श्रेणियों की समानता

श्रेणी सिद्धांत में, अमूर्त गणित की शाखा, श्रेणियों की समानता दो श्रेणी (गणित) के मध्य संबंध है जो यह स्थापित करती है कि यह श्रेणियां "अनिवार्य रूप से समान" हैं। गणित के अनेक क्षेत्रों से स्पष्ट तुल्यता के अनेक उदाहरण होते हैं। समानता स्थापित करने में संबंधित गणितीय संरचनाओं के मध्य मजबूत समानता प्रदर्शित करना सम्मिलित है। कुछ स्थितियों में, यह संरचनाएं सतही या सहज स्तर पर असंबंधित प्रतीत हो सकती हैं, जो धारणा को अधिक शक्तिशाली बनाती हैं। यह विभिन्न प्रकार की गणितीय संरचनाओं के मध्य प्रमेयों का "अनुवाद" करने का अवसर उत्पन्न करती है, यह जानते हुए कि उन प्रमेयों का आवश्यक अर्थ अनुवाद के माध्यम से संरक्षित है।

यदि कोई श्रेणी किसी अन्य श्रेणी के विपरीत (या दोहरी) के समान्तर है तब कोई श्रेणियों के द्वैत की बात करता है और कहता है कि दो श्रेणियां द्वैत समकक्ष हैं।

श्रेणियों की समानता में सम्मिलित श्रेणियों के मध्य ऑपरेटर होता है, जिसके लिए व्युत्क्रम फ़ैक्टर की आवश्यकता होती है। चूंकि, बीजगणितीय सेटिंग में समरूपता के लिए सामान्य स्थिति के विपरीत, मज़ेदार और इसके व्युत्क्रम का सम्मिश्रण अनिवार्य रूप से पहचान मानचित्रण नहीं है। इसके अतिरिक्त यह पर्याप्त है कि प्रत्येक वस्तु इस रचना के अनुसार अपनी छवि के लिए स्वाभाविक रूप से 'प्राकृतिक परिवर्तन' होता है। इस प्रकार कोई भी फंक्शंस को समाकृतिकता के व्युत्क्रम के रूप में वर्णित कर सकता है। वास्तव में श्रेणियों के समरूपता की अवधारणा है जहां व्युत्क्रम फ़ैक्टर का सख्त रूप आवश्यक है, किन्तु यह 'समकक्ष' अवधारणा की तुलना में बहुत कम व्यावहारिक उपयोग होता है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, दो श्रेणियां C और D दी गई हैं, श्रेणियों की समानता में फ़ंक्टर F: C → D, फ़ंक्टर G: D → C और दो प्राकृतिक समरूपता ε: FG→I_D और η: I_C→GF सम्मिलित हैं। यहाँ FG: D→D और GF: C→C, F और G की संबंधित रचनाओं को दर्शाता है और I_C: C→C और I_D: D → D, C और D पर पहचान फ़ैक्टरों को दर्शाता है, प्रत्येक वस्तु और आकारिकी को स्वयं निर्दिष्ट करता है। यदि F और G प्रतिपरिवर्ती फलनकार हैं तब कोई इसके अतिरिक्त श्रेणियों के द्वैत की बात करता है।

उपरोक्त सभी डेटा को अधिकांशतः निर्दिष्ट नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम कहते हैं कि श्रेणियां C और D समतुल्य हैं (क्रमशः द्वैत समतुल्य) यदि उनके मध्य तुल्यता (क्रमशः द्वैत) उपस्तिथ है। इसके अतिरिक्त, हम कह सकते हैं कि F "श्रेणियों की समानता" है यदि व्युत्क्रम कारक G और उपरोक्त के रूप में प्राकृतिक समरूपताएं उपस्तिथ हैं। ध्यान दीजिए कि F का ज्ञान सामान्यतः G और प्राकृतिक समरूपता के पुनर्निर्माण के लिए पर्याप्त नहीं है। इस प्रकार अनेक विकल्प हो सकते हैं (नीचे उदाहरण देखें)।

