्रत्येक बिंदु x ∈ X के लिए, फाइबर f⁻¹(x) में एक बिंदु y सम्मिलित होना चाहिए जैसे कि k(x) → k(y) एक समरूपता है।

आकारिता का एक परिवार {uα : Xα → X} एक निस्नेविच कवर है अगर परिवार में प्रत्येक आकारिता है और प्रत्येक (संभवतः गैर-सवृत) बिंदु x ∈ X के लिए, α और एक बिंदु y ∈ Xα s.t सम्मिलित है। uα(y) = x और अवशिष्ट क्षेत्रों k(x) → k(y) का प्रेरित मानचित्र एक समरूपता है। यदि परिवार परिमित है, तो यह आकारिकी $\coprod u_{\alpha }$ के समतुल्य है $\coprod X_{\alpha }$ से X एक निस्नेविच आकारिता है। निस्नेविच कवर योजनाओं की श्रेणी और योजनाओं के आकारिता पर एक प्रीटोपोलॉजी के कवरिंग परिवार हैं। यह निस्नेविच टोपोलॉजी नामक एक टोपोलॉजी उत्पन्न करता है। निस्नेविच टोपोलॉजी वाली योजनाओं की श्रेणी को Nis नोट किया गया है।

एक्स की छोटी निस्नेविच साइट में अंतर्निहित श्रेणी के रूप में छोटी ईटेल साइट है, जिसका कहना है कि ऑब्जेक्ट्स स्कीम यू हैं जो एक निश्चित ईटेल आकारिता U → X के साथ हैं और आकारिता एक्स के लिए निश्चित मानचित्रों के साथ संगत योजनाओं के आकारिता हैं। स्वीकार्य आवरण निस्नेविच आकारिता हैं।

एक्स की बड़ी निस्नेविच साइट में एक्स के लिए एक निश्चित मानचित्र के साथ अंतर्निहित श्रेणी योजनाएं हैं और एक्स-स्कीमों के आकारिकी हैं। टोपोलॉजी निस्नेविच आकारिकी द्वारा दी गई है।

निस्नेविच टोपोलॉजी के कई रूप हैं जो एक प्रकार का अध्ययन करने के लिए अनुकूलित हैं इन टोपोलॉजी में कवर में विलक्षणता के संकल्प या संकल्प के कमजोर रूप सम्मिलित हैं।

सीडीएच टोपोलॉजी कवरिंग के रूप में उचित द्विवार्षिक आकारिता की स्वीकृति देती है।
एच टोपोलॉजी डी जोंग के परिवर्तन को कवरिंग के रूप में स्वीकृति देता है।
गैबर के स्थानीय एकरूपता प्रमेय के निष्कर्ष के रूप में एल' टोपोलॉजी आकारिकी की स्वीकृति देती है।

सीडीएच और एल' टोपोलॉजी ईटेल टोपोलॉजी के साथ अतुलनीय हैं, और एच टोपोलॉजी ईटेल टोपोलॉजी से अपेक्षाकृत अच्छा है।

निस्नेविच कवर के लिए समतुल्य शर्तें

मान लें कि श्रेणी में एक qcqs (अर्ध-कॉम्पैक्ट और अर्ध-पृथक) योजना पर चिकनी योजनाएं सम्मिलित हैं, फिर निस्नेविच के कारण मूल परिभाषा ^[1]^{टिप्पणी 3.39}, जो ऊपर दी गई परिभाषा के बराबर है, आकृतिवाद के एक परिवार के लिए $\{p_{\alpha }:U_{\alpha }\to X\}_{\alpha \in A}$ निस्नेविच को कवर करने वाली योजनाएं हैं यदि

प्रत्येक $p_{\alpha }$ है; और
सभी क्षेत्र $k$ के लिए, $k$ -बिंदुओं के स्तर पर, (सेट-सैद्धांतिक) सहउत्पाद $p_{k}:\coprod _{\alpha }U_{\alpha }(k)\to X(k)$ सभी आच्छादन आकारिकी $p_{\alpha }$ विशेषण है।

निस्नेविच कवर के लिए निम्नलिखित अभी तक एक और समतुल्य स्थिति Lurie [ के कारण है: निस्नेविच टोपोलॉजी ईटेल आकारिता के सभी परिमित परिवारों द्वारा उत्पन्न होती है जैसे कि सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत सवृत उप-योजनाओं का एक परिमित अनुक्रम होता है।^{[citation needed]}

$\varnothing \subseteq Z_{n}\subseteq Z_{n-1}\subseteq \cdots \subseteq Z_{1}\subseteq Z_{0}=X$

जैसे कि $0\leq m\leq n-1$ के लिए $\coprod _{\alpha \in A}p_{\alpha }^{-1}(Z_{m}-Z_{m-1})\to Z_{m}-Z_{m-1}$ एक वर्ग को स्वीकार करता है।

ध्यान दें कि एस-बिंदुओं पर इन आकारिकी का मूल्यांकन करते समय, इसका अर्थ है कि मानचित्र एक अनुमान है। इसके विपरीत, तुच्छ क्रम $Z_{0}=X$ लेने से परिणाम विपरीत दिशा में मिलता है।

प्रेरणा

मोटिविक कोहोलॉजी में निस्नेविच टोपोलॉजी को पेश करने के लिए प्रमुख प्रेरणाओं में से एक यह तथ्य है^[2] कि ज़ारिस्की ओपन कवर $\pi :U\to X$ ज़ारिस्की शेव्स का रिज़ॉल्यूशन नहीं देता है।^[3]

$\cdots \to \mathbf {Z} _{tr}(U\times _{X}U)\to \mathbf {Z} _{tr}(U)\to \mathbf {Z} _{tr}(X)\to 0$

