अनुरूप ज्यामितीय बीजगणित: Difference between revisions

Revision as of 10:59, 5 May 2023

अनुरूप ज्यामितीय बीजगणित (सीजीए) ज्यामितीय बीजगणित है जो मानचित्र के परिणामी स्थान पर बिंदुओं से निर्मित होता है। $n$ -आयामी आधार स्थान $R p, q$ शून्य वैक्टर में $R p +1, q +1$ . यह ज्यामितीय बीजगणित #Versor of the geometric algebra का उपयोग करके प्रदर्शित किए जाने वाले प्रतिबिंब, घुमाव और अनुवाद सहित आधार स्थान पर संचालन की अनुमति देता है; और यह पाया गया है कि बिंदु, रेखाएँ, तल, वृत्त और गोले विशेष रूप से प्राकृतिक और कम्प्यूटेशनल रूप से अनुकूल प्रतिनिधित्व प्राप्त करते हैं।

मानचित्रण का प्रभाव यह है कि सामान्यीकृत (अर्थात शून्य वक्रता सहित) n-sphere| $k$ -स्फीयर बेस स्पेस मैप में $(k + 2)$ -ब्लेड (ज्यामिति) एस, और ताकि बेस स्पेस के अनुवाद (या किसी अनुरूप मानचित्रण) का प्रभाव उच्च-आयामी अंतरिक्ष में घूर्णन से मेल खाता हो। इस स्थान के बीजगणित में, वैक्टर के ज्यामितीय उत्पाद के आधार पर, इस तरह के परिवर्तन बीजगणित के विशिष्ट सैंडविच संचालन के अनुरूप होते हैं, जो क्वाटरनियन और स्थानिक रोटेशन के उपयोग के समान होते हैं, जो बहुत कुशलता से संयोजित होते हैं। परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने वाले रोटरों का परिणाम यह है कि गोले, विमानों, वृत्तों और अन्य ज्यामितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व, और उन्हें जोड़ने वाले समीकरण, सभी सहपरिवर्ती रूप से रूपांतरित होते हैं। ज्यामितीय वस्तु (ए $k$ -sphere) को वेज उत्पाद के रूप में संश्लेषित किया जा सकता है $k + 2$ वस्तु पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर; इसके विपरीत, वस्तु को प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टर के बार-बार कील उत्पाद के रूप में विघटित किया जा सकता है $k + 2$ इसकी सतह में अलग-अलग बिंदु। कुछ चौराहे के संचालन भी साफ बीजगणितीय रूप प्राप्त करते हैं: उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन बेस स्पेस के लिए $R 3$ , दो क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करने वाले टेट्रावेक्टरों के दोहरे उत्पाद को लागू करने से उनके चौराहे के सर्कल के ट्राइवेक्टर प्रतिनिधित्व के दोहरे का उत्पादन होता है।

चूंकि यह बीजगणितीय संरचना खुद को सीधे प्रभावी संगणना के लिए उधार देती है, यह ठोस, आसानी से हेरफेर करने वाली सेटिंग में प्रक्षेपी ज्यामिति और व्युत्क्रम ज्यामिति के शास्त्रीय तरीकों की खोज की सुविधा प्रदान करती है। पेंच सिद्धांत में गणनाओं का प्रतिनिधित्व करने और उन्हें सुविधाजनक बनाने के लिए इसका उपयोग कुशल संरचना के रूप में भी किया गया है। सीजीए को विशेष रूप से दैनिक यूक्लिडियन अंतरिक्ष के प्रक्षेपी मानचित्रण के संबंध में लागू किया गया है $R 3$ पांच आयामी वेक्टर अंतरिक्ष में $R 4,1$ , जिसकी रोबोटिक्स और कंप्यूटर विज़न में अनुप्रयोगों के लिए जांच की गई है। यह आम तौर पर किसी भी छद्म-यूक्लिडियन स्थान पर लागू किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष $R 3,1$ अंतरिक्ष के लिए $R 4,2$ .

== सीजीए == का निर्माण

संकेतन और शब्दावली

इस लेख में, ध्यान बीजगणित पर है ${\mathcal {G}}(4,1)$ जैसा कि यह विशेष बीजगणित है जो समय के साथ सबसे अधिक ध्यान देने वाला विषय रहा है; अन्य मामलों को संक्षेप में अलग खंड में शामिल किया गया है। जिन वस्तुओं को प्रतिरूपित किया जा रहा है, उन्हें आधार स्थान कहा जाता है, और बीजगणितीय स्थान इन वस्तुओं को प्रतिनिधित्व या अनुरूप स्थान के रूप में मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है। सजातीय उप-स्थान बीजगणितीय अंतरिक्ष के रैखिक उप-स्थान को संदर्भित करता है। वस्तुओं के लिए शर्तें: बिंदु, रेखा, वृत्त, गोला, अर्ध-गोला आदि का उपयोग या तो आधार स्थान में ज्यामितीय वस्तु, या प्रतिनिधित्व स्थान के सजातीय उप-स्थान के लिए किया जाता है जो उस वस्तु का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका आमतौर पर इरादा होता है जब तक अन्यथा इंगित न किया गया हो।^{[lower-alpha 1]} बीजगणितीय रूप से, सजातीय उप-स्थान के किसी भी अशून्य अशक्त तत्व का उपयोग किया जाएगा, जिसमें तत्व को कुछ मानदंडों द्वारा सामान्यीकृत के रूप में संदर्भित किया जाएगा।

बोल्डफेस लोअरकेस लैटिन अक्षरों का उपयोग मूल स्थान से बेस स्पेस में बिंदु तक स्थिति वैक्टर का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। प्रतिनिधित्व स्थान के अन्य तत्वों के लिए इटैलिक प्रतीकों का उपयोग किया जाता है।

आधार और प्रतिनिधित्व स्थान

आधार स्थान $R 3$ को चुने हुए मूल से विस्थापन के लिए आधार का विस्तार करके और दो आधार सदिशों को जोड़कर दर्शाया जाता है $e -$ और $e +$ आधार स्थान और दूसरे के साथ ओर्थोगोनल $e - 2 = -1$ और $e + 2 = +1$ , प्रतिनिधित्व स्थान बनाना ${\mathcal {G}}(4,1)$ .

दो अशक्त वैक्टर का उपयोग करना सुविधाजनक है $n o$ और $n \infty$ के स्थान पर आधार वैक्टर के रूप में $e +$ और $e -$ , कहाँ $n o = (e - - e +)/2$ , और $n \infty = e - + e +$ . इसे सत्यापित किया जा सकता है, कहाँ $x$ बेस स्पेस में है, कि:

{\begin{array}{lllll}{n_{\text{o}}}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\cdot n_{\infty }&=-1\qquad &n_{\text{o}}\cdot \mathbf {x} &=0\\{n_{\infty }}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\wedge n_{\infty }&=e_{-}e_{+}\qquad &n_{\infty }\cdot \mathbf {x} &=0\end{array}}

ये गुण सामान्य सदिश के आधार सदिश गुणांकों के लिए निम्नलिखित सूत्रों की ओर ले जाते हैं $r$ तत्वों के आधार के लिए प्रतिनिधित्व स्थान में $e i$ हर दूसरे आधार तत्व के लिए ओर्थोगोनल:

का गुणांक

n o

के लिए

r

है

- n \infty \cdot r

का गुणांक

n \infty

के लिए

r

है

- n o \cdot r

का गुणांक

e i

के लिए

r

है

e i -1 \cdot r

.

आधार स्थान और प्रतिनिधित्व स्थान के बीच मानचित्रण

बेस स्पेस में वेक्टर से मैपिंग (मूल से प्रतिनिधित्व किए गए एफाइन स्पेस में बिंदु तक) सूत्र द्वारा दी गई है:^{[lower-alpha 2]}

F:\mathbf {x} \mapsto n_{\text{o}}+\mathbf {x} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}n_{\infty }

बिंदु और अन्य वस्तुएं जो केवल गैर-शून्य स्केलर कारक से भिन्न होती हैं, आधार स्थान में ही वस्तु के लिए मैप करती हैं। जब सामान्यीकरण वांछित होता है, जैसा कि प्रतिनिधित्व स्थान से आधार स्थान तक या दूरी निर्धारित करने के लिए बिंदु का सरल रिवर्स मैप बनाने के लिए, स्थिति $F (x) \cdot n \infty = -1$ उपयोग किया जा सकता है।

सामान्यीकरण का परिवर्तन: हाइपरप्लेन से अशक्त शंकु का मानचित्रण करना

r \cdot (n \infty - n o) = 1

हाइपरप्लेन के लिए

r \cdot n \infty = -1

.

फॉरवर्ड मैपिंग इसके बराबर है:

पहले अनुरूप रूप से प्रोजेक्ट करना $x$ से $e 123$ अंतरिक्ष में इकाई 3-गोले पर $e + \land e 123$ (5-डी में यह सबस्पेस में है $r ⋅ (−no − .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2n∞) = 0$ );
फिर इसे सटे हुए प्रक्षेप्य स्थान में उठाएं $e - = 1$ , और मूल से ही किरण पर सभी बिंदुओं की पहचान करना (5-डी में यह सबस्पेस में है $r \cdot (- n o - 1 / 2 n \infty) = 1$ );
फिर सामान्यीकरण बदलें, इसलिए सजातीय प्रक्षेपण के लिए विमान द्वारा दिया गया है $n o$ मूल्य वाले समन्वय $1$ , अर्थात। $r \cdot n \infty = -1$ .

उलटा मानचित्रण

के लिए उलटा मानचित्रण $X$ द्वारा शून्य शंकु पर दिया गया है (Perwass eqn 4.37)।

X\mapsto {\mathcal {P}}_{n_{\infty }\wedge n_{\text{o}}}^{\perp }\left({\frac {X}{-X\cdot n_{\infty }}}\right)

यह पहले विमान पर प्रकाश-शंकु से त्रिविम प्रक्षेपण देता है $r \cdot n \infty = -1$ , और फिर फेंक देता है $n o$ और $n \infty$ भागों, ताकि समग्र परिणाम सभी समकक्ष बिंदुओं को मैप करना हो $αX = α (n o + x + 1 / 2 x 2 n \infty)$ को $x$ .