वैकल्पिक लक्षण वर्णन

मज़ेदार F: C → D श्रेणियों के समानता उत्पन्न करता है और यदि यह साथ है।

• पूर्ण कार्य करने वाला, अर्थात् C की किन्‍हीं दो वस्तुओं c₁ और c₂ के लिए F द्वारा प्रेरित मानचित्र होम_C(c₁,c₂) → होम_D(Fc₁,Fc₂) आच्छादक है।
• वफ़ादार फ़ैक्टर, अर्थात् C के किन्ही दो वस्तुओं c₁ और c₂ के लिए होम_C(c₁,c₂) → होम_D(Fc₁,Fc₂) F द्वारा प्रेरित इंजेक्शन है और,
• अनिवार्य रूप से विशेषण (सघन), अर्थात् D में प्रत्येक वस्तु D, C में C के लिए Fc फॉर्म की वस्तु के लिए आइसोमॉर्फिक है।

यह अधिक उपयोगी और सामान्य रूप से प्रयुक्त मानदंड है जिससे कि किसी को स्पष्ट रूप से "व्युत्क्रम" G और FG, GF और पहचान फ़ैक्टरों के मध्य प्राकृतिक समरूपता का निर्माण करने की आवश्यकता नहीं होती है। दूसरी ओर चूंकि उपरोक्त गुण स्पष्ट तुल्यता के अस्तित्व की गारंटी देते हैं (अंतर्निहित सेट सिद्धांत में पसंद के स्वयंसिद्ध का पर्याप्त रूप से मजबूत संस्करण दिया गया है), लापता डेटा पूरी प्रकार से निर्दिष्ट नहीं है, और अधिकांशतः अनेक विकल्प होते हैं। जब भी संभव हो, लापता निर्माणों को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करना अच्छा विचार है। इस परिस्थिति के कारण, इन गुणों वाले फ़नकार को कभी-कभी 'श्रेणियों की कमजोर समानता' कहा जाता है। (दुर्भाग्य से यह होमोटॉपी प्रकार सिद्धांत से शब्दावली के साथ संघर्ष करता है।)

आसन्न फ़ैक्टरों की अवधारणा से भी घनिष्ठ संबंध है $F\dashv G$, जहां हम कहते हैं $F:C\rightarrow D$ का बायां जोड़ है $G:D\rightarrow C$, या इसी प्रकार, G, F का दाहिना सन्निकटन है। फिर C और D समतुल्य हैं (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है कि FG से 'I' तक प्राकृतिक समरूपताएं हैं)_D और मैं_C जीएफ के लिए) यदि और केवल यदि $F\dashv G$ और F और G दोनों पूर्ण और विश्वासयोग्य हैं।

जब सहायक कारक $F\dashv G$ पूर्ण और विश्वसनीय दोनों नहीं हैं, तो हम उनके आसन्न संबंध को श्रेणियों की तुल्यता के कमजोर रूप को व्यक्त करने के रूप में देख सकते हैं। यह मानते हुए कि संयोजनों के लिए प्राकृतिक परिवर्तन दिए गए हैं, ये सभी फॉर्मूलेशन आवश्यक डेटा के स्पष्ट निर्माण की अनुमति देते हैं, और कोई विकल्प सिद्धांतों की आवश्यकता नहीं होती है। मुख्य संपत्ति जिसे यहां सिद्ध करना है वह यह है कि संयोजन का देश समरूपता है यदि और केवल यदि सही आसन्न पूर्ण और वफादार फ़ैक्टर है।

