टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स: Difference between revisions

From Vigyanwiki
(Created page with "टोपोलॉजिकल साहचर्य का गणित अनुशासन टोपोलॉजी और बीजगणितीय टोप...")
 
No edit summary
Line 1: Line 1:
टोपोलॉजिकल [[साहचर्य]] का गणित अनुशासन [[टोपोलॉजी]] और [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] का अनुप्रयोग है। कॉम्बिनेटरिक्स में समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणित-टोपोलॉजिकल तरीके।
टोपोलॉजिकल [[साहचर्य]] का गणित अनुशासन [[टोपोलॉजी]] और [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] का अनुप्रयोग है। [[साहचर्य]] में समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणित-टोपोलॉजिकल विधियां।


== इतिहास ==
== इतिहास ==
[[मिश्रित टोपोलॉजी]] के अनुशासन ने टोपोलॉजी में कॉम्बिनेटरियल अवधारणाओं का इस्तेमाल किया और 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में यह बीजगणितीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में बदल गया।
[[मिश्रित टोपोलॉजी]] के अनुशासन ने टोपोलॉजी में सांयोगिक अवधारणाओं का प्रयोग किया, और 20 वीं शताब्दी के प्रारंभ में यह बीजगणितीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में परिवर्तित हो गया।


1978 में स्थिति उलट गई थी - बीजगणितीय टोपोलॉजी से विधियों का उपयोग कॉम्बिनेटरिक्स में एक समस्या को हल करने के लिए किया गया था - जब लेज़्लो लोवाज़ ने [[ केसर ग्राफ ]] को साबित किया, इस प्रकार टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स के नए क्षेत्र की शुरुआत हुई। लोवाज़ के प्रमाण ने बोरसुक-उलम प्रमेय का उपयोग किया और इस प्रमेय ने इस नए क्षेत्र में एक प्रमुख भूमिका निभाई। इस प्रमेय के कई समकक्ष संस्करण और अनुरूप हैं और इसका उपयोग [[उचित विभाजन]] समस्याओं के अध्ययन में किया गया है।
1978 में स्थिति विपरीत हो गई थी - बीजगणितीय टोपोलॉजी से विधियों का उपयोग [[साहचर्य]] में एक समस्या को हल करने के लिए किया गया था - जब लेज़्लो लोवाज़ ने [[ केसर ग्राफ ]] को प्रमाणित किया, इस प्रकार टोपोलॉजिकल साहचर्य के नए क्षेत्र का आरम्भ हुआ । लोवाज़ के प्रमाण ने बोरसुक-उलाम प्रमेय का उपयोग किया, और इस प्रमेय ने इस नए क्षेत्र में एक प्रमुख भूमिका निभाई। इस प्रमेय के कई समकक्ष संस्करण और अनुरूप हैं, और इसका उपयोग [[उचित विभाजन]] समस्याओं के अध्ययन में किया गया है।


[[ ग्राफ सिद्धांत ]] के लिए होमोलॉजी (गणित) विधियों के एक अन्य अनुप्रयोग में, लोवाज़ ने एंड्रस फ्रैंक के एक [[अनुमान]] के अप्रत्यक्ष और निर्देशित दोनों संस्करणों को साबित किया: एक के-कनेक्टेड ग्राफ दिया गया।''के''-कनेक्टेड ग्राफ ''जी'', ' 'के' अंक <math>v_1,\ldots,v_k \in V(G)</math>, और k धनात्मक [[पूर्णांक]] <math>n_1,n_2,\ldots,n_k</math> वह योग तक <math>|V(G)|</math>, एक विभाजन मौजूद है <math>\{V_1,\ldots,V_k\}</math> का <math>V(G)</math> ऐसा है कि <math>v_i \in V_i</math>, <math>|V_i|=n_i</math>, और <math>V_i</math> एक जुड़ा हुआ सबग्राफ फैलाता है।
[[ ग्राफ सिद्धांत ]]के लिए होमोलॉजी (गणित) विधियों के एक अन्य अनुप्रयोग में, लोवाज़ ने एंड्रस फ्रैंक के एक [[अनुमान]] के अप्रत्यक्ष और निर्देशित दोनों संस्करणों को प्रमाणित किया: एक के-सम्बद्ध ग्राफ दिया गया।''के''-सम्बद्ध ग्राफ ''जी'', ' 'के' अंक <math>v_1,\ldots,v_k \in V(G)</math>, और k धनात्मक [[पूर्णांक]] <math>n_1,n_2,\ldots,n_k</math> वह योग तक <math>|V(G)|</math>, एक विभाजन उपलब्ध है, <math>\{V_1,\ldots,V_k\}</math> का <math>V(G)</math> ऐसा है कि <math>v_i \in V_i</math>, <math>|V_i|=n_i</math>, और <math>V_i</math> एक जुड़ा हुआ सबग्राफ विस्तारित करता है।