जहाँ

$\mathbf {Z} _{tr}(Y)(Z):={\text{Hom}}_{cor}(Z,Y)$

स्थानान्तरण के साथ पूर्व-शेव की श्रेणी में प्रतिनिधित्व योग्य फ़ंक्टर है। निस्नेविच टोपोलॉजी के लिए, स्थानीय रिंग्स हेन्सेलियन हैं, और हेन्सेलियन रिंग के एक परिमित कवर को हेन्सेलियन रिंग्स के एक उत्पाद द्वारा दिया जाता है, जो सटीकता दिखा रहा है।

निस्नेविच टोपोलॉजी में स्थानीय वलय

यदि x योजना X का एक बिंदु है, तो निस्नेविच टोपोलॉजी में x का स्थानीय वलय ज़ारिस्की टोपोलॉजी में x के स्थानीय वलय का हेनसेलाइज़ेशन है। यह एटेल टोपोलॉजी से अलग है जहां स्थानीय वलय सख्त हेन्सेलाइज़ेशन हैं। दो मामलों के बीच एक महत्वपूर्ण बिंदु तब देखा जा सकता है जब एक स्थानीय रिंग $(R,{\mathfrak {p}})$ को अवशिष्ट क्षेत्र $\kappa$ के साथ देखा जाता है। इस मामले में, हेन्सेलाइज़ेशन और सख्त हेन्सेलाइज़ेशन के अवशेष क्षेत्र अलग-अलग हैं^[4]

${\begin{aligned}(R,{\mathfrak {p}})^{h}&\rightsquigarrow \kappa \\(R,{\mathfrak {p}})^{sh}&\rightsquigarrow \kappa ^{sep}\end{aligned}}$

इसलिए सख्त हेनसेलाइज़ेशन का अवशेष क्षेत्र मूल अवशेष क्षेत्र $\kappa$ को अलग करने योग्य सवृत कर देता है।

निस्नेविच कवरिंग के उदाहरण

द्वारा दिए गए ईटेल कवर पर विचार करें

{\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{2}-t))\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])

यदि हम आधार के सामान्य बिंदु के लिए अवशेष क्षेत्रों के संबंधित आकारिकी को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि यह एक डिग्री 2 विस्तार है:

\mathbb {C} (t)\to {\frac {\mathbb {C} (t)[x]}{(x^{2}-t)}}

इसका तात्पर्य यह है कि यह ईटेल कवर निस्नेविच नहीं है। निसनेविच कवर प्राप्त करने के लिए हम $\mathbb {A} ^{1}-\{0,1\}\to \mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ जोड़ सकते हैं $\mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ के सामान्य बिंदु के लिए अंकों की समरूपता है।

सशर्त आवरण

यदि हम $\mathbb {A} ^{1}$ को क्षेत्र $k$ पर एक योजना के रूप में लेते हैं, तो एक आवरण ^[1]^{पेज 21} द्वारा दिया गया है:

${\begin{aligned}i:\mathbb {A} ^{1}-\{a\}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}\\f:\mathbb {A} ^{1}-\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}\end{aligned}}$

जहाँ मैं समावेशन है और $f(x)=x^{k}$ तो यह आवरण निस्नेविच है यदि और केवल यदि $x^{k}=a$ का $k$ पर समाधान है। अन्यथा, कवरिंग $k$ -पॉइंट्स पर अनुमान नहीं हो सकता है। इस मामले में, कवरिंग केवल एक ईटेल कवरिंग है।

ज़रिस्की कवरिंग

ज़रिस्की का हर कवर निस्नेविच है^[1] लेकिन इसका विलोम आम तौर पर पकड़ में नहीं आता है।^[5] इसे किसी भी परिभाषा का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है क्योंकि ज़रिस्की कवर की परवाह किए बिना अवशेष क्षेत्र सदैव एक समरूपता होगी, और परिभाषा के अनुसार ज़रिस्की कवर बिंदुओं पर अनुमान देगा। इसके अतिरिक्त, ज़ारिस्की समावेशन सदैव एटेल आकारिकी होते हैं।

अनुप्रयोग

निस्नेविच ने अपनी टोपोलॉजी को एक सजातीय समूह योजना के वर्ग सेट की सह-वैज्ञानिक व्याख्या प्रदान करने के लिए पेश किया, जिसे मूल रूप से एडिलिक शब्दों में परिभाषित किया गया था। उन्होंने अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक और जीन-पियरे सेरे के एक अनुमान को आंशिक रूप से साबित करने के लिए इसका उपयोग किया, जिसमें कहा गया है कि एक अभिन्न नियमित नोएथेरियन आधार योजना पर रिडक्टिव ग्रुप स्कीम के अंतर्गत तर्कसंगत रूप से तुच्छ टॉर्सर ज़रिस्की टोपोलॉजी में स्थानीय रूप से तुच्छ है। निस्नेविच टोपोलॉजी के प्रमुख गुणों में से एक वंश वर्णक्रमीय अनुक्रम का अस्तित्व है। X को परिमित क्रुल आयाम की एक नोथेरियन योजना होने दें, और Gn(X) को X पर सुसंगत ढेरों की श्रेणी के Quillen K-समूह माना कि यदि ${\tilde {G}}_{n}^{\,{\text{cd}}}(X)$ टोपोलॉजी के संबंध में इन समूहों का शीफीकरण है, तो एक अभिसारी वर्णक्रमीय अनुक्रम है:

E_{2}^{p,q}=H^{p}(X_{\text{cd}},{\tilde {G}}_{q}^{\,{\text{cd}}})\Rightarrow G_{q-p}(X)

p ≥ 0, q ≥ 0, और p - q ≥ 0 के लिए यदि $\ell$ एक प्रमुख संख्या है जो एक्स की विशेषता के बराबर नहीं है, फिर $\mathbf {Z} /\ell \mathbf {Z}$ में गुणांक वाले के-समूहों के लिए एक समान अभिसरण वर्णक्रमीय अनुक्रम है।