उत्पत्ति और अनंत पर बिंदु

बिंदु $x = 0$ में $ℝ p, q$ के लिए मानचित्र $n o$ में $ℝ p +1, q +1$ , इसलिए $n o$ को मूल बिंदु पर (प्रतिनिधित्व) वेक्टर के रूप में पहचाना जाता है।

में वेक्टर $ℝ p +1, q +1$ अशून्य के साथ $n \infty$ गुणांक, लेकिन शून्य $n o$ गुणांक, (उल्टे मानचित्र पर विचार करते हुए) अनंत सदिश की छवि होनी चाहिए $ℝ p, q$ . दिशा $n \infty$ इसलिए अनंत पर (अनुरूप) बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है। यह सबस्क्रिप्ट को प्रेरित करता है $o$ और $\infty$ अशक्त आधार वैक्टर की पहचान के लिए।

उत्पत्ति का चुनाव मनमाना है: किसी अन्य बिंदु को चुना जा सकता है, क्योंकि प्रतिनिधित्व सघन स्थान का है। मूल केवल संदर्भ बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है, और बीजगणितीय रूप से किसी अन्य बिंदु के बराबर है। किसी भी अनुवाद के साथ, उत्पत्ति को बदलने से प्रतिनिधित्व स्थान में रोटेशन होता है।

ज्यामितीय वस्तुएँ

आधार

के साथ साथ $I_{5}=e_{123}E$ और $1$ , ये बीजगणित के 32 आधार फलक हैं। फ्लैट प्वाइंट मूल बाहरी उत्पाद के रूप में लिखा गया है क्योंकि ज्यामितीय उत्पाद मिश्रित ग्रेड का है।( $E=e_{+}e_{-}$ ).

Basis Blades of ${\mathcal {G}}(4,1)$
Elements	Geometric Concept
Point and Dual Sphere
$e_{i},n_{0},n_{\infty }$	Without $n_{0}$ is Dual Plane
Point Pair
$e_{ij}$	Bivector
$e_{i}n_{0}$	Tangent vector
$e_{i}n_{\infty }$	Direction vector (plus Bivector is Dual Line)
$E=n_{o}\wedge n_{\infty }$	Flat Point Origin *
Circle
$e_{1}e_{2}e_{3}=I_{3}$	3D Pseudoscalar
$e_{ij}n_{0}$	Tangent Bivector
$e_{ij}n_{\infty }$	Direction Bivector (plus $e_{i}E$ is the Line)
$e_{i}E$
Sphere
$e_{ij}E$
$e_{i}n_{0}$	Without $e_{i}n_{0}$ is the Plane
$e_{i}n_{\infty }$

समीकरणों की जोड़ी के समाधान के रूप में

किसी भी अशून्य ब्लेड (ज्यामिति) को देखते हुए {{math|A}प्रतिनिधित्व करने वाले स्थान का }, सदिशों का समुच्चय जो प्रपत्र के सजातीय समीकरणों की जोड़ी के समाधान हैं^[3]

X^{2}=0

X\wedge A=0

अशक्त सदिशों के सजातीय 1-डी उपस्थानों का संघ है, और इस प्रकार आधार स्थान में बिंदुओं के समूह का प्रतिनिधित्व है। इससे ब्लेड का चुनाव होता है $A$ ज्यामितीय वस्तुओं के विशेष वर्ग का प्रतिनिधित्व करने का उपयोगी तरीका है। ब्लेड के लिए विशिष्ट मामले $A$ (अंतरिक्ष के आयामों की संख्या से स्वतंत्र) जब आधार स्थान यूक्लिडियन स्थान होता है:

एक अदिश: खाली सेट
एक वेक्टर: बिंदु
एक बायवेक्टर: बिंदुओं की जोड़ी
एक ट्राइवेक्टर: सामान्यीकृत चक्र
एक 4-वेक्टर: सामान्यीकृत क्षेत्र
वगैरह।

ये प्रत्येक चाहे के अनुसार तीन मामलों में विभाजित हो सकता है $A 2$ धनात्मक, शून्य या ऋणात्मक है, सूचीबद्ध वस्तु के अनुरूप (कुछ मामलों में उलटे क्रम में), बिंदु का पतित मामला, या कोई बिंदु नहीं है (जहां गैर-शून्य समाधान $X \land A$ अशक्त वैक्टर को बाहर करें)।

सूचीबद्ध ज्यामितीय वस्तुएं (सामान्यीकृत n-sphere| $n$ -क्षेत्र) छद्म-यूक्लिडियन होने के आधार स्थान के अधिक सामान्य मामले में अर्ध-क्षेत्र बन जाते हैं।^[4] फ्लैट (ज्यामिति) वस्तुओं को समाधानों में शामिल अनंतता पर बिंदु द्वारा पहचाना जा सकता है। इस प्रकार, यदि $n \infty \land A = 0$ , ब्लेड के लिए वस्तु रेखा, समतल आदि होगी $A$ क्रमशः ग्रेड 3, 4, आदि का होना।

जैसा कि वस्तु के बिंदुओं से प्राप्त होता है

एक ब्लेड $A$ वस्तु के इस वर्ग में से किसी का प्रतिनिधित्व वस्तु पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर के बाहरी उत्पाद के रूप में पाया जा सकता है। आधार स्थान में, यह रैखिक स्वतंत्रता अन्य बिंदुओं द्वारा परिभाषित वस्तु के बाहर स्थित प्रत्येक बिंदु के रूप में प्रकट होती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, तीन अलग-अलग बिंदुओं द्वारा परिभाषित सामान्यीकृत वृत्त पर पड़ा चौथा बिंदु गोले को परिभाषित करने के लिए चौथे बिंदु के रूप में उपयोग नहीं किया जा सकता है।

ऑड्स

ई में अंक₁₂₃ शून्य शंकु पर नक्शा - शून्य पैराबोला अगर हम r सेट करते हैं। एन_∞ = -1।

हम ई में बिंदुओं के स्थान पर विचार कर सकते हैं₁₂₃ अनुसूचित जनजाति। कंफर्मल स्पेस g('x') में। A = 0, विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय वस्तु A के लिए।

हम इसे देखकर शुरू करते हैं

g(\mathbf {a} ).g(\mathbf {b} )=-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{2}

तुलना करना:

एक्स। ए = 0 => एक्स पर्प ए; x.(a∧b) = 0 => x perp a और x perp b
x∧a = 0 => x a के समानांतर; x∧(a∧b) = 0 => x a या b के समानांतर (या कुछ रैखिक संयोजन के लिए)

आंतरिक उत्पाद और बाहरी उत्पाद प्रतिनिधित्व दोहरीकरण से संबंधित हैं

x∧A = 0 <=> x । A* = 0 (जाँच—कार्य करता है यदि x 1-मंद है, A n-1 मंद है)

जी (एक्स)। ए = 0

एक बिंदु: 'आर' में एक्स का स्थान³ बिंदु है यदि A 'R' में है^4,1 रिक्त शंकु पर सदिश है।

(N.B. क्योंकि यह सजातीय प्रक्षेप्य स्थान है, मूल के माध्यम से किरण पर किसी भी लम्बाई के वैक्टर समतुल्य हैं, इसलिए g(x).A =0 g(x).g(a) = 0 के बराबर है)।

एक गोला: 'x' का स्थान गोला है यदि A = S, शून्य शंकु से दूर सदिश।

अगर

\mathbf {S} =g(\mathbf {a} )-{\frac {1}{2}}\rho ^{2}\mathbf {e} _{\infty }

तब S.X = 0 =>

-{\frac {1}{2}}(\mathbf {a} -\mathbf {x} )^{2}+{\frac {1}{2}}\rho ^{2}=0

ये गोले के अनुरूप बिंदु हैं

नल-शंकु से सदिश S के लिए, कौन-सी दिशाएँ अतिशयोक्तिपूर्ण रूप से लंबकोणीय हैं? (cf लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन पिक्स)

2+1 D में, यदि S (1,a,b) है, (को-ऑर्ड्स e-, {e+, e का उपयोग करके)_i}), हाइपरबोलिक रूप से एस के लिए ऑर्थोगोनल बिंदु वे यूक्लिडियनली ऑर्थोगोनल हैं (-1, ए, बी) - यानी, विमान; या n आयामों में, मूल के माध्यम से हाइपरप्लेन। यह अन्य विमान को रेखा (एक n-2 सतह में हाइपरसफेस) में उत्पत्ति के माध्यम से नहीं काटेगा, और फिर शंकु को दो बिंदुओं (प्रतिक्रिया में कुछ प्रकार की n-3 शंकु सतह) में काट देगा। तो यह शायद किसी प्रकार के शंकु जैसा दिखने वाला है। यह वह सतह है जो g के नीचे गोले की छवि है।

एक समतल: 'x' का स्थान तल है यदि A = P, शून्य n वाला सदिश_o अवयव। सजातीय प्रक्षेप्य स्थान में ऐसा वेक्टर P विमान n पर वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है_o=1 जो मूल से असीम रूप से दूर होगा (अर्थात् अशक्त शंकु के बाहर असीम रूप से दूर), इसलिए g(x).P =0 अनंत त्रिज्या के गोले, तल पर x के संगत है।

विशेष रूप से:

$\mathbf {P} ={\hat {\mathbf {a} }}+\alpha \mathbf {e} _{\infty }$ सामान्य के साथ समतल पर x से मेल खाता है ${\hat {\mathbf {a} }}$ मूल से ओर्थोगोनल दूरी α।
$\mathbf {P} =g(\mathbf {a} )-g(\mathbf {b} )$ सामान्य ए - बी के साथ, ए और बी के बीच आधे रास्ते के विमान से मेल खाता है

मंडलियां
स्पर्शरेखा विमान
पंक्तियां
लाइन्स एट इनफिनिटी
'बिंदु जोड़े

रूपांतरण

प्रतिबिंब

यह सत्यापित किया जा सकता है कि 'P' g('x') 'P' बनाने से शून्य-शंकु पर नई दिशा मिलती है, g('x' '), जहां 'x' 'तल में प्रतिबिंब के अनुरूप है अंक 'पी' 'आर' में³ जो g(p) को संतुष्ट करता है। पी = 0।

