असतत मोर्स सिद्धांत

असतत मोर्स सिद्धांत रॉबिन फोरमैन द्वारा विकसित मोर्स सिद्धांत का मिश्रित रूपांतरण है।यह सिद्धांत विभिन्न विषयों में लागू गणित और कंप्यूटर विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोगों, जैसे कि विन्यास स्थान, होमोलोजी संगणना, डिनोइसिंग, मेश संपीड़न,और सांस्थितिक डेटा विश्लेषण आदि में उपयोग किया जाता है।

सीडब्ल्यू परिसरों के संबंध में संकेतन

माना यदि $X$ सीडब्ल्यू एक शृंखला है और ${\mathcal {X}}$ उसके सेल समुच्चय को दर्शाता है। आपतन फलन $\kappa \colon {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {Z}$ को निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है: दो सेल $\sigma$ और $\tau$ में ${\mathcal {X}}$, यदि उस संलग्न आरेख $\kappa (\sigma ,~\tau )$ के डिग्री को दर्शाता है जो सीडब्ल्यू शृंखला की सीमा $\sigma$ से $\tau$ तक मान्य होती है। सीमा संकार्य $\partial$ एक एंडोमॉर्फिज्म है जो ${\mathcal {X}}$ द्वारा उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह का एक भाग है जिसे निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जाता है।

$\partial (\sigma )=\sum _{\tau \in {\mathcal {X}}}\kappa (\sigma ,\tau )\tau .$

यह सीमा संचालकों $\partial \circ \partial \equiv 0$. का एक परिभाषित गुण है। अधिक स्वयंसिद्ध परिभाषाओं में $\forall \sigma ,\tau ^{\prime }\in {\mathcal {X}}$ परिमित रूप से मान्य होगा ।

$\sum _{\tau \in {\mathcal {X}}}\kappa (\sigma ,\tau )\kappa (\tau ,\tau ^{\prime })=0$

जो सीमा संकार्य की उपरोक्त परिभाषा और उस आवश्यकता का परिणाम $\partial \circ \partial \equiv 0$.है।

असतत मोर्स कार्य

एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान फलन $\mu \colon {\mathcal {X}}\to \mathbb {R}$ असतत मोर्स फलन है यदि यह निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करता है:

1. किसी भी सेल के लिए $\sigma \in {\mathcal {X}}$, सेलों की संख्या $\tau \in {\mathcal {X}}$ की सीमा में $\sigma$ जो $\mu (\sigma )\leq \mu (\tau )$ में अधिक से अधिक एक को धारण करता है।
2. किसी भी सेल के लिए $\sigma \in {\mathcal {X}}$, सेलों की संख्या $\tau \in {\mathcal {X}}$ युक्त $\sigma$ उनकी सीमा में जो $\mu (\sigma )\geq \mu (\tau )$ में अधिक से अधिक एक को धारण करता है।

इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है कि दो स्थितियों में सांख्यिकता एक निश्चित सेल $\sigma$ के लिए एक साथ एक नहीं हो सकती हैं उसे उपलब्ध कराया गया ${\mathcal {X}}$ एक नियमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स है। इस परिप्रेक्ष्य में, प्रत्येक सेल $\sigma \in {\mathcal {X}}$ अधिकतम एक असाधारण सेल $\tau \in {\mathcal {X}}$ के साथ युग्मित किया जा सकता है। जिन सेलों में कोई युग्म नहीं होते हैं, अर्थात, जिनके कार्य मान उनकी सीमा सेलों से अधिक होते हैं और उनकी सह-सीमा सेलों से कम होते हैं, उन्हें 'महत्वपूर्ण' सेल कहा जाता है। इस प्रकार, असतत मोर्स फलन सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स को तीन भिन्न-भिन्न सेल संग्रहों ${\mathcal {X}}={\mathcal {A}}\sqcup {\mathcal {K}}\sqcup {\mathcal {Q}}$ में विभाजित करता है: ,जहाँ:

1. ${\mathcal {A}}$ उन महत्वपूर्ण सेलों को दर्शाता है जो अयुग्मित हैं,
2. ${\mathcal {K}}$ उन सेलों को दर्शाता है जो सीमा सेलों के साथ निर्मित होती हैं, और
3. ${\mathcal {Q}}$ उन सेलों को दर्शाता है जो सह-सीमा सेलों के साथ निर्मित होती हैं।

रचना से, बीच में समुच्चय (गणित) का एक आक्षेप होता है $k$-आयामी सेलों में ${\mathcal {K}}$ और यह $(k-1)$-आयामी सेलों में ${\mathcal {Q}}$, जिसे द्वारा दर्शाया जा सकता है $p^{k}\colon {\mathcal {K}}^{k}\to {\mathcal {Q}}^{k-1}$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $k$. यह एक अतिरिक्त तकनीकी आवश्यकता है कि प्रत्येक के लिए $K\in {\mathcal {K}}^{k}$, की सीमा से संलग्न मानचित्र की डिग्री $K$ इसके युग्मित सेल के लिए $p^{k}(K)\in {\mathcal {Q}}$ की अंतर्निहित रिंग (गणित) में एक इकाई (रिंग सिद्धांत) है ${\mathcal {X}}$. उदाहरण के लिए, पूर्णांकों पर $\mathbb {Z}$, केवल अनुमत मान हैं $\pm 1$. इस तकनीकी आवश्यकता की गारंटी है, उदाहरण के लिए, जब कोई ऐसा मानता है ${\mathcal {X}}$ एक नियमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स ओवर है $\mathbb {Z}$.

असतत मोर्स सिद्धांत का मौलिक परिणाम यह स्थापित करता है कि CW परिसर ${\mathcal {X}}$ समरूपता (गणित) के स्तर पर एक नए परिसर में समरूपता है ${\mathcal {A}}$ केवल महत्वपूर्ण सेलों से मिलकर। में युग्मित कोशिकाएँ ${\mathcal {K}}$ और ${\mathcal {Q}}$ आसन्न महत्वपूर्ण सेलों के बीच ढाल पथ का वर्णन करें जिसका उपयोग सीमा ऑपरेटर को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है ${\mathcal {A}}$. इस निर्माण के कुछ विवरण अगले खंड में दिए गए हैं।

मोर्स कॉम्प्लेक्स

एक ढाल पथ युग्मित सेलों का एक क्रम है

$\rho =(Q_{1},K_{1},Q_{2},K_{2},\ldots ,Q_{M},K_{M})$

संतुष्टि देने वाला $Q_{m}=p(K_{m})$ और $\kappa (K_{m},~Q_{m+1})\neq 0$. इस ढाल पथ के सूचकांक को पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है

$\nu (\rho )={\frac {\prod _{m=1}^{M-1}-\kappa (K_{m},Q_{m+1})}{\prod _{m=1}^{M}\kappa (K_{m},Q_{m})}}.$

यहाँ विभाजन समझ में आता है क्योंकि युग्मित सेलों के बीच की घटना होनी चाहिए $\pm 1$. ध्यान दें कि निर्माण के द्वारा, असतत मोर्स फलन के मान $\mu$ भर में कमी करनी चाहिए $\rho$. मार्ग $\rho$ दो महत्वपूर्ण सेलों को जोड़ने के लिए कहा जाता है $A,A'\in {\mathcal {A}}$ अगर $\kappa (A,Q_{1})\neq 0\neq \kappa (K_{M},A')$. इस रिश्ते को व्यक्त किया जा सकता है $A{\stackrel {\rho }{\to }}A'$. इस कनेक्शन की बहुलता को पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है $m(\rho )=\kappa (A,Q_{1})\cdot \nu (\rho )\cdot \kappa (K_{M},A')$. अंत में, महत्वपूर्ण सेलों पर मोर्स सीमा संचालक ${\mathcal {A}}$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$\Delta (A)=\kappa (A,A')+\sum _{A{\stackrel {\rho }{\to }}A'}m(\rho )A'$

जहां से सभी ग्रेडिएंट पथ कनेक्शनों का योग लिया जाता है $A$ को $A'$.