निस्नेविच टोपोलॉजी ने बीजगणितीय के-सिद्धांत, A¹ समरूपता सिद्धांत और उद्देश्यों के सिद्धांत में भी महत्वपूर्ण अनुप्रयोग पाए हैं।^[6]^[7]

यह भी देखें

प्रीशेफ के साथ स्थानान्तरण
मिश्रित प्रेरक (गणित)
A¹ समरूपता सिद्धांत
हेंसेलियन वलय

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Antieau, Benjamin; Elmanto, Elden (2016-11-07). "अस्थिर प्रेरक होमोटॉपी सिद्धांत के लिए एक प्राइमर". arXiv:1605.00929 [math.AG].
↑ Bloch, Spencer. बीजगणितीय चक्र पर व्याख्यान. Cambridge. pp. ix.
↑ Motivic Cohomology पर व्याख्यान नोट्स. example 6.13, pages 39-40.
↑ "Section 10.154 (0BSK): Henselization and strict henselization—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2021-01-25.
↑ "प्रति उदाहरण - एक निस्नेविच कवर जो ज़ारिस्की नहीं है". MathOverflow. Retrieved 2021-01-25.
↑ Voevodsky, Vladimir. "एक क्षेत्र के ऊपर उद्देश्यों की त्रिकोणीय श्रेणियां k" (PDF). Journal of K-Theory. Proposition 3.1.3.
↑ "निस्नेविच टोपोलॉजी" (PDF). Archived from the original on 2017-09-23.{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)

Nisnevich, Yevsey A. (1989). "The completely decomposed topology on schemes and associated descent spectral sequences in algebraic K-theory". In J. F. Jardine and V. P. Snaith (ed.). Algebraic K-theory: connections with geometry and topology. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute held in Lake Louise, Alberta, December 7--11, 1987. NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences. Vol. 279. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. 241–342., available at निस्नेविच's website

Levine, Marc (2008), Motivic Homotopy Theory (PDF)

[:0-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Antieau, Benjamin; Elmanto, Elden (2016-11-07). "अस्थिर प्रेरक होमोटॉपी सिद्धांत के लिए एक प्राइमर". arXiv:1605.00929 [math.AG].

[2] Bloch, Spencer. बीजगणितीय चक्र पर व्याख्यान. Cambridge. pp. ix.

[3] Motivic Cohomology पर व्याख्यान नोट्स. example 6.13, pages 39-40.

[4] "Section 10.154 (0BSK): Henselization and strict henselization—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2021-01-25.

[5] "प्रति उदाहरण - एक निस्नेविच कवर जो ज़ारिस्की नहीं है". MathOverflow. Retrieved 2021-01-25.

[6] Voevodsky, Vladimir. "एक क्षेत्र के ऊपर उद्देश्यों की त्रिकोणीय श्रेणियां k" (PDF). Journal of K-Theory. Proposition 3.1.3.

[7] "निस्नेविच टोपोलॉजी" (PDF). Archived from the original on 2017-09-23.{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)