जी (एक्स)। ए = 0 => पी जी (एक्स) . एपी = 0 => पी जी (एक्स) पी। पी ए पी (और इसी तरह कील उत्पाद के लिए), इसलिए पी सैंडविच-फैशन को उपरोक्त अनुभाग में किसी भी मात्रा ए पर लागू करने का प्रभाव इसी तरह अंक एक्स के संबंधित लोकस को प्रतिबिंबित करने के लिए है, इसलिए संबंधित सर्कल, गोलाकार, रेखाएं और विमान संबंधित हैं विशेष प्रकार के A के लिए ठीक उसी तरह परिलक्षित होते हैं जैसे P को g(x) पर लागू करने से बिंदु x को दर्शाता है।

इस प्रतिबिंब ऑपरेशन का उपयोग सामान्य अनुवाद और घुमाव बनाने के लिए किया जा सकता है:

अनुवाद

दो समांतर विमानों में प्रतिबिंब अनुवाद देता है,

g(\mathbf {x} ^{\prime })=\mathbf {P} _{\beta }\mathbf {P} _{\alpha }\;g(\mathbf {x} )\;\mathbf {P} _{\alpha }\mathbf {P} _{\beta }

अगर

\mathbf {P} _{\alpha }={\hat {\mathbf {a} }}+\alpha \mathbf {e} _{\infty }

और

\mathbf {P} _{\beta }={\hat {\mathbf {a} }}+\beta \mathbf {e} _{\infty }

तब

\mathbf {x} ^{\prime }=\mathbf {x} +2(\beta -\alpha ){\hat {\mathbf {a} }}

* घुमाव

g(\mathbf {x} ^{\prime })={\hat {\mathbf {b} }}{\hat {\mathbf {a} }}\;g(\mathbf {x} )\;{\hat {\mathbf {a} }}{\hat {\mathbf {b} }}

x' से मेल खाता है जो मूल के बारे में 2 θ कोण से घूमता है जहां θ a और b के बीच का कोण है - वही प्रभाव जो इस रोटर पर सीधे x पर लागू होता है।

सामान्य घुमाव

एक सामान्य बिंदु के बारे में घुमाव पहले बिंदु को मूल स्थान पर ले जाकर, फिर मूल के चारों ओर घुमाकर, फिर बिंदु को वापस उसकी मूल स्थिति में अनुवाद करके प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात ऑपरेटर द्वारा सैंडविचिंग

\mathbf {TR{\tilde {T}}}

इसलिए

g({\mathcal {G}}x)=\mathbf {TR{\tilde {T}}} \;g(\mathbf {x} )\;\mathbf {T{\tilde {R}}{\tilde {T}}}

* पेंच

प्रभाव पेंच सिद्धांत, या मोटर, (एक सामान्य बिंदु के बारे में रोटेशन, रोटेशन की धुरी के समानांतर अनुवाद के बाद) ऑपरेटर द्वारा g('x') सैंडविचिंग द्वारा प्राप्त किया जा सकता है

\mathbf {M} =\mathbf {T_{2}T_{1}R{\tilde {T_{1}}}}

.

M को पैरामीट्रिज्ड भी किया जा सकता है

\mathbf {M} =\mathbf {T^{\prime }R^{\prime }}

(चेसल्स प्रमेय (कीनेमेटीक्स) | चेसल्स प्रमेय)

उलटा

एक उलटा परिवर्तन क्षेत्र में प्रतिबिंब है - ऐसे व्युत्क्रमों का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकने वाले विभिन्न कार्यों की चर्चा व्युत्क्रम ज्यामिति में की जाती है। विशेष रूप से, यूक्लिडियन परिवर्तन ट्रांसलेशन और रोटेशन के साथ व्युत्क्रम का संयोजन किसी भी अनुरूप मैपिंग को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है - यानी कोई भी मैपिंग जो सार्वभौमिक रूप से कोणों को संरक्षित करता है। (लिउविल की प्रमेय (अनुरूप मैपिंग) | लिउविल की प्रमेय)।

फैलाव

एक ही केंद्र के साथ दो व्युत्क्रम फैलाव (मीट्रिक स्थान) उत्पन्न करते हैं।

सामान्यीकरण

इतिहास

सम्मेलन और पत्रिकाएँ

अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला के साथ क्लिफोर्ड और ज्यामितीय बीजगणित के आसपास जीवंत और अंतःविषय समुदाय है। इस विषय में मुख्य सम्मेलनों में शामिल हैं क्लिफोर्ड अलजेब्रा पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोग (ICCA) और cz/main.php एप्लीकेशन ऑफ़ जियोमेट्रिक अलजेब्रा इन कंप्यूटर साइंस एंड इंजीनियरिंग (AGACSE) सीरीज़। मुख्य प्रकाशन आउटलेट एप्लाइड क्लिफोर्ड अल्जेब्रा में स्प्रिंगर जर्नल एडवांस है।

↑ For clarity, this homogeneous subspace includes non-null vectors, which do not correspond to any point in the base space.
↑ The mapping can also be written $F : x \to -(x - e +) n \infty (x - e +)$ , as given in Hestenes and Sobczyk (1984), p.303.^[1] The equivalence of the two forms is noted in Lasenby and Lasenby (2000).^[2]

संदर्भ

↑ Hestenes, David and Garret Sobczyk (1984), Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics. Dordrecht: Reidel; pp. 302–303.
↑ Lasenby, AN and Lasenby, J (2000), Surface evolution and representation using geometric algebra; in The Mathematics of Surfaces IX: the 9th IMA Conference, Cambridge, 4–7 September 2000, pp. 144–168
↑ Chris Doran (2003), Circle and sphere blending with conformal geometric algebra
↑ Jayme Vaz, Jr.; Roldão da Rocha, Jr. (2016). क्लिफोर्ड अलजेब्रा और स्पिनर्स का एक परिचय. Oxford University Press. p. 140. ISBN 9780191085789.

ग्रन्थसूची

किताबें

Hestenes et al (2000), G. Sommer (ed.) में, क्लिफर्ड बीजगणित के साथ ज्यामितीय कम्प्यूटिंग। स्प्रिंगर वर्लग। ISBN 3-540-41198-4 (Google पुस्तकें) (http://geocalc.clas.asu.edu/html/UAFCG.html हेस्टेन्स वेबसाइट)
Hestenes (2001), E. Bayro-Corrochano और G. Sobczyk (eds.) में, विज्ञान और इंजीनियरिंग में अनुप्रयोगों के साथ ज्यामितीय बीजगणित में अग्रिम, स्प्रिंगर वेरलाग। ISBN 0-8176-4199-8 Google पुस्तकें
- नई बोतलों में पुरानी शराब (पीपी. 1-14)
Hestenes (2010), E. Bayro-Corrochano और G. Scheuermann (2010) में, इंजीनियरिंग और कंप्यूटर विज्ञान में ज्यामितीय बीजगणित कंप्यूटिंग। स्प्रिंगर वर्लग। ISBN 1-84996-107-7 (Google पुस्तकें)।
- कम्प्यूटेशनल ज्यामिति और पेंच सिद्धांत के कायाकल्प के लिए नए उपकरण
डोरन, सी. और लेसेनबी, ए. (2003), भौतिकविदों के लिए ज्यामितीय बीजगणित, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस। {{ISBN|0-521-48022-1}§10.2; पी। 351 एट सीक
डोर्स्ट, एल. एट अल (2007), कंप्यूटर विज्ञान के लिए ज्यामितीय बीजगणित, मॉर्गन-कॉफ़मैन। ISBN 0-12-374942-5 अध्याय 13; पी। 355 एट सीक
विन्स, जे. (2008), कंप्यूटर ग्राफिक्स के लिए ज्यामितीय बीजगणित, स्प्रिंगर वेरलाग। ISBN 1-84628-996-3 अध्याय 11; पी। 199 एट सीक
पेरवास, सी. (2009), इंजीनियरिंग में अनुप्रयोगों के साथ ज्यामितीय बीजगणित, स्प्रिंगर वेरलाग। {{ISBN|3-540-89067-X}§4.3: पी। 145 एट सीक
Bayro-Corrochano, E. और Scheuermann G. (2010, eds.), इंजीनियरिंग और कंप्यूटर विज्ञान में ज्यामितीय बीजगणित कंप्यूटिंग। स्प्रिंगर वर्लग। ISBN 1-84996-107-7 पीपी। 3–90
बायरो-कोरोचानो (2010), वेवलेट ट्रांसफॉर्म्स के लिए जियोमेट्रिक कंप्यूटिंग, रोबोट विजन, लर्निंग, कंट्रोल एंड एक्शन। स्प्रिंगर वर्लग। ISBN 1-84882-928-0 अध्याय 6; पीपी। 149-183
डॉर्स्ट, एल. और लेसेनबाई, जे. (2011, एड.), गाइड टू जियोमेट्रिक अलजेब्रा इन प्रैक्टिस। स्प्रिंगर वेरलाग, पीपी. 3–252. ISBN 978-0-85729-810-2.
Dietmar Hildenbrand (2013). ज्यामितीय बीजगणित कंप्यूटिंग की नींव. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-31793-4.

ऑनलाइन संसाधन

वेयरहैम, आर. (2006), कंफॉर्मल का उपयोग कर कंप्यूटर ग्राफिक्स ज्यामितीय बीजगणित, पीएचडी थीसिस, कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय, पीपी। 14-26, 31-67
ब्रॉम्बोर्स्की, ए. (2008), ज्यामितीय बीजगणित के माध्यम से अनुरूप ज्यामिति (ऑनलाइन स्लाइड)
Dell'Acqua, A. et al (2008), बिंदुओं, रेखाओं और विमानों की संरचनाओं से 3D मोशन, इमेज और विज़न कंप्यूटिंग, '26' 529–549
डोरस्ट, एल. (2010), ट्यूटोरियल: संरचना-संरक्षण अनुरूप ज्यामितीय बीजगणित के माध्यम से यूक्लिडियन गतियों का प्रतिनिधित्व, ई. बायरो-कोरोचानो में, जी. शेउरमैन (एड्स।), ज्यामितीय बीजगणित कंप्यूटिंग, स्प्रिंगर वेरलाग।
कोलापिन्टो, पी. (2011), वर्सोर स्पेटियल कंप्यूटिंग विद कॉन्फॉर्मल जियोमेट्रिक एलजेब्रा, एमएससी थीसिस, यूनिवर्सिटी ऑफ कैलिफोर्निया सांता बारबरा
मैकडोनाल्ड, ए. (2013), ज्यामितीय बीजगणित और ज्यामितीय कलन का सर्वेक्षण। (ऑनलाइन नोट्स) §4.2: पी। 26 एट सीक।
मोटर बीजगणित पर ℝ से अधिक^एन+1:
- एडुआर्डो बायरो कोरोचानो (2001), धारणा क्रिया प्रणालियों के लिए ज्यामितीय कंप्यूटिंग: अवधारणाएं, एल्गोरिदम और वैज्ञानिक अनुप्रयोग। (Google पुस्तकें)

श्रेणी:ज्यामितीय बीजगणित श्रेणी:अनुरूप ज्यामिति श्रेणी:प्रतिक्रमी ज्यामिति श्रेणी:कम्प्यूटेशनल ज्यामिति

[1] For clarity, this homogeneous subspace includes non-null vectors, which do not correspond to any point in the base space.

