पॉट्स मॉडल

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, पॉट मॉडल आइसिंग मॉडल का सामान्यीकरण क्रिस्टलीय जाली पर परस्पर क्रिया करने का एक मॉडल है पॉट्स मॉडल का अध्ययन करके, लौह के व्यवहार और ठोस-अवस्था भौतिकी की कुछ अन्य घटनाओं के बारे में जानकारी प्राप्त की जा सकती है। पॉट्स मॉडल की शक्ति इतनी अधिक नहीं है कि यह इन भौतिक प्रणालियों को अच्छी प्रकार से मॉडल करे; जबकि यह है कि आयामी स्थिति वास्तव में हल करने योग्य है और इसमें समृद्ध गणितीय सूत्रीकरण है जिसका बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है।

मॉडल का नाम रेनफ्रे पॉट्स के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपने 1951 के पीएच.डी. थीसिस के अंत के समीप मॉडल का वर्णन किया था। मॉडल प्लानर पॉट्स या ZN मॉडल से संबंधित था, जिसका सुझाव उन्हें उनके सलाहकार सिरिल हिल ने दिया था। चार-अवस्था पॉट्स मॉडल को कभी-कभी एश्किन-टेलर मॉडल के रूप में जाना जाता है, जूलियस अश्किन और एडवर्ड टेलर के बाद, जिन्होंने 1943 में समकक्ष मॉडल माना।

पॉट्स मॉडल XY मॉडल, हाइजेनबर्ग मॉडल (मौलिक ) और एन-वेक्टर मॉडल सहित कई अन्य मॉडलों से संबंधित है और सामान्यीकृत है। अनंत-श्रेणी पॉट्स मॉडल को एक्सवाई मॉडल के रूप में जाना जाता है। जब स्पिनों को गैर-एबेलियन समूह विधियों से परस्पर क्रिया करने के लिए लिया जाता है, तो मॉडल प्रवाह ट्यूब मॉडल से संबंधित होता है, जिसका उपयोग क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में रंग परिसीमन पर चर्चा करने के लिए किया जाता है। पॉट्स मॉडल के सामान्यीकरण का उपयोग धातुओं में अनाज के विकास और फोम में मोटे होने स्क्वाट मॉडल के लिए भी किया गया है। जेम्स ग्लेज़ियर और फ्रेंकोइस ग्रेनर द्वारा इन विधियों का सामान्यीकरण, जिसे सेलुलर पॉट्स मॉडल के रूप में जाना जाता है, फोम और जैविक रूपजनन में स्थिर और गतिज घटना का अनुकरण करने के लिए उपयोग किया गया है।

परिभाषा

पॉट्स मॉडल में चक्रण होते हैं जो जाली (समूह) पर रखे जाते हैं। जाली को सामान्यतः दो-आयामी आयताकार यूक्लिडियन अंतरिक्ष जाली के रूप में लिया जाता है, किन्तु अधिकांशतः इसे अन्य आयामों और जाली संरचनाओं के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

मूल रूप से, डोंब ने सुझाव दिया कि चक्रण $q$ संभावित मान में से लेता है, कोणों पर, वृत्त के बारे में समान रूप से वितरित हैं

$\theta _{s}={\frac {2\pi s}{q}},$

जहाँ $s=0,1,...,q-1$ और यह कि इंटरेक्शन हैमिल्टनियन यांत्रिकी द्वारा दिया गया है

$H_{c}=J_{c}\sum _{\langle i,j\rangle }\cos \left(\theta _{s_{i}}-\theta _{s_{j}}\right)$

निकटतम निकटतम जोड़े पर चल रहे योग के साथ $\langle i,j\rangle$ सभी जाली साइटों पर, और $J_{c}$ युग्मन स्थिरांक है, जो अंतःक्रिया शक्ति का निर्धारण करता है। इस मॉडल को अब वेक्टर पॉट्स मॉडल या घड़ी मॉडल के रूप में जाना जाता है। पॉट्स ने चरण संक्रमण के लिए दो आयामों में स्थान प्रदान किया $q=3,4$. सीमा में $q\to \infty$, यह XY मॉडल बन जाता है।