उदाहरण

• श्रेणी पर विचार करें $C$ ही वस्तु होना $c$ और एकल morphism $1_{c}$, और श्रेणी $D$ दो वस्तुओं के साथ $d_{1}$, $d_{2}$ और चार morphisms: दो पहचान morphisms $1_{d_{1}}$, $1_{d_{2}}$ और दो समरूपताएं $\alpha \colon d_{1}\to d_{2}$ और $\beta \colon d_{2}\to d_{1}$. श्रेणियां $C$ और $D$ समतुल्य हैं; हम (उदाहरण के लिए) कर सकते हैं $F$ नक्शा $c$ को $d_{1}$ और $G$ की दोनों वस्तुओं को मैप करें $D$ को $c$ और सभी morphisms करने के लिए $1_{c}$.
• इसके विपरीत, श्रेणी $C$ वस्तु और आकृतिवाद के साथ श्रेणी के समतुल्य नहीं है $E$ दो वस्तुओं और केवल दो पहचान रूपों के साथ। दो वस्तुओं में $E$ समरूपी नहीं हैं क्योंकि उनके मध्य कोई आकारिकी नहीं है। इस प्रकार कोई भी कार्यकर्ता $C$ को $E$ अनिवार्य रूप से विशेषण नहीं होगा।
• श्रेणी पर विचार करें $C$ वस्तु के साथ $c$, और दो morphisms $1_{c},f\colon c\to c$. होने देना $1_{c}$ पहचान morphism पर हो $c$ और सेट करें $f\circ f=1$. बिल्कुल, $C$ स्वयं के समतुल्य है, जिसे लेकर दिखाया जा सकता है $1_{c}$ फ़ंक्टर के मध्य आवश्यक प्राकृतिक समरूपता के स्थान पर $\mathbf {I} _{C}$ और खुद। चूंकि, यह भी सच है $f$ से प्राकृतिक समरूपता प्राप्त करता है $\mathbf {I} _{C}$ खुद को। इसलिए, यह जानकारी दी गई है कि पहचान कारक श्रेणियों की समानता बनाते हैं, इस उदाहरण में अभी भी प्रत्येक दिशा के लिए दो प्राकृतिक समरूपताओं के मध्य चयन कर सकते हैं।
• समुच्चयों और आंशिक कार्यों की श्रेणी नुकीले समुच्चयों और बिंदु-संरक्षण मानचित्रों की श्रेणी के समतुल्य है किन्तु समरूपी नहीं है।
• श्रेणी पर विचार करें $C$ सदिश समष्टि के परिमित-आयाम की वास्तविक संख्या सदिश समष्टि, और श्रेणी $D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )$ सभी वास्तविक मैट्रिक्स (गणित) के (बाद की श्रेणी को योगात्मक श्रेणी पर लेख में समझाया गया है)। तब $C$ और $D$ समतुल्य हैं: कारक $G\colon D\to C$ जो वस्तु को मैप करता है $A_{n}$ का $D$ वेक्टर अंतरिक्ष के लिए $\mathbb {R} ^{n}$ और मेट्रिसेस में $D$ संबंधित रेखीय मानचित्रों के लिए पूर्ण, विश्वसनीय और अनिवार्य रूप से विशेषण है।
• बीजगणितीय ज्यामिति के केंद्रीय विषयों में से है एफ़ाइन योजनाओं की श्रेणी और क्रमविनिमेय वलयों की श्रेणी का द्वंद्व। काम करनेवाला $G$ प्रत्येक कम्यूटेटिव रिंग को रिंग के अपने स्पेक्ट्रम से जोड़ता है, जो कि रिंग के प्रमुख आदर्शों द्वारा परिभाषित योजना है। इसका जोड़ $F$ प्रत्येक एफ़िन योजना से संबद्ध वैश्विक वर्गों की अपनी अंगूठी।
• कार्यात्मक विश्लेषण में पहचान के साथ क्रमविनिमेय सी*सी * - बीजगणित की श्रेणी कॉम्पैक्ट जगह हौसडॉर्फ स्पेस की श्रेणी के विपरीत रूप से समतुल्य है। इस द्वैत के अनुसार, हर कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस $X$ निरंतर जटिल-मूल्यवान कार्यों के बीजगणित के साथ जुड़ा हुआ है $X$, और प्रत्येक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित इसके अधिकतम आदर्शों के स्थान से जुड़ा है। यह गेलफैंड प्रतिनिधित्व है।
• जाली सिद्धांत में, प्रतिनिधित्व प्रमेयों के आधार पर अनेक द्वैत हैं, जो जाली के कुछ वर्गों को टोपोलॉजी के वर्गों से जोड़ते हैं। संभवतः इस प्रकार का सबसे प्रसिद्ध प्रमेय बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय है, जो स्टोन द्वैत की सामान्य योजना के भीतर विशेष उदाहरण है। प्रत्येक बूलियन बीजगणित (संरचना) $B$ के जाली सिद्धांत के सेट पर विशिष्ट टोपोलॉजी के लिए मैप किया गया है $B$. इसके विपरीत, किसी भी टोपोलॉजी के लिए क्लोपेन (अर्थात् बंद और खुला) उपसमुच्चय बूलियन बीजगणित उत्पन्न करते हैं। बूलियन बीजगणित (उनके समरूपता के साथ) और स्टोन रिक्त स्थान (निरंतर मानचित्रण के साथ) की श्रेणी के मध्य द्वंद्व प्राप्त करता है। स्टोन द्वैत का अन्य स्थिति बिरखॉफ का प्रतिनिधित्व प्रमेय है जो परिमित आंशिक आदेश और परिमित वितरण जाल के मध्य द्वैत बताता है।
• व्यर्थ टोपोलॉजी में स्थानिक स्थानों की श्रेणी को शांत स्थानों की श्रेणी के दोहरे के समान्तर जाना जाता है।
• दो रिंग (गणित) R और S के लिए, उत्पाद श्रेणी R-'मॉड'×S-'मॉड' (R×S)-'मॉड' के समान्तर है।
• कोई भी वर्ग उसके कंकाल (श्रेणी सिद्धांत) के समतुल्य होता है।