[4] The mapping can also be written $F : x \to -(x - e +) n \infty (x - e +)$ , as given in Hestenes and Sobczyk (1984), p.303.^[1] The equivalence of the two forms is noted in Lasenby and Lasenby (2000).^[2]

[2] Hestenes, David and Garret Sobczyk (1984), Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics. Dordrecht: Reidel; pp. 302–303.

[3] Lasenby, AN and Lasenby, J (2000), Surface evolution and representation using geometric algebra; in The Mathematics of Surfaces IX: the 9th IMA Conference, Cambridge, 4–7 September 2000, pp. 144–168

[5] Chris Doran (2003), Circle and sphere blending with conformal geometric algebra

[6] Jayme Vaz, Jr.; Roldão da Rocha, Jr. (2016). क्लिफोर्ड अलजेब्रा और स्पिनर्स का एक परिचय. Oxford University Press. p. 140. ISBN 9780191085789.

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-<!--This paragraph outlines what CGA is, with particular reference to points and transformations-->
 अनुरूप [[ज्यामितीय बीजगणित]] (सीजीए) ज्यामितीय बीजगणित है जो मानचित्र के परिणामी स्थान पर बिंदुओं से निर्मित होता है। {{math|''n''}}-आयामी आधार स्थान {{math|'''R'''<sup>''p'',''q''</sup>}} शून्य वैक्टर में {{math|'''R'''<sup>''p''+1,''q''+1</sup>}}. यह ज्यामितीय बीजगणित #Versor of the geometric algebra का उपयोग करके प्रदर्शित किए जाने वाले प्रतिबिंब, घुमाव और अनुवाद सहित आधार स्थान पर संचालन की अनुमति देता है; और यह पाया गया है कि बिंदु, रेखाएँ, तल, वृत्त और गोले विशेष रूप से प्राकृतिक और कम्प्यूटेशनल रूप से अनुकूल प्रतिनिधित्व प्राप्त करते हैं।
-<!--This paragraph extends the conformal idea to generalized "conformal geometric objects"-->
+मानचित्रण का प्रभाव यह है कि सामान्यीकृत (अर्थात शून्य वक्रता सहित) n-sphere|{{math|''k''}}-स्फीयर बेस स्पेस मैप में {{math|(''k'' + 2)}}-[[ब्लेड (ज्यामिति)]] एस, और ताकि बेस स्पेस के अनुवाद (या किसी [[अनुरूप मानचित्र]]ण) का प्रभाव उच्च-आयामी अंतरिक्ष में घूर्णन से मेल खाता हो। इस स्थान के बीजगणित में, वैक्टर के [[ज्यामितीय उत्पाद]] के आधार पर, इस तरह के परिवर्तन बीजगणित के विशिष्ट सैंडविच संचालन के अनुरूप होते हैं, जो क्वाटरनियन और स्थानिक रोटेशन के उपयोग के समान होते हैं, जो बहुत कुशलता से संयोजित होते हैं। परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने वाले रोटरों का परिणाम यह है कि गोले, विमानों, वृत्तों और अन्य ज्यामितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व, और उन्हें जोड़ने वाले समीकरण, सभी सहपरिवर्ती रूप से रूपांतरित होते हैं। ज्यामितीय वस्तु (ए {{math|''k''}}-sphere) को वेज उत्पाद के रूप में संश्लेषित किया जा सकता है {{math|''k'' + 2}} वस्तु पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर; इसके विपरीत, वस्तु को प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टर के बार-बार [[कील उत्पाद]] के रूप में विघटित किया जा सकता है {{math|''k'' + 2}} इसकी सतह में अलग-अलग बिंदु। कुछ चौराहे के संचालन भी साफ बीजगणितीय रूप प्राप्त करते हैं: उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन बेस स्पेस के लिए {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}, दो क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करने वाले टेट्रावेक्टरों के दोहरे उत्पाद को लागू करने से उनके चौराहे के सर्कल के ट्राइवेक्टर प्रतिनिधित्व के दोहरे का उत्पादन होता है।
-मानचित्रण का प्रभाव यह है कि सामान्यीकृत (अर्थात शून्य वक्रता सहित) n-sphere|{{math|''k''}}-स्फीयर बेस स्पेस मैप में {{math|(''k'' + 2)}}-[[ब्लेड (ज्यामिति)]] एस, और ताकि बेस स्पेस के अनुवाद (या किसी [[अनुरूप मानचित्र]]ण) का प्रभाव उच्च-आयामी अंतरिक्ष में घूर्णन से मेल खाता हो। इस स्थान के बीजगणित में, वैक्टर के [[ज्यामितीय उत्पाद]] के आधार पर, इस तरह के परिवर्तन बीजगणित के विशिष्ट सैंडविच संचालन के अनुरूप होते हैं, जो क्वाटरनियन और स्थानिक रोटेशन के उपयोग के समान होते हैं, जो बहुत कुशलता से संयोजित होते हैं। परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने वाले रोटरों का एक परिणाम यह है कि गोले, विमानों, वृत्तों और अन्य ज्यामितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व, और उन्हें जोड़ने वाले समीकरण, सभी सहपरिवर्ती रूप से रूपांतरित होते हैं। एक ज्यामितीय वस्तु (ए {{math|''k''}}-sphere) को वेज उत्पाद के रूप में संश्लेषित किया जा सकता है {{math|''k'' + 2}} वस्तु पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर; इसके विपरीत, वस्तु को प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टर के बार-बार [[कील उत्पाद]] के रूप में विघटित किया जा सकता है {{math|''k'' + 2}} इसकी सतह में अलग-अलग बिंदु। कुछ चौराहे के संचालन भी एक साफ बीजगणितीय रूप प्राप्त करते हैं: उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन बेस स्पेस के लिए {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}, दो क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करने वाले टेट्रावेक्टरों के दोहरे उत्पाद को लागू करने से उनके चौराहे के सर्कल के ट्राइवेक्टर प्रतिनिधित्व के दोहरे का उत्पादन होता है।
-<!--This paragraph introduces applications and motivates the use of CGA-->
+चूंकि यह बीजगणितीय संरचना खुद को सीधे प्रभावी संगणना के लिए उधार देती है, यह ठोस, आसानी से हेरफेर करने वाली सेटिंग में [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] और व्युत्क्रम ज्यामिति के शास्त्रीय तरीकों की खोज की सुविधा प्रदान करती है। [[पेंच सिद्धांत]] में गणनाओं का प्रतिनिधित्व करने और उन्हें सुविधाजनक बनाने के लिए इसका उपयोग कुशल संरचना के रूप में भी किया गया है। सीजीए को विशेष रूप से दैनिक यूक्लिडियन अंतरिक्ष के प्रक्षेपी मानचित्रण के संबंध में लागू किया गया है {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} पांच आयामी वेक्टर अंतरिक्ष में {{math|'''R'''<sup>4,1</sup>}}, जिसकी रोबोटिक्स और कंप्यूटर विज़न में अनुप्रयोगों के लिए जांच की गई है। यह आम तौर पर किसी भी छद्म-यूक्लिडियन स्थान पर लागू किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष {{math|'''R'''<sup>3,1</sup>}} अंतरिक्ष के लिए {{math|'''R'''<sup>4,2</sup>}}.
-चूंकि यह बीजगणितीय संरचना खुद को सीधे प्रभावी संगणना के लिए उधार देती है, यह एक ठोस, आसानी से हेरफेर करने वाली सेटिंग में [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] और व्युत्क्रम ज्यामिति के शास्त्रीय तरीकों की खोज की सुविधा प्रदान करती है। [[पेंच सिद्धांत]] में गणनाओं का प्रतिनिधित्व करने और उन्हें सुविधाजनक बनाने के लिए इसका उपयोग एक कुशल संरचना के रूप में भी किया गया है। सीजीए को विशेष रूप से दैनिक यूक्लिडियन अंतरिक्ष के प्रक्षेपी मानचित्रण के संबंध में लागू किया गया है {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} पांच आयामी वेक्टर अंतरिक्ष में {{math|'''R'''<sup>4,1</sup>}}, जिसकी रोबोटिक्स और कंप्यूटर विज़न में अनुप्रयोगों के लिए जांच की गई है। यह आम तौर पर किसी भी छद्म-यूक्लिडियन स्थान पर लागू किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष {{math|'''R'''<sup>3,1</sup>}} अंतरिक्ष के लिए {{math|'''R'''<sup>4,2</sup>}}.
-{{cleanup section|date=February 2012}}
 == सीजीए == का निर्माण
 === संकेतन और शब्दावली ===
-इस लेख में, ध्यान बीजगणित पर है <math>\mathcal G(4,1)</math> जैसा कि यह विशेष बीजगणित है जो समय के साथ सबसे अधिक ध्यान देने वाला विषय रहा है; अन्य मामलों को संक्षेप में एक अलग खंड में शामिल किया गया है।