जिसे अब मानक पॉट्स मॉडल के रूप में जाना जाता है, पॉट्स द्वारा उपरोक्त मॉडल के अपने अध्ययन के पर्यंत सुझाया गया था और इसे सरल हैमिल्टनियन द्वारा परिभाषित किया गया है:

$H_{p}=-J_{p}\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})\,$

जहाँ $\delta (s_{i},s_{j})$ क्रोनकर डेल्टा है, जो जब भी के बराबर होता है $s_{i}=s_{j}$ और शून्य अन्यथा। $q=2$ h> मानक पॉट्स मॉडल ईज़िंग मॉडल और 2-स्टेट वेक्टर पॉट्स मॉडल के बराबर है $J_{p}=-2J_{c}$. $q=3$ h> मानक पॉट्स मॉडल तीन-अवस्था वेक्टर पॉट्स मॉडल $J_{p}=-{\frac {3}{2}}J_{c}$ के बराबर है ।

सामान्य सामान्यीकरण बाहरी चुंबकीय क्षेत्र शब्द का परिचय देना है $h$, और पैरामीटर को रकम के अंदर ले जाना और उन्हें पूरे मॉडल में अलग-अलग करने की अनुमति देना :

$\beta H_{g}=-\beta \left(\sum _{(i,j)}J_{ij}\delta (s_{i},s_{j})+\sum _{i}h_{i}s_{i}\right)\,$

जहाँ $\beta ={\frac {1}{kT}}$ उलटा तापमान, $k$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक और $T$ तापमान।

अलग-अलग कागजात थोड़े अलग सम्मेलनों को अपना सकते हैं, जो बदल सकते हैं $H$ और संबद्ध विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) योगात्मक या गुणात्मक स्थिरांक द्वारा।

भौतिक गुण

चरण संक्रमण

भौतिक प्रणाली के मॉडल के रूप में इसकी सरलता के अतिरिक्त, पोट्स मॉडल चरण संक्रमण के अध्ययन के लिए मॉडल प्रणाली के रूप में उपयोगी है। उदाहरण के लिए, मानक लौह-चुंबकीय पॉट्स मॉडल के लिए $2d$, सभी वास्तविक मूल्यों के लिए $q\geq 1$ चरण संक्रमण उपस्तिथ है , महत्वपूर्ण बिंदु $\beta J=\log(1+{\sqrt {q}})$ के साथ। चरण संक्रमण निरंतर (दूसरा क्रम) है $1\leq q\leq 4$ और असंतत (पहला क्रम) के लिए $q>4$.घड़ी मॉडल के लिए, इस बात का प्रमाण है कि संबंधित चरण संक्रमण अनंत क्रम बीकेटी संक्रमण हैं,और सतत चरण संक्रमण देखा जाता है जब $q\leq 4$. रिसाव सिद्धांत समस्या और साहचर्य में पाए जाने वाले सभी बहुपद और रंगीन बहुपद के मॉडल के संबंध के माध्यम से आगे का उपयोग पाया जाता है। पूर्णांक मानों के लिए $q\geq 3$, मॉडल 'इंटरफेसियल सोखना' की घटना को प्रदर्शित करता है दो अलग-अलग अवस्थाों में विपरीत सीमाओं को ठीक करते समय पेचीदा महत्वपूर्ण गीलापन गुणों के साथ है।

यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल के साथ संबंध

पॉट्स मॉडल का फोर्टुइन-पीटर कस्टेलिन रैंडम क्लस्टर मॉडल, सांख्यिकीय यांत्रिकी में अन्य मॉडल के साथ घनिष्ठ संबंध है। इस संबंध को समझने से छोटे स्तर पर मॉडल के संख्यात्मक अन्वेषण के लिए कुशल मार्कोव चेन मोंटे कार्लो विधियों को विकसित करने में सहायता मिली है $q$, और मॉडल के महत्वपूर्ण तापमान के कठोर प्रमाण का नेतृत्व किया।

विभाजन कार्य के स्तर पर $Z_{p}=\sum _{\{s_{i}\}}e^{-H_{p}}$, चक्रण विन्यास पर योग को बदलने के लिए संबंध राशि $\{s_{i}\}$ विन्यास पर बढ़त में $\omega ={\Big \{}(i,j){\Big |}s_{i}=s_{j}{\Big \}}$ अर्थात एक ही रंग के निकटतम निकटतम समुच्चय के जोड़े । पहचान का उपयोग करके परिवर्तन किया जाता है $e^{J_{p}\delta (s_{i},s_{j})}=1+v\delta (s_{i},s_{j})$ साथ $v=e^{J_{p}}-1$. यह विभाजन कार्य को फिर से लिखने की ओर जाता है

$Z_{p}=\sum _{\omega }v^{\#{\text{edges}}(\omega )}q^{\#{\text{clusters}}(\omega )}$

जहां क्लस्टर विवृत अनुभाग के समुच्चय के जुड़े हुए घटक $\cup _{(i,j)\in \omega }[i,j]$ हैं। यह खुले किनारे की संभावना के साथ यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल के विभाजन कार्य के समानुपाती है $p={\frac {v}{1+v}}=1-e^{-J_{p}}$. यादृच्छिक क्लस्टर फॉर्मूलेशन का फायदा यह है कि $q$ प्राकृतिक पूर्णांक के अतिरिक्त मनमाना जटिल संख्या हो सकती है।

माप-सैद्धांतिक विवरण

आयामी पॉट्स मॉडल को परिमित प्रकार के सबशिफ्ट के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और इस प्रकार इस औपचारिकता से जुड़ी सभी गणितीय तकनीकों तक पहुंच प्राप्त होती है। विशेष रूप से, इसे स्थानांतरण प्रचालक की तकनीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। (चूंकि, अर्नस्ट इसिंग ने ईज़िंग मॉडल को हल करने के लिए दहनशील विधियों का उपयोग किया, जो पॉट्स मॉडल के पूर्वज हैं, उनके 1924 पीएचडी थीसिस में)। यह खंड इस समाधान के पीछे, माप सिद्धांत पर आधारित गणितीय औपचारिकता को विकसित करता है।

जबकि नीचे दिया गया उदाहरण एक-आयामी स्थितियों के लिए विकसित किया गया है, कई तर्क, और लगभग सभी अंकन, किसी भी संख्या के आयामों को सरलता से सामान्यीकृत करते हैं। कुछ औपचारिकताएं भी संबंधित मॉडलों को संभालने के लिए अधिक व्यापक हैं, जैसे कि XY मॉडल, हाइजेनबर्ग मॉडल (मौलिक ) और एन-वेक्टर मॉडल।

अवस्थाों के स्थान की टोपोलॉजी

चलो क्यू = {1, ..., क्यू} प्रतीकों का सीमित समुच्चय हो, और चलो

$Q^{\mathbf {Z} }=\{s=(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in Q\;\forall k\in \mathbf {Z} \}$

समुच्चय क्यू से मूल्यों के सभी द्वि-अनंत स्ट्रिंग्स का समुच्चय हो। इस समुच्चय को पूर्ण शिफ्ट कहा जाता है। पॉट्स मॉडल को परिभाषित करने के लिए, या तो यह संपूर्ण स्थान, या इसका निश्चित उपसमुच्चय, पूरी पारी का सबशिफ्ट, उपयोग किया जा सकता है। शिफ्ट्स को यह नाम इसलिए मिला है क्योंकि इस स्थान पर प्राकृतिक ऑपरेटर उपस्तिथ है, शिफ्ट ऑपरेटर τ : Q^Z → Q^Z, के रूप में अभिनय