गुण

अंगूठे के नियम के रूप में, श्रेणियों की समानता सभी स्पष्ट अवधारणाओं और गुणों को संरक्षित करती है। यदि F : C → D तुल्यता है, तो निम्नलिखित कथन सभी सत्य हैं:

• सी शून्य वस्तु सी प्रारंभिक ऑब्जेक्ट (या टर्मिनल वस्तु , या शून्य ऑब्जेक्ट) है, यदि और केवल यदि एफसी डी का प्रारंभिक ऑब्जेक्ट (या टर्मिनल ऑब्जेक्ट, या शून्य ऑब्जेक्ट) है
• सी में आकृतिवाद α एकरूपता (या अधिरूपता, या आइसोमोर्फिज्म) है, यदि और केवल यदि Fα डी में मोनोमोर्फिज्म (या एपिमोर्फिज्म, या आइसोमोर्फिज्म) है।
• फलक H : I → C की सीमा (श्रेणी सिद्धांत) (या कोलिमिट) l है यदि और केवल यदि फलक FH : I → D की सीमा (या कोलिमिट) Fl है। यह दूसरों के मध्य तुल्यकारक (गणित), उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) और सह-उत्पादों पर प्रयुक्त किया जा सकता है। इसे कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) और cokernel पर प्रयुक्त करते हुए, हम देखते हैं कि तुल्यता F नियमित श्रेणी#त्रुटिहीन अनुक्रम और नियमित फ़ैक्टर है।
• C कार्तीय बंद श्रेणी (या शीर्ष) है यदि और केवल यदि D कार्तीय बंद (या शीर्ष) है।

द्वैत सभी अवधारणाओं को चारों ओर घुमाते हैं: वे प्रारंभिक वस्तुओं को अंतिम वस्तुओं में बदल देते हैं, मोनोमोर्फिज्म को एपिमोर्फिज्म में, गुठली को कर्नेल में, कोलिमिट्स में सीमित कर देते हैं आदि।

यदि F : C → D श्रेणियों की तुल्यता है, और G₁ और जी₂ F के दो व्युत्क्रम हैं, तो G₁ और जी₂ स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक हैं।

यदि एफ: सी → डी श्रेणियों का समकक्ष है, और यदि सी पूर्ववर्ती श्रेणी (या योजक श्रेणी, या एबेलियन श्रेणी) है, तो डी को इस प्रकार के पूर्ववर्ती श्रेणी (या योजक श्रेणी, या एबेलियन श्रेणी) में बदल दिया जा सकता है जिस प्रकार से F योगात्मक फ़ंक्टर बन जाता है। दूसरी ओर, योज्य श्रेणियों के मध्य कोई भी समानता आवश्यक रूप से योज्य है। (ध्यान दें कि बाद वाला कथन पूर्ववर्ती श्रेणियों के मध्य समानता के लिए सही नहीं है।)

श्रेणी C का 'स्वत: तुल्यता' तुल्यता F: C → C है। C की स्वतः तुल्यता संरचना के अंतर्गत समूह (गणित) बनाती है यदि हम दो स्वतः तुल्यताओं पर विचार करते हैं जो समान होने के लिए स्वाभाविक रूप से समरूप हैं। यह समूह सी की आवश्यक समरूपता को दर्शाता है।

यह भी देखें

• गणितीय संरचनाओं की समतुल्य परिभाषाएँ

संदर्भ

• equivalence of categories at the nLab
• "Equivalence of categories", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the working mathematician. New York: Springer. pp. xii+314. ISBN 0-387-98403-8.