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 {{Short description|Structure in algebraic geometry}}
-[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, निस्नेविच टोपोलॉजी, जिसे कभी-कभी पूरी तरह से विघटित टोपोलॉजी कहा जाता है, [[योजना (गणित)]] की श्रेणी पर एक [[ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी]] है जिसका उपयोग [[बीजगणितीय के-सिद्धांत]], ए¹ होमोटोपी सिद्धांत और मकसद के सिद्धांत (बीजगणितीय ज्यामिति) में किया गया है। )एस। यह मूल रूप से येवेसी निस्नेविच द्वारा पेश किया गया था, जो [[एडेल रिंग]] के सिद्धांत से प्रेरित था।
+[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, '''निस्नेविच टोपोलॉजी''', जिसे कभी-कभी पूरी तरह से विघटित टोपोलॉजी कहा जाता है। यह योजनाओं की श्रेणी पर [[ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी]] है जिसका उपयोग [[बीजगणितीय के-सिद्धांत]], A¹ समरूपता सिद्धांत और प्रेरण के सिद्धांत में किया गया है। यह मूल रूप से येवेसी निस्नेविच द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जो [[एडेल रिंग|एडेल]] के सिद्धांत से प्रेरित था।
 == परिभाषा ==
-योजनाओं का एक रूपवाद <math>f:Y \to X</math> एक Nisnevich morphism कहा जाता है अगर यह एक étale morphism है जैसे कि प्रत्येक (संभवतः गैर-बंद) बिंदु ''x'' ∈ ''X'' के लिए, एक बिंदु ''y'' ∈ ''Y'' मौजूद है फाइबर {{nowrap|''f''<sup>&minus;1</sup>(''x'')}} जैसे कि [[अवशेष क्षेत्र]]ों का प्रेरित मानचित्र k(x) → k(y) एक समरूपता है। समतुल्य रूप से, f समतल, असम्बद्ध, स्थानीय रूप से परिमित प्रस्तुति वाला होना चाहिए, और प्रत्येक बिंदु x ∈ X के लिए, फाइबर में एक बिंदु y मौजूद होना चाहिए {{nowrap|''f''<sup>&minus;1</sup>(''x'')}} ऐसा है कि k(x) → k(y) एक तुल्याकारिता है।
+योजनाओं का एक आकारिता <math>f:Y \to X</math> को "निस्नेविच आकारिता" कहा जाता है यदि यह एक ईटेल आकारिकी है जैसे कि प्रत्येक (संभवतः गैर-सवृत) बिंदु x ∈ X के लिए, फाइबर में एक बिंदु y ∈ Y सम्मिलित होता है। {{nowrap|''f''<sup>&minus;1</sup>(''x'')}} ऐसा है कि अवशेष क्षेत्रों k(x) → k(y) का प्रेरित मानचित्र एक समरूपता है। समतुल्य रूप से, f समतल, असम्बद्ध, स्थानीय रूप से परिमित प्रस्तुति वाला होना चाहिए, और प्रत्येक बिंदु x ∈ X के लिए, फाइबर {{nowrap|''f''<sup>&minus;1</sup>(''x'')}} में एक बिंदु y सम्मिलित होना चाहिए जैसे कि k(x) → k(y) एक समरूपता है।
-आकारिकी का एक परिवार {यू<sub>α</sub> : एक्स<sub>α</sub> → X} एक 'निस्नेविच कवर' है यदि परिवार में प्रत्येक रूपवाद étale है और प्रत्येक (संभवतः गैर-बंद) बिंदु x ∈ X के लिए, α और एक बिंदु y ∈ X मौजूद है<sub>α</sub> अनुसूचित जनजाति। यू<sub>α</sub>(y) = x और अवशेष क्षेत्रों का प्रेरित मानचित्र k(x) → k(y) एक समरूपता है। यदि परिवार परिमित है, तो यह आकृतिवाद के समतुल्य है <math>\coprod u_\alpha</math> से <math>\coprod X_\alpha</math> X को एक Nisneevich morphism होने के नाते। Nisnevich कवर योजनाओं की श्रेणी और योजनाओं के morphisms पर एक प्रीटोपोलॉजी के कवरिंग परिवार हैं। यह 'निस्नेविच टोपोलॉजी' नामक एक टोपोलॉजी उत्पन्न करता है। Nisneevich टोपोलॉजी वाली योजनाओं की श्रेणी को Nis नोट किया गया है।
+आकारिता का एक परिवार {uα : Xα → X} एक निस्नेविच कवर है अगर परिवार में प्रत्येक आकारिता है और प्रत्येक (संभवतः गैर-सवृत) बिंदु x ∈ X के लिए, α और एक बिंदु y ∈ Xα s.t सम्मिलित है। uα(y) = x और अवशिष्ट क्षेत्रों k(x) → k(y) का प्रेरित मानचित्र एक समरूपता है। यदि परिवार परिमित है, तो यह आकारिकी <math>\coprod u_\alpha</math> के समतुल्य है <math>\coprod X_\alpha</math> से X एक निस्नेविच आकारिता है। निस्नेविच कवर योजनाओं की श्रेणी और योजनाओं के आकारिता पर एक प्रीटोपोलॉजी के कवरिंग परिवार हैं। यह निस्नेविच टोपोलॉजी नामक एक टोपोलॉजी उत्पन्न करता है। निस्नेविच टोपोलॉजी वाली योजनाओं की श्रेणी को Nis नोट किया गया है।
-'एक्स' की 'छोटी निस्नेविच साइट' की अंतर्निहित श्रेणी छोटी ईटेल साइट के समान है, जिसका कहना है कि वस्तुएं एक निश्चित ईटेल मोर्फिज्म यू → एक्स के साथ योजनाएं यू हैं और मॉर्फिज्म फिक्स्ड के साथ संगत योजनाओं के रूप हैं। एक्स के नक्शे। स्वीकार्य कवरिंग Nisnevich morphisms हैं।
+एक्स की छोटी निस्नेविच साइट में अंतर्निहित श्रेणी के रूप में छोटी ईटेल साइट है, जिसका कहना है कि ऑब्जेक्ट्स स्कीम यू हैं जो एक निश्चित ईटेल आकारिता ''U'' → ''X'' के साथ हैं और आकारिता एक्स के लिए निश्चित मानचित्रों के साथ संगत योजनाओं के आकारिता हैं। स्वीकार्य आवरण निस्नेविच आकारिता हैं।