+इस लेख में, ध्यान बीजगणित पर है <math>\mathcal G(4,1)</math> जैसा कि यह विशेष बीजगणित है जो समय के साथ सबसे अधिक ध्यान देने वाला विषय रहा है; अन्य मामलों को संक्षेप में अलग खंड में शामिल किया गया है।
-जिन वस्तुओं को प्रतिरूपित किया जा रहा है, उन्हें आधार स्थान कहा जाता है, और बीजगणितीय स्थान इन वस्तुओं को प्रतिनिधित्व या अनुरूप स्थान के रूप में मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है। एक सजातीय उप-स्थान बीजगणितीय अंतरिक्ष के एक रैखिक उप-स्थान को संदर्भित करता है।
+जिन वस्तुओं को प्रतिरूपित किया जा रहा है, उन्हें आधार स्थान कहा जाता है, और बीजगणितीय स्थान इन वस्तुओं को प्रतिनिधित्व या अनुरूप स्थान के रूप में मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है। सजातीय उप-स्थान बीजगणितीय अंतरिक्ष के रैखिक उप-स्थान को संदर्भित करता है। वस्तुओं के लिए शर्तें: बिंदु, रेखा, वृत्त, गोला, अर्ध-गोला आदि का उपयोग या तो आधार स्थान में ज्यामितीय वस्तु, या प्रतिनिधित्व स्थान के सजातीय उप-स्थान के लिए किया जाता है जो उस वस्तु का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका आमतौर पर इरादा होता है जब तक अन्यथा इंगित न किया गया हो।{{refn|group="lower-alpha"|For clarity, this homogeneous subspace includes non-null vectors, which do not correspond to any point in the base space.}} बीजगणितीय रूप से, सजातीय उप-स्थान के किसी भी अशून्य अशक्त तत्व का उपयोग किया जाएगा, जिसमें तत्व को कुछ मानदंडों द्वारा सामान्यीकृत के रूप में संदर्भित किया जाएगा।
-<!--Some thought is need for these terms.
- * Hestenes uses "inhomogeneous" and "homogeneous" as adjectives (but this clashes with "homogeneous subspace")
- * Perwass refers to "Euclidean space" and "conformal space" respectively.
- * Dorst uses "base space" and "representation space"
- Dorst's appears to me the best terminology – Quondum  -->
-<!--Quite a few sources use conformal space (which is in https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Conformal_space) so I think we could use either -selfstudier -->
-वस्तुओं के लिए शर्तें: बिंदु, रेखा, वृत्त, गोला, अर्ध-गोला आदि का उपयोग या तो आधार स्थान में ज्यामितीय वस्तु, या प्रतिनिधित्व स्थान के सजातीय उप-स्थान के लिए किया जाता है जो उस वस्तु का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका आमतौर पर इरादा होता है जब तक अन्यथा इंगित न किया गया हो।{{refn|group="lower-alpha"|For clarity, this homogeneous subspace includes non-null vectors, which do not correspond to any point in the base space.}} बीजगणितीय रूप से, सजातीय उप-स्थान के किसी भी अशून्य अशक्त तत्व का उपयोग किया जाएगा, जिसमें एक तत्व को कुछ मानदंडों द्वारा सामान्यीकृत के रूप में संदर्भित किया जाएगा।
-बोल्डफेस लोअरकेस लैटिन अक्षरों का उपयोग मूल स्थान से बेस स्पेस में एक बिंदु तक स्थिति वैक्टर का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। प्रतिनिधित्व स्थान के अन्य तत्वों के लिए इटैलिक प्रतीकों का उपयोग किया जाता है।
+बोल्डफेस लोअरकेस लैटिन अक्षरों का उपयोग मूल स्थान से बेस स्पेस में बिंदु तक स्थिति वैक्टर का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। प्रतिनिधित्व स्थान के अन्य तत्वों के लिए इटैलिक प्रतीकों का उपयोग किया जाता है।
 === आधार और प्रतिनिधित्व स्थान ===
-आधार स्थान {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} को एक चुने हुए मूल से विस्थापन के लिए एक आधार का विस्तार करके और दो आधार सदिशों को जोड़कर दर्शाया जाता है {{math|''e''<sub>−</sub>}} और {{math|''e''<sub>+</sub>}} आधार स्थान और एक दूसरे के साथ ओर्थोगोनल {{math|1=''e''<sub>−</sub><sup>2</sup> = −1}} और {{math|1=''e''<sub>+</sub><sup>2</sup> = +1}}, प्रतिनिधित्व स्थान बनाना <math>\mathcal G(4,1)</math>.
+आधार स्थान {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} को चुने हुए मूल से विस्थापन के लिए आधार का विस्तार करके और दो आधार सदिशों को जोड़कर दर्शाया जाता है {{math|''e''<sub>−</sub>}} और {{math|''e''<sub>+</sub>}} आधार स्थान और दूसरे के साथ ओर्थोगोनल {{math|1=''e''<sub>−</sub><sup>2</sup> = −1}} और {{math|1=''e''<sub>+</sub><sup>2</sup> = +1}}, प्रतिनिधित्व स्थान बनाना <math>\mathcal G(4,1)</math>.
-दो अशक्त वैक्टर का उपयोग करना सुविधाजनक है {{math|''n''<sub>o</sub>}} और {{math|''n''<sub>∞</sub>}} के स्थान पर आधार वैक्टर के रूप में {{math|1=''e''<sub>+</sub>}} और {{math|1=''e''<sub>−</sub>}}, कहाँ {{math|1=''n''<sub>o</sub> = (''e''<sub>−</sub> − ''e''<sub>+</sub>)/2}}, और  {{math|1=''n''<sub>∞</sub> = ''e''<sub>−</sub> + ''e''<sub>+</sub>}}.
+दो अशक्त वैक्टर का उपयोग करना सुविधाजनक है {{math|''n''<sub>o</sub>}} और {{math|''n''<sub>∞</sub>}} के स्थान पर आधार वैक्टर के रूप में {{math|1=''e''<sub>+</sub>}} और {{math|1=''e''<sub>−</sub>}}, कहाँ {{math|1=''n''<sub>o</sub> = (''e''<sub>−</sub> − ''e''<sub>+</sub>)/2}}, और {{math|1=''n''<sub>∞</sub> = ''e''<sub>−</sub> + ''e''<sub>+</sub>}}.
 इसे सत्यापित किया जा सकता है, कहाँ {{math|'''x'''}} बेस स्पेस में है, कि:
 :<math>\begin{array}{lllll}
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    {n_\infty}^2 & = 0 \qquad n_\text{o} \wedge n_\infty & = e_{-}e_{+} \qquad & n_\infty \cdot \mathbf{x} & = 0
 \end{array}</math>
-ये गुण एक सामान्य सदिश के आधार सदिश गुणांकों के लिए निम्नलिखित सूत्रों की ओर ले जाते हैं {{math|''r''}} तत्वों के आधार के लिए प्रतिनिधित्व स्थान में {{math|''e''<sub>''i''</sub>}} हर दूसरे आधार तत्व के लिए ओर्थोगोनल:
+ये गुण सामान्य सदिश के आधार सदिश गुणांकों के लिए निम्नलिखित सूत्रों की ओर ले जाते हैं {{math|''r''}} तत्वों के आधार के लिए प्रतिनिधित्व स्थान में {{math|''e''<sub>''i''</sub>}} हर दूसरे आधार तत्व के लिए ओर्थोगोनल:
 : का गुणांक {{math|''n''<sub>o</sub>}} के लिए {{math|''r''}} है {{math|−''n''<sub>∞</sub> ⋅ ''r''}}
 : का गुणांक {{math|''n''<sub>∞</sub>}} के लिए {{math|''r''}} है {{math|−''n''<sub>o</sub> ⋅ ''r''}}
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 === आधार स्थान और प्रतिनिधित्व स्थान के बीच मानचित्रण ===
-बेस स्पेस में एक वेक्टर से मैपिंग (मूल से प्रतिनिधित्व किए गए एफाइन स्पेस में एक बिंदु तक) सूत्र द्वारा दी गई है:{{refn|group="lower-alpha"|The mapping can also be written {{math|''F'' : '''x''' → −('''x''' − ''e''<sub>+</sub>) ''n''<sub>∞</sub> ('''x''' − ''e''<sub>+</sub>)}}, as given in [[David Hestenes|Hestenes]] and Sobczyk (1984), p.303.<ref>Hestenes, David and Garret Sobczyk (1984), ''Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics''. Dordrecht: Reidel; pp. 302–303.</ref>  The equivalence of the two forms is noted in Lasenby and Lasenby (2000).<ref>Lasenby, AN and Lasenby, J (2000), [http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/publications/ps/ll_surface.ps.gz Surface evolution and representation using geometric algebra]; in ''The Mathematics of Surfaces IX: the 9th IMA Conference, Cambridge, 4–7 September 2000'',  pp. 144–168</ref>}}