$\tau (s)_{k}=s_{k+1}$

इस समुच्चय में प्राकृतिक उत्पाद टोपोलॉजी है; इस टोपोलॉजी का आधार (टोपोलॉजी) सिलेंडर समुच्चय हैं

$C_{m}[\xi _{0},\ldots ,\xi _{k}]=\{s\in Q^{\mathbf {Z} }:s_{m}=\xi _{0},\ldots ,s_{m+k}=\xi _{k}\}$

अर्थात, सभी संभावित स्ट्रिंग्स का समुच्चय जहां k+1 चक्रण दिए गए मूल्यों के विशिष्ट समुच्चय से त्रुटिहीन रूप से मेल खाते हैं ξ₀, ..., एक्स_k. सिलेंडर समुच्चय के लिए स्पष्ट प्रतिनिधित्व यह देखते हुए प्राप्त किया जा सकता है कि मूल्यों की स्ट्रिंग पी-एडिक नंबर | क्यू-एडिक नंबर से मेल खाती है, चूंकि क्यू-एडिक नंबरों की प्राकृतिक टोपोलॉजी उपरोक्त उत्पाद टोपोलॉजी से बेहतर है।

सहभागिता ऊर्जा

चक्रणों के बीच अन्योन्यक्रिया तब सतत फलन (टोपोलॉजी) V : Q द्वारा दी जाती है^Z → R इस टोपोलॉजी पर। कोई भी निरंतर कार्य करेगा; उदाहरण के लिए

$V(s)=-J\delta (s_{0},s_{1})$

निकटतम पड़ोसियों के बीच बातचीत का वर्णन करने के लिए देखा जाएगा। बेशक, अलग-अलग कार्य अलग-अलग इंटरैक्शन देते हैं; तो एस का समारोह₀, एस₁ और एस₂ अगले-निकटतम निकटतम इंटरैक्शन का वर्णन करेगा। फ़ंक्शन वी चक्रण के समुच्चय के बीच अंतःक्रियात्मक ऊर्जा देता है; यह हैमिल्टनियन नहीं है, किन्तु इसे बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। फलन V का तर्क अवयव ∈ Q है^Z, अर्थात चक्रण की अनंत स्ट्रिंग। उपरोक्त उदाहरण में, फ़ंक्शन वी ने अनंत स्ट्रिंग में से केवल दो घुमावों को चुना है: मान s₀ और एस₁. सामान्यतः , फ़ंक्शन V कुछ या सभी घुमावों पर निर्भर हो सकता है; वर्तमान में, केवल वे ही जो परिमित संख्या पर निर्भर करते हैं, त्रुटिहीन रूप से हल करने योग्य हैं।

फ़ंक्शन एच को परिभाषित करें_n: क्यू^Z → आर के रूप में

$H_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}V(\tau ^{k}s)$

इस फ़ंक्शन को दो भागों में देखा जा सकता है: विन्यास की आत्म-ऊर्जा [एस₀, एस₁, ..., एस_nचक्रण का ], साथ ही इस समुच्चय की अंतःक्रियात्मक ऊर्जा और जाली में अन्य सभी स्पिन। इस फलन की n → ∞ सीमा तंत्र की हैमिल्टनियन है; परिमित n के लिए, इन्हें कभी-कभी 'परिमित अवस्था हैमिल्टन' कहा जाता है।

विभाजन कार्य और उपाय

इसी परिमित-अवस्था विभाजन कार्य (सांख्यिकीय यांत्रिकी) द्वारा दिया गया है

$Z_{n}(V)=\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}\exp(-\beta H_{n}(C_{0}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}]))$