-'एक्स' की 'बिग निस्नेविच साइट' में एक्स के लिए एक निश्चित मानचित्र के साथ अंतर्निहित श्रेणी की योजनाएँ हैं और एक्स-स्कीमों के आकारिकी हैं। टोपोलॉजी निस्नेविच आकारिकी द्वारा दी गई है।
+एक्स की बड़ी निस्नेविच साइट में एक्स के लिए एक निश्चित मानचित्र के साथ अंतर्निहित श्रेणी योजनाएं हैं और एक्स-स्कीमों के आकारिकी हैं। टोपोलॉजी निस्नेविच आकारिकी द्वारा दी गई है।
-निस्नेविच टोपोलॉजी के कई रूप हैं जो एकवचन किस्मों का अध्ययन करने के लिए अनुकूलित हैं। इन टोपोलॉजी में कवर में विलक्षणताओं का समाधान या संकल्प के कमजोर रूप शामिल हैं।
+निस्नेविच टोपोलॉजी के कई रूप हैं जो एक प्रकार का अध्ययन करने के लिए अनुकूलित हैं इन टोपोलॉजी में कवर में विलक्षणता के संकल्प या संकल्प के कमजोर रूप सम्मिलित हैं।
-* 'सीडीएच टोपोलॉजी' कवरिंग के रूप में उचित द्विवार्षिक आकारिकी की अनुमति देता है।
+* सीडीएच टोपोलॉजी कवरिंग के रूप में उचित द्विवार्षिक आकारिता की स्वीकृति देती है।
-* 'एच टोपोलॉजी' डी जोंग के परिवर्तन को कवरिंग के रूप में अनुमति देता है।
+* एच टोपोलॉजी डी जोंग के परिवर्तन को कवरिंग के रूप में स्वीकृति देता है।
-* 'एल' टोपोलॉजी' गैबर के स्थानीय एकरूपता प्रमेय के निष्कर्ष के रूप में आकारिकी की अनुमति देता है।
+* गैबर के स्थानीय एकरूपता प्रमेय के निष्कर्ष के रूप में एल' टोपोलॉजी आकारिकी की स्वीकृति देती है।
-सीडीएच और एल' टोपोलॉजी ईटेल टोपोलॉजी के साथ अतुलनीय हैं, और एच टोपोलॉजी ईटेल टोपोलॉजी से बेहतर है।
+सीडीएच और एल' टोपोलॉजी ईटेल टोपोलॉजी के साथ अतुलनीय हैं, और एच टोपोलॉजी ईटेल टोपोलॉजी से अपेक्षाकृत अच्छा है।
-=== निस्नेविच कवर === के लिए समतुल्य शर्तें
+=== निस्नेविच कवर के लिए समतुल्य शर्तें ===
-मान लें कि श्रेणी में एक qcqs (अर्ध-कॉम्पैक्ट और अर्ध-पृथक) योजना पर चिकनी योजनाएं शामिल हैं, तो निस्नेविच के कारण मूल परिभाषा<ref name=":0">{{cite arXiv|last1=Antieau|first1=Benjamin|last2=Elmanto|first2=Elden|date=2016-11-07|title=अस्थिर प्रेरक होमोटॉपी सिद्धांत के लिए एक प्राइमर|class=math.AG|eprint=1605.00929}}</ref><sup>टिप्पणी 3.39</sup>, जो आकारिकी के परिवार के लिए ऊपर दी गई परिभाषा के समतुल्य है <math>\{p_\alpha: U_\alpha \to X\}_{\alpha \in A}</math> एक Nisneevich कवर करने के लिए योजनाओं की अगर है
+मान लें कि श्रेणी में एक qcqs (अर्ध-कॉम्पैक्ट और अर्ध-पृथक) योजना पर चिकनी योजनाएं सम्मिलित हैं, फिर निस्नेविच के कारण मूल परिभाषा <ref name=":0">{{cite arXiv|last1=Antieau|first1=Benjamin|last2=Elmanto|first2=Elden|date=2016-11-07|title=अस्थिर प्रेरक होमोटॉपी सिद्धांत के लिए एक प्राइमर|class=math.AG|eprint=1605.00929}}</ref><sup>टिप्पणी 3.39</sup>, जो ऊपर दी गई परिभाषा के बराबर है, आकृतिवाद के एक परिवार के लिए <math>\{p_\alpha: U_\alpha \to X\}_{\alpha \in A}</math> निस्नेविच को कवर करने वाली योजनाएं हैं यदि
-# प्रत्येक <math>p_\alpha</math> ईटेल है; और
+# प्रत्येक <math>p_\alpha</math> है; और
-# सभी क्षेत्रों के लिए <math>k</math>, के स्तर पर <math>k</math>-पॉइंट्स, (सेट-सैद्धांतिक) सह-उत्पाद <math>p_k: \coprod_{\alpha}U_\alpha(k) \to X(k)</math> सभी कवरिंग मोर्फिज्म के <math>p_\alpha</math> विशेषण है।
+# सभी क्षेत्र <math>k</math> के लिए, <math>k</math>-बिंदुओं के स्तर पर, (सेट-सैद्धांतिक) सहउत्पाद <math>p_k: \coprod_{\alpha}U_\alpha(k) \to X(k)</math> सभी आच्छादन आकारिकी <math>p_\alpha</math> विशेषण है।
-Nisneevich कवर के लिए निम्नलिखित अभी तक एक और समान स्थिति Lurie के कारण है{{Citation needed|reason=The Antieau-Elmanto paper says Lurie SAG A.2.4, but since then Lurie's book has been drastically updated and reindexed.|date=April 2023}}: Nisnevich टोपोलॉजी étale morphisms के सभी परिमित परिवारों द्वारा उत्पन्न होती है जैसे कि सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत बंद उप-योजनाओं का एक परिमित अनुक्रम होता है<blockquote><math>\varnothing \subseteq Z_n \subseteq Z_{n-1} \subseteq \cdots \subseteq Z_1 \subseteq Z_0 = X</math></blockquote>ऐसा कि के लिए <math>0\leq m\leq n-1</math>, <ब्लॉककोट><math>\coprod_{\alpha \in A} p_\alpha^{-1}(Z_m - Z_{m-1}) \to Z_m - Z_{m-1}</math></blockquote>एक अनुभाग को स्वीकार करता है।
+निस्नेविच कवर के लिए निम्नलिखित अभी तक एक और समतुल्य स्थिति Lurie [ के कारण है: निस्नेविच टोपोलॉजी ईटेल आकारिता के सभी परिमित परिवारों द्वारा उत्पन्न होती है जैसे कि सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत सवृत उप-योजनाओं का एक परिमित अनुक्रम होता है।{{Citation needed|reason=The Antieau-Elmanto paper says Lurie SAG A.2.4, but since then Lurie's book has been drastically updated and reindexed.|date=April 2023}}<blockquote><math>\varnothing \subseteq Z_n \subseteq Z_{n-1} \subseteq \cdots \subseteq Z_1 \subseteq Z_0 = X</math></blockquote>जैसे कि <math>0\leq m\leq n-1</math> के लिए <math>\coprod_{\alpha \in A} p_\alpha^{-1}(Z_m - Z_{m-1}) \to Z_m - Z_{m-1}</math> एक वर्ग को स्वीकार करता है।