+बेस स्पेस में वेक्टर से मैपिंग (मूल से प्रतिनिधित्व किए गए एफाइन स्पेस में बिंदु तक) सूत्र द्वारा दी गई है:{{refn|group="lower-alpha"|The mapping can also be written {{math|''F'' : '''x''' → −('''x''' − ''e''<sub>+</sub>) ''n''<sub>∞</sub> ('''x''' − ''e''<sub>+</sub>)}}, as given in [[David Hestenes|Hestenes]] and Sobczyk (1984), p.303.<ref>Hestenes, David and Garret Sobczyk (1984), ''Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics''. Dordrecht: Reidel; pp. 302–303.</ref>  The equivalence of the two forms is noted in Lasenby and Lasenby (2000).<ref>Lasenby, AN and Lasenby, J (2000), [http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/publications/ps/ll_surface.ps.gz Surface evolution and representation using geometric algebra]; in ''The Mathematics of Surfaces IX: the 9th IMA Conference, Cambridge, 4–7 September 2000'',  pp. 144–168</ref>}}
 :<math> F : \mathbf{x} \mapsto n_\text{o} + \mathbf{x} + \tfrac{1}{2} \mathbf{x}^2 n_\infty </math>
-बिंदु और अन्य वस्तुएं जो केवल एक गैर-शून्य स्केलर कारक से भिन्न होती हैं, आधार स्थान में एक ही वस्तु के लिए मैप करती हैं। जब सामान्यीकरण वांछित होता है, जैसा कि प्रतिनिधित्व स्थान से आधार स्थान तक या दूरी निर्धारित करने के लिए एक बिंदु का एक सरल रिवर्स मैप बनाने के लिए, स्थिति {{math|1=''F''('''x''') ⋅ ''n''<sub>∞</sub> = −1}} उपयोग किया जा सकता है।
+बिंदु और अन्य वस्तुएं जो केवल गैर-शून्य स्केलर कारक से भिन्न होती हैं, आधार स्थान में ही वस्तु के लिए मैप करती हैं। जब सामान्यीकरण वांछित होता है, जैसा कि प्रतिनिधित्व स्थान से आधार स्थान तक या दूरी निर्धारित करने के लिए बिंदु का सरल रिवर्स मैप बनाने के लिए, स्थिति {{math|1=''F''('''x''') ⋅ ''n''<sub>∞</sub> = −1}} उपयोग किया जा सकता है।
 [[Image:Conformal Embedding.svg|right|300px|thumb|सामान्यीकरण का परिवर्तन: हाइपरप्लेन से अशक्त शंकु का मानचित्रण करना {{math|1=''r'' ⋅ (''n''<sub>∞</sub> − ''n''<sub>o</sub>) = 1}} हाइपरप्लेन के लिए {{math|1=''r'' ⋅ ''n''<sub>∞</sub> = −1}}.]]फॉरवर्ड मैपिंग इसके बराबर है:
-* पहले अनुरूप रूप से प्रोजेक्ट करना {{math|'''x'''}} से {{math|''e''<sub>123</sub>}} अंतरिक्ष में एक इकाई 3-गोले पर {{math|''e''<sub>+</sub> ∧ ''e''<sub>123</sub>}} (5-डी में यह सबस्पेस में है {{math|1=''r'' ⋅ (−''n''<sub>o</sub> − {{sfrac|1|2}}''n''<sub>∞</sub>) = 0}});
+* पहले अनुरूप रूप से प्रोजेक्ट करना {{math|'''x'''}} से {{math|''e''<sub>123</sub>}} अंतरिक्ष में इकाई 3-गोले पर {{math|''e''<sub>+</sub> ∧ ''e''<sub>123</sub>}} (5-डी में यह सबस्पेस में है {{math|1=''r'' ⋅ (−''n''<sub>o</sub> − {{sfrac|1|2}}''n''<sub>∞</sub>) = 0}});
-* फिर इसे सटे हुए एक प्रक्षेप्य स्थान में उठाएं {{math|1=''e''<sub>–</sub> = 1}}, और मूल से एक ही किरण पर सभी बिंदुओं की पहचान करना (5-डी में यह सबस्पेस में है {{math|1=''r'' ⋅ (−''n''<sub>o</sub> − {{sfrac|1|2}}''n''<sub>∞</sub>) = 1}});
+* फिर इसे सटे हुए प्रक्षेप्य स्थान में उठाएं {{math|1=''e''<sub>–</sub> = 1}}, और मूल से ही किरण पर सभी बिंदुओं की पहचान करना (5-डी में यह सबस्पेस में है {{math|1=''r'' ⋅ (−''n''<sub>o</sub> − {{sfrac|1|2}}''n''<sub>∞</sub>) = 1}});
 * फिर सामान्यीकरण बदलें, इसलिए सजातीय प्रक्षेपण के लिए विमान द्वारा दिया गया है {{math|''n''<sub>o</sub>}} मूल्य वाले समन्वय {{math|1}}, अर्थात। {{math|1=''r'' ⋅ ''n''<sub>∞</sub> = −1}}.
 === उलटा मानचित्रण ===
-के लिए एक उलटा मानचित्रण {{math|''X''}} द्वारा शून्य शंकु पर दिया गया है (Perwass eqn 4.37)।
+के लिए उलटा मानचित्रण {{math|''X''}} द्वारा शून्य शंकु पर दिया गया है (Perwass eqn 4.37)।
 :<math>X \mapsto \mathcal{P}^\perp_{n_\infty \wedge n_\text{o}}\left( \frac{X}{- X \cdot n_\infty}\right)</math>
 यह पहले विमान पर प्रकाश-शंकु से त्रिविम प्रक्षेपण देता है {{math|1=''r'' ⋅ ''n''<sub>∞</sub> = −1}}, और फिर फेंक देता है {{math|''n''<sub>o</sub>}} और {{math|''n''<sub>∞</sub>}} भागों, ताकि समग्र परिणाम सभी समकक्ष बिंदुओं को मैप करना हो {{math|1=''αX'' = ''α''(''n''<sub>o</sub> + '''x''' + {{sfrac|2}}'''x'''<sup>2</sup>''n''<sub>∞</sub>)}} को {{math|'''x'''}}.
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 बिंदु {{math|1='''x''' = 0}} में {{math|ℝ<sup>''p'',''q''</sup>}} के लिए मानचित्र {{math|''n''<sub>o</sub>}} में {{math|ℝ<sup>''p''+1,''q''+1</sup>}}, इसलिए {{math|''n''<sub>o</sub>}} को मूल बिंदु पर (प्रतिनिधित्व) वेक्टर के रूप में पहचाना जाता है।
-में एक वेक्टर {{math|ℝ<sup>''p''+1,''q''+1</sup>}} एक अशून्य के साथ {{math|''n''<sub>∞</sub>}} गुणांक, लेकिन एक शून्य {{math|''n''<sub>o</sub>}} गुणांक, (उल्टे मानचित्र पर विचार करते हुए) एक अनंत सदिश की छवि होनी चाहिए {{math|ℝ<sup>''p'',''q''</sup>}}. दिशा {{math|''n''<sub>∞</sub>}} इसलिए अनंत पर (अनुरूप) बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है। यह सबस्क्रिप्ट को प्रेरित करता है {{math|<sub>o</sub>}} और {{math|<sub>∞</sub>}} अशक्त आधार वैक्टर की पहचान के लिए।
+में वेक्टर {{math|ℝ<sup>''p''+1,''q''+1</sup>}} अशून्य के साथ {{math|''n''<sub>∞</sub>}} गुणांक, लेकिन शून्य {{math|''n''<sub>o</sub>}} गुणांक, (उल्टे मानचित्र पर विचार करते हुए) अनंत सदिश की छवि होनी चाहिए {{math|ℝ<sup>''p'',''q''</sup>}}. दिशा {{math|''n''<sub>∞</sub>}} इसलिए अनंत पर (अनुरूप) बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है। यह सबस्क्रिप्ट को प्रेरित करता है {{math|<sub>o</sub>}} और {{math|<sub>∞</sub>}} अशक्त आधार वैक्टर की पहचान के लिए।
-उत्पत्ति का चुनाव मनमाना है: किसी अन्य बिंदु को चुना जा सकता है, क्योंकि प्रतिनिधित्व एक सघन स्थान का है। मूल केवल एक संदर्भ बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है, और बीजगणितीय रूप से किसी अन्य बिंदु के बराबर है। किसी भी अनुवाद के साथ, उत्पत्ति को बदलने से प्रतिनिधित्व स्थान में रोटेशन होता है।
+उत्पत्ति का चुनाव मनमाना है: किसी अन्य बिंदु को चुना जा सकता है, क्योंकि प्रतिनिधित्व सघन स्थान का है। मूल केवल संदर्भ बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है, और बीजगणितीय रूप से किसी अन्य बिंदु के बराबर है। किसी भी अनुवाद के साथ, उत्पत्ति को बदलने से प्रतिनिधित्व स्थान में रोटेशन होता है।
 == ज्यामितीय वस्तुएँ ==
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 </math>, ये बीजगणित के 32 आधार फलक हैं।
-फ्लैट प्वाइंट मूल एक बाहरी उत्पाद के रूप में लिखा गया है क्योंकि ज्यामितीय उत्पाद मिश्रित ग्रेड का है।(<math>E=e_+e_-</math>).
+फ्लैट प्वाइंट मूल बाहरी उत्पाद के रूप में लिखा गया है क्योंकि ज्यामितीय उत्पाद मिश्रित ग्रेड का है।(<math>E=e_+e_-</math>).
 {| class="wikitable mw-collapsible" style="float:right; margin-right: 10px"
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-=== समीकरणों की एक जोड़ी के समाधान के रूप में ===
+=== समीकरणों की जोड़ी के समाधान के रूप में ===
-किसी भी अशून्य ब्लेड (ज्यामिति) को देखते हुए {{math|''A''}प्रतिनिधित्व करने वाले स्थान का }, सदिशों का समुच्चय जो प्रपत्र के सजातीय समीकरणों की एक जोड़ी के समाधान हैं<ref>[https://arxiv.org/abs/cs.CG/0310017 Chris Doran (2003), ''Circle and sphere blending with conformal geometric algebra'']</ref>
+<nowiki>किसी भी अशून्य ब्लेड (ज्यामिति) को देखते हुए {{math|</nowiki>''A''}प्रतिनिधित्व करने वाले स्थान का }, सदिशों का समुच्चय जो प्रपत्र के सजातीय समीकरणों की जोड़ी के समाधान हैं<ref>[https://arxiv.org/abs/cs.CG/0310017 Chris Doran (2003), ''Circle and sphere blending with conformal geometric algebra'']</ref>
 :<math>X^2 = 0</math>
 :<math>X \wedge A = 0</math>