सी के साथ₀ ऊपर परिभाषित सिलेंडर समुच्चय होने के नाते। यहाँ, β = 1/kT, जहाँ k बोल्ट्जमैन का स्थिरांक है, और T तापमान है। गणितीय उपचारों में β = 1 समुच्चय करना बहुत आम है, क्योंकि यह अंतःक्रियात्मक ऊर्जा को पुनः स्केल करके सरलता ी से प्राप्त किया जा सकता है। यह विभाजन फ़ंक्शन इंटरेक्शन V के फ़ंक्शन के रूप में लिखा गया है जिससे कि जोर दिया जा सके कि यह केवल इंटरेक्शन का फ़ंक्शन है, न कि चक्रण के किसी विशिष्ट विन्यास का। विभाजन फलन, हेमिल्टनियन के साथ, बोरेल σ-बीजगणित पर माप (गणित) को निम्नलिखित विधियों से परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है। सिलेंडर समुच्चय का माप, अर्थात आधार का तत्व, द्वारा दिया जाता है

$\mu (C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}])={\frac {1}{Z_{n}(V)}}\exp(-\beta H_{n}(C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}]))$

इसके बाद पूर्ण σ-बीजगणित तक गणनीय योगात्मकता का विस्तार किया जा सकता है। यह माप संभाव्यता माप है; यह विन्यास स्थान (भौतिकी) Q में दिए गए विन्यास की संभावना देता है। इस प्रकार से हैमिल्टनियन से निर्मित संभाव्यता माप के साथ विन्यास स्थान को समाप्त करके, विन्यास स्थान विहित समवेत में बदल जाता है।

विभाजन फ़ंक्शन के संदर्भ में अधिकांश ऊष्मप्रवैगिकी गुणों को सीधे व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा किसके द्वारा दी जाती है

$A_{n}(V)=-kT\log Z_{n}(V)$

अन्य महत्वपूर्ण संबंधित मात्रा सामयिक दबाव है, जिसे परिभाषित किया गया है

$P(V)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log Z_{n}(V)$

जो समाधान के स्थानांतरण प्रचालक के अग्रणी आइजन मूल्य के लघुगणक के रूप में दिखाई देगा।

मुक्त क्षेत्र समाधान

सबसे सरल मॉडल वह मॉडल है जहां कोई अंतःक्रिया नहीं होती है, और इसलिए V = c और H_n= सी (सी निरंतर और किसी भी चक्रण विन्यास से स्वतंत्र)। विभाजन कार्य बन जाता है

$Z_{n}(c)=e^{-c\beta }\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}1$

यदि सभी अवस्थाों की अनुमति है, अर्थात, अवस्थाों के अंतर्निहित समुच्चय को पूर्ण शिफ्ट द्वारा दिया जाता है, तो योग का तुच्छ रूप से मूल्यांकन किया जा सकता है

$Z_{n}(c)=e^{-c\beta }q^{n+1}$

यदि निकटतम घुमावों को केवल कुछ विशिष्ट विन्यासों में ही अनुमति दी जाती है, तो अवस्था का स्थान परिमित प्रकार के सबशिफ्ट द्वारा दिया जाता है। विभाजन कार्य तब के रूप में लिखा जा सकता है

$Z_{n}(c)=e^{-c\beta }|{\mbox{Fix}}\,\tau ^{n}|=e^{-c\beta }{\mbox{Tr}}A^{n}$

जहां कार्ड प्रमुखता या समुच्चय की गिनती है, और फिक्स पुनरावृत्त शिफ्ट फ़ंक्शन के निश्चित बिंदु (गणित) का समुच्चय है:

${\mbox{Fix}}\,\tau ^{n}=\{s\in Q^{\mathbf {Z} }:\tau ^{n}s=s\}$

क्यू × क्यू मैट्रिक्स ए आसन्न मैट्रिक्स है जो निर्दिष्ट करता है कि निकटतम चक्रण मूल्यों की अनुमति है।