-<!-- TODO: Somebody should rewrite/expand the following two sentences. -->ध्यान दें कि इन morphisms का मूल्यांकन करते समय <math>S</math>-अंक, इसका अर्थ है कि मानचित्र एक अनुमान है। इसके विपरीत, तुच्छ अनुक्रम लेना <math>Z_0 = X</math> विपरीत दिशा में परिणाम देता है।
+ध्यान दें कि एस-बिंदुओं पर इन आकारिकी का मूल्यांकन करते समय, इसका अर्थ है कि मानचित्र एक अनुमान है। इसके विपरीत, तुच्छ क्रम <math>Z_0 = X</math> लेने से परिणाम विपरीत दिशा में मिलता है।
-<!-- dummy edit; can be deleted. -->
+<!-- dummy edit; can be deleted. --><!-- TODO: Somebody should rewrite/expand the following two sentences. -->
+== प्रेरणा ==
+मोटिविक कोहोलॉजी में निस्नेविच टोपोलॉजी को पेश करने के लिए प्रमुख प्रेरणाओं में से एक यह तथ्य है<ref>{{Cite book|last=Bloch|first=Spencer|title=बीजगणितीय चक्र पर व्याख्यान|publisher=Cambridge|pages=ix}}</ref> कि ज़ारिस्की ओपन कवर <math>\pi: U \to X</math> ज़ारिस्की शेव्स का रिज़ॉल्यूशन नहीं देता है।<ref>{{Cite book|title=Motivic Cohomology पर व्याख्यान नोट्स|at=example 6.13, pages 39-40}}</ref>
+<math>\cdots \to \mathbf{Z}_{tr}(U\times_XU) \to \mathbf{Z}_{tr}(U) \to  \mathbf{Z}_{tr}(X) \to 0</math>
-== प्रेरणा ==
+जहाँ<blockquote><math>\mathbf{Z}_{tr}(Y)(Z) := \text{Hom}_{cor}(Z,Y)</math></blockquote>स्थानान्तरण के साथ पूर्व-शेव की श्रेणी में प्रतिनिधित्व योग्य फ़ंक्टर है। निस्नेविच टोपोलॉजी के लिए, स्थानीय रिंग्स हेन्सेलियन हैं, और हेन्सेलियन रिंग के एक परिमित कवर को हेन्सेलियन रिंग्स के एक उत्पाद द्वारा दिया जाता है, जो सटीकता दिखा रहा है।
-प्रमुख प्रेरणाओं में से एक<ref>{{Cite book|last=Bloch|first=Spencer|title=बीजगणितीय चक्र पर व्याख्यान|publisher=Cambridge|pages=ix}}</ref> Motivic cohomology में Nisnevich टोपोलॉजी को शुरू करने के लिए तथ्य यह है कि एक Zariski ओपन कवर है <math>\pi: U \to X</math> ज़ारिस्की शीशों का संकल्प नहीं मिलता है<ref>{{Cite book|title=Motivic Cohomology पर व्याख्यान नोट्स|at=example 6.13, pages 39-40}}</ref><ब्लॉककोट><math>\cdots \to \mathbf{Z}_{tr}(U\times_XU) \to \mathbf{Z}_{tr}(U) \to  \mathbf{Z}_{tr}(X) \to 0</math></blockquote>कहाँ<blockquote><math>\mathbf{Z}_{tr}(Y)(Z) := \text{Hom}_{cor}(Z,Y)</math></blockquote>स्थानान्तरण के साथ पूर्व-शेव की श्रेणी में प्रतिनिधित्व योग्य फ़ंक्टर है। निस्नेविच टोपोलॉजी के लिए, स्थानीय रिंग्स हेन्सेलियन हैं, और हेन्सेलियन रिंग के एक परिमित कवर को हेन्सेलियन रिंग्स के एक उत्पाद द्वारा दिया जाता है, जो सटीकता दिखा रहा है।
+=== निस्नेविच टोपोलॉजी में स्थानीय वलय ===
+{{see also|हेंसेलियन वृत्त}}
-== निस्नेविच टोपोलॉजी == में स्थानीय छल्ले
+यदि x योजना X का एक बिंदु है, तो निस्नेविच टोपोलॉजी में x का स्थानीय वलय ज़ारिस्की टोपोलॉजी में x के स्थानीय वलय का हेनसेलाइज़ेशन है। यह एटेल टोपोलॉजी से अलग है जहां स्थानीय वलय सख्त [[हेन्सेलाइज़ेशन]] हैं। दो मामलों के बीच एक महत्वपूर्ण बिंदु तब देखा जा सकता है जब एक स्थानीय रिंग <math>(R,\mathfrak{p})</math> को अवशिष्ट क्षेत्र <math>\kappa</math> के साथ देखा जाता है। इस मामले में, हेन्सेलाइज़ेशन और सख्त हेन्सेलाइज़ेशन के अवशेष क्षेत्र अलग-अलग हैं<ref>{{Cite web|title=Section 10.154 (0BSK): Henselization and strict henselization—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/0BSK|access-date=2021-01-25|website=stacks.math.columbia.edu}}</ref>
-{{see also|Henselian ring}}
-यदि x योजना X का एक बिंदु है, तो Nisnevich टोपोलॉजी में x का स्थानीय वलय ज़ारिस्की टोपोलॉजी में x के स्थानीय वलय का हेनसेलाइज़ेशन है। यह एटेल टोपोलॉजी से अलग है जहां स्थानीय छल्ले सख्त [[हेन्सेलाइज़ेशन]] हैं। स्थानीय रिंग को देखते समय दो मामलों के बीच महत्वपूर्ण बिंदुओं में से एक देखा जा सकता है <math>(R,\mathfrak{p})</math> अवशेष क्षेत्र के साथ <math>\kappa</math>. इस मामले में, हेन्सेलाइज़ेशन और सख्त हेन्सेलाइज़ेशन के अवशेष क्षेत्र अलग-अलग हैं<ref>{{Cite web|title=Section 10.154 (0BSK): Henselization and strict henselization—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/0BSK|access-date=2021-01-25|website=stacks.math.columbia.edu}}</ref><ब्लॉककोट><math>\begin{align}