मूल परिणाम

निरंतर मोर्स सिद्धांत के कई परिचित परिणाम असतत समुच्चयिंग में लागू होते हैं।

मोर्स असमानताएं

होने देना ${\mathcal {A}}$ सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स से जुड़ा एक मोर्स कॉम्प्लेक्स हो ${\mathcal {X}}$. जो नंबर $m_{q}=|{\mathcal {A}}_{q}|$ का $q$-सेलों में ${\mathcal {A}}$ कहा जाता है $q$-वाँ मोर्स नंबर। होने देना $\beta _{q}$ निरूपित करें $q$-वीं बेट्टी की संख्या ${\mathcal {X}}$. फिर किसी के लिए $N>0$, निम्नलिखित असमानताएँ पकड़

$m_{N}\geq \beta _{N}$, और

$m_{N}-m_{N-1}+\dots \pm m_{0}\geq \beta _{N}-\beta _{N-1}+\dots \pm \beta _{0}$

इसके अलावा, यूलर विशेषता $\chi ({\mathcal {X}})$ का ${\mathcal {X}}$ संतुष्ट

$\chi ({\mathcal {X}})=m_{0}-m_{1}+\dots \pm m_{\dim {\mathcal {X}}}$

असतत मोर्स होमोलॉजी और होमोटॉपी टाइप

होने देना ${\mathcal {X}}$ सीमा संचालक के साथ एक नियमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स बनें $\partial$ और असतत मोर्स समारोह $\mu \colon {\mathcal {X}}\to \mathbb {R}$. होने देना ${\mathcal {A}}$ मोर्स बाउंड्री ऑपरेटर के साथ संबंधित मोर्स कॉम्प्लेक्स हो $\Delta$. फिर, एक समूह समरूपता है होमोलॉजी (गणित) समूहों की

$H_{*}({\mathcal {X}},\partial )\simeq H_{*}({\mathcal {A}},\Delta ),$

और इसी तरह होमोटॉपी समूहों के लिए।

अनुप्रयोग

असतत मोर्स सिद्धांत आणविक आकार विश्लेषण में अपना आवेदन पाता है, डिजिटल छवियों/वॉल्यूमों का कंकालकरण, शोर डेटा से ग्राफ पुनर्निर्माण, शोर बिंदु बादलों को नकारना और पुरातत्व में पाषाण उपकरण का विश्लेषण।

यह भी देखें

• डिजिटल मोर्स सिद्धांत
• स्तरीकृत मोर्स सिद्धांत
• आकार विश्लेषण (डिजिटल ज्यामिति)
• टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स
• असतत अंतर ज्यामिति

संदर्भ

• Forman, Robin (1998). "Morse theory for cell complexes" (PDF). Advances in Mathematics. 134 (1): 90–145. doi:10.1006/aima.1997.1650.
• Forman, Robin (2002). "A user's guide to discrete Morse theory" (PDF). Séminaire Lotharingien de Combinatoire. 48: Art. B48c, 35 pp. MR 1939695.
• Kozlov, Dmitry (2007). Combinatorial algebraic topology. Algorithms and Computation in Mathematics. Vol. 21. Springer. ISBN 978-3540719618. MR 2361455.
• Jonsson, Jakob (2007). Simplicial complexes of graphs. Springer. ISBN 978-3540758587.
• Orlik, Peter; Welker, Volkmar (2007). Algebraic Combinatorics: Lectures at a Summer School In Nordfjordeid. Universitext. Springer. doi:10.1007/978-3-540-68376-6. ISBN 978-3540683759. MR 2322081.
• "Discrete Morse theory". nLab.