इंटरेक्टिंग मॉडल

इंटरेक्टिंग मॉडल का सबसे सरल स्थिति ईज़िंग मॉडल है, जहाँ चक्रण केवल दो में से मान ले सकता है, s_n∈ {−1, 1} और केवल निकटतम निकटतम चक्रण इंटरैक्ट करते हैं। सहभागिता क्षमता द्वारा दी गई है

$V(\sigma )=-J_{p}s_{0}s_{1}\,$

इस क्षमता को मैट्रिक्स तत्वों के साथ 2 × 2 मैट्रिक्स में कैप्चर किया जा सकता है

$M_{\sigma \sigma '}=\exp \left(\beta J_{p}\sigma \sigma '\right)$

सूचकांक σ, σ' ∈ {-1, 1} के साथ। विभाजन कार्य तब द्वारा दिया जाता है

$Z_{n}(V)={\mbox{Tr}}\,M^{n}$

घुमावों की मनमानी संख्या और मनमाना परिमित-श्रेणी अंतःक्रिया के लिए सामान्य समाधान समान सामान्य रूप द्वारा दिया जाता है। इस स्थितियों में, मैट्रिक्स एम के लिए त्रुटिहीन अभिव्यक्ति थोड़ी अधिक जटिल है।

पॉट्स मॉडल जैसे मॉडल को हल करने का लक्ष्य विभाजन फ़ंक्शन के लिए त्रुटिहीन बंद-रूप अभिव्यक्ति देना है और गिब्स अवस्थाों या संतुलन अवस्थाों के लिए अभिव्यक्ति एन → ∞, ऊष्मप्रवैगिकी सीमा की सीमा में है।

अनुप्रयोग

सिग्नल और इमेज प्रोसेसिंग

पॉट्स मॉडल में सिग्नल पुनर्निर्माण में अनुप्रयोग हैं। मान लें कि हमें 'आर' में टुकड़ावार स्थिर सिग्नल जी का शोर अवलोकन दिया गया है^एन. शोर प्रेक्षण सदिश f से 'R' में g पुनर्प्राप्त करने के लिएⁿ, कोई संबंधित प्रतिलोम समस्या, L के मिनिमाइज़र की तलाश करता है^p-पॉट्स फंक्शनल P_γ(यू) द्वारा परिभाषित किया गया है

$P_{\gamma }(u)=\gamma \|\nabla u\|_{0}+\|u-f\|_{p}^{p}=\gamma \#\{i:u_{i}\neq u_{i+1}\}+\sum _{i=1}^{n}|u_{i}-f_{i}|^{p}$

कूदने का दंड $\|\nabla u\|_{0}$ टुकड़े-टुकड़े निरंतर समाधान और डेटा अवधि को बल देता है $\|u-f\|_{p}^{p}$ न्यूनतम करने वाले उम्मीदवार u को डेटा f से जोड़ता है। पैरामीटर γ> 0 नियमितता और डेटा निष्ठा के बीच संतुलन को नियंत्रित करता है। एल के त्रुटिहीन न्यूनीकरण के लिए तेज़ एल्गोरिदम हैं¹ और एल²-पॉट काम कर रहे हैं। इमेज प्रोसेसिंग में, पॉट्स फंक्शनल सेगमेंटेशन समस्या से संबंधित है। चूँकि, दो आयामों में समस्या एनपी-हार्ड है।

यह भी देखें

• रैंडम क्लस्टर मॉडल
• महत्वपूर्ण तीन-अवस्था पॉट्स मॉडल
• चिरल पॉट्स मॉडल
• स्क्वायर-जाली आइसिंग मॉडल
• न्यूनतम मॉडल (भौतिकी)
• जेड एन मॉडल

बाहरी संबंध

• Haggard, Gary; Pearce, David J.; Royle, Gordon. "Code for efficiently computing Tutte, Chromatic and Flow Polynomials".