+<math>\begin{align}
 (R,\mathfrak{p})^h &\rightsquigarrow \kappa \\
 (R,\mathfrak{p})^{sh} &\rightsquigarrow \kappa^{sep}
-\end{align}</math></blockquote>इसलिए सख्त हेनसेलाइजेशन का अवशेष क्षेत्र मूल अवशेष क्षेत्र को अलग करने योग्य बंद कर देता है <math>\kappa</math>.
+\end{align}</math>
+इसलिए सख्त हेनसेलाइज़ेशन का अवशेष क्षेत्र मूल अवशेष क्षेत्र <math>\kappa</math> को अलग करने योग्य सवृत कर देता है।
-== निस्नेविच कवरिंग == के उदाहरण
+=== निस्नेविच कवरिंग के उदाहरण ===
 द्वारा दिए गए ईटेल कवर पर विचार करें
 :<math>
 \text{Spec}(\mathbb{C}[x,t,t^{-1}]/(x^2 - t)) \to \text{Spec}(\mathbb{C}[t,t^{-1}])
 </math>
-यदि हम आधार के सामान्य बिंदु के लिए अवशेष क्षेत्रों के संबंधित आकारिकी को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि यह एक डिग्री 2 विस्तार है
+यदि हम आधार के सामान्य बिंदु के लिए अवशेष क्षेत्रों के संबंधित आकारिकी को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि यह एक डिग्री 2 विस्तार है:
 :<math>
 \mathbb{C}(t) \to \frac{\mathbb{C}(t)[x]}{(x^2 - t)}
 </math>
-इसका तात्पर्य यह है कि यह ईटेल कवर निस्नेविच नहीं है। हम étale morphism जोड़ सकते हैं <math>\mathbb{A}^1 - \{0,1\} \to \mathbb{A}^1 - \{0\}</math> Nisnevich कवर प्राप्त करने के बाद से सामान्य बिंदु के लिए बिंदुओं का एक समरूपता है <math>\mathbb{A}^1-\{0\}</math>.
+इसका तात्पर्य यह है कि यह ईटेल कवर निस्नेविच नहीं है। निसनेविच कवर प्राप्त करने के लिए हम <math>\mathbb{A}^1 - \{0,1\} \to \mathbb{A}^1 - \{0\}</math> जोड़ सकते हैं <math>\mathbb{A}^1-\{0\}</math> के सामान्य बिंदु के लिए अंकों की समरूपता है।
 === सशर्त आवरण ===
-अगर हम लेते हैं <math>\mathbb{A}^1</math> एक क्षेत्र पर एक योजना के रूप में <math>k</math>, फिर एक आवरण<ref name=":0" /><sup>पेज 21</sup> द्वारा दिया गया<blockquote><math>\begin{align}
+यदि हम <math>\mathbb{A}^1</math> को क्षेत्र <math>k</math> पर एक योजना के रूप में लेते हैं, तो एक आवरण <ref name=":0" /><sup>पेज 21</sup> द्वारा दिया गया है:<blockquote><math>\begin{align}
 i: \mathbb{A}^1 - \{a \} \hookrightarrow \mathbb{A}^1 \\
 f: \mathbb{A}^1 - \{0 \} \to \mathbb{A}^1
-\end{align}</math></blockquote>कहाँ <math>i</math> समावेशन है और <math>f(x) = x^k</math>, तो यह आवरण निस्नेविच है अगर और केवल अगर <math>x^k = a</math> पर समाधान है <math>k</math>. अन्यथा, आवरण पर प्रक्षेपण नहीं हो सकता <math>k</math>-अंक। इस मामले में, कवरिंग केवल एक ईटेल कवरिंग है।
+\end{align}</math></blockquote>जहाँ मैं समावेशन है और <math>f(x) = x^k</math> तो यह आवरण निस्नेविच है यदि और केवल यदि <math>x^k = a</math> का <math>k</math> पर समाधान है। अन्यथा, कवरिंग <math>k</math>-पॉइंट्स पर अनुमान नहीं हो सकता है। इस मामले में, कवरिंग केवल एक ईटेल कवरिंग है।
 === ज़रिस्की कवरिंग ===
-हर ज़रिस्की कवरिंग<ref name=":0" /><sup>पृष्ठ 21 </sup> निसनेविच है, लेकिन इसका विलोम सामान्य रूप से नहीं है।<ref>{{Cite web|title=प्रति उदाहरण - एक निस्नेविच कवर जो ज़ारिस्की नहीं है|url=https://mathoverflow.net/questions/103257/a-nisnevich-cover-which-is-not-zariski|access-date=2021-01-25|website=MathOverflow}}</ref> इसे किसी भी परिभाषा का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है क्योंकि ज़रिस्की कवर की परवाह किए बिना अवशेष फ़ील्ड हमेशा एक समरूपता होगी, और परिभाषा के अनुसार ज़रिस्की कवर बिंदुओं पर अनुमान देगा। इसके अलावा, ज़ारिस्की समावेशन हमेशा एटेल आकारिकी होते हैं।
+ज़रिस्की का हर कवर निस्नेविच है<ref name=":0" /> लेकिन इसका विलोम आम तौर पर पकड़ में नहीं आता है।<ref>{{Cite web|title=प्रति उदाहरण - एक निस्नेविच कवर जो ज़ारिस्की नहीं है|url=https://mathoverflow.net/questions/103257/a-nisnevich-cover-which-is-not-zariski|access-date=2021-01-25|website=MathOverflow}}</ref> इसे किसी भी परिभाषा का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है क्योंकि ज़रिस्की कवर की परवाह किए बिना अवशेष क्षेत्र सदैव एक समरूपता होगी, और परिभाषा के अनुसार ज़रिस्की कवर बिंदुओं पर अनुमान देगा। इसके अतिरिक्त, ज़ारिस्की समावेशन सदैव एटेल आकारिकी होते हैं।
 == अनुप्रयोग ==