-अशक्त सदिशों के सजातीय 1-डी उपस्थानों का संघ है, और इस प्रकार आधार स्थान में बिंदुओं के एक समूह का प्रतिनिधित्व है। इससे ब्लेड का चुनाव होता है {{math|''A''}} ज्यामितीय वस्तुओं के एक विशेष वर्ग का प्रतिनिधित्व करने का एक उपयोगी तरीका है। ब्लेड के लिए विशिष्ट मामले {{math|''A''}} (अंतरिक्ष के आयामों की संख्या से स्वतंत्र) जब आधार स्थान यूक्लिडियन स्थान होता है:
+अशक्त सदिशों के सजातीय 1-डी उपस्थानों का संघ है, और इस प्रकार आधार स्थान में बिंदुओं के समूह का प्रतिनिधित्व है। इससे ब्लेड का चुनाव होता है {{math|''A''}} ज्यामितीय वस्तुओं के विशेष वर्ग का प्रतिनिधित्व करने का उपयोगी तरीका है। ब्लेड के लिए विशिष्ट मामले {{math|''A''}} (अंतरिक्ष के आयामों की संख्या से स्वतंत्र) जब आधार स्थान यूक्लिडियन स्थान होता है:
 * एक अदिश: खाली सेट
-* एक वेक्टर: एक बिंदु
+* एक वेक्टर: बिंदु
-* एक बायवेक्टर: बिंदुओं की एक जोड़ी
+* एक बायवेक्टर: बिंदुओं की जोड़ी
-* एक ट्राइवेक्टर: एक सामान्यीकृत चक्र
+* एक ट्राइवेक्टर: सामान्यीकृत चक्र
-* एक 4-वेक्टर: एक सामान्यीकृत क्षेत्र
+* एक 4-वेक्टर: सामान्यीकृत क्षेत्र
 * वगैरह।
-ये प्रत्येक चाहे के अनुसार तीन मामलों में विभाजित हो सकता है {{math|''A''<sup>2</sup>}} धनात्मक, शून्य या ऋणात्मक है, सूचीबद्ध वस्तु के अनुरूप (कुछ मामलों में उलटे क्रम में), एक बिंदु का एक पतित मामला, या कोई बिंदु नहीं है (जहां गैर-शून्य समाधान {{math|1=''X'' ∧ ''A''}} अशक्त वैक्टर को बाहर करें)।
+ये प्रत्येक चाहे के अनुसार तीन मामलों में विभाजित हो सकता है {{math|''A''<sup>2</sup>}} धनात्मक, शून्य या ऋणात्मक है, सूचीबद्ध वस्तु के अनुरूप (कुछ मामलों में उलटे क्रम में), बिंदु का पतित मामला, या कोई बिंदु नहीं है (जहां गैर-शून्य समाधान {{math|1=''X'' ∧ ''A''}} अशक्त वैक्टर को बाहर करें)।
 सूचीबद्ध ज्यामितीय वस्तुएं (सामान्यीकृत n-sphere|{{math|''n''}}-क्षेत्र) छद्म-यूक्लिडियन होने के आधार स्थान के अधिक सामान्य मामले में [[अर्ध-क्षेत्र]] बन जाते हैं।<ref>{{cite book |author1=Jayme Vaz, Jr. |author2=Roldão da Rocha, Jr. |year=2016 |title=क्लिफोर्ड अलजेब्रा और स्पिनर्स का एक परिचय|publisher=Oxford University Press|page=140 |isbn=9780191085789 }}</ref>
-फ्लैट (ज्यामिति) वस्तुओं को समाधानों में शामिल अनंतता पर बिंदु द्वारा पहचाना जा सकता है। इस प्रकार, यदि {{math|1=''n''<sub>∞</sub> ∧ ''A'' = 0}}, ब्लेड के लिए वस्तु एक रेखा, समतल आदि होगी {{math|''A''}} क्रमशः ग्रेड 3, 4, आदि का होना।
+फ्लैट (ज्यामिति) वस्तुओं को समाधानों में शामिल अनंतता पर बिंदु द्वारा पहचाना जा सकता है। इस प्रकार, यदि {{math|1=''n''<sub>∞</sub> ∧ ''A'' = 0}}, ब्लेड के लिए वस्तु रेखा, समतल आदि होगी {{math|''A''}} क्रमशः ग्रेड 3, 4, आदि का होना।
 === जैसा कि वस्तु के बिंदुओं से प्राप्त होता है ===
-एक ब्लेड {{math|''A''}} वस्तु के इस वर्ग में से किसी एक का प्रतिनिधित्व वस्तु पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर के बाहरी उत्पाद के रूप में पाया जा सकता है। आधार स्थान में, यह रैखिक स्वतंत्रता अन्य बिंदुओं द्वारा परिभाषित वस्तु के बाहर स्थित प्रत्येक बिंदु के रूप में प्रकट होती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, तीन अलग-अलग बिंदुओं द्वारा परिभाषित सामान्यीकृत वृत्त पर पड़ा एक चौथा बिंदु एक गोले को परिभाषित करने के लिए चौथे बिंदु के रूप में उपयोग नहीं किया जा सकता है।
+एक ब्लेड {{math|''A''}} वस्तु के इस वर्ग में से किसी का प्रतिनिधित्व वस्तु पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर के बाहरी उत्पाद के रूप में पाया जा सकता है। आधार स्थान में, यह रैखिक स्वतंत्रता अन्य बिंदुओं द्वारा परिभाषित वस्तु के बाहर स्थित प्रत्येक बिंदु के रूप में प्रकट होती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, तीन अलग-अलग बिंदुओं द्वारा परिभाषित सामान्यीकृत वृत्त पर पड़ा चौथा बिंदु गोले को परिभाषित करने के लिए चौथे बिंदु के रूप में उपयोग नहीं किया जा सकता है।
 === ऑड्स ===
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 ==== जी (एक्स)। ए = 0 ====
-* एक बिंदु: 'आर' में एक्स का स्थान<sup>3</sup> एक बिंदु है यदि A 'R' में है<sup>4,1</sup> रिक्त शंकु पर एक सदिश है।
+* एक बिंदु: 'आर' में एक्स का स्थान<sup>3</sup> बिंदु है यदि A 'R' में है<sup>4,1</sup> रिक्त शंकु पर सदिश है।
-::(N.B. क्योंकि यह एक सजातीय प्रक्षेप्य स्थान है, मूल के माध्यम से किरण पर किसी भी लम्बाई के वैक्टर समतुल्य हैं, इसलिए g(x).A =0 g(x).g(a) = 0 के बराबर है)। <!-- *** ''warning'': apparently wrong codimension—go to the sphere as the general case, then restrict to a sphere of size zero.  Is the dual of the equation affected by being on the null cone? -->
+::(N.B. क्योंकि यह सजातीय प्रक्षेप्य स्थान है, मूल के माध्यम से किरण पर किसी भी लम्बाई के वैक्टर समतुल्य हैं, इसलिए g(x).A =0 g(x).g(a) = 0 के बराबर है)।
-* एक गोला: 'x' का स्थान एक गोला है यदि A = S, शून्य शंकु से दूर एक सदिश।
+* एक गोला: 'x' का स्थान गोला है यदि A = S, शून्य शंकु से दूर सदिश।
 ::अगर <math display="block">\mathbf{S} = g(\mathbf{a}) - \frac{1}{2} \rho^2 \mathbf{e}_\infty</math> तब S.X = 0 => <math> -\frac{1}{2} (\mathbf{a}-\mathbf{x})^2 + \frac{1}{2} \rho^2 = 0 </math>
-:: ये एक गोले के अनुरूप बिंदु हैं
+:: ये गोले के अनुरूप बिंदु हैं
-::::<!--''make pic to show hyperbolic orthogonality'' --> नल-शंकु से सदिश S के लिए, कौन-सी दिशाएँ अतिशयोक्तिपूर्ण रूप से लंबकोणीय हैं? (cf लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन पिक्स)
+::::नल-शंकु से सदिश S के लिए, कौन-सी दिशाएँ अतिशयोक्तिपूर्ण रूप से लंबकोणीय हैं? (cf लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन पिक्स)
-:::::2+1 D में, यदि S (1,a,b) है, (को-ऑर्ड्स e-, {e+, e का उपयोग करके)<sub>i</sub>}), हाइपरबोलिक रूप से एस के लिए ऑर्थोगोनल बिंदु वे यूक्लिडियनली ऑर्थोगोनल हैं (-1, ए, बी) - यानी, एक विमान; या n आयामों में, मूल के माध्यम से एक हाइपरप्लेन। यह एक अन्य विमान को एक रेखा (एक n-2 सतह में एक हाइपरसफेस) में उत्पत्ति के माध्यम से नहीं काटेगा, और फिर शंकु को दो बिंदुओं (प्रतिक्रिया में कुछ प्रकार की n-3 शंकु सतह) में काट देगा। तो यह शायद किसी प्रकार के शंकु जैसा दिखने वाला है। यह वह सतह है जो g के नीचे एक गोले की छवि है।
+:::::2+1 D में, यदि S (1,a,b) है, (को-ऑर्ड्स e-, {e+, e का उपयोग करके)<sub>i</sub>}), हाइपरबोलिक रूप से एस के लिए ऑर्थोगोनल बिंदु वे यूक्लिडियनली ऑर्थोगोनल हैं (-1, ए, बी) - यानी, विमान; या n आयामों में, मूल के माध्यम से हाइपरप्लेन। यह अन्य विमान को रेखा (एक n-2 सतह में हाइपरसफेस) में उत्पत्ति के माध्यम से नहीं काटेगा, और फिर शंकु को दो बिंदुओं (प्रतिक्रिया में कुछ प्रकार की n-3 शंकु सतह) में काट देगा। तो यह शायद किसी प्रकार के शंकु जैसा दिखने वाला है। यह वह सतह है जो g के नीचे गोले की छवि है।
-* एक समतल: 'x' का स्थान एक तल है यदि A = P, शून्य n वाला सदिश<sub>o</sub> अवयव। सजातीय प्रक्षेप्य स्थान में ऐसा वेक्टर P विमान n पर एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है<sub>o</sub>=1 जो मूल से असीम रूप से दूर होगा (अर्थात् अशक्त शंकु के बाहर असीम रूप से दूर), इसलिए g(x).P =0 अनंत त्रिज्या के एक गोले, एक तल पर x के संगत है।
+* एक समतल: 'x' का स्थान तल है यदि A = P, शून्य n वाला सदिश<sub>o</sub> अवयव। सजातीय प्रक्षेप्य स्थान में ऐसा वेक्टर P विमान n पर वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है<sub>o</sub>=1 जो मूल से असीम रूप से दूर होगा (अर्थात् अशक्त शंकु के बाहर असीम रूप से दूर), इसलिए g(x).P =0 अनंत त्रिज्या के गोले, तल पर x के संगत है।
 :विशेष रूप से:
-:* <math>\mathbf{P} = \hat{\mathbf{a}} + \alpha \mathbf{e}_\infty </math> सामान्य के साथ समतल पर x से मेल खाता है <math>\hat{\mathbf{a}}</math> मूल से एक ओर्थोगोनल दूरी α।
+:* <math>\mathbf{P} = \hat{\mathbf{a}} + \alpha \mathbf{e}_\infty </math> सामान्य के साथ समतल पर x से मेल खाता है <math>\hat{\mathbf{a}}</math> मूल से ओर्थोगोनल दूरी α।
 :* <math>\mathbf{P} = g(\mathbf{a}) - g(\mathbf{b})</math> सामान्य ए - बी के साथ, ए और बी के बीच आधे रास्ते के विमान से मेल खाता है
 *''मंडलियां''
@@ Line 193: / Line 181: @@
 == रूपांतरण ==
 :* प्रतिबिंब
-:: यह सत्यापित किया जा सकता है कि 'P' g('x') 'P' बनाने से शून्य-शंकु पर एक नई दिशा मिलती है, g('x' '), जहां 'x' 'तल में प्रतिबिंब के अनुरूप है अंक 'पी' 'आर' में<sup>3</sup> जो g(p) को संतुष्ट करता है। पी = 0।
+:: यह सत्यापित किया जा सकता है कि 'P' g('x') 'P' बनाने से शून्य-शंकु पर नई दिशा मिलती है, g('x' '), जहां 'x' 'तल में प्रतिबिंब के अनुरूप है अंक 'पी' 'आर' में<sup>3</sup> जो g(p) को संतुष्ट करता है। पी = 0।
-:: जी (एक्स)। ए = 0 => पी जी (एक्स) . एपी = 0 => पी जी (एक्स) पी। पी ए पी (और इसी तरह कील उत्पाद के लिए), इसलिए पी सैंडविच-फैशन को उपरोक्त अनुभाग में किसी भी मात्रा ए पर लागू करने का प्रभाव इसी तरह अंक एक्स के संबंधित लोकस को प्रतिबिंबित करने के लिए है, इसलिए संबंधित सर्कल, गोलाकार, रेखाएं और विमान संबंधित हैं विशेष प्रकार के A के लिए ठीक उसी तरह परिलक्षित होते हैं जैसे P को g(x) पर लागू करने से एक बिंदु x को दर्शाता है।
+:: जी (एक्स)। ए = 0 => पी जी (एक्स) . एपी = 0 => पी जी (एक्स) पी। पी ए पी (और इसी तरह कील उत्पाद के लिए), इसलिए पी सैंडविच-फैशन को उपरोक्त अनुभाग में किसी भी मात्रा ए पर लागू करने का प्रभाव इसी तरह अंक एक्स के संबंधित लोकस को प्रतिबिंबित करने के लिए है, इसलिए संबंधित सर्कल, गोलाकार, रेखाएं और विमान संबंधित हैं विशेष प्रकार के A के लिए ठीक उसी तरह परिलक्षित होते हैं जैसे P को g(x) पर लागू करने से बिंदु x को दर्शाता है।
 इस प्रतिबिंब ऑपरेशन का उपयोग सामान्य अनुवाद और घुमाव बनाने के लिए किया जा सकता है:
 :* ''अनुवाद''
-:: दो समांतर विमानों में प्रतिबिंब एक अनुवाद देता है,
+:: दो समांतर विमानों में प्रतिबिंब अनुवाद देता है,
 :: <math>g(\mathbf{x}^\prime) = \mathbf{P}_\beta \mathbf{P}_\alpha \; g(\mathbf{x}) \; \mathbf{P}_\alpha \mathbf{P}_\beta</math>
 :: अगर <math>\mathbf{P}_\alpha = \hat{\mathbf{a}} +\alpha \mathbf{e}_\infty</math> और <math>\mathbf{P}_\beta = \hat{\mathbf{a}} +\beta \mathbf{e}_\infty</math> तब <math>\mathbf{x}^\prime = \mathbf{x} + 2 (\beta-\alpha) \hat{\mathbf{a}}</math>
 : * घुमाव
-:: <math>g(\mathbf{x}^\prime) = \hat{\mathbf{b}}\hat{\mathbf{a}} \; g(\mathbf{x}) \; \hat{\mathbf{a}}\hat{\mathbf{b}}</math> एक x' से मेल खाता है जो मूल के बारे में 2 θ कोण से घूमता है जहां θ a और b के बीच का कोण है - वही प्रभाव जो इस रोटर पर सीधे x पर लागू होता है।
+:: <math>g(\mathbf{x}^\prime) = \hat{\mathbf{b}}\hat{\mathbf{a}} \; g(\mathbf{x}) \; \hat{\mathbf{a}}\hat{\mathbf{b}}</math> x' से मेल खाता है जो मूल के बारे में 2 θ कोण से घूमता है जहां θ a और b के बीच का कोण है - वही प्रभाव जो इस रोटर पर सीधे x पर लागू होता है।
 :* ''सामान्य घुमाव''
@@ Line 208: / Line 196: @@
 :: <math>g (\mathcal{G}x) = \mathbf{TR{\tilde{T}}} \; g(\mathbf{x}) \; \mathbf{T\tilde{R}\tilde{T}}</math>
 : * पेंच
-:: प्रभाव एक पेंच सिद्धांत, या मोटर, (एक सामान्य बिंदु के बारे में एक रोटेशन, रोटेशन की धुरी के समानांतर एक अनुवाद के बाद) ऑपरेटर द्वारा g('x') सैंडविचिंग द्वारा प्राप्त किया जा सकता है <math>\mathbf{M} = \mathbf{T_2T_1R{\tilde{T_1}}}</math>.
+:: प्रभाव पेंच सिद्धांत, या मोटर, (एक सामान्य बिंदु के बारे में रोटेशन, रोटेशन की धुरी के समानांतर अनुवाद के बाद) ऑपरेटर द्वारा g('x') सैंडविचिंग द्वारा प्राप्त किया जा सकता है <math>\mathbf{M} = \mathbf{T_2T_1R{\tilde{T_1}}}</math>.
 :: M को पैरामीट्रिज्ड भी किया जा सकता है <math>\mathbf{M} = \mathbf{T^\prime R^\prime}</math> (चेसल्स प्रमेय (कीनेमेटीक्स) | चेसल्स प्रमेय)
 :* उलटा
-:: एक [[उलटा परिवर्तन]] एक क्षेत्र में एक प्रतिबिंब है - ऐसे व्युत्क्रमों का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकने वाले विभिन्न कार्यों की चर्चा व्युत्क्रम ज्यामिति में की जाती है। विशेष रूप से, [[यूक्लिडियन परिवर्तन]] ट्रांसलेशन और रोटेशन के साथ व्युत्क्रम का संयोजन किसी भी अनुरूप मैपिंग को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है - यानी कोई भी मैपिंग जो सार्वभौमिक रूप से कोणों को संरक्षित करता है। (लिउविल की प्रमेय (अनुरूप मैपिंग) | लिउविल की प्रमेय)।
+:: एक [[उलटा परिवर्तन]] क्षेत्र में प्रतिबिंब है - ऐसे व्युत्क्रमों का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकने वाले विभिन्न कार्यों की चर्चा व्युत्क्रम ज्यामिति में की जाती है। विशेष रूप से, [[यूक्लिडियन परिवर्तन]] ट्रांसलेशन और रोटेशन के साथ व्युत्क्रम का संयोजन किसी भी अनुरूप मैपिंग को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है - यानी कोई भी मैपिंग जो सार्वभौमिक रूप से कोणों को संरक्षित करता है। (लिउविल की प्रमेय (अनुरूप मैपिंग) | लिउविल की प्रमेय)।
 :* फैलाव
-:: एक ही केंद्र के साथ दो व्युत्क्रम एक [[फैलाव (मीट्रिक स्थान)]] उत्पन्न करते हैं।
+:: एक ही केंद्र के साथ दो व्युत्क्रम [[फैलाव (मीट्रिक स्थान)]] उत्पन्न करते हैं।
 == सामान्यीकरण ==
-{{Empty section|date=February 2021}}
 == इतिहास ==
-{{Empty section|date=February 2021}}
 == सम्मेलन और पत्रिकाएँ ==
-अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला के साथ क्लिफोर्ड और ज्यामितीय बीजगणित के आसपास एक जीवंत और अंतःविषय समुदाय है। इस विषय में मुख्य सम्मेलनों में शामिल हैं [http://www.smartchair.org/hp/ICCA2020/ क्लिफोर्ड अलजेब्रा पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोग (ICCA)] और [http://agacse2021.fme.vutbr. cz/main.php एप्लीकेशन ऑफ़ जियोमेट्रिक अलजेब्रा इन कंप्यूटर साइंस एंड इंजीनियरिंग (AGACSE)] सीरीज़। एक मुख्य प्रकाशन आउटलेट एप्लाइड क्लिफोर्ड अल्जेब्रा में स्प्रिंगर जर्नल एडवांस है।
+अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला के साथ क्लिफोर्ड और ज्यामितीय बीजगणित के आसपास जीवंत और अंतःविषय समुदाय है। इस विषय में मुख्य सम्मेलनों में शामिल हैं [http://www.smartchair.org/hp/ICCA2020/ क्लिफोर्ड अलजेब्रा पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोग (ICCA)] और [http://agacse2021.fme.vutbr. cz/main.php एप्लीकेशन ऑफ़ जियोमेट्रिक अलजेब्रा इन कंप्यूटर साइंस एंड इंजीनियरिंग (AGACSE)] सीरीज़। मुख्य प्रकाशन आउटलेट एप्लाइड क्लिफोर्ड अल्जेब्रा में स्प्रिंगर जर्नल एडवांस है।
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संकेतन और शब्दावली

आधार और प्रतिनिधित्व स्थान

आधार स्थान और प्रतिनिधित्व स्थान के बीच मानचित्रण

उलटा मानचित्रण

उत्पत्ति और अनंत पर बिंदु

ज्यामितीय वस्तुएँ

आधार

समीकरणों की जोड़ी के समाधान के रूप में

जैसा कि वस्तु के बिंदुओं से प्राप्त होता है

ऑड्स

जी (एक्स)। ए = 0

रूपांतरण

सामान्यीकरण

इतिहास

सम्मेलन और पत्रिकाएँ

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आधार और प्रतिनिधित्व स्थान

आधार स्थान और प्रतिनिधित्व स्थान के बीच मानचित्रण

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समीकरणों की जोड़ी के समाधान के रूप में

जैसा कि वस्तु के बिंदुओं से प्राप्त होता है

ऑड्स

जी (एक्स)। ए = 0

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