1987 में बोरसुक-उलम प्रमेय का उपयोग करके [[ सावधान अलोन ]] द्वारा हार के विभाजन की समस्या को हल किया गया था। इसका उपयोग [[निर्णय वृक्ष]] में [[कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत]] और आंडेरा-कार्प-रोसेनबर्ग अनुमान का अध्ययन करने के लिए भी किया गया है। अन्य क्षेत्रों में [[पोसेट टोपोलॉजी]] और ब्रुहाट ऑर्डर शामिल हैं।
1987 में बोरसुक-उलाम सिद्धांत का उपयोग करके [[ सावधान अलोन |अकेले नोगा]] द्वारा हार के विभाजन की समस्या को हल किया गया था। इसका उपयोग रेखीय निर्णय ट्री एल्गोरिदम और आंडेरा-कार्प-रोसेनबर्ग अनुमान में जटिलता की समस्याओं का अध्ययन करने के लिए भी किया गया है। अन्य क्षेत्रों में आंशिक रूप से आदेशित किए गए समुच्चय और ब्रुहट आदेश की टोपोलॉजी सम्मिलित हैं।


इसके अतिरिक्त, [[ अंतर टोपोलॉजी ]] के तरीकों में अब असतत मोर्स थ्योरी में एक कॉम्बीनेटरियल एनालॉग है।
इसके अतिरिक्त, [[ अंतर टोपोलॉजी |अंतर टोपोलॉजी]] के विधियों में अब असतत मोर्स सिद्धांत में एक सांयोगिक अनुरूप है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==

Revision as of 10:46, 5 May 2023

टोपोलॉजिकल साहचर्य का गणित अनुशासन टोपोलॉजी और बीजगणितीय टोपोलॉजी का अनुप्रयोग है। साहचर्य में समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणित-टोपोलॉजिकल विधियां।

इतिहास

मिश्रित टोपोलॉजी के अनुशासन ने टोपोलॉजी में सांयोगिक अवधारणाओं का प्रयोग किया, और 20 वीं शताब्दी के प्रारंभ में यह बीजगणितीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में परिवर्तित हो गया।

1978 में स्थिति विपरीत हो गई थी - बीजगणितीय टोपोलॉजी से विधियों का उपयोग साहचर्य में एक समस्या को हल करने के लिए किया गया था - जब लेज़्लो लोवाज़ ने केसर ग्राफ को प्रमाणित किया, इस प्रकार टोपोलॉजिकल साहचर्य के नए क्षेत्र का आरम्भ हुआ । लोवाज़ के प्रमाण ने बोरसुक-उलाम प्रमेय का उपयोग किया, और इस प्रमेय ने इस नए क्षेत्र में एक प्रमुख भूमिका निभाई। इस प्रमेय के कई समकक्ष संस्करण और अनुरूप हैं, और इसका उपयोग उचित विभाजन समस्याओं के अध्ययन में किया गया है।

ग्राफ सिद्धांत के लिए होमोलॉजी (गणित) विधियों के एक अन्य अनुप्रयोग में, लोवाज़ ने एंड्रस फ्रैंक के एक अनुमान के अप्रत्यक्ष और निर्देशित दोनों संस्करणों को प्रमाणित किया: एक के-सम्बद्ध ग्राफ दिया गया।के-सम्बद्ध ग्राफ जी, ' 'के' अंक , और k धनात्मक पूर्णांक वह योग तक , एक विभाजन उपलब्ध है, का ऐसा है कि , , और एक जुड़ा हुआ सबग्राफ विस्तारित करता है।

1987 में बोरसुक-उलाम सिद्धांत का उपयोग करके अकेले नोगा द्वारा हार के विभाजन की समस्या को हल किया गया था। इसका उपयोग रेखीय निर्णय ट्री एल्गोरिदम और आंडेरा-कार्प-रोसेनबर्ग अनुमान में जटिलता की समस्याओं का अध्ययन करने के लिए भी किया गया है। अन्य क्षेत्रों में आंशिक रूप से आदेशित किए गए समुच्चय और ब्रुहट आदेश की टोपोलॉजी सम्मिलित हैं।

इसके अतिरिक्त, अंतर टोपोलॉजी के विधियों में अब असतत मोर्स सिद्धांत में एक सांयोगिक अनुरूप है।

यह भी देखें

संदर्भ

  • de Longueville, Mark (2004), "25 years proof of the Kneser conjecture - The advent of topological combinatorics" (PDF), EMS Newsletter, Southampton, Hampshire: European Mathematical Society, pp. 16–19, retrieved 2008-07-29.


अग्रिम पठन