-निस्नेविच ने अपनी टोपोलॉजी को एक सजातीय समूह योजना के वर्ग सेट की सह-वैज्ञानिक व्याख्या प्रदान करने के लिए पेश किया, जिसे मूल रूप से एडिलिक शब्दों में परिभाषित किया गया था। उन्होंने [[अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक]] और [[ जीन पियरे सेरे ]] के एक अनुमान को आंशिक रूप से साबित करने के लिए इसका इस्तेमाल किया, जिसमें कहा गया है कि एक अभिन्न नियमित नोएथेरियन आधार योजना पर रिडक्टिव ग्रुप स्कीम के तहत तर्कसंगत रूप से तुच्छ [[ धड़ ]] [[जरिस्की टोपोलॉजी]] में स्थानीय रूप से तुच्छ है। निस्नेविच टोपोलॉजी के प्रमुख गुणों में से एक वंश वर्णक्रमीय अनुक्रम का अस्तित्व है। X को परिमित क्रुल आयाम की एक नोथेरियन योजना होने दें, और G को दें<sub>''n''</sub>(एक्स) एक्स पर सुसंगत ढेरों की श्रेणी के क्विलन के-समूह हों। यदि <math>\tilde G_n^{\,\text{cd}}(X)</math> निसनेविच टोपोलॉजी के संबंध में इन समूहों का शीफीकरण है, एक अभिसरण वर्णक्रमीय अनुक्रम है
+निस्नेविच ने अपनी टोपोलॉजी को एक सजातीय समूह योजना के वर्ग सेट की सह-वैज्ञानिक व्याख्या प्रदान करने के लिए पेश किया, जिसे मूल रूप से एडिलिक शब्दों में परिभाषित किया गया था। उन्होंने अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक और जीन-पियरे सेरे के एक अनुमान को आंशिक रूप से साबित करने के लिए इसका उपयोग किया, जिसमें कहा गया है कि एक अभिन्न नियमित नोएथेरियन आधार योजना पर रिडक्टिव ग्रुप स्कीम के अंतर्गत तर्कसंगत रूप से तुच्छ टॉर्सर ज़रिस्की टोपोलॉजी में स्थानीय रूप से तुच्छ है। निस्नेविच टोपोलॉजी के प्रमुख गुणों में से एक वंश वर्णक्रमीय अनुक्रम का अस्तित्व है। X को परिमित क्रुल आयाम की एक नोथेरियन योजना होने दें, और Gn(X) को X पर सुसंगत ढेरों की श्रेणी के Quillen K-समूह माना कि यदि <math>\tilde G_n^{\,\text{cd}}(X)</math> टोपोलॉजी के संबंध में इन समूहों का शीफीकरण है, तो एक अभिसारी वर्णक्रमीय अनुक्रम है:
 :<math>E^{p,q}_2 = H^p(X_\text{cd}, \tilde G_q^{\,\text{cd}}) \Rightarrow G_{q-p}(X)</math>
-के लिए {{nowrap|p &ge; 0}}, {{nowrap|q &ge; 0}}, और {{nowrap|p - q &ge; 0}}. अगर <math>\ell</math> एक प्रमुख संख्या है जो एक्स की विशेषता के बराबर नहीं है, तो गुणांक वाले के-समूहों के लिए एक समान अभिसरण वर्णक्रमीय अनुक्रम है <math>\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}</math>.
+{{nowrap|p &ge; 0}}, {{nowrap|q &ge; 0}}, और {{nowrap|p - q &ge; 0}} के लिए यदि <math>\ell</math> एक प्रमुख संख्या है जो एक्स की विशेषता के बराबर नहीं है, फिर <math>\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}</math> में गुणांक वाले के-समूहों के लिए एक समान अभिसरण वर्णक्रमीय अनुक्रम है।
-निस्नेविच टोपोलॉजी ने बीजगणितीय के-सिद्धांत, ए¹ होमोटोपी सिद्धांत और मकसद के सिद्धांत (बीजगणितीय ज्यामिति) में भी महत्वपूर्ण अनुप्रयोग पाए हैं।<ref>{{cite journal|last1=Voevodsky|first1=Vladimir|title=एक क्षेत्र के ऊपर उद्देश्यों की त्रिकोणीय श्रेणियां k|journal=Journal of K-Theory|url=https://faculty.math.illinois.edu/K-theory/0074/tmotives.pdf|at=Proposition 3.1.3}}</ref><ref>{{cite web|title=निस्नेविच टोपोलॉजी|url=http://www-bcf.usc.edu/~hoyois/papers/nisnevich.pdf|url-status=bot: unknown|archive-url=https://web.archive.org/web/20170923234114/http://www-bcf.usc.edu/~hoyois/papers/nisnevich.pdf|archive-date=2017-09-23}}</ref>
+निस्नेविच टोपोलॉजी ने बीजगणितीय के-सिद्धांत, A¹ समरूपता सिद्धांत और उद्देश्यों के सिद्धांत में भी महत्वपूर्ण अनुप्रयोग पाए हैं।<ref>{{cite journal|last1=Voevodsky|first1=Vladimir|title=एक क्षेत्र के ऊपर उद्देश्यों की त्रिकोणीय श्रेणियां k|journal=Journal of K-Theory|url=https://faculty.math.illinois.edu/K-theory/0074/tmotives.pdf|at=Proposition 3.1.3}}</ref><ref>{{cite web|title=निस्नेविच टोपोलॉजी|url=http://www-bcf.usc.edu/~hoyois/papers/nisnevich.pdf|url-status=bot: unknown|archive-url=https://web.archive.org/web/20170923234114/http://www-bcf.usc.edu/~hoyois/papers/nisnevich.pdf|archive-date=2017-09-23}}</ref>
 == यह भी देखें ==
-* स्थानान्तरण के साथ प्रीशेफ
+* प्रीशेफ के साथ स्थानान्तरण
-* [[मिश्रित मकसद (गणित)]]
+* [[मिश्रित मकसद (गणित)|मिश्रित प्रेरक (गणित)]]
-* A¹ होमोटॉपी थ्योरी
+* A¹ समरूपता सिद्धांत
-* [[हेंसेलियन रिंग]]
+* [[हेंसेलियन रिंग|हेंसेलियन वलय]]
 == संदर्भ ==
@@ Line 90: / Line 94: @@
   | location = Dordrecht
   | pages = 241–342
-}}, available at [http://www.cims.nyu.edu/~nisnevic/ Nisnevich's website]
+}}, available at [http://www.cims.nyu.edu/~nisnevic/ निस्नेविच's website]
 * {{citation

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निस्नेविच टोपोलॉजी: Difference between revisions

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